COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO O EN ...

COMPONENTES RECTANGULARES DEUN VECTOR EN EL ESPACIO O EN TRESDIMENSIONES

Las magnitudes de las componentes rectangulares las vamos a manejar con la notación vectorial, es decir,incluyendo los vectores unitarios i, j, k. Posteriormente vamos a ver el vector unitario lambda l.

Los vectores unitarios son aquellos que tienen como magnitud (o módulo) la unidad.

En particular los vectores unitarios rectangulares son los que tienen la misma dirección de los ejes y sonlos más comunes.El vector unitario que tiene la misma dirección del eje de las abscisas (o comúnmente conocido como eleje x) se le representa con la letra i, el vector unitario que tiene la misma dirección del eje de lasordenadas (o comúnmente conocido como el eje y) se le representa con la letra j y el vector unitario quetiene la misma dirección del eje de las cotas (o comúnmente conocido como el eje z) se le representa conla letra k, el vector unitario que lleva cualquier otra dirección se le representa con la letra l.

Se puede multiplicar una magnitud escalar por un vector y el resultado será siempre un vector.

Al ser vectores por supuesto que tienen sentido. Por esa razón el álgebra vectorial utiliza estos vectoresunitarios, sobre todo tratándose de componentes rectangulares.

Vectores unitarios

Ing. José Guzmán Hernández - Universidad de Guadalajara

Vamos ahora a dibujar vectores en el espacio o en tres dimensiones (3 D). Para ello podemos tener 8regiones posible que llamaremos octantes.

Cada vector lo vamos a representar primero en coordenada rectangular, en su notación vectorial, despuésvamos a ver como representamos ese mismo vector en coordenada polar.

Para ello, trazamos nuestros ejes coordenados en forma isométrica, es decir con un ángulo entre ejes de120°.

Representación de un vector en el espacio o en tres dimensiones

Haciendo referencia a nuestra bibliografía, debo hacer la siguiente observación: El libro de MecánicaVectorial para Ingenieros, Estática, de Beer, Jhonston, Mazurek, editorial McGraw-Hill, comparado contrael libro de Mecánica para Ingenieros, Estática, de Russell C. Hibbeler, editorial CECSA, manejan de formadiferente la ubicación de los ejes coordenados rectangulares.


Esta es la manera de ubicar los ejes de acuerdo con Beer, Jhonston, Mazurek, la que conocemostradicionalmente. En negro están dibujados los sentidos POSITIVOS de cada eje

Y

XZ

Durante todo el curso vamos a usar este sistema coordenado tradicional


Esta es la manera de ubicar los ejes de acuerdo con Russell C. Hibbeler.En negro están dibujados los sentidos POSITIVOS de cada eje

Z

YX

Durante todo el curso NO vamos a usar este sistema coordenado. Se presenta solo como referencia


El octante I es donde las componentes rectangulares son todas positivas Xi + Yj + Zk

El octante II es donde las componentes rectangulares son Xi + Yj – Zk

El octante III es donde las componentes rectangulares son – Xi + Yj – Zk

El octante IV es donde las componentes rectangulares son – Xi + Yj + Zk

El octante V es donde las componentes rectangulares son Xi – Yj + Zk

El octante VI es donde las componentes rectangulares son Xi – Yj – Zk

El octante VII es donde las componentes rectangulares son todas negativas – Xi – Yj – Zk

El octante VIII es donde las componentes rectangulares son – Xi – Yj + Zk


Ahora voy a elegir coordenadas arbitrarias para representarlas en el dibujo y trazar el vector en 3D.

Por supuesto que tu también vas a ubicar 8 coordenadas rectangulares, las que tu quieras, y las vamos arepresentar a escala, en nuestros ejes coordenados, uno en cada uno de los 8 octantes.

Ahorita solo será el puro dibujo, después veremos cómo convertir ese vector tridimensional decoordenada rectangular a coordenada polar

Pero cuidando que las líneas no se encimen. No vayas a elegir la coordenada I = 2i + 2j + 2k . Porqueentonces quedaría el dibujo así

Y

XZ¿Y dónde está el vector?

Fíjate que no voy a mover los ejes. Eso debes hacer tú. NO DEBES DE MOVER LOS EJES. Mueve lascomponentes rectangulares pero no los ejes


Yo voy a elegir cualquier coordenada rectangular en el octante I, por ejemplo I = 4i + 6j+ 5k, luego trazolíneas auxiliares y formo una caja

Para mayor facilidad en la exposición yo voy a usar los mismos valores de magnitudes de las componentespero en diferente orden. Lo recomendable para ti, es que uses magnitudes diferentes SIEMPRE

Y

XZ

6

45

Octante I


Luego trazo mi vector resultante, desde el origen, hasta el punto de intersección de las 3 líneas auxiliares

Ahí ya quedó dibujado el vector resultante. Si te fijas, en realidad es una suma de 3 vectores: 4i + 6j+ 5k

Y

XZ

6

45


Si trazamos la suma de las componentes 4i + 6j+ 5k como si fuera el método del polígono obtendríamos elmismo vector resultante

Y

XZ

6

45


¿Porqué debo usar las líneas auxiliares para formar una caja? Porque si no, el cerebro no podría identificaren cual octante estaría el vector

¿O no es cierto? ¿En cuál octante está este vector?

Y

XZ


Octante II

Y

XZ

6

4

– 5

En este ejemplo las componentes rectangulares son 4i + 6j – 5k


De igual manera, si sumamos las componentes 4i + 6j – 5k, encontramos el mismo vector resultante

Y

XZ

6

4

– 5


En este ejemplo las componentes rectangulares son – 4i + 6j – 5k

Y

XZ

–5

–4

6

Octante III


Y

XZ

5

–4

6

Octante III

En este ejemplo las componentes rectangulares son – 4i + 6j + 5k


Octante VEn este ejemplo las componentes rectangulares son 4i – 6j + 5k

Y

XZ– 6

5 4


Octante VIEn este ejemplo las componentes rectangulares son 4i – 6j – 5k

Y

XZ

– 6

–5

4


Octante VIIEn este ejemplo las componentes rectangulares son todas negativas – 4i – 6j – 5k

Y

XZ

– 6

–5

–4

¿Te está jugando rudo tu cerebro? ¿Lo ves desde abajo y no desde arriba?


Octante VIIIEn este ejemplo las componentes rectangulares son – 4i – 6j + 5k

Y

XZ

– 6

5

–4


Ahora vamos a calcular la magnitud del vector resultante. Voy a usar el vector del octante II.

Por el teorema de Pitágoras sabemos que la diagonal dibujada en color rojo es la hipotenusa del triángulorectángulo formado por la componente (– z) y la componente (y), por lo que el vector rojo (llamado A)tiene una magnitud de

𝐴 = −𝑧2 + (𝑦2)

Y

XZ

6

4

– 5

A


Ese vector A es a su vez un cateto del triángulo rectángulo formado con la componente x dibujado con elvector verde, por lo que la hipotenusa es el vector morado, es decir, el vector resultante R

R = [ (𝑦2+(−𝑧2)]² + (x) ²

𝐴 = −𝑧2 + (𝑦2)

R = 𝑦² + 𝑧²+ x ²

R = 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Y

XZ

6

4

– 5

A

R

Ordenando los términos tenemos


Otro “camino” para calcular la magnitud del vector resultante es usando como catetos el vector azul y lacomponente y.

De la misma manera, por el teorema de Pitágoras sabemos que la diagonal dibujada en color azul es lahipotenusa del triángulo rectángulo formado por la componente (– z) y la componente (x), por lo que elvector azul (llamado B) tiene una magnitud de

B = −𝑧2 + (𝑥2)

Y

XZ

6

4

– 5

B


Ese vector B es a su vez un cateto del triángulo rectángulo formado con la componente y, por lo que lahipotenusa es el vector morado, es decir, el vector resultante R

R = [ (−𝑧2) + (𝑥2)]² + (y) ²

R = 𝑧² + 𝑥²+ y ²R = 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Y

XZ

6

4

– 5

A

R

Ordenando los términos tenemos

B = −𝑧2 + (𝑥2)


Es decir, sea cual sea la referencia de catetos, el vector resultante R en un sistema tridimensional siempreestará dado por

R = 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

En cualquiera de los 8 octantes


Para el ejemplo del octante II y sustituyendo valores nos queda

R = 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Y

XZ

6

4

– 5

RR = 42 + 6 2 + (−5)²

R = 16 + 36 + 25

R = 77

𝐑 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗…


De la misma manera, la magnitud del vector dibujado en el octante 1 es

Al estudiante le corresponde calcular las magnitudes de todos los demás vectores.

Y

XZ

45

6𝐴 = 42 + 6 2 + 5²

𝐴 = 16 + 36 + 25

𝐴 = 77

𝐀 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗…

𝐴 = (𝑥2+𝑧2)² + (y) ²

𝐴 = 𝑥² + 𝑧²+ y ²

𝐴 = 𝑥2 + y 2 + 𝑧²


Ahora vamos a identificar la dirección de ese vector

En el tema 1 veíamos que la coordenada polar en un plano utiliza la magnitud (r) y el ángulo (q) medidodesde el eje positivo de las x (de un sistema cartesiano) y en sentido levógiro (en sentido contrario almovimiento de las manecillas de un reloj) para establecer la dirección del vector. Para el ejemplo de lacoordenada rectangular A = (3, 2) tenemos nuestra coordenada polar

A = (3, 2)

q

r

Por el teorema de Pitágoras tenemos

r = 𝑥2 + y 2

Sustituyendo valores

r = 32 + 2 2

r = 13r = 3.6055…

Y por trigonometríaq = arc tan 2/3q = arc tan 0.6666…

q = 33.6900…°


Pero en un contexto tridimensional, es necesario conocer su magnitud y ahora los 3 ángulos formadosentre el vector y los ejes positivos. Si tomamos el mismo ejemplo, la coordenada rectangular A = (3, 2)expresada en notación vectorial sería A = 3 i + 2 j + 0 k

Y

XZ

qx

2

3

Por el teorema de Pitágoras tenemos

s = 𝑥2 + y 2 + 𝑧²Sustituyendo valores

s = 32 + 2 2 + 0 2

Seguimos teniendo la misma magnitud

s = 13s = 3.6055…

Y por trigonometríaqx = arc tan 2/3qx = arc tan 0.6666…

qx = 33.6900…°Seguiría siendo el mismoángulo

Fíjate que en un contexto tridimensional, la representación de la magnitud ya no es con la letra r sinocon la letra s, y el ángulo lleva el subíndice del eje positivo de referencia


Pero ahora es necesario conocer los otros dos ángulos, los referentes a los otros dos ejes positivos (y) y (z)

Por trigonometríaqy = arc tan 3/2qy = arc tan 1.5

qy = 56.3099…°

Y

XZ

qx

3

q

y

qz

2¿Y para qz?


Para calcular qx seríaCos qx = x / s

Cos qx = 3 / 13Cos qx = 0.8320…Arc Cos 0.8320… = 33.6900…°qx = 33.6900…°Seguiría siendo el mismo ángulo

Y

XZ

qx

3

q

y

qz

2

Por eso es necesario utilizar la función trigonométrica coseno en lugar de la tangente

Para calcular qy seríaCos qy = y / s

Cos qy = 2 / 13Cos qy = 0.5547…Arc Cos 0.5547… = 56.3099…°qy= 56.3099…°Seguiría siendo el mismo ángulo

¿Y para calcular qz?¿Dirías 0°?

Vamos a verCos qz = z / s

Cos qz = 0 / 13Cos qz = 0Arc Cos 0 = 90°qz= 90°

Si vieras el dibujo lo comprobarías

Por esa razón es por lo que se usa la función coseno, A esos cosenos se les conoce como los cosenosdirectores (porque marcan la dirección del vector resultante)


También a los ángulos para cada eje positivo, se les conoce como los ángulos directores.Veamos el ejemplo para nuestro vector en el primer octante

s = 42 + 6 2 + 5²

s = 16 + 36 + 25

s = 77

𝐬 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗…

Cos qx = 4 / 42 + 6 2 + 5²

Cos qx = x / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Cos qx = 4 / 77

Cos qx = 4 / 8.7749…

Cos qx = 0. 𝟒𝟓𝟓𝟖…

qx = 62.8808…°

Y

XZ

45

6

qxq

yqz

s = 𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧²

A = 4i + 6j + 5kPor el Teorema de Pitágoras

Arc Cos 0.4558… = 62.8808…°


Cos qz = 5 / 42 + 6 2 + 5²

Cos qz = x / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Cos qz = 5 / 77

Cos qz = 5 / 8.7749…

Cos qz = 0. 𝟓𝟔𝟗𝟖…

qz = 55.2635…°

Arc Cos 0.5698… =55.2635…°

Cos qy = 6 / 42 + 6 2 + 5²

Cos qy = y / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Cos qy = 6 / 77

Cos qy = 6 / 8.7749…

Cos qy = 0. 𝟔𝟖𝟑𝟕…

qy = 46.8615…°

Arc Cos 0.6837… =46.8615…°

Y

XZ

qxq

yqz

45

6


Para el ejemplo del octante II donde las componentes rectangulares son 4i + 6j – 5k

Y

XZ

6

4

– 5

s = 42 + 6 2 + (–5²)

s = 16 + 36 + 25

s = 77

𝐬 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗…

s = 𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧²

A = 4i + 6j – 5kPor el Teorema de Pitágoras

Cos qx = 4 / 42 + 6 2 + 5²

Cos qx = x / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Cos qx = 4 / 77

Cos qx = 4 / 8.7749…

Cos qx = 0. 𝟒𝟓𝟓𝟖…

qx = 62.8808…°

Arc Cos 0.4558… = 62.8808…°

qzqx

q

y


Y

XZ

6

4

– 5

Cos qy = 6 / 42 + 6 2 + 5²

Cos qy = y / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Cos qy = 6 / 77

Cos qy = 6 / 8.7749…

Cos qy = 0. 𝟔𝟖𝟑𝟕…

qy = 46.8615…°

Arc Cos 0.6837… =46.8615…°

Cos qz = – 5 / 42 + 6 2 + 5²

Cos qz = x / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Cos qz = – 5 / 77

Cos qz = – 5 / 8.7749…

Cos qz = – 0. 𝟓𝟔𝟗𝟖…

qz = 124.7364…°

Arc Cos – 0.5698… =124.7364…°

Cuando los cosenos son negativos, el ángulo está entre mas de 90° y 180°

qzqx

q

y


Para el ejemplo del octante III donde las componentes rectangulares son – 4i + 6j – 5k

s = (–42) + 6 2 + (–5²)

s = 16 + 36 + 25

s = 77

𝐬 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗…

s = 𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧²

A = 4i + 6j – 5kPor el Teorema de Pitágoras

Cos qx = – 4

/ (–42) + 6 2 + (–5²)

Cos qx = x / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Cos qx = – 4 / 77

Cos qx = – 4 / 8.7749…

Cos qx = – 0. 𝟒𝟓𝟓𝟖…

qx = 117.1191…°

Arc Cos – 0.4558… =117.1191…°

Y

XZ

–5

6

–4qz qx

q

y


Cos qy = 6 / (–42) + 6 2 + (–5²)

Cos qy = y / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Cos qy = 6 / 77

Cos qy = 6 / 8.7749…

Cos qy = 0. 𝟔𝟖𝟑𝟕…

qy = 46.8615…°

Arc Cos 0.6837… =46.8615…°

Cos qz = – 5

/ (–42) + 6 2 + (–5²)

Cos qz = x / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Cos qz = – 5 / 77

Cos qz = – 5 / 8.7749…

Cos qz = – 0. 𝟓𝟔𝟗𝟖…

qz = 124.7364…°

Arc Cos – 0.5698… = 124.7364…°

Ahora te corresponde calcular los ángulos directores de los demás ejemplos en los diferentes octantes

Y

XZ

–5

6

–4qz qx

q

y


qy = 46.8615…°

qz = 124.7364…°

Ahora vamos a ver cómo calculamos las coordenadas rectangulares, partiendo del hecho que soloconocemos la magnitud y los 3 ángulos directores. Tomemos el último ejemplo

qx = 117.1191…°

𝐬 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗…

Y

XZ

–5

6

–4qz qx

q

y

Primero obtenemos los cosenos de los ángulos

Cos qx = – 0. 𝟒𝟓𝟓𝟖…

Cos qx = x / 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Recordemos que

Y que s = 𝑥2 + y 2 + 𝑧²

Por lo que

Cos qy = 0. 𝟔𝟖𝟑𝟕…

Cos qz = – 0. 𝟓𝟔𝟗𝟖…

Cos qx = x / s

De la misma manera

Cos qy = y / s

Cos qz = z / s


Y

XZ

–5

6

–4qz qx

q

y

Cos qx = x / s

Despejamos x, y y z de las ecuaciones

Cos qy = y / s

Cos qz = z / s

x = s Cos qx

Nos quedaría

y = s Cos qy

z = s Cos qz

x = (8.7749…) Cos (– 0.4558… )

Sustituyendo valores

y = (8.7749…) Cos ( 0.6837…)

z = (8.7749…) Cos (– 0.5698…)

x = – 4

Nos queda

y = 𝟔

z = – 5

Es el mismo procedimiento para todos los octantes


qy = 46.8615…°

Vector unitario l

qx = 117.1191…°

𝐬 = 𝟏

Primero obtenemos los cosenos de los ángulos

Cos qx = – 0.4558…

Cos qy = 0.6837…

Cos qz = 0.5698…k

Y

XZ

qx

q

y

qz

Recordemos que el vector lambda l es aquel que tiene como magnitud la unidad. En este ejemplo en el octante IV, el vector resultante (amarillo) y el vector unitario (rojo) tienen los mismos ángulos directores. La única diferencia es la magnitud. Vamos a calcular las componentes rectangulares del vector l. Sus datos serían

x = s Cos qx

Nos quedaría

y = s Cos qy

z = s Cos qz qz = 55.2635…°

x = 1 (– 0.4558… )

Sustituyendo valores quedaría

y = 1 (0.6837…)

z = 1 (0.5698… )

El vector l. en notación vectorial seríal = – 0.4558…𝒊 + 0.6837…j + 0.5698…k


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