Competenza matematica Il linguaggioIl linguaggio

Dall’aritmetica all’algebra

Andrea Gorini

Ossona – 26 aprile 2018

IL LINGUAGGIO SIMBOLICO

Usare i simboli

• Uno degli obiettivi che l’insegnamento della matematica nella scuola del primo ciclo (o meglio della scuola dell’obbligo) deve tener presente è l’acquisizione da parte degli allievi presente è l’acquisizione da parte degli allievi del linguaggio simbolico come strumento di pensiero, sviluppato a partire dalla riflessione sui contenuti aritmetici elementari.

Verso l’algebra

•L’algebra elementare, l’argomento imparato nelle scuole di tutto il mondo, può essere definito come una sotto-categoria del discorso matematico che le persone impiegano matematico che le persone impiegano riflettendo sulle relazioni e processi aritmetici. Più semplicemente, l’algebra elementare (o scolare) è un meta-discorso aritmetico.

•A. Sfard, Meta-aritmetica spontanea primo passo verso l’algebra

International Journal of Educational Research 51-52 (2012)

Verso l’algebra

•Due tipi di attività meta-aritmetiche danno luogo a questo speciale tipo di discorso. La prima è il riconoscimento di regolarità numeriche. Con l'aiuto dell'apparato simbolico queste regolarità l'aiuto dell'apparato simbolico queste regolarità possono essere presentate sottoforma di uguaglianze, come ad esempio a(b + c) = ab + ac. Si noti che sebbene nulla in quest'ultima proposizione lo affermi esplicitamente, questa è, in effetti, un brano di meta-aritmetica.

Verso l’algebra

•La dichiarazione simbolica a(b + c) = ab + ac è l'abbreviazione (la traduzione simbolica) della frase ‘Per moltiplicare un numero per la somma

di altri due numeri, si può prima moltiplicare di altri due numeri, si può prima moltiplicare

ciascuno degli altri due numeri per il primo e poi

addizionare i risultati’. Questo tipo di meta-narrazione aritmetica può essere chiamato generalizzazione.

Verso l’algebra

•L'altra attività che genera l’algebra riguarda la ricerca di quantità non conosciute coinvolte in calcoli i cui risultati sono assegnati. Questo tipo di attività è descritto nel linguaggio algebrico di attività è descritto nel linguaggio algebrico moderno come risolvere equazioni. Infatti, le equazioni, ad esempio 2x + 1 = 13, sono meta-domande su processi numerici; nel caso in esame la domanda è ‘Qual è il numero il cui

doppio aumentato di 1 dà 13?’.

Verso l’algebra

•A mio avviso anche l'espressione di quantità che variano sono attività che generano l’algebra, in questo caso sono coinvolte quantità non determinate. Questo tipo di attività è descritto determinate. Questo tipo di attività è descritto nel linguaggio algebrico moderno come esprimere funzioni.

Simboli

•«Simbolo: da “symbolum” oggetto diviso in due

che costituiva un segno di riconoscimento

quando i possessori potevano ricongiungere le

due parti.» due parti.»

•dal Dizionario di Matematica elementare -Stella Baruk

Simboli

•Questa definizione evidenzia, in modo figurato, la natura del simbolo: il simbolo infatti è unità fra segno e significato.•Fino a che le due parti non si congiungono, •Fino a che le due parti non si congiungono, ovvero fino a che il segno rimane staccato dal significato, non siamo in grado di “riconoscere” ovvero di entrare in rapporto conoscitivo con ciò a cui il segno rimanda.

Sistemi di simboli

•Il sistema di numerazione è il sistema simbolico di riferimento.

324 243

• Non è l’unico sistema simbolico che i ragazzi • Non è l’unico sistema simbolico che i ragazzi incontrano

XVII XC

2x ab

Il linguaggio simbolico

254Duecento-cinquanta-quattro

abc…

Scrivere numeri

•Considera un numero di due cifre…

23

che ha il significato di che ha il significato di

23 = 2 x 10 + 3 x 1

Un esempio particolare…

Scrivere numeri

• La giustapposizione di due simboli ha un significato diverso

abab

indica l’operazione

moltiplica un numero a per un numero b

Il linguaggio simbolico

Numero generico di tre cifre

a · 100 + b · 10 + c

dove a indica un numero compreso tra 1 e 9 dove a indica un numero compreso tra 1 e 9 mentre b, c sono numeri compresi tra 0 e 9

Il linguaggio simbolico

L 'espressione 1037

+ 1038

è anche uguale a

A 2075

B 107

B 10

C 11 x 1037

D 1037 x 38

Il linguaggio simbolico

«Dall’analisi delle risposte sembra emergere che le attività di calcolo siano viste dagli studenti in larga misura come semplice manipolazione simbolica fine a se stessa; tale manipolazione, simbolica fine a se stessa; tale manipolazione, non solo sembra essere condotta a livello puramente sintattico, ma addirittura sembra inibire qualunque capacità di controllo semantico.

Il linguaggio simbolico

«[…] Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le proprietà dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare l’algebra come strumento di pensiero»

M. Impedovo, A. Orlandoni, D. Paola, Quaderni SNV N 1 MAT a.s. 2010 2011 – Guida sintetica alla lettura della prova di Matematica – Classe seconda – Scuola secondaria di secondo grado, p. 3

Il linguaggio simbolico

C’è un unico filone di pensiero dietro a tutto questo: la separazione crescente e totale tra i segni usati in matematica e i loro significati. Ciò porta a rigidità incredibili e a una mancanza di porta a rigidità incredibili e a una mancanza di flessibilità del pensiero…

Il linguaggio simbolico

Gli alunni separano nettamente le proprie capacità di ragionamento dai formalismi e dai meccanismi che invece sarebbero dettate da qualche crudele divinità che si proporrebbe qualche crudele divinità che si proporrebbe sistematicamente di non far capire nulla.

F. Arzarello, Il ruolo dell’errore nell’apprendimento in Le

difficoltà nell’apprendimento della matematica, Erickson,Trento 2002

Il linguaggio simbolico

Tutti i tipi di difficoltà […] si possono ricondurre a una radice profonda, vera origine di tanti ostacoli nell’apprendimento della matematica: l’atteggiamento di distacco dal senso, di chi si l’atteggiamento di distacco dal senso, di chi si rassegna ad eseguire acriticamente operazioni ripetitive e inconsapevoli …

Il linguaggio simbolico

Nell’apprendimento matematico il vero ostacolo non è fare errori di calcolo, non è l’intoppo operativo: ciò che veramente impedisce lo sviluppo del pensiero matematico è l’azione sviluppo del pensiero matematico è l’azione inconsapevole

R. Manara, La matematica e la realtà, Marietti 1820

UN LUNGO PERCORSO

Dalla regolarità…

Nel seguito sono proposti alcuni quesiti Invalsi assegnati nella scuola primaria e nella scuola media che presentano situazioni in cui si possono riconoscere regolarità che possono possono riconoscere regolarità che possono essere espresse mediante descrizioni verbali o semplici osservazioni numeriche

Classe II primaria – SNV 2012

A: 22,9% B: 41,2% C: 31,1%

Classe II primaria – SNV 2013

Classe V primaria – SNV 2013

Classe V primaria – SNV 2013

Classe I SSPG – SNV 2013

ATTIVITÀ DIDATTICHEA caccia di numeri

Classe Prima - Scuola media

Esprimere regolaritàEsprimere regolarità

Quanti sono i quadrati?

Il quaderno di Letizia

Il quaderno di Letizia

Il quaderno di Letizia

Numeri pari e dispariIn ordine crescente o decrescenteI numeri sono in fila

Osservazioni

I numeri sono in filaClassificare i numeri

Stanno “frugando nella cassetta degli attrezzi”

Numeri quadrati

Definiamo i numeri quadrati

Continuiamo l’elenco dei numeri quadratiContinuiamo l’elenco dei numeri quadrati

I numeri quadrati

Numeri quadrati

Lo zero è fuori margine… perché…

I numeri quadrati

Sistemiamo l’elenco

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81

L. Radaelli

Questo è un esempio di come si passadall’aritmetica all’algebra in modo naturale.

Il passaggio ai simboli

dall’aritmetica all’algebra in modo naturale.

q = (n – 1) (n – 1)

d = 2n – 1

Classe Prima/Terza - Scuola media

Verso la generalitàVerso la generalità

Un facile esercizio

•Da una confezione di 20 brioches se ne prendono 5. Quante ne restano?

•Per determinare la risposta occorre eseguire la sottrazione 20 – 5sottrazione 20 – 5

Modifichiamo

•È interessante proporre altre domande:•Se se ne prendono 4? Se fossero 9?

•Queste domande servono a rendere la situazione proposta non più particolare, situazione proposta non più particolare, univoca, ma articolata.

Generalità

•Fa passare i ragazzi dallo svolgimento di un esercizio singolare ad una classe di esercizi che

presentano la stessa struttura.•Richiedono implicitamente di cambiare il punto •Richiedono implicitamente di cambiare il punto di vista.•Cambia l’oggetto della situazione in esame, non più la scatola delle brioches, ma la relazione tra i numeri coinvolti e il loro significato.

Spingendosi più in là…

•Da una confezione di 20 brioches se ne prendono 5. Quante ne restano?•Se se ne prendono un certo numero?

•A questa domanda non si può rispondere come •A questa domanda non si può rispondere come alle domande precedenti, non si può esibire un numero

Spingendosi più in là…

•Una possibile risposta è•20 – un certo numero

•Diventa ragionevole proporre ai ragazzi, se non viene già da loro proposto, indicare un certo viene già da loro proposto, indicare un certo

numero con n.

Spingendosi più in là…

•La risposta così diventa •20 – n

•È bene esplicitare che un certo numero n deve essere un numero naturale minore o uguale a 20essere un numero naturale minore o uguale a 20

E ancora oltre…

•Da una confezione che contiene un certo numero di brioches se ne prendono alcune. Quante ne restano?

•Da una confezione di brioches se ne prendono •Da una confezione di brioches se ne prendono alcune. Quante ne restano?

Solo numeri

•La stessa situazione aritmetica può essere proposta a partire solo dai numeri:•Scrivi e calcola una sottrazione che abbia 20 come minuendo e 5 come sottraendo, oppure 4 come minuendo e 5 come sottraendo, oppure 4 o 9•Scrivi tutte le sottrazioni che abbiano 20 come minuendo

Classe Prima- Scuola primaria

Tradurre… da piccoliTradurre… da piccoli

Problemi da subito

Si inizia ad affrontare problemi all’inizio della prima classeSi pone una domanda e si cerca in vari modi la risposta

L. Radaelli

L’aspetto affettivo

Con i piccoli è fondamentale tenerne conto, per questo ogni insegnante deve saper cogliere al volo le occasioni che si presenUn esempio: classe prima - aula che ha una porta-finestra che dà sul giardino. Ogni tanto entra un animaletto, cui diamo il nomeAnche per i primi problemi partiamo da qui

L. Radaelli

Qualche esempio di problema proposto

Non abbiamo premura, osserviamo come agiscono i

Situazione “classica” di addizione: contare le zampe

L. Radaelli

osserviamo come agiscono i bambini.Sorpresa! Per molti non è scontato contare tutto insieme, anche l’addizione è un concetto che si sta formando

FEDERICO

Possiamo da subito non essere banali

Data la somma trovare gli addendi

L. Radaelli

ALESSIO

L. Radaelli

GIORGIA

I livelli sono proprio diversi, ognuno però, pur all’interno di una proposta comune, può

L. Radaelli

ELEONORA

comune, può fare il “suo” passo

Si “sfrutta” anche la palestra!

IN PALESTRA

CHE BELLA GARA ABBIAMO FATTO!QUANTI CERCHI HA USATO IL MAESTRO MIRKO PER FARCI GIOCARE?

Cogliamo una situazione di ADDIZIONE RIPETUTA

la classe ha svolto una staffetta a squadre: le squadre erano tre, ogni squadra utilizzava cinque cerchi

L. Radaelli

ALESSIO

Il cammino è faticoso, la guida dell’insegnante preziosa

L. Radaelli

Evitiamo le “paroline magiche”, come “in tutto”

L. Radaelli

SOFIA

Qualcuno è già molto essenziale

L. Radaelli

FEDERICO