Comportement dynamique des rotors couplés aux...

Vol. 1, 8. 529-547 (2006)

Revue de Mécanique

Appliquée et Théorique

Revue de Mécanique Appliquée et Théorique, Vol. 1, 8. (2006) Received 10 February 2004 Revised 11 July 2006

Comportement dynamique des rotors couplés aux fluides lubrifiants et aux déformations des paliers

M. Arouch Laboratoire de Mécanique (LAM), FST Settat, B.P. 577, Settat, Maroc

[email protected]

S. Charif D’ouazzane Ecole Nationale des Sciences Appliquées (ENSA) B.P. 1818, Tanger, Maroc

Résumé Dans ce travail, nous proposons une approche dynamique qui permet d'étudier le comportement des lignes d'arbres supportées par des paliers hydrodynamiques en calculant le système couplé rotor/fluides/coussinets. Nous déterminons simultanément les vibrations des arbres de transmission, les mouvements des films d'huile et les déformations des paliers. Une modélisation des fluides lubrifiants permet de déterminer les forces hydrodynamiques et l'action des films sur le rotor en terme de coefficients de raideur et d'amortissement. Les déformations des coussinets sous l'effet des efforts transmis se calculent après avoir décomposé ces efforts en séries de Fourier. Nous déterminons la réponse du rotor aux oscillations engendrées par des balourds résiduels en cherchant l'impédance complexe du système. AbstractAbstractAbstractAbstract In this work, we propose a dynamic approach to study the behavior of the rotors supported by hydrodynamic bearings by calculating the coupling system rotor/fluid/frame. We simultaneously determine the vibrations of the line of shafting, the movements of oil films and the deformations of the bearings. A model of the lubricant fluids is used to obtain hydrodynamic forces and the action of the films on the rotor within stiffness and damping coefficients. Frames deformations are deduced after having decomposed the efforts to Fourier series. At last we calculate the impedance matrix which allows to determine the response of the rotor to the oscillations generated by residual unbalances.

1. INTRODUCTION Le fonctionnement, voire la réalisation optimale d’une machine tournante, nécessite la connaissance des niveaux et des fluctuations de charges appliquées sur l’ensemble des organes et des contacts du système. Dans cette optique, la modélisation de l’ensemble des interactions fluide-structure constitue une étape importante au stade de développement permettant de prévoir le comportement dynamique de la machine tournante. Afin d’étudier la réponse transitoire d'un rotor monté sur des paliers de type squeeze film, Giraudeau et al. [1] ont adopté une démarche de calcul pas à pas. Bou-Saïd et al. [2] et Fantino et al. [3] se sont intéressés à l'influence des déformations du coussinet sur la transmissibilité des efforts dans les paliers à géométrie fixe ; un processus itératif a été utilisé pour calculer le système couplé fluide/structure ; les informations relatives aux efforts transmis au bâti s’obtiennent en appliquant la transformée de Fourier discrète (D.F.T.). Desbordes et al [4] ont proposé une simulation du comportement dynamique

530 M. Arouch, S. Charif D’ouazzane

Revue de Mécanique Appliquée et Théorique, Vol. 1, 8. (2006)

des paliers à patins oscillants en calculant les déformations des patins. Dans leur approche globale des effets thermiques dans les paliers à patins oscillants excités par des balourds, Fillon et al. [5] ont introduit les déformations des patins. La même démarche a été adopté par Monmousseau et al. [6] pour déterminer le comportement thermoélastohydrodynamique des paliers à patins oscillants en régime transitoire. Dans le cadre des analyses des interactions fluide-structure associées à la dynamique des machines tournantes, il convient également de signaler les travaux de Bonneau et al. [7,8] et ceux de Jacquet-Richardet et al. [9-12]. L'ensemble de ces études propose de déterminer le comportement des fluides couplés aux mouvements des paliers, à géométrie fixe ou variable, dans le cadre d'approches plus ou moins statiques et en utilisant des méthodes de calcul itératif. A travers cet article, nous proposons une approche dynamique qui permet de coupler le comportement vibratoire des lignes d'arbres aux mouvements des fluides lubrifiants et aux déformations des paliers sous l'effet des forces de pression transmises. L'action des films lubrifiants sur le rotor sera présentée par des coefficients de raideur et d'amortissement évalués à chaque instant du mouvement. Nous déterminons simultanément les vibrations engendrées par des balourds résiduels dans le rotor, les efforts hydrodynamiques générés dans les fluides et la réponse des paliers aux excitations transmises. Le calcul des déformations des coussinets passe par une décomposition en séries de Fourier des sollicitations hydrodynamiques qui sont de nature périodique mais non harmonique.

2. VIBRATIONS DE LA LIGNE D’ARBRES Une machine tournante peut être représentée par une ligne d’arbres reposant sur des paliers hydrodynamiques et supportant des corps en rotation ou volants d’inertie sollicités par des excitations extérieures (figure 1).

Ω

X

Z

Y

O

Fbi (t)

Figure 1 : Modélisation d’une machine tournante. La modélisation par éléments finis de ce système nous conduit à placer les volants et les paliers en des nœuds reliés par des éléments de poutre en flexion rotative. Les mouvements de flexion de la structure sont projetés sur deux plans de vibration (Y,Z) et (Z,X). Chaque nœud comporte quatre degrés de liberté (deux de translation et deux de rotation). L'action des films d'huile séparant les paliers des arbres de transmission se modélise en termes de coefficients de raideur aij et coefficients d'amortissement bij évalués à partir des forces hydrodynamiques Fi engendrées par le fluide [13] :

0aj

iij xFa

∂∂−= et

0ajiij x

Fb

∂∂−=&

(1)



531

le premier indice (i) porte sur la direction de la force, le second (j) sur celle du déplacement de l'arbre ajx ou de la vitesse de déplacement ajx& . Contrairement aux coefficients de raideur, les termes croisés

d’amortissement bxy et byx sont identiques dans le cas d’un palier à arc partiel [14]. Après discrétisation par éléments finis, prise en compte des effets gyroscopiques, écriture des énergies associées et application des équations de Lagrange, les vibrations du système total rotor-paliers sollicité par des perturbations de type balourds )t(Fb , se décrivent par les équations suivantes :

[ ] [ ] [ ] )t(F)t(qK)t(qC)t(qM b=++ &&& (2) où [ ]M est la matrice de masse de la structure, [ ]C regroupe les termes gyroscopiques et les amortissements de l’ensemble des paliers hydrodynamiques. La matrice [ ]K représente les coefficients de raideur des paliers hydrodynamiques et la raideur de la ligne d’arbres. q(t) est le vecteur des déplacements nodaux. [ ]K et [ ]C sont non symétriques et dépendent de la vitesse de rotation du rotor et des caractéristiques de fonctionnement des paliers. Nous utilisons l’algorithme de Hessemberg [15] pour déterminer les valeurs propres du système. Les excitations balourds peuvent être écrites sous la forme complexe suivante :

)t(j2biibi ieem)t(F φ+ΩΩ= (3) où φi est le déphasage du vecteur excentricité balourd bie

rpar rapport à une direction de référence ; la

réponse de la ligne d'arbres sera recherchée sous la forme complexe :

)t(ji0i ieq)t(q ξ+Ω= (4) Afin de résoudre le système d'équations (2), nous cherchons la matrice impédance mécanique complexe [ ]Z (donc admittance [ ] 1Z − ) [16] :

[ ] )t(FZ)t(q b1−= (5)

3. COMPORTEMENT HYDRODYNAMIQUE DES FILMS D’HUILE La configuration générale étudiée est celle d’un palier à arc partiel. L'épaisseur du film H(t) est donnée par :

)t()t(h)t(H rδ+= (6) δr(t) est le déplacement élastique du palier dû aux forces de pression hydrodynamique et h(t) l'épaisseur nominale du film. Elle s'exprime en fonction de la position du centre de l'arbre (xa(t),ya(t)) de la manière suivante :

)sin)t(ycos)t(x(C)t(h aar θ+θ+= (7) Cr étant le jeu radial.



Le champ de pression P(θ,z,t) dans le palier s'obtient à partir de l'équation généralisée des films minces, ou équation Reynolds. En régime laminaire, isotherme, permanent et pour un fluide newtonien incompressible l’équation de Reynolds s'écrit [2,3] :

( ) ( ) ( ))t(sin)t(ycos)t(xH2µ12z

PHzPHR

1 raa332

δ+θ+θ+∂θ∂Ω=

∂∂

∂∂+

∂θ∂

∂θ∂ &&& (8)

θ et z représentent respectivement les coordonnées circonférentielles et axiales du palier, µ la viscosité dynamique du film lubrifiant, R et Ω le rayon et la vitesse de rotation de l’arbre. Afin de résoudre l’équation de Reynolds, nous utilisons la méthode des différences finis avec prise en compte des conditions aux limites de Reynolds [5,14] qui supposent la distinction de deux régions dans le palier : une région active où les forces de pression sont positives, et une région inactive à pression nulle. Les forces hydrodynamiques F(t) transmises par le film d’huile au palier sont des fonctions non linéaires du déplacement de l'arbre ))t(y),t(x( aa et de sa vitesse de déplacement ))t(y),t(x( aa && . Elles sont déterminées par intégration du champ de pression P(θ,z,t).

4. DEFORMATIONS ELASTIQUES DES PALIERS 4.1 Modélisation Après avoir calculé les forces hydrodynamiques F(t) engendrées dans le film par les balourds résiduels au niveau de la ligne d’arbres, nous allons nous intéresser à l’étude de la réponse du palier, système élastique et continu, à ces efforts. L’introduction d’une modélisation bidimensionnelle à l’aide de la méthode des éléments finis (figure 2) nous permet de formuler les équations régissant le comportement dynamique de la structure :

[ ] [ ] )t(FXKXM pp =+&& (9)

Figure 2 : Discrétisation du palier.



533

[ ]pM et [ ]pK sont respectivement les matrices de masse et de rigidité de la structure. Le vecteur )t(F rassemble l’ensemble des forces transmises par le film d’huile au niveau des différents nœuds de contact. La répartition de ces forces hydrodynamiques sur le coussinet dépend de la position angulaire de contact (figure 3) et du temps. Sur la figure 4, nous montrons la variation des forces hydrodynamiques en fonction de la coordonnée angulaire θ respectivement à l’instant initial t0, au quart de la période T du mouvement, à la demi période et au trois quart de la période. Le calcul a été fait pour un palier dont les caractéristiques sont : diamètre D = 100 mm, longueur L = 200 mm, jeu radial Cr = 0.1 mm, viscosité dynamique du lubrifiant µ= 0.045 Pa.s, charge statique W0

= 8000 Kg, balourd meb = 0.7 Kg.m, vitesse de rotation Ω = 2000 tr/mn.

Figure 3 : Différentes positions de contact.

Figure 4 : Répartition des forces transmises sur le coussinet

θ

θ=60°

θ=120°

θ=180°

θ=240°

θ=300°

θ=0°

FFii(t)(t)

θ

θ=60°θ=60°

θ=120°

θ=180°

θ=240°

θ=300°θ=300°

θ=0°

FFii(t)(t)



Les forces )t(F regroupent les forces statiques staF correspondant au régime d’écoulement en l’absence des balourds, et les forces hydrodynamiques )t(Fdyn engendrées par les perturbations balourds.

)t(FF)t(F dynsta += (10) Le vecteur déplacement total )t(X s’obtient en superposant les déplacements staX émanant du régime statique aux déplacements dynamiques )t(Xdyn engendrés par les perturbations balourds :

)t(XX)t(X dynsta += (11) On détermine les n premières vitesses propres kλ )nk1( ≤≤ qui seront utilisées pour décrire le comportement dynamique de la structure, puis les modes propres kVP qui sont associés à chaque vitesse propre kλ .

4.2 Décomposition des forces en séries de Fourier Les efforts transmis par le fluide au palier sont des efforts périodiques de période

Ωπ=2T , mais non

harmoniques. Afin de déterminer la réponse dynamique du palier, nous proposons de les décomposer en séries de Fourier. La force Fi(t) appliquée en chaque point du coussinet peut s’écrire comme la somme de fonctions sinusoïdales de pulsation Ω, 2Ω, …, pΩ, …[17] :

∑∞

=Ω+Ω+=

1p

bip

aip0ii tpsinFtpcosFF)t(F (12)

La période T peut être échantillonnée en M intervalles de temps ∆t telle que :

t.MT ∆= (13) Connaissant la valeur de la force Fi(tj) à chaque instant tj ( )Mj1 ≤≤ , nous calculons les coefficients de Fourier 0iF , a

ipF et bipF de la manière suivante :

∆∆Ω∆≈Ω=∆∆Ω∆≈τΩ=

∆∆≈=

∑∫∑∫

∑∫

=

+ =

+ =

+

t).tj..psin()tj(FT2dt)t.psin()t(FT

2Ft).tj..pcos()tj(FT

2d)t.pcos()t(FT2F

t)tj(FT1dt)t(FT

1F

M

1ji

Tt

tib

ip

M

1ji

Tt

tia

ip

M

1ji

Tt

ti0i

0

0

0

0

0

0

(14)

Pour des positions angulaires θ égales à 0°, 60°, 120°, 180°, 240° et 300° (figure 3), nous comparons sur les figures 5, 6, 7, 8, 9 et 10 les forces Fi(t) en ces nœuds avec leurs décompositions respectives en séries de Fourier (D.S.F.). On se limite à l'harmonique de rang p=4 et le palier traité est celui précédemment défini au § 4.1.



535

Figure 5 : Forces au nœud θ=0°.



Fi(t)D.S.F.

Forces (N)

0

1000

2000

t0+T/2 t0+Tt0

Fi(t)D.S.F.Fi(t)D.S.F.

Forces (N)

0

1000

2000

t0+T/2 t0+Tt0 t0+T/2 t0+Tt0

0

250

500Fi(t)D.S.F.

Forces (N)

t0+T/2 t0+Tt0

0

250

500Fi(t)D.S.F.Fi(t)D.S.F.

Forces (N)

t0+T/2 t0+Tt0 t0+T/2 t0+Tt0

Fi(t)D.S.F.

Forces (N)

0

2000

4000

t0+T/2 t0+Tt0


Forces (N)

0

2000

4000

t0+T/2 t0+Tt0 t0+T/2 t0+Tt0






Fi(t)D.S.F.

0

1000

2000

3000

Forces (N)

t0+T/2 t0+Tt0


0

1000

2000

3000

Forces (N)

t0+T/2 t0+Tt0 t0+T/2 t0+Tt0

Fi(t)D.S.F.

Forces (N)

0

3000

6000

t0+T/2 t0+Tt0

Fi(t)D.S.F.

Forces (N)

0

3000

6000


Forces (N)

0

3000

6000

t0+T/2 t0+Tt0 t0+T/2 t0+Tt0

Fi(t)D.S.F.Forces (N)

0

4000

8000

t0+T/2 t0+Tt0

Fi(t)D.S.F.Fi(t)D.S.F.Forces (N)

0

4000

8000

t0+T/2 t0+Tt0 t0+T/2 t0+Tt0



537

Les forces hydrodynamiques sont très rapprochées de leurs décompositions en séries de Fourier. La méthode développée permet une meilleure évaluation de la variation des efforts transmis en fonction du temps. L’annulation des forces de pression pour certains intervalles de temps et dans certaines zones de contact (θ=0°, 60°, 240° et 300°) s’explique par la rupture du film lubrifiant.

4.3 Réponse du palier Nous utilisons la méthode d’analyse modale [18] pour résoudre l’équation matricielle (9) régissant les vibrations de la structure. On calcule les n premières vitesses propres ωi )nk( ≤≤1 qui seront utilisées pour décrire le comportement dynamique de la structure, puis les modes propres kVP qui sont associés à chaque vitesse propre kω à l’aide de la méthode d’itération inverse [19]. En exprimant les déplacements dans la base modale :

[ ] UVPX = (15) et en multipliant à gauche tous les termes par la transposée [ ]TVP de la matrice modale, le système (9) se transforme en un système de n équations découplées :

[ ] )t(F)t(FVPU.

.U

1.

1.

1T

2n

2k

21

==

ω

ω

ω

+

&& (16)

La kème équation s’écrit :

∑=

Ω+Ω+=ω+N

1pkpkp0kk2

kk tpsinbtpcosaauu&& (17-a)

)t(Fk= (17-b) Les forces )t(Fk se décomposent en série de N fonctions sinusoïdales. Le vecteur total )t(F des forces modales peut être exprimé sous la forme matricielle suivante :

Ω

Ω

ΩΩ

Ω

Ω

=

tNsin.

tpsin.

tsintNcos

.tpcos

.tcos

1

b.b.ba.a.aa...........

b.b.ba.a.aa...........

b.b.ba.a.aab.b.ba.a.aa

)t(F

nNnp1nnNnp1n0n

kNkp1kkNkp1k0k

N2p221N2p22120N1p111N1p11110

(18-a)

[ ] Triga= (18-b) La solution )t(U recherchée est sous la forme :



Ω

Ω

ΩΩ

Ω

Ω

=

tNsin.

tpsin.

tsintNcos

.tpcos

.tcos

1

B.B.BA.A.AA...........

B.B.BA.A.AA...........

B.B.BA.A.AAB.B.BA.A.AA

)t(U

nNnp1nnNnp1n0n

kNkp1kkNkp1k0k

N2p221N2p22120N1p111N1p11110

(19-a)

[ ] TrigA= (19-b) les vitesses )t(U&& des coordonnées modales s’expriment de la manière suivante :

Ω

Ω

ΩΩ

Ω

Ω

Ω−=

tNsin.

tpsin.

tsintNcos

.tpcos

.tcos

1

NB.pB.BNA.pA.A0...........NB.pB.BNA.pA.A0

...........NB.pB.BNA.pA.A0NB.pB.BNA.pA.A0

)t(U

2nN2np1n2nN2np1n

2kN2kp1k2kN2kp1k

2N22p2212N22p2212N12p1112N12p111

2&& (20)

En reportant les expressions (18-a), (19-a) et (20) dans le système (16), nous aboutissons à l’égalité suivante :

Trig

b.ba.a.a........

b.ba.a.a........

b.ba.a.ab.ba.a.a

Trig

))N((B.)(B))N((A.))p((A.A........

))N((B.)(B))N((A.))p((A.A........

))N((B.)(B))N((A.))p((A.A))N((B.)(B))N((A.))p((A.A

nN1nnNnp0n

kN1kkNkp0k

N221N2p220N111N1p110

22nnN22n1n22nnN22nnp2n0n

22kkN22

k1k22kkN22

kkp2k0k

222N222

221222N222

2p22220

221N122

111221N122

1p12110

=

Ω−ωΩ−ωΩ−ωΩ−ωω


Ω−ωΩ−ωΩ−ωΩ−ωωΩ−ωΩ−ωΩ−ωΩ−ωω

(21)

ou encore :





=

22n

nN22n

1n22n

nN22n

np2n

0n

22k

kN22

k

1k22

k

kN22

k

kp2k

0k

222

N222

2

2122

2

N222

2

p222

20

221

N122

1

1122

1

N122

1

p121

10

nN1nnNnp0n

kN1kkNkp0k

N221N2p220N111N1p110

)N(b.b

)N(a.)p(

a.a........

)N(b.b

)N(a.)p(

a.a........

)N(b.b

)N(a.)p(

a.a)N(

b.b)N(

a.)p(a.a

B.BA.A.A........

B.BA.A.A........

B.BA.A.AB.BA.A.A (22)

une fois obtenus les déplacements modaux [ ] TrigA)t(U = , nous calculons grâce à la relation (15), le vecteur des déplacements aux nœuds )t(X .

5. COUPLAGE ARBRE/FLUIDE/PALIER 5.1 Méthode de calcul



539

La méthode de calcul que nous proposons pour déterminer les oscillations de la ligne d’arbres couplées aux comportements des fluides lubrifiants et aux déformations des coussinets, consiste à résoudre simultanément : - l'équation de vibrations de la ligne d'arbres (2) ; - l'équation de Reynolds du film lubrifiant (8) ; - l'équation d'équilibre dynamique du coussinet (9). La démarche générale de calcul se présente comme suit :

a) données initiales ; b) calcul des coefficients dynamiques des paliers c) calcul des vibrations de la ligne d'arbres d) calcul de l'épaisseur du film e) calcul des champs de pression et des forces hydrodynamiques f) décomposition des forces transmises )(F τ )Ttt( ii +≤≤ τ en séries de Fourier g) calcul du déplacement du coussinet à t=ti et retour à l'étape b) à l'instant ti+∆t

Pour déterminer les déformations du coussinet à chaque instant ti, nous calculons sur la période T les forces hydrodynamiques transmises au coussinet )(F τ )Ttt( ii +≤τ≤ , et ce en résolvant l'équation de Reynolds pour un déplacement du coussinet fixe et égal au déplacement à l'instant ti-∆t )tt( ir ∆−δ :

( ) ( ) ( ))tt(sin)(ycos)(xH2µ12z

PHzPHR

1 iraa332

∆−δ+θτ+θτ+∂θ∂Ω=

∂∂

∂∂+

∂θ∂

∂θ∂ &&& (23)

où :

)tt()(h)(H ir ∆−δ+τ=τ (24) Nous décomposons les forces )(F τ )Ttt( ii +≤τ≤ en séries de Fourier puis nous déterminons la réponse du palier à partir du système d'équations (9). Le déplacement radial du coussinet )(r τδ est calculé pour Ttt ii +≤τ≤ , en particulier pour τ=ti. Ainsi à l'instant ti, la force )t(F i engendre un déplacement )t( irδ .De la même manière nous calculons le système à l'instant ti+∆t. 5.2 Résultats Nous présentons ici les résultats obtenus pour un rotor symétrique reposant sur deux paliers lisses identiques. Le système étant soumis à des excitations dynamiques engendrées par un balourd résiduel meb=0.9 Kg.m L'instant initial t0 étant choisi arbitrairement après établissement du régime permanent. Trois cas sont étudiés : - Cas 1 : le coussinet est supposé rigide (δr(t)=0) et les coefficients dynamiques des paliers ne sont

pas fonction du temps, ils sont évalués en l’absence des perturbations balourds. Nous calculons les vibrations du rotor ensuite nous déterminons les forces hydrodynamiques (il s’agit d’un chaînage) ;

- Cas 2 : le coussinet est supposé rigide (δr(t)=0). Les vibrations du rotor sont couplées aux comportements des films d’huile. Les coefficients dynamiques, représentant l’action des lubrifiants sur la ligne d’arbres, sont calculés à chaque instant de la perturbation ;



- Cas 3 : modèle de couplage total rotor/fluide/palier. Sur les figures 11 et 12, nous reportons respectivement l’orbite décrite par le centre de l’arbre à l’intérieur du palier et les forces hydrodynamiques calculées pour les trois cas étudiés pendant une période T du mouvement.

cas 1cas 2cas 3

-1E-5 1E-5

-1E-5

1E-5

Figure 11 : Orbites des arbres.

Figure 12 : Forces hydrodynamiques. Dans le cas 1, les efforts hydrodynamiques engendrés dans le fluide lubrifiant sont déterminés après avoir calculé les vibrations du rotor (chaînage). L’arbre vibre à l’intérieur du palier de manière parfaitement elliptique. La variation dans le temps des forces hydrodynamiques est importante

)KN7.51)t(F8.23( ≤≤ .Au cas 2, l’action des films d’huile sur la ligne d’arbres se traduit par des coefficients de raideur et d’amortissement que l’on évalue à chaque instant du mouvement à partir des forces hydrodynamiques. Le système rotor/lubrifiant devient plus couplé. L’orbite décrite par le centre de

t0+T/2t0 t0+T

Forc

e s( K

N)

30

40

50

cas 1cas 2cas 3

51.7

23.8

25.9

47.1

45

32.4

t0+T/2t0 t0+T

Forc

e s( K

N)

30

40

50

cas 1cas 2cas 3

t0+T/2t0 t0+Tt0+T/2t0 t0+T

Forc

e s( K

N)

30

40

50

cas 1cas 2cas 3

cas 1cas 2cas 3

cas 1cas 2cas 3

51.7

23.8

25.9

47.1

45

32.4



541

l’arbre n’est plus elliptique. L’écart durant une période entre la valeur maximale de la force (47.1 KN) et la valeur minimale (25.9 KN) diminue.

Avec l’introduction, lors de la mise en équation du problème, d'une modélisation qui couple les vibrations du rotor au comportement du fluide et aux mouvements du palier (cas 3), la variation dans le temps des forces hydrodynamiques devient moins importante )KN45)t(F4.32( ≤≤ . Les oscillations de l’arbre à l’intérieur du palier diminuent. La variation périodique des forces hydrodynamiques engendre une évolution dans le temps des coefficients de raideur axx(t), axy(t), ayx(t) et ayy(t) et des coefficients d'amortissement bxx(t), bxy(t) (=byx(t)) et byy(t) comme sur les figures 13, 14, 15, 16, 17, 18 et 19. Le cas 1 représente les valeurs statique dans la mesure où les coefficients dynamiques sont évalués en l’absence des excitations balourds. La variation des coefficients de raideur aij(t) et des coefficients d'amortissement bij(t), autour des valeurs statiques correspondantes, est plus importante dans le cas 2 où le palier est supposé rigide.

2E+8

3E+8

5E+8

t0+T/2t0 t0+T

a xx

(N/m

)

cas 1cas 2cas 3

Figure 13: Coefficient de raideur axx(t)

6E+8

7E+8

8E+8

a xy

(N/m

)

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

Figure 14 : Coefficient de raideur axy(t)



-1E+9

-8E+8

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

a yx(N

/m)

Figure 15 : Coefficient de raideur ayx(t)

6E+8

8E+8

t0+T/2t0 t0+T

a yy

(N/m

) cas 1cas 2cas 3

Figure 16 : Coefficient de raideur ayy(t)



543

t0+T/2t0 t0+T

bxx

(Ns/

m)

1.0E+7

1.2E+7

1.4E+7

cas 1cas 2cas 3

Figure 17 : Coefficient d'amortissement bxx(t)

-2.5E+6

0.0E+0

2.5E+6

5.0E+6

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

bxy

(Ns/

m)

Figure 18 : Coefficient d'amortissement bxy(t) = byx(t)



2E+7

3E+7

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

byy

(Ns/

m)

Figure 19: Coefficient d'amortissement byy(t) Les coefficients dynamiques des paliers, évalués à chaque instant du mouvement, sont injectés dans le système d’équations (2) dont la résolution permet de déterminer les fréquences propres et la réponse de la ligne d’arbres aux excitations extérieures. Sur les figures 20, 21 et 22, nous présentons les trois premières vitesses propres du système en fonction du temps.

Figure 20 : première vitesse propre ωp1(t)

390

420

450

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

ωp 1

(tr/m

n)

390

420

450

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

cas 1cas 2cas 3

ωp 1

(tr/m

n)



545

Figure 21 : deuxième vitesse propre ωp2(t)

Figure 22 : troisième vitesse propre ωp3(t) De la même manière que les coefficients dynamiques, les écarts entre les valeurs maximales et minimales des trois vitesses propres ωp1(t), ωp2(t) et ωp3(t) sont plus importantes dans le cas d’un couplage arbre/fluide (cas 2) que dans le cas d’un couplage total arbre/lubrifiant/palier (cas 3). Les écarts relatifs calculés pour les trois vitesses propres sont reportés sur le tableau 1.

Cas 2 Cas 3 ωp1 15 % 12 % ωp2 10 % 5 % ωp3 1.15 % 0.06 %

Tableau 1 : écart relatif

1000

1050

1100

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

ωp 2

(tr/m

n)

1000

1050

1100

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

cas 1cas 2cas 3

ωp 2

(tr/m

n)

3120

3140

3160

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

ωp 3

(tr/m

n)

3120

3140

3160

t0+T/2t0 t0+T

cas 1cas 2cas 3

cas 1cas 2cas 3

ωp 3

(tr/m

n)



6. CONCLUSION Dans ce travail, nous apportons une approche dynamique au comportement des rotors montés sur des paliers hydrodynamiques. Nous avons proposé une modélisation qui permet de coupler l'ensemble du système rotor/fluide/coussinet en déterminant simultanément les vibrations du rotor, le comportement hydrodynamique du fluide et les oscillations du palier. La modélisation des films d'huile permet le calcul des forces hydrodynamiques et des coefficients dynamiques qui sont injectés dans l'équation d'équilibre dynamique de la ligne d’arbres. Afin de déterminer le comportement des coussinets sous l'effet des excitations transmises par les lubrifiants, nous avons proposé une décomposition en séries de Fourier des efforts. Le calcul des arbres de transmissions, en réponse aux sollicitations balourds appliquées, passe par la recherche de la matrice impédance complexe. A travers une application, nous avons montré que les caractéristiques dynamiques des lignes d’arbres supportées par des paliers hydrodynamiques varient au fur et à mesure que le comportement du système devient plus couplé.

L’étude a montré que le modèle de couplage arbre/film/palier nous donne, au cours de la rotation des arbres, une variation plus faible des efforts hydrodynamiques engendrés dans les films d’huile, des oscillations des arbres de transmission, des coefficients de raideur et d’amortissement représentant l’action des lubrifiants sur les arbres, et des vitesses propres du rotor. D’autre part, l’application a mis en évidence la variation avec le temps des vitesses propres qui deviennent fonctions des excitations balourds, ce qui permet de renseigner de plus sur les zones de fonctionnement critique des machines.

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