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1 Comprensione del linguaggio italiano nei testi matematici Premessa La scelta di affrontare congiuntamente alcuni aspetti di due aree normalmente considerate molto lontane, quali quella logico-matematica e quella umanistica, è dovuta ad una osservazione che tutti i docenti di entrambi gli ambiti, prima o dopo, fanno: non sempre gli errori nell’area scientifica nascono da lacune nell’ambito specifico; alcune volte, invece, si verificano per un problema a monte, legato alla difficoltà di padroneggiare il codice linguistico; questo è tanto più vero, quanto più passano gli anni ed i nostri studenti, così “tecnici” per molti versi, perdono l’abitudine all’espressione verbale, articolata nelle sue molteplici sfumature. Osservare i loro errori, chiederci e chiedere loro perché hanno sbagliato, ci ha permesso di individuare alcune difficoltà linguistiche, che influiscono sulla loro capacità di affrontare e risolvere problemi, sia nella quotidiana pratica in classe, sia al momento di affrontare le prove nazionali INValSI. Abbiamo quindi pensato ad un ausilio, il cui utilizzo permetta agli insegnanti di allenare gli studenti della scuola primaria e secondaria di primo grado, potenziando la loro capacità di comprendere i testi matematici per quelle che sono le tipicità delle discipline linguistiche. Perché questo progetto potesse affrontare efficacemente i bisogni dei ragazzi, è stato fondamentale osservare le criticità da un doppio punto di vista, pertanto il lavoro si basa su un’intensa collaborazione tra docenti dell’area scientifica e docenti dell’area umanistica. Inoltre, poiché la scuola primaria e la scuola secondaria di primo grado rappresentano le due tappe di un unico sviluppo, esso presenta una doppia articolazione, elaborato da insegnanti di scuola primaria e di secondaria di primo grado, seguendo linee guida condivise da entrambi i gruppi di lavoro. Si tratta fondamentalmente di un eserciziario guidato, i cui fruitori ultimi sono gli alunni; quindi, è stata operata la scelta di utilizzare un registro linguistico medio; così il discorso, pur mantenendo la precisione necessaria, risulta chiaro e molto concreto. Inoltre, rivolgendosi ad alunni di età diversa, si è cercato di adattare le attività alla progressione della loro maturità logica. E’ importante ricordare che questo non è un eserciziario di aritmetica o di geometria: ci verrebbe immediatamente fatta l’osservazione che i testi proposti non presentano né una gradazione di difficoltà né omogeneità tematica, inoltre sono talvolta troppo semplici! Nelle

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1

Comprensione del linguaggio italiano

nei testi matematici

Premessa

La scelta di affrontare congiuntamente alcuni aspetti di due aree normalmente considerate

molto lontane, quali quella logico-matematica e quella umanistica, è dovuta ad una

osservazione che tutti i docenti di entrambi gli ambiti, prima o dopo, fanno: non sempre gli

errori nell’area scientifica nascono da lacune nell’ambito specifico; alcune volte, invece, si

verificano per un problema a monte, legato alla difficoltà di padroneggiare il codice

linguistico; questo è tanto più vero, quanto più passano gli anni ed i nostri studenti, così

“tecnici” per molti versi, perdono l’abitudine all’espressione verbale, articolata nelle sue

molteplici sfumature.

Osservare i loro errori, chiederci e chiedere loro perché hanno sbagliato, ci ha permesso

di individuare alcune difficoltà linguistiche, che influiscono sulla loro capacità di affrontare

e risolvere problemi, sia nella quotidiana pratica in classe, sia al momento di affrontare le

prove nazionali INValSI.

Abbiamo quindi pensato ad un ausilio, il cui utilizzo permetta agli insegnanti di allenare gli

studenti della scuola primaria e secondaria di primo grado, potenziando la loro capacità di

comprendere i testi matematici per quelle che sono le tipicità delle discipline linguistiche.

Perché questo progetto potesse affrontare efficacemente i bisogni dei ragazzi, è stato

fondamentale osservare le criticità da un doppio punto di vista, pertanto il lavoro si basa su

un’intensa collaborazione tra docenti dell’area scientifica e docenti dell’area umanistica.

Inoltre, poiché la scuola primaria e la scuola secondaria di primo grado rappresentano le

due tappe di un unico sviluppo, esso presenta una doppia articolazione, elaborato da

insegnanti di scuola primaria e di secondaria di primo grado, seguendo linee guida

condivise da entrambi i gruppi di lavoro.

Si tratta fondamentalmente di un eserciziario guidato, i cui fruitori ultimi sono gli alunni;

quindi, è stata operata la scelta di utilizzare un registro linguistico medio; così il discorso,

pur mantenendo la precisione necessaria, risulta chiaro e molto concreto. Inoltre,

rivolgendosi ad alunni di età diversa, si è cercato di adattare le attività alla progressione

della loro maturità logica.

E’ importante ricordare che questo non è un eserciziario di aritmetica o di geometria: ci

verrebbe immediatamente fatta l’osservazione che i testi proposti non presentano né una

gradazione di difficoltà né omogeneità tematica, inoltre sono talvolta troppo semplici! Nelle

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pagine che seguono bisogna cercare, come già detto, una riflessione sul lessico e sulle

strutture del linguaggio scientifico, che spesso fanno sembrare le richieste matematiche

più difficili di quello che sono, perché lontane da come i nostri alunni sono ormai abituati

ad esprimersi.

prof. Serena Bedini

prof. Alessandra Maria Bonacini

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Scuola secondaria

di primo grado

I verbi

Il gerundio

Il modo gerundio può essere interpretato in più maniere: indica causa, tempo,

ipotesi, modalità … Per interpretarlo correttamente, è utile sostituirlo con un

modo finito.

Pertanto, per esempio:

Calcola la somma di tre segmenti, sapendo che sono uno il triplo e l’altro la metà

del terzo segmento, che misura cm 18,2

Può essere compreso meglio se trasformato nel seguente modo:

Calcola la somma di tre segmenti, dal momento che sai che...

Per fare questa trasformazione bisogna:

- comprendere che legame logico ci sia fra l’informazione introdotta da “sapendo”

e la richiesta del problema

- esplicitarlo con una congiunzione adeguata (in questo caso “dal momento che”)

- trasformare il verbo gerundio in un modo finito (qui “sapendo” diventa “sai”)

Attenzione!

Parole in –endo: soprattutto riguardo alle operazioni ci sono dei termini che

finiscono in –endo e possono far pensare ad un gerundio; invece, si tratta di

forme verbali di origine latina che indicano che l’azione del verbo deve essere

compiuta.

Ad esempio:

addendo = che deve essere aggiunto

minuendo = che deve essere diminuito

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Esercitiamoci

1.Sottolinea il gerundio, poi riscrivi il testo, sostituendolo con un modo finito preceduto

dalla congiunzione che ritieni adatta:

a. Calcola la somma dei 3 segmenti sapendo che AB=4CD, CD=PQ e CD=cm 23,8.

b. Sapendo che AB+CD=cm235,67 e che AB=cm 125,79, calcola la misura di CD.

c. Un ciclista, viaggiando a Km 27 all’ora, deve coprire una distanza di Km 121,5. Quanto

tempo impiega?

d. In una divisione, moltiplicando per uno stesso numero diverso da zero il dividendo e il

divisore, il quoziente non cambia.

e. Piantando i venti pali di una recinzione, si rimuovono q 1,284 di terra. Quanta ne viene

spostata per interrare ciascun palo?

f. Calcola l’area di un triangolo, tenendo conto che la base è i 3/5 dell’altezza e che la loro

somma è dm 48.

2.Sottolinea i termini in “–endo” che non sono dei gerundi e sostituiscili con l’espressione

equivalente (come nel riquadro teorico)

a. Invertendo l’ordine degli addendi il valore della somma non cambia.

…………………………………………………………………………………………………………

b. Una divisione non dà resto se il dividendo è multiplo del divisore.

…………………………………………………………………………………………………………

c. Se il sottraendo è maggiore del numero da diminuire si ottiene un risultato minore di

zero.

…………………………………………………………………………………………………………

d. In una divisione, moltiplicando per uno stesso numero diverso da zero il dividendo e il

divisore, il quoziente non cambia.

…………………………………………………………………………………………………………

e. Sottraendo ad un numero un secondo numero ad esso inferiore, si ottiene un risultato

maggiore di zero.

…………………………………………………………………………………………………………

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Il participio

Esercitiamoci

1.Individua il participio, riconosci se è presente o passato, poi trasformalo nella maniera

consigliata (attento alle concordanze di genere e di numero):

a. Per costruire una strada avente la lunghezza di Km 4,8, l’impresa costruttrice richiede

euro 60.000 a Km; costruiti m 1850 la spesa per il tratto rimanente aumenta di euro 42 per

Km. Quanto costerà lì’intera costruzione? (……………………………..)

b. Una cassa della capacità di mc 0,077, riempita con pezzi di sapone aventi il volume di

cmc 280 e pesanti Kg 0,325 ciascuno, ha la tara di Kg 5. Quanto pesa la cassa piena?

(………………………………..)

c. Dei vasetti, confezionati ciascuno con g 250 di prodotto, contengono complessivamente

Kg 28,5 di marmellata. Quanti vasetti sono? (………………………………..)

Il participio presente ha valore attivo e va interpretato come un

“CHE + INDICATIVO PRESENTE ATTIVO”

Es.: Quale è l’area di un rettangolo avente le dimensioni di m 6 e m 8?

Può essere compreso meglio se trasformato nel seguente modo:

Quale è l’area di un rettangolo che ha le dimensioni di m 6 e m 8?

Il participio passato spesso ha valore passivo e va interpretato come un

“SE + INDICATIVO PRESENTE PASSIVO”

Oppure

“DOPO CHE + INDICATIVO PRESENTE PASSIVO”

Es.: Dato un quadrato di lato m 6, calcolare l’area.

Può essere compreso meglio se trasformato nel seguente modo:

Se è dato un quadrato di lato m 6, calcolare l’area.

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d. Una villa, costruita su un terreno di mq 5.000 ed occupante una superficie di mq 280, è

dotata di una piscina di mq 40. Costruiti un garage indipendente di damq 0,60 e tracciati i

vialetti per damq 3,8, il resto del terreno viene alberato. Quanto misura la parte alberata?

(………………………………….)

e. Un palazzo, avente cubatura di mc 6440, è composto da 23 appartamenti uguali. Qual è

la cubatura di ciascun appartamento?

2.Inserisci opportunamente nella tabella le espressioni in corsivo, dopo averle trasformate

come indicato nel riquadro teorico:

a. Il prezzo di un litro di latte è uguale a quello di un chilo di zucchero aumentato di euro

0,75; pertanto…

b. Misurato il lato di una stanza quadrata, posso calcolare quanti metri di battiscopa mi

occorreranno…

c. Vittorio, vendute complessivamente 21 cassette di mandarini, ha incassato…

d. Acquistata una confezione di cucchiaini in argento e spesi per essa euro 54, mi accorgo

di poter comprare ancora, con i soldi che mi sono rimasti, …

e. Date a ciascun alunno 24 matite colorate e messe nel cassetto le rimanenti, vedo che…

“SE…” (valore di ipotesi) “DOPO CHE…” (valore temporale)

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Il “SI” impersonale

Esercitiamoci

1.Nelle seguenti espressioni, riconosci e sottolinea quelle in cui il “si” ha valore

impersonale:

Se si misura l’area…; due amiche si incontrano…; con un cronometro si è misurato che…;

nel teatro si proietta un documentario…; il costo del biglietto si calcola…; in una piazza

quadrata si vede…; si recinta un giardino…; la maestra si sofferma…; si cammina alla

velocità di…; di un trapezio si sa…

2.Sottolinea la forma impersonale, poi trasformala come ti è stato indicato:

a. Si sa che la differenza fra due numeri è 13 e la loro somma è 81. Calcola i due numeri.

(……………………….)

b. La somma di due numeri è 109; si osserva che il minore è inferiore di 21 unità al

maggiore. Calcola i due numeri. (……………………..)

c. Degli angoli di un triangolo si sa che la somma di due di essi è uguale a 100° e la loro

differenza è uguale a 30°. Quanto misura ciascun angolo del triangolo? (…………………..)

d. Si vuole costruire un triangolo in cui il lato maggiore sia quadruplo del lato

minore...(………………………)

e. Si danno le seguenti misure, con le quali è impossibile costruire un

triangolo…(…………………………..)

Il “SI” dà al verbo un valore impersonale quando il significato diventa “tutti fanno

quell’azione”, “chiunque fa quell’azione”.

Il “SI” impersonale può essere inteso anche come un “TU fai quell’azione” e può

essere compreso facilmente se viene trasformato volgendo il verbo alla seconda

persona sing. dell’indicativo.

Es.: Di due segmenti si sa che uno è più lungo dell’altro di cm 17 e che

complessivamente misurano cm 19. Determina la lunghezza di ciascun

segmento.

Può essere compreso meglio se trasformato nel seguente modo:

Di due segmenti tu sai che uno è più lungo dell’altro di cm 17 e che

complessivamente misurano cm 19. Determina la lunghezza di ciascun

segmento.

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3.Sottolinea i verbi al gerundio e al participio, poi riscrivi il testo sostituendo le forme che

hai individuato con dei “si” impersonali (modifica dove è necessario).

a. Un fruttivendolo rivende della frutta ad un prezzo quadruplo di quello di acquisto.

Sapendo che la somma del prezzo di acquisto più quello di vendita è uguale ad euro 100,

stabilisci quale è stato il guadagno realizzato dal negoziante.

b. Sapendo che due segmenti misurano uno il triplo dell’altro e che la loro differenza è di

cm 42, calcola la lunghezza di ciascuno di essi.

c. Quanto vino conteneva una botte se, riempiendo due damigiane della capacità di l 54

l’una, in essa rimangono l 72?

d. Alberando un vialetto con piante piantate a m 2,5 l’una dall’altra, un giardiniere copre

una lunghezza di 120; quanti alberelli ha utilizzato?

e. Un televisore del costo di euro 620, versati 80 euro in contanti, viene pagato in 6 rate.

Tenendo conto che ogni rata sarà aumentata di euro 7,80 per interessi, quale sarà

l’importo di ciascuna rata?

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I nomi (e non solo) che assumono nel linguaggio specifico un valore

diverso rispetto al significato generico

Molte parole ricorrono spesso nel linguaggio matematico, mentre vengono usate

poco nelle situazioni correnti, perciò possono creare difficoltà di comprensione.

Inoltre, nel linguaggio scientifico, le parole sono univoche, cioè hanno un solo ed

unico significato (non si può ricorrere quindi a frasi del tipo: “Ma io la capisco così”,

“Ma per me è diverso”…!).

A ciò si aggiunge poi che le parole nel linguaggio matematico hanno talvolta un

significato specifico anche piuttosto diverso da quello con cui le usiamo

quotidianamente; pertanto, possono risultare poco chiare o generare equivoci, se

non ci si abitua ad intenderle correttamente.

Corrispondente = che ha corrispondenza

Corrispondenza = collegamento fra due grandezze legate da una particolare relazione matematica

Dato:

1.part. pass. di dare, significa “se è dato”, “devi considerare”;

2.nome, significa “elemento” “ciò che è conosciuto”; (in questo caso spesso lo trovi al plurale: “i dati

del problema”)

(Dividere) per / (moltiplicare) per = il “per” non indica l’operazione da compiere, ma introduce il

numero che va utilizzato come divisore o moltiplicatore

Ente = qualcosa che esiste (part. pres. di essere)

Funzione = correlazione fra due o più grandezze

Grado = unità di misura angolare

Potenza = prodotto di fattori tutti uguali

Rispettivamente = riferito a ciascun elemento detto prima, nello stesso ordine

Attenzione!

non è possibile generalizzare: bisogna conoscerle bene una ad una!

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Esercitiamoci

1.La stessa parola compare in più frasi, con significati diversi secondo il contesto: spiega

con le tue parole ciascun significato:

a. Il grado di tolleranza delle persone cala quando sono stanche. / Un angolo di 90 gradi è

detto angolo retto. / E’ andato in pensione con il grado di colonnello.

1……………………………………………………………………………………………………….

2……………………………………………………………………………………………………….

3………………………………………………………………………………………………………

b. Elevare a potenza vuol dire fare una moltiplicazione. / La potenza di un motore influisce

sul consumo di carburante. / La potenza espressiva di certe immagini le rende

particolarmente efficaci.

1……………………………………………………………………………………………………….

2……………………………………………………………………………………………………….

3………………………………………………………………………………………………………

c. Dati i voti, l’insegnante lodò gli alunni più studiosi. / I dati del problema vanno scritti con

ordine. / Si era espresso con tanta confusione, che pareva fossero stati dati i numeri.

1……………………………………………………………………………………………………….

2……………………………………………………………………………………………………….

3………………………………………………………………………………………………………

2.Riscrivi tutte le frasi dell’esercizio precedente, mantenendole divise in gruppi (“grado”,

“potenza”, “dati”), ma sostituendo la parola in corsivo con un sinonimo adatto a quel

contesto.

3.Cerca sul dizionario le seguenti parole, poi componi una frase con ciascuno dei

significati che il dizionario ti dà per ogni parola:

corrispondenza, funzione, ente, punto.

Attenzione!

Può essere utile tenere una rubrica, in cui annotare le parole di questo genere, mano a

mano che vengono incontrate.

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Gli articoli

Esercitiamoci

1.Cerchia il termine a cui si riferisce l’espressione in corsivo:

a. Un segmento AB è la metà di un segmento CD e la loro somma è cm 21; quanto misura

il segmento?

b. Luisa compra una maglia pagandola euro 27. In seguito la decora insieme ad un’altra

con 17 bottoni del valore di euro 1,20 ciascuno. Se sulla seconda i bottoni cuciti sono 9,

quanto le costa in tutto la maglia?

c. Paolo ha 3 anni e costruisce una piramide di cubetti: sotto mette un cubo con lato di cm

10, sopra progressivamente cubetti che hanno il lato più corto di cm 1. Se in alto c’è un

cubetto con lato cm 6, quanti pezzi ci sono sopra al primo cubo?

d. La potenza con esponente 1 di un numero qualsiasi è uguale al numero stesso.

e. Un rettangolo di base cm 3 ha la stessa area di un triangolo di base cm 12 e altezza cm

4 e di un altro rettangolo di altezza cm 6. Di quanto la misura dell’altezza del rettangolo

supera la misura della base del secondo quadrilatero?

f. Se un film dura 124 minuti, ma viene interrotto quattro volte da brevi filmati pubblicitari

della durata di 5 minuti e 15 secondi ciascuno; per quanto tempo starà seduto il pubblico

davanti allo schermo su cui è proiettato il film?

L’articolo indeterminativo fa riferimento a qualcosa di impreciso o non ancora

nominato; l’articolo determinativo si riferisce allo stesso elemento di cui si

stava già parlando (bisogna ricordare che talvolta l’articolo determinativo può

essere parte integrante di una preposizione articolata).

Pertanto, per esempio:

Un quadrato ha il lato di cm 4 ed è inserito in un cerchio di raggio di cm 8; il

quadrato è colorato di rosso, il cerchio di blu. Quanti cmq sono colorati in blu?

All’inizio viene usato un perché è la prima volta che il quadrato viene nominato;

successivamente, il segnala che continuiamo a parlare dello stesso quadrato.

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Gli aggettivi e i pronomi

Quando si incontrano un aggettivo od un pronome, è importante chiarirsi bene a cosa si

riferiscono (per il pronome in particolare può essere utile annotarlo a matita sopra il

pronome stesso).

Personali

Esercitiamoci

1.Indica a quale termine si riferisce l’espressione in corsivo:

a. Disegna due segmenti AB e CD, in modo che AB sia i ¾ dell’altro e la loro somma sia

14.

b. Alcuni numeri minori di 2080 sono divisibili contemporaneamente per 7, 9 e 11.

Determinali tutti.

c. Marco ha 250 perle e le usa per formare collane di 28. Riuscirà con le rimanenti a

formare una collana di 22?

d. Il massimo comune divisore fra 30 e 42 è 6. Se li divido per uno stesso numero, anche

6 risulterà diviso per quello stesso numero.

e. E’ vero che se un numero è divisibile per 5, lo è anche per 25?

2.Sottolinea in blu il pronome personale ed in rosso l’articolo determinativo

a. Un segmento misura cm 20. Disegnane uno che sia la sua quarta parte.

Alcune forme del pronome personale possono essere confuse con l’articolo

determinativo: bisogna ricordarsi che l’articolo accompagna sempre un nome!

Pertanto, per esempio:

Un agricoltore ha prodotto lt 68 di vino; lo imbottiglia in bottiglie della capacità di lt

0,7 ciascuna. Quante bottiglie… (PRONOME)

Un agricoltore ha prodotto lt 68 di vino; lo scatolone in cui confeziona le bottiglie,

della capacità di lt 0,7 ciascuna, può contenere 12 bottiglie. Quanti

scatoloni…(ARTICOLO DETERMINATIVO)

Se è utile sostituire il pronome con il nome, bisogna ricordarsi che il nome

probabilmente andrà SPOSTATO dopo il verbo (“lo imbottiglia” = “imbottiglia il

vino”)

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b. Devo prendere due diverse pillole: la prima ogni quattro ore, la seconda due ore dopo la

prima. Se prendo la prima alle ore 8:00 e punto la sveglia per la seconda, a che ora la

prenderò?

c. La nonna compera un sacchetto di 97 caramelle e le distribuisce tra i quattro nipoti. Le

rimanenti le infila in tasca al nonno. Quante ne riceve il nonno?

d. Si chiama “potenza” la somma di più addendi tutti uguali tra loro?

e. Un commerciante compera lt 1270 di vino a € 0,50 al litro e lo rivende imbottigliato a €

0,90 al litro. Se ogni bottiglia gli è costata € 0,05, che guadagno gli frutta il vino in tutto?

3. Sostituisci al pronome il nome che esso indica, modificando secondo la necessità

a. La somma delle diagonali di un rombo è di cm 24 e la loro differenza è di cm 10.

Calcola la lunghezza di ciascuna diagonale e costruisci il rombo.

b. Scrivi 5 coppie di numeri primi fra loro.

c. Consideriamo la frazione 3/5 ed applichiamola ad un rettangolo R.

d. Disegna due segmenti consecutivi perpendicolari tra loro.

e. Una stanza rettangolare ha dimensioni m 4,2 e m 5,6. Pavimentandola con mattonelle

verdi e grigie nella proporzione di 1 verde ogni 5 grigie, quante mattonelle verdi vengono

impiegate?

Il caso del “NE”

Il pronome personale NE va collegato con chiarezza al nome di cui parla;

pertanto, per comprendere bene il testo, è bene sostituirlo con l’espressione di

cui parla, scrivendola sopra a matita.

ATTENZIONE!

Non c’è una regola precisa, ma con un po’ di allenamento si impara ad

interpretarlo.

Per esempio: Una pezza di tela lunga m 75 viene divisa fra 3 persone: la prima

persona ne prende dm 208, la seconda dam 3,2. Quanti metri toccano alla terza?

“NE” = “DELLA PEZZA DI TELA”

(si sta parlando di una pezza di tela, quindi il “ne” si riferirà alla tela; se ho dei

dubbi su quale preposizione utilizzare insieme a “tela”, la scelta dipende da come

costruisco la frase: qui “una persona prende dm 208 DI tela”)

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Esercitiamoci

1.Indica a quale termine si riferisce l’espressione in corsivo:

a. Per recintare un campo rettangolare di area mq 72,6 che ha un lato di m 12, viene usata

una rete metallica. Quanti metri ne occorrono? (…………….)

b. Un triangolo isoscele che ha la base di m 6,39 ha il lato di dm 42,5; calcolane il

perimetro. (…………)

c. Un commerciante acquista 230 panettoni. Ne rivende 112 a euro 8,5 l’uno e gli altri a

euro 5 l’uno. Quale ricavo realizza? (…………)

d. Andrea compra un panino a cui aggiunge una cioccolata spendendo euro 3,40;

Leonardo ne compra 2 e vi aggiunge la stessa cioccolata, spendendo euro 5,50. Quanto

costa ciascun panino? (………….)

e. Un cartolaio riordina dei biglietti da visita riponendone 250 in ognuna delle scatole che

ha a disposizione. Se ha 15 scatole, quanti biglietti riesce a riordinare? (…………)

f. Un segmento misura cm 20. Disegnane uno che sia la sua quarta parte. (…………)

g. Un fruttivendolo spende € 156,4 per acquistare Kg 68 di mele; inoltre, spende € 8 per il

trasporto. Quanto guadagna rivendendone Kg 54 a € 3,2 al chilo e gettando le altre perché

deteriorate? (………….)

h. Un negoziante acquista 45 vasi a € 7,1 ciascuno. Ne rivende 37 a € 9,2 ed i rimanenti,

che sono difettosi, a prezzo di costo. Quanto guadagna? (………….)

i. Laura, Maria e Carla hanno tra tutte 30 spille da capelli; se Laura ne regala 2 a Maria e 3

a Carla, arrivano a possederne lo stesso numero. Quante spille possedeva ciascuna

ragazza in principio. (……………; ……………)

l. Un allevatore ha venduto in un mese 527 tacchini. Nello stesso mese ne sono nati 642 e

a fine mese il totale dei tacchini è 719. Quanti erano ad inizio mese? (……………)

m. Lucia, che non le usa più, vuole distribuire le proprie bambole fra le 3 cuginette,

dandone 3 in più alla maggiore e 1 in meno alla minore; se quella di mezzo ne riceve 2,

quante bambole possedeva Lucia?

2.Modifica i seguenti testi, in modo da eliminare le ripetizioni: per farlo userai “ne”.

a. Un commerciante acquista 230 fustini di detersivo e spende €1035. Rivende 163 fustini

a € 620 l’uno e gli altri a prezzo di costo. Calcola ricavo e guadagno.

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b. Vittorio in tre giorni vende complessivamente 31 cassette di mandarini. Sapendo che il

secondo vende 3 cassette più del primo ed il quarto 4 cassette più del primo, calcola

quante cassette ha venduto il primo giorno.

c. Considera due segmenti consecutivi, il primo di cm 7,2, il secondo 7/9 del primo.

Calcola la lunghezza dei due segmenti consecutivi.

d. Un segmento è il quintuplo di un altro e la loro somma è cm 18,6. Calcola la lunghezza

dei due segmenti.

e. Dato un triangolo ABC con AB di cm 30, calcola il perimetro del triangolo sapendo che

AB è i 5/3 di AC e AC è i 3/4 di BC.

Possessivi

Esercitiamoci

Sottolinea gli aggettivi e i pronomi possessivi, poi indica di quale nome sta parlando

ciascuna espressione che hai sottolineato:

a. Disegna un rettangolo e verifica che le sue diagonali si dimezzano e sono uguali.

b. Calcola la lunghezza dei lati AB e BC di un parallelogrammo a ABCD sapendo che il

suo perimetro misura cm 70 e che la loro differenza è cm 5.

c. La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da un suo punto.

I pronomi e gli aggettivi possessivi di terza persona singolare e plurale (suo/a,

loro, proprio/a) vanno collegati con chiarezza al nome di cui parlano, che di solito

è ciò intorno a cui ruota il ragionamento.

Pertanto, per esempio:

Il cortile della scuola misura mq 2300 e dmq 90; qual è la sua superficie in dmq?

“Sua” va inteso “del cortile”, perché la domanda fa intendere che ciò su cui si sta

ragionando è il cortile.

ATTENZIONE!

Non confondere il possessivo “proprio” ( = che appartiene a …) con l’aggettivo

qualificativo “proprio/a” nel senso di “relativo a …” (Esempio: “le caratteristiche

proprie del triangolo”) e nell’uso specifico relativo alle frazioni (Frazione propria =

che ha il numeratore minore del denominatore).

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d. La somma di due segmenti è cm 326 e la loro differenza cm 148. Quanto misurano?

e. Massimo e Federico spendono € 9,20 per comprare figurine, in modo da completare

ciascuno il proprio album. Se Massimo ha bisogno del triplo di figurine di Federico, quanto

costa a Federico completare il suo album?

2. Nei seguenti testi, sottolinea “proprio/a”, poi inseriscilo opportunamente nella tabella

sotto riportata

a. Paolo completa la propria verifica di aritmetica, composta da 9 espressioni, in 2304

secondi. Quanti minuti impiega mediamente per svolgere ciascuna espressione?

b. Consideriamo alcune caratteristiche proprie del triangolo isoscele …

c. Lucia, che non le usa più, vuole distribuire le proprie bambole fra le 3 cuginette,

dandone 3 in più alla maggiore e 1 in meno alla minore; se quella di mezzo ne riceve 2,

quante bambole possedeva Lucia?

d. E’ proprio del rombo avere le diagonali perpendicolari.

e. La possibilità di invertire l’ordine dei termini di un’operazione è propria dell’addizione ma

non della sottrazione.

“PROPRIO” (possessivo) “PROPRIO/A” (aggettivo qualificativo)

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Indefiniti e numerali

Esercitiamoci

1.Sottolinea in blu il pronome indefinito ed in rosso l’articolo indeterminativo; cerchia,

invece, quando “uno” ha valore di numero.

a. Un segmento misura cm 20. Disegnane uno che sia la sua quarta parte.

b. Disegna un triangolo che abbia due angoli, un angolo ottuso ed uno acuto.

c. Una mamma acquista frutta con una spesa complessiva di € 5,40 per preparare 3

crostate. Qual è il costo della frutta necessario per una?

d. Calcola la lunghezza di due segmenti, sapendo che la loro somma è cm 136 e che uno

è 11/6 dell’altro.

e. Paolo per strada vede uno che inserisce monetine in un parchimetro: infila € 3,60 per

fermarsi due ore. Quanto infilerebbe se volesse sostare solo una?

f. Disegna una retta, poi aggiungine un’altra in modo che una sia distante dall’altra cm 5.

g. Come si calcola rapidamente il quadrato di un numero che termina con uno o più zeri?

h. Una cassa vuota pesa Kg 3,5; quanto peserebbero sette? Se il contenuto peserà hg

545, quanto pesa una cassa piena?

Alcuni pronomi ed aggettivi indefiniti e numerali possono essere poco chiari:

ciascuno/ogni: queste espressioni richiedono che gli elementi siano presi in

considerazione uno ad uno, in quanto possono presentare differenze l’uno

dall’altro; per esempio:

Due segmenti sono uno il doppio dell’altro e la somma delle loro lunghezze

misura cm 48. Quanto è lungo ciascun segmento?

CIASCUN = OGNI SINGOLO PRESO IN CONSIDERAZIONE

Attenzione: tutti, invece, in alcuni contesti richiede che gli elementi siano presi

in considerazione complessivamente, “tutti insieme”; in altri, che si prevedano i

casi possibili senza escluderne nessuno.

i distributivi: indicano piccoli gruppi, composti da un numero di elementi pari a

quello utilizzato nell’espressione.

Traccia tutte le possibili rette per i 3 punti A, B, C, presi a due a due. Quante

sono?

(Devo figurarmi i punti dati, distribuiti in gruppi di due e, a partire da questa

immagine, fare quanto richiesto dal problema.)

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2.Sottolinea il pronome indefinito, poi sostituiscilo con il nome che esso indica,

modificando se c’è la necessità

a. Alcuni numeri minori di 2080 sono divisibili contemporaneamente per 7, 9 e 11.

Determinali tutti.

b. Uno scooter del valore di € 3215 viene pagato con un acconto di € 335 e poi 18 rate.

Qual è il valore di ciascuna?

c. Un pentagono ha quattro angoli esterni uguali e ciascuno misura 60°. Qual è l’ampiezza

del quinto angolo esterno?

d. E’ stato suddiviso e posto in vendita un terreno, per costruire una zona residenziale

composta da 36 ville. Ogni lotto, di superficie mq 2500, è venduto a € 77.500. Che

ampiezza ha tutto il terreno e quanto si ricaverà dalla sua vendita?

e. Un fornello a gas consuma mc 0,600 per ogni ora di accensione. Quanto consumerà in

7 ore?

f. La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da un suo punto.

g. Una vettura consuma in media l 1 di benzina ogni Km 15 percorsi. Quanto costerà tutto

il viaggio se è lungo Km 780, se il pedaggio autostradale è di €cent 3 a chilometro e se la

benzina costa € 1,09 al litro?

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I pronomi relativi

Esercitiamoci

1.Sottolinea i pronomi relativi, poi indica nelle parentesi il nome che sostituiscono:

a. Per recintare un campo rettangolare di area mq 72,6 che ha un lato di m 12, viene usata

una rete metallica. Quanti metri di rete occorrono? (……..….)

b. Quanto pesa il contenuto di una cassa che piena pesa Kg 58 e vuota Kg 3,5?

(…………)

Il pronome relativo sostituisce sempre il nome che lo precede per ultimo; per

comprenderlo correttamente è utile scrivere, sopra a matita, il nome sostituito.

(la terza forma del pronome relativo _ il quale _ raramente si incontra nei testi matematici)

CHE

Qual è la capacità di una cisterna che ha un volume di mc 1319?

CHE = LA CISTERNA

(partendo dal “che “e andando all’indietro, è il primo nome che incontro)

CUI

Si trova di norma preceduto da preposizione:

Un rettangolo, di cui la base è il doppio dell’altezza, misura mq 8; se la base è m 2,

quanto è l’altezza?

CUI = DEL RETTANGOLO

(si sostituisce al “cui” l’ultimo nome che lo precede; poi l’espressione “preposizione

+ nome” può essere da spostare più avanti nella frase: “la base del rettangolo è…”)

Quando è senza preposizione, ma è preceduto solo dall’articolo determinativo,

questo articolo deve essere interpretato come preposizione articolata

DI + IL/LO/LA/I/GLI/LE

Es.:Uno scatolone, la cui capacità è di dmc 30, viene riempito di scatole…(“la

capacità dello scatolone è…”)

LA CUI = DEL CUI = DELLO SCATOLONE

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c. Un segmento AB è il triplo di un segmento CD, che misura cm 56. Calcola le misure

delle lunghezze dei due segmenti. (………..)

d. Un triangolo isoscele che ha la base di m 6,39 ha il lato di dm 42,5; calcola il suo

perimetro. (…………)

e. Un muratore che viene retribuito 22 euro all’ora ha impiegato tre ore e mezza per

intonacare l’esterno di un garage. Quanto è stato pagato per il suo lavoro? (…………)

2.Sottolinea i pronomi relativi, poi indica nelle parentesi il nome che sostituiscono:

a. Un quadrilatero è composto da due triangoli rettangoli isosceli, in cui l’ipotenusa di uno

è l’ipotenusa dell’altro. Calcola l’ampiezza di ciascuno dei quattro angoli interni del

quadrilatero. (…………)

b. Un campo è stato recintato con m 749 di rete, di cui sono stati pagati per ora i 5/6;

quanto resta da pagare? (…………..)

c. Un trapezio isoscele di cui sappiamo che la base maggiore è di cm 25 e l’altezza di cm

5, ha gli angoli adiacenti alla base maggiore di 45°. Calcola la misura della base minore.

(…………….)

d. Luigi va e torna da scuola in scuolabus ed il viaggio dura 8 minuti; quanti minuti passa

sullo scuolabus in una settimana in cui sta assente dal giovedì al sabato? (…………)

e. Una pizza per cui Giovanni spende euro 6,50 viene pagata con un buono pasto da euro

5; quanto denaro Giovanni deve aggiungere in monete? (………….)

3.Sottolinea i pronomi relativi, poi riscrivi il testo, utilizzando al posto della forma

sottolineata la forma del pronome relativo “Il quale/la quale/i quali/le quali”, preceduta da

preposizione (come nell’esempio):

Es.: Calcola l’area del quadrato il cui lato è m 7,2 Calcola l’area del quadrato il lato del quale è m 7,2.

a. Calcola il perimetro del triangolo equilatero il cui lato misura m 8,30.

…………………………………………………………………………………………………………

b. Calcola il perimetro di un triangolo, i cui lati misurano: cm 20,05; cm 30,18; cm 14.

…………………………………………………………………………………………………………

c. Calcola il perimetro del triangolo isoscele la cui base misura cm 6,48 e il cui lato misura

cm 8,52.

…………………………………………………………………………………………………………

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d. Kg 32,9 di marmellata vengono confezionati in vasetti la cui capacità è di g 280

ciascuno. Quanti vasetti saranno riempiti?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

e. Una vettura consuma in media un litro di benzina ogni 18 chilometri percorsi; quanto

carburante occorre per un tragitto, la cui lunghezza è di Km 382?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Gli avverbi e le locuzioni avverbiali

Esercitiamoci

Spiega con le tue parole il valore dell’espressione in corsivo e sostituiscila con

un’espressione equivalente

a. Marta acquista 6 confezioni di merendine contenenti ognuna 12 pezzi. Sapendo che

spende complessivamente (…………………………..) € 23,04, calcola il costo di ogni

merendina.

…………………………………………………………………………………………………………

Alcuni avverbi e locuzioni avverbiali ricorrono spesso nel linguaggio

matematico, ma in modo più rigoroso di quanto avviene nelle situazioni correnti,

perciò possono creare difficoltà di comprensione.

Per esempio:

A sua volta = è un rafforzativo che può essere ignorato (quanto al significato, equivale a “per

quello che lo riguarda” / “dal canto suo”)

Complessivamente = in tutto/in totale

Rispettivamente = riferito a ciascun elemento detto prima, nello stesso ordine

Attenzione!

Non è possibile generalizzare: bisogna conoscerli bene uno ad uno!

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b. Calcola la misura del lato del triangolo isoscele la cui base e il cui perimetro misurano

rispettivamente (………………………….) cm 5,6 e cm 34,8.

…………………………………………………………………………………………………………

c. Per tre vincite al Totocalcio Mario riceve complessivamente (…………………………....)

€ 3750. Se con la seconda vincita realizza il quadruplo che con la prima e con la terza il

doppio della somma delle prime due, calcola l’ammontare di ogni singola vincita.

…………………………………………………………………………………………………………

d. In un pentagono un lato è uguale al suo consecutivo, che a sua volta

(………………………) è triplo del consecutivo, che è doppio del suo consecutivo, che è

uguale al suo consecutivo. Complessivamente (……………………………) il perimetro è

cm 64. Calcola le misure dei lati.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

e. Due lati di un triangolo misurano rispettivamente (……………………………) m 37 e m

50. Qual è il limite inferiore della misura del terzo lato?

…………………………………………………………………………………………………………

f. Tre scuole materne di uno stesso Comune complessivamente (…………………………..)

assistono 1350 bambini; se la prima è frequentata da 300 piccoli e la seconda ha 50 iscritti

più della terza, quanti bambini frequentano rispettivamente (……………………………) la

seconda e la terza scuole materne?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

g. La somma di 3 segmenti misura m 8,61; il primo segmento è doppio del secondo e

questo a sua volta (…………………………..) è doppio del terzo. Calcola la lunghezza dei 3

segmenti.

…………………………………………………………………………………………………………

h. Rispettivamente (…………………………) la somma di 3 segmenti è cm 96. Calcola la

lunghezza di ciascun segmento sapendo che il secondo ed il primo sono rispettivamente

(…………………………….) il doppio ed il triplo del terzo.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

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I connettivi

Esercitiamoci

1.In ogni testo inserisci al posto dei puntini uno dei connettivi della lista sotto riportata

(Attenzione: ciascuna lista contiene dei distrattori)

a. Carla acquista una cartolina postale …………… un francobollo per lettera ……………,

paga € 1,20, …………… Laura acquista due cartoline postali ………….. un francobollo per

lettera …………… paga € 1,75. Quanto costa una cartolina postale?

(quindi - perciò – e – mentre – e)

b. In un cassetto vi sono forchette …………. cucchiai; ……………… vi sono 25 posate.

…………. aggiungessimo altre 3 forchette, il numero dei cucchiai sarebbe uguale a quello

delle forchette. Quante forchette e cucchiai vi sono …………… nel cassetto?

(complessivamente - e – se – allora)

c. Ho acquistato rubinetti, accessori ………… uno specchio …………… rimettere a nuovo

il bagno. …………… il prezzo della rubinetteria supera di € 320 quello degli accessori e

………….. questi ultimi costano € 70 meno dello specchio, quanto costa ciascuno degli

articoli acquistati, …………… per le prime due voci ho speso €1180?

(in modo da - se – e – tenuto conto che – se)

I connettivi sono espressioni che segnalano il rapporto fra le informazioni

contenute in un testo. E’ importante prestare attenzione perché, come tutte le

parole della comunicazione scientifica, hanno un significato molto specifico, non

sempre coincidente con quello che assumono nella comunicazione corrente.

Alcuni sono:

- In modo tale che/Tali che implica che devo fare una scelta che mi assicuri un risultato

indicato

- Mentre indica un’avversativa “ma” oppure una copulativa “e”, non una relazione di tempo

- Se indica che fra tanti casi possibili prendo “quello lì”, significa “partiamo dal presupposto

che”

- Visto che / considerato che / posto che … implicano un dato di fatto certo da cui deve

partire il ragionamento

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2.Riscrivi i testi sostituendo il “SE” con una espressione che ne renda evidente il valore

(cercherai di usare ogni volta un’espressione diversa dalle precedenti)

a. Luca acquista una biro ed un blocco di fogli e spende complessivamente € 2,60. Se il

prezzo del blocco supera di 30 centesimi quello della biro, quanto costano rispettivamente

la biro ed il blocco?

b. Lo zio acquista un libro ed un quaderno pagando € 10. Quanto avrebbe speso se

avesse acquistato tre copie del libro e tre quaderni?

c. Nel salvadanaio di Anna ed in quello di Bruno vi sono complessivamente 118 monetine.

Se Anna togliesse quattro monetine dal suo e le mettesse in quello di Bruno, i due

salvadanai sarebbero pari. Quante monetine hanno rispettivamente Anna e Bruno.

d. La somma delle velocità praticate da due autisti è di Km 156 all’ora. Calcola a quale

velocità sta viaggiando ciascuno, sapendo che, se la macchina del primo rallentasse di

Km 5 all’ora e quella del secondo accelerasse di Km 7 all’ora, i due veicoli viaggerebbero

alla stessa velocità.

e. Un fioraio acquista 195 rose e spende € 126,75. Confeziona fasci di 9 rose ciascuno,

mettendo da parte l’eccesso e spendendo € 1.10 per ciascuna confezione. Quanto ricava

dalla vendita dei fasci, se il ricavo da ciascuna rosa è di € 1,50?

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Le consegne articolate (“lunghe!”)

Esercitiamoci

1.Sui tuoi libri, cerca testi di problemi più lunghi ed articolati della media ed allenati a

“smontarli, come nell’esempio:

1. (Ad un operaio vengono offerte) due proposte di lavoro; nel primo caso

(riceverà) un salario netto mensile di euro 1600, una tredicesima mensilità di

euro 1300 nette ed un premio (a fine anno) di 400 euro, (se non avrà fatto troppi

giorni di assenze); nel secondo caso (riceverà) un salario mensile di euro 1500,

una tredicesima mensilità di euro 1100, e la possibilità di lavorare sei ore alla

settimana in aggiunta all’orario pattuito, per nove mesi all’anno, con un

compenso di euro 14 all’ora. Quale delle due offerte (gli) prospetta una

situazione economica migliore?

2. … due proposte di lavoro; // nel primo caso … un salario netto mensile di euro

1600, / una tredicesima mensilità di euro 1300 nette / ed un premio … di 400

euro,…; // nel secondo caso … un salario mensile di euro 1500, / una

tredicesima mensilità di euro 1100, / e la possibilità di lavorare sei ore alla

La consegna articolata può disorientare; pertanto, è utile attuare strategie che

aiutino a suddividerla in brevi nuclei informativi significativi, a riconoscere i legami

logici fra essi, ad individuare tutte le richieste.

Quando si deve lavorare su una consegna più lunga del solito, è bene:

1. Isolare le parti non utili alla soluzione, in modo che sia facile ignorarle (per

esempio mettendole fra parentesi)

2. Mettere barre verticali per dividere il testo in nuclei di informazione

3. Figurarsi la situazione (es.: di quale figura geometrica parla il problema?)

4. Cogliere se ci sono parole che indicano relazioni fra i dati (es.: “maggiore

di …”; “la metà di …”)

5. Riflettere sul legame logico che unisce ciascuna informazione alle altre,

poi esplicitarlo con un connettivo

6. Riordinare le informazioni nel modo più utile per giungere alla soluzione

7. Evidenziare le azioni da compiere (es.: “calcola”, “determina”,

“costruisci”…) per giungere alla soluzione

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settimana in aggiunta all’orario pattuito, per nove mesi all’anno, con un

compenso di euro 14 all’ora. // Quale delle due offerte … prospetta una

situazione economica migliore? //

3. Primo caso

Secondo caso

4. (Non si dà il caso)

5. Primo caso

confronto

Secondo caso

Salario mensile euro 1600

Tredicesima euro 1300

Premio euro 400

Salario mensile euro 1500

Tredicesima euro 1100

possibilità di lavorare sei ore alla

settimana in aggiunta all’orario pattuito,

per nove mesi all’anno, con un

compenso di euro 14 all’ora

Salario mensile euro 1600 inoltre ( + )

Tredicesima euro 1300 inoltre ( + )

Premio euro 400

Salario mensile euro 1500 inoltre ( +)

Tredicesima euro 1100 inoltre ( +)

euro 14 all’ora per 6 ore per 36 (4

settimane per 9 mesi)

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6. Le informazioni sono già in ordine

7. L’operazione da compiere è esplicitare il risultato del confronto:

La seconda offerta prospetta una situazione economica migliore.

2.Riscrivi con le tue parole i testi seguenti, utilizzando frasi brevi separate da punti fermi

(al bisogno, integra i dati, come al punto 5 dell’esempio nell’esercizio precedente, dove

non era esplicito che un mese si considera di quattro settimane).

a. In una coppia formata da due triangoli, uno equilatero e l’altro scaleno, aventi lo stesso

perimetro, quello scaleno ha un lato di cm 7, un altro doppio del precedente, il terzo

maggiore di cm 2 rispetto al primo; calcola la misura del lato nel triangolo equilatero.

b. Un triangolo equilatero, il cui lato misura cm 24, è isoperimetrico ad uno isoscele, di cui

calcolerai il lato, sapendo che è il quadruplo della base.

c. In un rettangolo, la cui base supera di m 5,4 il quadruplo dell’altezza, la base, sommata

all’altezza, risulta di m 130,4. Calcola le misure delle dimensioni e, conseguentemente, del

perimetro del rettangolo.

3.Riscrivi i testi dell’esercizio precedente, modificandoli in modo tale che la/e domanda/e

siano all’inizio.