G. Edgar Mata Ortiz

Los números complejos generalmente se representan en forma binómica:

La forma binómica del número complejo es útil para efectuar las operaciones aritméticas básicas; suma, resta multiplicación y división.

Para elevar un número complejo a una potencia, o extraer raíces cuadradas, se emplea el Teorema de Möivre, el cuál requiere que el número esté expresado en forma trigonométrica.

Para comprender mejor el proceso que nos permite convertir la expresión de un número complejo de la forma binómica a la forma trigonométrica debemos recordar el plano complejo.

Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.

𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊

Originalmente el número está

expresado en forma binómica.

Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.

𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊

Originalmente el número está expresado en forma

binómica.

Debe convertirse a la forma trigonométrica

Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.

𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊

Originalmente el número está expresado en forma binómica.

Debe convertirse a la forma trigonométrica

𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽

Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.

𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊

𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽

Esta conversión se efectúa mediante dos fórmulas

Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q a partir de a y b.

𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2

𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽

𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒃

𝒂

Expresar el número:

En forma trigonométrica

𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2

𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟒𝟓

𝟐𝟖

𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊

𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2

Expresar el número:

En forma trigonométrica

𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟒𝟓

𝟐𝟖

𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊

𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2

𝒓 = 𝟕𝟖𝟒 + 𝟐𝟎𝟐𝟓

𝒓 = 𝟕𝟖𝟒 + 𝟐𝟎𝟐𝟓

𝒓 = 𝟐𝟖𝟎𝟗

𝒓 = 53

𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏. 𝟔𝟎𝟕

𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒

𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊

𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒

𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)

𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊

𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒

𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)

Forma binómica

Forma trigonométrica

Para elevar un número complejo a

una potencia entera se aplica el

Teorema de: De Möivre

Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el Teorema:

Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:

Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:

Ejemplo: Elevar el número z =28+45i, al cuadrado:

Puede parecer muy complicado convertir primero a la forma polar y luego aplicar el teorema de De Möivre, sin embargo, este método es muestra su utilidad cuando se eleva a potencias muy grandes.Por ejemplo:

Eleva z =1–i, a la décima potencia.

Para obtener la raíz cuadrada, cúbica o enésima, también

se aplica el Teorema de: De Möivre

Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el teorema, escribiendo la raíz como una potencia fraccionaria.

Una vez convertido el número a+bi a la forma trigonométrica, podemos aplicar el teorema, escribiendo la raíz como una potencia fraccionaria y, tomando en cuenta que las funciones trigonométricas son periódicas, realizar un ajuste en a fórmula.

El ajuste en la fórmula consiste en agregar la periodicidad como se muestra:

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

La primera de las tres soluciones es:

𝐤 = 𝟎

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

La segunda de las tres soluciones es:

𝐤 = 𝟏

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

La tercera de las tres soluciones es:

𝐤 = 𝟐

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Las tres soluciones en forma trigonométrica son:

Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i

Las tres soluciones en forma binómica son:

Fuentes de información en línea:http://licmata-math.blogspot.mx/

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