Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
ELEMENTOS FUNDAMENTALESDE LA GEOMETRIA
TRMINOS MATEMTICOS
Proposicin:
Una proposicin matemtica es un enunciadodeclarativo, no ambiguo del cual tiene sentidodeterminar su valor de verdad, en todaproposicin subyace la idea de tiempo pasado oactual, as de una afirmacin a futuro difcilmentese puede determinarse su veracidad o falsedad.
Axioma:Proposicin evidente por si misma que nonecesita demostracin.
Postulado:Es una proposicin evidente que sin tener laevidencia del axioma se acepta sin demostracin
Teorema:Es una proposicin que para ser evidenterequiere ser demostrada, tiene dos partes:
a) Hiptesis: Es lo que se plantea para lademostracin del teorema.
b) Tesis: Es la demostracin del teorema.
Corolario:Es una consecuencia deducida de un teorema yademostrado.
Lema:Es una proposicin que sirve de base para lademostracin de un teorema.
Escolio:Es una proposicin que sirve para aclarar,
restringir o ampliar alguna proposicin.
Problema:Enunciado en el cual se pide hallar una cantidado construir una figura geomtrica segncondiciones dadas.
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA
El punto:Es un ente matemtico, es la mnimarepresentacin geomtrica de cualquier figurageomtrica, el punto no tiene dimensiones por lotanto no existe en la naturaleza, pero si en elpensamiento humano.
.p Dos puntos cualesquiera no pueden ser
congruentes, semejantes ni equivalentes yaque estas no poseen dimensiones.
El punto es un conjunto convexo, pues elpunto es sub conjunto de s mismo
Al unir dos puntos mediante un conjunto depuntos sucesivos se obtienen una lnea.
La recta:Es una sucesin infinita de puntos que siguenuna misma direccin y que es ilimitada en ambossentidos
Por dos puntos cualesquiera pasa unanica recta.
Por un punto pasan infinitas rectas a las
cuales se les denomina haz de rectas. A una recta pertenecen infinitos puntos yexisten tambin infinitos puntos que nopertenecen a ella.
El planoEs una superficie llana, lisa, sin espesor que esilimitada en todo sentido.
Tres puntos no colineales determinan unplano. Dos rectas paralelas determinan un plano. Una recta y un punto exterior a ella
terminan un plano. Por una recta pasan infinitos planos a las
cuales se les denominan haz de planos. A un plano pertenecen infinitos puntos y
existen tambin infinitos puntos que nopertenecen a ella.
P
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FIGURA GEOMETRICA
Es cualquier conjunto de puntos, los cualesdeterminan lneas, superficies y slidos
CLASIFICACIN DE LAS SUPERFICIESGEOMTRICAS
1. CONGRUENTESSi tienen igual forma y tamao.-Dos figuras congruentes poseen igual
longitud, rea o volumen segn sea el caso.-Dos regiones poligonales congruentesposeen igual permetro
2. SEMEJANTESCuando tienen igual forma pero tamaosdiferentes.-Sus longitudes, reas o volmenes sondiferentes.-En regiones poligonales semejantes suspermetros son distintos.
3. EQUIVALENTESSi tienen igual longitud, rea o volmenes sinimportar su forma.-Dos regiones poligonales son equivalentes siposeen igual rea sin importar sus formas.-Dos slidos son equivalentes si poseen igualvolumen sin importar sus formas.
CONJUNTOS GEOMETRICOSFUNDAMENTALES
Conjuntos convexos:Se llama conjunto convexo a una figurageomtrica si el segmento de recta que une dospuntos cualesquiera de dicho conjunto estcontenido en este. EjemploLa regin triangular es un conjunto convexo, estose debe a que si cogemos dos puntos P y Q quepertenecen a la regin, entonces todos lospuntos que conforman el segmento PQ
pertenecen a la regin triangular.Son conjuntos convexos:El punto, la recta, la regin triangular, cualquierregin poligonal, la esfera, el cilindro, el cono, elexaedro regular (cubo), el plano, etc.
Conjuntos no convexos:
Se llama conjunto no convexo (cncavo) a unafigura geomtrica si por lo menos un punto o unconjunto de puntos del segmento de recta queune dos puntos cualesquiera de dicho conjuntono estn contenidos en este. EjemploEl tringulo es un conjunto no convexo esto sedebe a que algunos puntos como P1, P2, nopertenecen al triangulo u y por ende el segmentoPQ no est incluido en el tringulo.Son conjuntos no convexos:El tringulo, el ngulo, superficie esfrica,
superficie cilndrica superficie cnica, etc.
POSTULADOS DE LA SEPARACIN
1. Un punto contenido en una recta divide aesta recta en dos semirrectas.
2. Una recta contenida en un plano divide aeste plano en dos semiplanos.
3. Un plano divide al espacio en dossemiespacios.
Lnea recta:Sucesin contina de puntos que siguen unamisma direccin y que es ilimitada en ambossentidos
SemirrectaParte de la recta que carece de punto de origen.
Rayo:Parte de la recta que posee punto de origen.
SEGMENTOS
A B
A AB
.
A B
A AB
.
A BAB
. .
Linea Linea Linea Superficie Solidorecta curva mixtilinea
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01. Dados los puntos consecutivos y colinealesA, B, C y D en el cual se cumple que2AB 3BC 5CD= y AD 62 . Hallar la
distancia entre los puntos medios de AB y
CD .
a) 24 b) 41 c) 30d) 50 e) 48
02. Sean los puntos colineales y consecutivos L,
M, N, P y Q, siendo 2LM MN y LN 1MQ 5
.
Hallar:NQLM
a) 12 b) 11 c) 10d) 14 e) 13
03. Sean los puntos colineales y consecutivos P,
Q, R y S, tales que:PQ QR RS3 4 5
= y
2PQ 5QR 8RS 132+ = , Hallar: PQ .a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 4
04. Se tienen los puntos colineales yconsecutivos M, A, O y B. hallar el valor de
MO , adems que:
2
AB MA.MB 814 + = y
AO OB .a) 6 c) 8 c) 9d) 10 e) 4
05. Los puntos A, B, C y D se encuentran sobreuna lnea recta de modo que:
I.CDAB n2
=
II. 3 AC AB AD BC Hallar el valor de BC .
a) n 2 b)n
22
c) 2n 3
d) n 3 e) 2n 2
06. Sobre una recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C y D. Si: CD 2BC ;
2AB AD 21m= ; Calcular: AC .
a) 6m b) 7m c) 8md) 9m e) 10m
07. Sobre una recta se ubican ordenadamentelos puntos A, B, C y D. Si AB 3BC 4CD
=
,
AD 19m Calcular la longitud de BC
a) 4m b) 8m c) 9md) 5m e) 3m
08. Dados los puntos consecutivos y colinealesA, B, C y D en el cual se cumple que:2AB 3BC 5CD= y AD 93 . Determinarla distancia entre los puntos medios de BC yCD.a) 20 b) 15 c) 24d) 18 e) 27
09. En una recta se ubican los puntosconsecutivos A; B; C y D de modo que2 2AC CD 8 BC= ;
Adems: AB BD Calcule AD.a) 1 b) 6 c) 8d) 4 e) 2
10. Sobre un segmento AE de un metro delongitud, se colocan las marcas B, C, D detal manera que: AB CE 80= ;AE DE 60= . Halle: BE-CD.
a) 50 b) 45 c) 40d) 60 e) 55
11. Sobre una lnea recta se consideran lospuntos consecutivos A, B, C y D,cumplindose que:I. CD 3 AB
II. AD 3 BC 60=
Halle la longitud del segmento AC .a) 10 b) 20 c) 15d) 25 e) 30
12. Sobre una recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C, D y E de modo que:I. AC BD CE 36+ =
II.4
BD AE5
Halle la longitud del segmento AE a) 15 b) 20 c) 12
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d) 16 e) 18
13. Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D tal que se verifica:
I.+ =
AC DA1
CB DB
II.=AC AD 529
Calcule el valor de AB.a) 23 b) 21 c) 13d) 17 e) 27
14. Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos M, N, P y Q. Si A y B son los
puntos medios de los segmentos MN y PQ respectivamente, tal que MP=3 y AB=4.Calcular NQ.
a) 5 b) 3 c) 4d) 3,5 e) 4,5
15. Sobre una recta se ubica los puntosconsecutivos A, B, C y D. Hallar AC, si se
cumple: =AB
CD3
;+ + =AC 2CD BD 48 .
a) 12 b) 22 c) 26d) 20 e) 24
16. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Si se cumple:= =
AB BC CD2 3 5
. Calcular CD, si: AD=20.
a) 6 b) 9 c) 12d) 8 e) 10
17. En una recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C, D, E y F. Si se cumplela siguiente relacin:
+ + + =AC BD CE DF 20 y BE=6. Halle: AF.a) 2 b) 3 c) 5
d) 10 e) 14
18. Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D. Se cumple: AB=3,AC=5,
=4AB BD 2CD 4 , hallar AD.a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
19. Se tienen los puntos colineales A, B, C y Dtal que:
+ =AB CD 13 y =
BM MC 1 .
Hallar CD. Adems M es punto medio deAD.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
20. Se ubican los puntos colineales M, A, O y B.Si O es punto medio de AB. Hallar OM, si:
+ =
2ABMA MB 9
4
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 9
NGULOS I
01. En las siguientes proposiciones, indicarverdadero o falso, segn corresponda:a. Los ngulos alternos internos siempre son
congruentes.b. Los ngulos conjugados externos siempreson suplementarios.
c. Los ngulos correspondientes siempreson congruentes.
d. a) VVV b) VVF c) FVVe. d) FFV e) FFF
02. Sean los ngulos consecutivos AOB , BOC
, COD y DOE ;
OB biseca AOC ;
OC
biseca
AOD y
OD , biseca
AOE .Si:
+ + + =2 AOB 3 BOC 4 COD AOE 210
Hallar la medida del AOB .a) 10 b) 21 c) 42d) 5 e) 16
03. Se tienen los ngulos consecutivos AOB yBOC , donde =AOC 102 . Se traza la
bisectrizOM del AOB . Hallar la medida del
BOC , si: =BOC MOB 36 .
a) 51 b) 66 c) 68d) 48 e) 58
04. AOB , BOC , COD , DOE y EOF , son
consecutivos y AOF llano.
OB , bisecaAOC ,
OE biseca DOF y =BOE 112 .
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Hallar la medida de COD .a) 44 b) 54 c) 64d) 68 e) 34
05. Si los34
del complemento de un ngulo
es igual al suplemento del mismo ngulo.Hallar .a) 720 b) 270 c) 450d) 500 e) 350
06. El suplemento del complemento de un
ngulo es igual a32
de la diferencia entre el
suplemento y el complemento de dichongulo. Hallar el ngulo.a) 38 b) 42 c) 45d) 48 e) 50
07. El complemento de la diferencia que existeentre el suplemento y el complemento de la
medida de un ngulo es igual a49
de la
diferencia que existe entre el suplemento dela medida de dicho ngulo y el suplementodel suplemento de la medida del mismongulo. Calcular el valor de dicho ngulo.
a) 45 b) 60 c) 90d) 70 e) 80
08. La diferencia entre el suplemento y elcomplemento de la medida de un ngulo es
igual a los32
del complemento del
suplemento de la mitad de la medida delmismo ngulo Cul es dicho ngulo?a) 150 b) 300 c) 120d) 135 e) 140
09. Se tienen las medidas de los ngulos demodo que la suma del complemento de lasuma de los complementos y el suplementode la suma de los suplementos es 30.Calcular el complemento de la semisuma dedichos ngulosa) 20 b) 30 c) 10d) 25 e) 15
10. Dos ngulos suplementarios son tales que,el suplemento del complemento delcomplemento del suplemento de uno deellos, es igual, al doble del complemento delsuplemento del suplemento delcomplemento del otro. El menor de losngulos es:a) 40 b) 50 c) 60d) 70 e) 80
11. La diferencia entre el suplemento y elcomplemento de un ngulo es 6 veces elngulo. El suplemento del complemento dedicho ngulo es:a) 165 b) 75 c) 105d) 100 e) 90
12. El complemento del suplemento de un
ngulo es igual al doble del suplemento deldoble del ngulo. Hallar la medida delngulo.a) 72 b) 80 c) 90d) 60 e) 85
13. La diferencia entre la medida de un ngulo ysu suplemento es igual al triple de sucomplemento. Hallar la medida de dichongulo.a) 0 b 45 c) 60
d) 90 e) 80
14. El triple del suplemento del complemento deun ngulo menos el doble del complementodel suplemento del doble de dicho ngulo esigual a ocho veces el complemento delcomplemento de dicho ngulo. Hallar elnguloa) 40 b) 60 c) 50d) 70 e) 30
15. El complemento de la diferencia que existeentre el suplemento de un ngulo y su
complemento es igual a los45
de la
diferencia que existe entre el suplemento yel suplemento del suplemento del mismongulo. Hallar la medida del ngulo.a) 0 b) 85 c) 90d) 70 e) 75
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16. El complemento de la diferencia que existeentre el suplemento y el complemento de lamedida de un ngulo es igual al duplo delcomplemento de dicho ngulo. Calcular lamedida de dicho ngulo.a) 80 b) 60 c) 120d) 90 e) 135
17. Si al suplemento del complemento de lamedida de un ngulo se le aumenta elcomplemento del suplemento de la medidade dicho ngulo, resulta 90 ms elsuplemento de la medida de dicho ngulo.Hallar la medida de dicho ngulo.a) 60 b) 80 c) 75d) 90 e) 45
18. Se tienen los ngulos adyacentes
suplementarios AOB y BOC
AOB BOC cuya diferencia de sus
medidas es 40, se trazan
OX ,
OY y
OZ
bisectrices de los ngulos AOB , BOC yXOY . Calcular la medida del ngulo BOZ .
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 45
19. Si se cumple que:
2CC + 4CCCC + 6CCCCCC ........... +
2nCC...C 56 , encontrar "n " donde " "
es la medida de un ngulo y C es sucomplemento.a) 5 b) 6 c) 7d) 10 e) 15
20. S 2 3 n nC C C ... C nS+ + + = , " " esla medida de un ngulo, C es su
complemento. Encontrar " " a)
90n 1
b)90n 1
c)180n 1
d)180n 1
e)90
2n 1
NGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS
01. En la figura. Calcular x.
a) 36b) 45c) 28d) 30e) 50
02. Siendo 1 2L L . Calcular x.
a) 140b) 130c) 120d) 110e) 100
03. S m n ; calcular a b c+ . Siendo 50 .
a) 50b) 60c) 80d) 90e) 70
04. En el grfico 1 2L L . Calcular: .
a) 20b) 22c) 24d) 26
e) 28
05. Hallar x, si: 1 2L L , a b 4x= .
a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60
1L
2Lx
x 2x
ab
1L
2L
4x
x
a bc
2m
n
2
3
40100
2L
1L
m
1L
2L
n
n
160
a
a
zz
x
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06. Hallar x
a) 20 b) 15 c) 25d) 30 e) 35
07. Hallar " " , si:
M N C y
A B
a) 18
b) 20c) 15d) 22e) 17
08. Segn la figura, hallar x. 1 2L L
a) 55
b) 60c) 64d) 65e) 68
09. Si:
1 2L L . Hallar
a) 8b) 10c) 12d) 15e) 14
10. Si:
1 2L L ,
3 4L L hallar x.
a) 140b) 145c) 148
d) 150e) 153
11. En el grfico
1 2L L Calcular el valor dex.
a) 18b) 36c) 72d) 54e) 27
12. En la figura L1//L2//L3 y mn=40, Hallar elvalor de x.
a) 40b) 20c) 65d) 30e) 36
13. Hallar el valor de x:
a) 100b) 65c) 35d) 80e) 45
14. Halle el valor de x:
a) 60 b) 110 c) 120d) 130 e) 90
x
4x
65x
L
1L
35
1L / / L
1L
2L
3L
m
nx
A
75
3
4
B
M
N
C
L
1L
1L//L
x
30
30
2L
2x
1L
2
1L
2L4
7
3
2
54
x
1L
3L 4L
2L
1L
x
3x
2L
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15. Siendo
1 2 3L L L y = 200 ,Calcule x.
a) 80b) 100c) 120
d) 150e) 40
16. Calcular x sabiendo que
1 2L L :
a) 14b) 18c) 20d) 24e) 36
17. Determinar el ngulo x
a) 30b) 45c) 50d) 70
e) 80
18. Si:
1 2 3L L L , calcular x
a) 30b) 45
c) 50d) 65e) 80
TRINGULOS
01. Dado un tringulo ABC, en AC y BC seubican los puntos N y M respectivamente, talque AB=BN=BM y m BNM= 50 . Calcule:
m BAN m BCA .a) 10 b) 20 c) 60d) 70 e) 80
02. Se tiene un tringulo cuyas medidas de lospares angulares se encuentran enprogresin aritmtica. Calcule el mximovalor entero de la medida de un par angular.a) 60 b) 90 c) 120d) 119 e) 78
03. Dado un tringulo rectngulo ABC, recto enB, en AC y en la regin exterior relativa aBC, se ubican los puntos E y D
respectivamente. S{ }
BC DE P=
;
m BAC m DPC ;BD=DC=BC=EC, calcule la m ACB .
a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 28
04. De la figura, calcule x.
a) 110b) 90c) 115d) 120e) 130
05. En la figura, calcule + + .
a) 430b) 650c) 630d) 510e) 580
06. En la figura, ME=MP; FN=NQ; AE=ED yFD=FC. Calcule x.a) 20b) 30c) 40d) 60e) 35
a
1L
2Laa
x
1L
3L
20
30
x
2L
1L
2L
3L
x
1L
2L
4x x
x
5
70
120
A
B
C
Q
D
P
N
F
M
E
x
-
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07. Se tiene un tringulo ABC, se trazan lasbisectrices CD y DE; D pertenece a AB, Epertenece a AC; Calcular la m ADE , si:m ABC m AED 150= .a) 75 b) 50 c) 60
d) 30 e) 4508. De la figura, a b 220= . Calcule x.
a) 40b) 45c) 35d) 60e) 70
09. En la figura, 6 = . Calcule x.
a) 66b) 68c) 70d) 73e) 80
10. Segn la figura, AN=NP. Calcule x.
a) 25b) 20c) 18d) 16e) 22
11. En un tringulo ABC se cumple quem A 3m C , AB=3u y el ngulo ABC esobtuso. Calcule la longitud entera de BC.a) 7 b) 4 c) 5d) 6 e) 8
12. En un tringulo ABC equiltero se ubica elpunto D exterior al triangulo, de manera queBD intercepta al lado AC. Si el ngulo ADCes obtuso, AD=7 y DC=13, entonces elmayor permetro entero del tringulo ABCes:a) 55 b) 56 c) 57d) 58 e) 59
13. En la figura mostrada, se verifica: AC=21u,BC=7u y AB=x, calcule el mayor valor enterode: 2x 3 .a) 36b) 37c) 38d) 39e) 40
14. En un tringulo KLM se trazan las medianasLQ y KP (Q en KM y P en LM). Si LQ=24u yKP=30u, entonces la mayor longitud (en u)del lado KM es:a) 45 b) 50 c) 55d) 60 e) 65
15. En un tringulo ABC, obtuso en B se cumpleque m A 2m C y AB=4u. Calcule elmnimo valor entero de la longitud de BC.a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
16. En un tringulo issceles ABC (AB=BC), se
traza la bisectriz interior AD D BC , siAD=16u, entonces la menor longitud enteradel segmento CD es:a) 7u b) 8u c) 9ud) 10u e) 11u
17. En triangulo escaleno los lados miden 5; 4 y
2x 1 . Cuntos valores enteros positivostiene x?.a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
18. Los lados AB, BC y AC de un tringulo ABCmiden 8u, 10u y 12u se ubica un punto
interior F tal queBF CFAF2 3
= , Cuntos
valores enteros puede tener el permetro del
x
70
2
x
n nm m
3x
A
NP
A B
C
a b
x
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GRUPO INGENIERAS
tringulo AFC?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
LNEAS NOTABLES
01. Calcular x.a) 18b) 20c) 30d) 37e) 45
02. Calcular x.a) 18b) 20
c) 30d) 37e) 40
03. Calcular x.
a) 18b) 20c) 25d) 30
e) 45
04. Calcular x.
a) 15b) 22c) 28d) 30e) 36
05. En un tringulo ABC se traza la ceviana
interior BD, de tal manera que AB+BC=30 yAC=20. Hallar el mnimo valor entero de BD.a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
06. El ngulo A de un tringulo ABC mide 20.
Se traza la ceviana CT y en el tringulo
ATC se traza la ceviana TQ . Sim ATQ 40
y TQ=QC=BC. Calcular la
m B .a) 40 b) 60 c) 80d) 75 e) 55
07. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B
se traza la altura BH . La bisectriz del
HBC interseca en P a HC . Si AB=5.Calcular el mximo valor entero de BP.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
08. En un tringulo ABC; AB=BC; CR es unaceviana interior, tal que m RCB 24
. La
bisectriz del ngulo ARC corta a AC en elpunto Q. hallar la medida del ngulo AQR .a) 78 b) 48 c) 86
d) 96 e) 72
09. Segn el grafico dado, calcular x.
a) 40b) 50c) 60d) 70e) 80
10. Del grafico calcular x.
a) 9b) 10c) 11d) 12e) 14
11. Del grafico calcular x.
a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30
12. De la figura mostrada calcular el valor de x.
30 15
45
x
2
60
x
x
25 75
30
x
42
30
18
x
2x
3 3
x
40
2x 4x 4x
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
a) 10b) 11c) 15d) 20e) 16
13. En un tringulo ABC se traza la bisectrizinterior BD tal que AB=BD=DC. Hallar lamedida del ngulo C.a) 35 b) 30 c) 22,5d) 36 e) 18
14. Si AD=DC=BC; calcular x en la figura:
a) 80
b) 90c) 85d) 95e) 70
15. Del grafico mostrado, calcular " " .
a) 15b) 16c) 20d) 18e) 22
16. Calcular x, si m n p q 252+ + =
a) 59b) 56c) 62
d) 60e) 54
17. Calcular x
a) 50b) 70c) 40d) 80e) 60
18. Calcular x
a) 118b) 146c) 122d) 106e) 130
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
01. En la siguiente figura calcular el segmentoMN, sabiendo que: MB=MA, MO=OC, MNparalela a OA, adems OA 12 .
a) 6b) 8c) 10
d) 12e) 15
02. En la figura mostrada, hallar BC, si CD 4
a) 4
b) 2 6
c) 5 2
d) 6
e) 4 2
03. En la siguiente figura se sabe que: AH=FC;AF=BC; AB=BC. Calcular " "
a) 10b) 12c) 15d) 20
e) 25
04. Del grfico mostrado, halle el valor de x
a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60
x
3
40
60
35
xA
B
D
C
m
n p
x
q
80
nm
x
nm
30 70
x
36
48
2
aa
zz
A
B
C
O
NM
A
BC
D
14
14
3146
AB H
F
C
3
2
A
B
C
D
80
20
x
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
05. S BC 9 2 . Calcular CD.
a) 12b) 15c) 18d) 12
e) 9
06. En el tringulo ABC mostrado AC 10 .
Hallar la mediana CM .
a) 6b) 5c) 4d) 7e) 3
07. En el tringulo ABC es equiltero, m EAB m FBC , AE=BF, hallar " " .
a) 90b) 120c) 60d) 150e) 104
08. Calcular HM en la siguiente figura.
a) 1b) 2c) 3
d) 4e) 5
09. En un tringulo ABC la ceviana CD
interseca a la mediana AF en E. Si:AE=EF; ED=6. Calcular CE.a) 18 b) 16 c) 15d) 12 e) 6
10. Los lados AB y BC de un tringulo ABC
miden 9 y 15, se traza AD perpendicular ala bisectriz interior del ngulo B. Hallar ladistancia del punto D al punto medio del lado
AC a) 6 b) 3 c) 9
d) 4,5 e) 7,5
11. Calcular x si: AD 2BC .
a) 12b) 13c) 16d) 18e) 28
12. Calcular " " .
a) 45b) 37c) 53d) 60e) 75
13. Calcular AE del grfico, si AB CE yAB DE 15.
=
a) 15 d) 20 c) 25d) 10 e) 30
14. Calcular AB en la figura si CE ED
a) 9b) 10c) 11d) 12e) 13
A
BC
D
1313
3224
CA
M
B
8050
F
A
B
C
E
F
M
PNH
10
8
C
M
D
A
B
45
A
B
C
D
E
E
3
6A
B C
D
A C
B
D
2x
x
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
15. En el cuadrado ABCD, calcular CF, siDE 6
a) 3b) 2c) 6d) 12e) 2,5
16. Calcular el valor de AE, si se cumple que:AB BD , BE BC , DC 6
a) 3b) 12c) 8d) 6e) 4
17. Encontrar AD, si: CE CD , BE 2 ,EA 3 .
a) 4b) 5c) 7d) 8
e) 9
POLGONOS
01. Calcule el nmero de ngulos rectos a queequivale la suma de medidas de ngulosinternos de un polgono. En el cual de los 4primeros vrtices consecutivos se puedentrazar 25 diagonales.
a) 20 b) 25 c) 16d) 14 e) 7
02. En qu polgono convexo, la suma de lasmedidas de los ngulos interiores excede en720 a la suma de las medidas de losngulos exteriores?a) Hexgono b) Heptgonoc) Octgono d) Icosgonoe) Dodecgono
03. Si la medida de un ngulo interno de unpolgono regular convexo es igual a cuatroveces la medida de su ngulo central.Calcular el nmero total de diagonales.a) 18 b) 26 c) 30d) 35 e) 42
04. Calcular el nmero de diagonales de aquelpolgono cuya suma de las medidas de losngulos interiores y centrales es 2520.a) 25 b) 42 c) 54d) 64 e) 77
05. Los ngulos externos de un polgonoregu8lar miden cada uno un quinto delngulo recto. Como se denomina dichopolgono.
a) Heptgono b) Dodecgonoc) Icosgono d) Octgonoe) Endecgono
06. Cul es el polgono convexo, en el cual lasuma del nmero de ngulos rectos a queequivale la suma de sus ngulos interiores,ms el nmero de vrtices y ms el nmerode diagonales es igual a 23?a) Hexgono b) Pentgonoc) Nongono d) Octgono
e) Decgono
07. En un hexgono regular ABCDEF se tomanlos puntos internos P, R y S de modo quePBC y EFSR son dos polgonos regulares.Calcular la m PER .a) 10 b) 15 c) 30d) 35 e 45
08. En un polgono regular de n lados se ledisminuye su ngulo interno en 15 resulta
otro polgono regular cuyo nmero de ladoses
3 n4
, el valor de n es:
a) 4 b) 16 c) 8d) 12 e) 20
09. En un octgono regular ABCDEFGH; seubica el punto P en la diagonal AE, de talforma que la
=m PDC 52 30' . Calcule lamedida del AHP .
A
B C
E
D
F
DA
B
C
E
E
B C
A D
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
a) 37 30' b) 18 30 ' c) 30 d) 45 e) 26 30 '
10. En un icosgono regular ABCDEF; calculela medida del menor ngulo determinado por
AC y BD .
a) 10 b) 20 c) 15d) 18 e) 24
11. En un polgono convexo el nmero total detringulos que se pueden formar trazandodiagonales desde un solo vrtice es alnmero de diagonales como 4 es a 9.Calcule el nmero de lados del polgono.a) 9 b) 7 c) 5d) 8 e) 6
12. Cul es el polgono regular en el cual alaumentar en 3 su nmero de vrtices, lamedida de su ngulo exterior disminuye en27?a) Triangulo b) Pentgonoc) Heptgono d) Hexgonoe) Cuadriltero
13. En un heptgono, tres de sus ngulosinteriores miden 120 cada uno, calcular lamedida de los otros cuatro ngulos,sabiendo que son iguales.
a) 140 b) 120 c) 135d) 150 e) 145
14. Cul es el polgono convexo que al duplicarsu nmero de lados, la suma de susmedidas de sus ngulos interiore4s secuadruplica?a) Triangulo b) Pentgonoc) Heptgono d) Hexgonoe) Cuadriltero
15. La diferencia entre el nmero de diagonalesde un polgono regular con el nmero dengulos rectos a que equivale la suma de lasmedidas de sus ngulos interiores es 8.Calcular la medida de su ngulo central?a) 30 b) 20 c) 50d) 45 e) 40
16. En el interior de un pentgono regularABCDE se ubica el punto P, de tal maneraque: =AE PC y =m BPC 66 , calcular la
m PEA .a) 44 b) 56 c) 42d) 30 e) 60
17. Las medidas de los ngulos interiores dedos polgonos regulares difieren en n10 yuno de ellos tiene 6 lados menos que el otro.Hallar el polgono de mayor nmero delados.a) 10 b) 12 c) 18d) 15 e) 14
18. En un hexgono equingulo ABCDEF, seconoce que
=AB 7 ,=
BC 3 ,=
CD 5 y=EF 2 , determinar los valores de DE y FA
.a) 8 y 6 b) 8 y 7 c) 4 y 6d) 3 y 6 e) 5 y 8
19. En un pentgono convexo, dos ngulosmiden 90 cada uno y los otros ngulos soncongruentes. Calcular la medida de estosltimos.a) 150 b) 120 c) 135d) 105 e) 145
20. Los segmentos AB , BC , CD , DE soncuatro lados consecutivos de un icosgono
regular ABCDEF, hallar la medida delngulo formado por las prolongaciones de
los lados AB y ED .a) 124 b) 126 c) 128d) 130 e) 132
CUADRILTEROS
01. En un trapecio recto, el menor lado noparalelo mide 8, el menor ngulo inferiormide 53. Hallar el segmento que une los
puntos medios de las diagonales.a) 4 b) 3 c) 6d) 4,5 e) 3,5
02. En un rectngulo ABCD, se traza la bisectrizdel ngulo B que corta a AD en E. hallar lalongitud del segmento que une los puntosmedios de EC y BC, s =AB 20 .
a) 10 b) 5 2 c) 10 2
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
d)5
22
e)5
23
03. Hallar x, si ABCD es un trapezoide:
a) 5
b) 7c) 11d) 9e) 8
04. En la figura ABCD es un cuadrado y T espunto de tangencia, calcular x
a) 1830b) 2630
c) 30d) 37e) 53
05. En un tringulo ABC, el ngulo C mide 45 y=AC 12 . Sobre el lado, se construye
exteriormente el cuadrado ABDE. Hallar ladistancia del centro del cuadrado al lado AC.a) 3 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 8 u
06. En un cuadriltero convexo ABCD;=AB 8u
;=CD 12u . Hallar el permetro del
cuadriltero que se forma al unir los puntos
medios de BC , AC , BD y AD .a) 18 u b) 22 u c) 24 ud) 20 u e) 26 u
07. En un cuadrado ABCD, calcular la distancia
de su centro a una recta exterior que pasapor el vrtice B, la proyeccin de la diagonalAC sobre la recta exterior mide 16 u.a) 12 u b) 6 u c) 8 ud) 10 u e) 16 u
08. En el grfico, se cumple que: AB 20 ,BC 8 , MB 5 Hallar x:
a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12
09. En un trapecio recto ABCD, =
A 90 =
B 90;
=
BC 8 , =CD 10 , =AD 14 ; lasbisectrices interiores de los ngulos C y D secortan en el punto F. Hallar la distancia del
punto F al lado AB .a) 6 b) 4 c) 12d) 8 e) 9
10. En el grfico, calcular MH, si BM=MC,AB 2 2 y CD 2 3 .
a) 1b) 1,5c) 2d) 2,5e) 3
11. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado,
AMD es un tringulo equiltero y ademsAB 2 3 3+ . Calcular: DN CN
a) 6b) 5c) 8d) 3e) 2
12. En los cuadrados ABCD y DEFG, los puntosO y 1O son sus centros. Calcular la
distancia entre los puntos medios de 1OO y
CF , si AB 4 2 y DG 3 2 .
A
BC
D53
10 12x
30
A
T
x
B C
D
A
B
C
D
N
M
45
x
A
B
C
D
M
H45 60
DA
B CM
N
-
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GRUPO INGENIERAS
a) 3b) 3,5c) 4d) 4,5e) 5
13. En un trapezoide asimtrico ABCD,mA 60 , mB 90 , AD 10 3 , BC 5
. Calcular la distancia del punto medio dellado CD al lado AB.a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
14. S. AP PB , AD CN 10= y BC DN ,
Hallar PQ .
a) 4b) 6c) 5d) 7e) 8
15. En un trapecio ABCD, donde AD es la base
mayor y BC la base menor; se sabe que:m A 8y , m B 140 , m C 5x 12+ ,
m D 3x 8+
. Hallar la relacin: xKy
a) 4 b) 5 c) 10d) 15 e) 20
16. Los catetos AB y BC de un tringulorectngulo ABC miden 2 y 5respectivamente. Exteriormente seconstruye el cuadrado ACDE. Calcular ladistancia del punto D a la recta que contienea AB.a) 6 b) 5 c) 7d) 8 e) 9
17. En la figura ABCD es un trapecio. Si se sabeque: BC 4 y CD 5 ; calcular AD.
a) 6b) 7
c) 8d) 9e) 10
18. En un paralelogramo ABCD. AB 5 ; Lasbisectrices interiores de los ngulos B y C se
cortan en un punto del lado AD . Hallar elpermetro del paralelogramo.a) 20 b) 30 c) 25d) 35 e) 40
19. Calcular la base mayor de un trapecio, loslados no paralelos miden 5 y 7, lasbisectrices interiores de los ngulosadyacentes a la base menor se cortan en unpunto de la base mayor.a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
CIRCUNFERENCIAS I
01. En una circunferencia de dimetro 10, la
distancia del centro a una cuerda AB mide
3. Hallar la longitud de AB .
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16
02. En la figura:=AB 4 y =CD 10 . Hallar BC .
a) 8b) 10c) 12d) 14e) 16
03. Segn el grafico. Calcular el valor de siendo T punto de tangencia.
a) 15b) 20c) 25d) 30e) 40
B
A
C
P
D
Q
N
2
A
B C
O1
OF
G
E
D
A
B C
D70
40
A
B
C
D
K
T
A
x40
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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Av. Arenas N 121 Telf. 322577Anexo 302 19
GRUPO INGENIERAS
04. Del grfico:=
AB 7 ,=BC 8 y =AC 9 .
Calcular la mAM .
a) 1b) 2
c) 3d) 4e) 5
05. Calcular la mDE , s =mBC 6 .
a) 6b) 3c) 9d) 12
e) 18
06. Hallar el permetro del tringulo TBC siendoABCD: cuadrado y
=
r 2 .
a) 8b) 10c) 12
d) 14e) 16
07. Del grfico =mAB 3 ,=
mBC 4 . Calcular elvalor de R.
a) 1b) 2c) 3d) 4
e) 5
08. Calcular el valor de R si el permetro deltringulo rectngulo ABC es 10.
a) 3b) 4c) 5d) 6e) 8
09. Se tiene un tringulo cuyos catetos midena y b unidades. Calcular la suma de losradios de las circunferencias inscrita ycircunscrita a dicho triangulo.
a)+a b b) 2 a b c) a b
3
d)a b
2 e)
+2a b
10. Del grfico=
R 3 , calcular la mAB .
a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10
11. Si ABCD es un cuadrado de lado 4, calcularel valor de r.
a) 1b) 1,5c) 2
d) 2,5e) 3
12. Calcular el valor de , si ABCD es uncuadrado y T punto de tangencia.
a) 30b) 45c) 37d) 53
e) 36
13. Calcular el permetro de la regin trapecialABCD.
a) 22b) 30c) 28d) 26e) 23
A
B
CM
A
BC
D
E
A
T
B C
D
F A C
B
ER
A
B C
R
A
B
C
R
37
A
B C
D
A
T
B C
D
30 53
B
A
C
D
2
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
14. El permetro de un trapecio issceles es 64.Los ngulos congruentes determinados porla base mayor y los lados no paralelos miden30 cada uno. Calcular el radio de lacircunferencia inscrita en el trapecio.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15. En la figura M y N son puntos medios de BCy Ac respectivamente. Calcular el permetrodel tringulo ABC si =MN 3
a) 32b) 24c) 20d) 30e) 18
16. El permetro de un tringulo rectngulo es24cm; su hipotenusa mide 10cm. Cuntomide el inradio?a) 1cm b) 2cm c) 3cmd) 4cm e) 5cm
17. Del grfico hallar x.
a) 1
b) 2c) 3d) 4e) 5
18. El semipermetro del cuadriltero ABCD es30m, la diagonal AC mide 22m. Calcular:
+1 2r r
a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10
NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
01. Hallar x:
a) 5b) 10
c) 15d) 20e) 25
02. En la figura mostrada. Calcular x:
a) 20b) 30c) 36d) 45e) 35
03. En la semicircunferencia mostrada O escentro, AO MN , hallar " " a) 10b) 15c) 20d) 5e) 30
04. Si O es centro y AO NT , hallar x.
a) 21b) 22c) 23d) 24e) 27
05. En la figura mostrada. Si AO = DC y O escentro. Calcular x; siendo T el punto detangencia.
a) 41b) 48c) 51d) 64e) 69
06. Si O es centro; M y N puntos de tangencia,hallar
A
BC
D
x 2
2x 13x 2
5x 1
A
B
C
D
1r
2r
A
B
CM
N
60
25
x
A O B70
M
N
L
A O B
81
J
N
T
x
P
W
ML3x x
E
D
BC
A
Tx
O 26
A C
B
N
M
O
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
a) 120 b) 135 c) 150d) 108 e) 144
07. En la figura mostrada. Si DP / / AC y T espunto de tangencia. Calcular x:
a) 35b) 30c) 40d) 45e) 60
08. Calcular el valor de x, segn el grficodado, sabiendo que: m A 30 ; el arco CE
con el arco ED son congruentes.
a) 100b) 135c) 105d) 120e) 115
09. En la figura, O es el centro y T es punto detangencia. Si el ngulo A es 28 y ET//AB.Hallar la medida del ngulo ETC.
a) 28b) 56c) 17d) 31e) 32
10. Calcular x:
a) 5b) 10c) 12d) 20e) 15
11. Calcular x:
a) 10b) 20c) 40d) 15e) 25
12. Calcular x:
a) 10b) 25c) 100
d) 80e) 75
13. Hallar x
a) 70b) 75c) 25d) 45e) 35
14. Calcular el valor de n en:
a) 5b) 20c) 25d) 12e) 10
15. En la figura mostrada. Calcular x:
a) 20b) 20,5c) 36d) 45e) 22,5
DA
D
T
P
C
20
O
x
6x
8x
2x
80
x
4x
x
4n
5n
70xO
M
N
P
A
B
CE
Dx
W
O
I2xM5x
A B
T E
O
C
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
23/291
Av. Arenas N 121 Telf. 322577Anexo 302 22
GRUPO INGENIERAS
16. Segn el grfico, m AB 60 . Calcule x:
a) 45b) 50c) 40d) 60e) 70
17. En la figura, ABC es un tringulo equilteroy la medida del ngulo es de 100.Calcular la media del ngulo .
a) 40b) 20c) 30d) 15e) 10
18. Si: 160= . Calcular la m VWL .
a) 40b) 80c) 20d) 60e) 120
CUADRILTEROS INSCRIPTIBLES
01. En la figura, hallar x:
a) 20b) 30c) 40d) 45e) 60
02. Se tiene un cuadriltero ABCD inscrito enuna circunferencia. Calcular: m ADC , si
mAD 100 y mCD 120 .a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 90
03. En la figura mostrada, calcular: " " siAB=CD.
a) 20b) 22c) 22,5d) 23e) 24
04. A partir del grfico adjunto calcular: " " , siAB=2BH.
a) 30b) 40c) 50d) 60e) 70
05. Sobre el lado AD de un trapezoide ABCD,se considera el punto P, tal que:
m PBC m PDC y m PAB m BCP ,luego se trazan BE y CF perpendiculares aAD. Si EF=5, hallar AD.a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 14
06. En el grafico mostrado; hallar: " " . Si:AB=AC
a) 30b) 40c) 45d) 60e) 37
07. En la figura, AC es dimetro; hallar " " .
a) 36b) 15c) 30d) 45e) 24
08. Dado la siguiente figura hallar el valor de
CB
A D
2x
A
BD
C
W
V L
A
B
C
DF
E
100
120
x
4
2
A
B
DC
A
B
Cx
H
8025
A
2
BC
D
A E O C
D
B
-
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Av. Arenas N 121 Telf. 322577Anexo 302 23
GRUPO INGENIERAS
" " , si AM=MC.
a) 20b) 24c) 22,5d) 30e) 35
09. Calcular: " " . Si AM=MC en el tringulo.
a) 50b) 52c) 35d) 45e) 30
10. Del grfico mostrado, calcular: " " . Siadems se sabe que: AM=MC.
a) 20b) 10c) 30d) 15e) 25
11. Hallar el valor de " " .a) 65b) 70c) 77d) 78e) 80
12. El tringulo ABC es equiltero AM=MB, BN NC . Hallar el valor de " " .
a) 45b) 50c) 60d) 65e) 70
13. Hallar: " " , si AB=BC, AD=DE y CD=BC.
a) 60b) 70c) 50d) 80e) 65
14. Calcular x en:
a) 40b) 60c) 80d) 90e) 50
15. Del grfico, calcular .
a) 20b) 30c) 40d) 10e) 50
16. Del grfico, calcular
a) 20b) 25c) 27d) 30e) 40
PUNTOS NOTABLES
01. Qu fraccin de la longitud de lahipotenusa, es la distancia delCIRCUNCENTRO al BARICENTRO, de untringulo rectngulo?a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/6 e) 2/3
02. Un cateto de un tringulo rectngulo mide
2
A H M C
B
CA
B
35M
55
A
B
C
70
M20
60
34
1730
A
B
N
C
M
CA D
E
B
40 30
120 +
x
140
5
3
4
3
2
-
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GRUPO INGENIERAS
15. Calcule la altura, si la distancia delBARICENTRO al ORTOCENTRO es 25/3.a) 10 b) 12 c) 8d) 5 e) 9
03. En un tringulo ABC, la =m ABC 60 , si elpunto O es el CIRCUNCENTRO y elcircunradio mide 12, halle AC.a) 12 3 b) 2 3 c) 3 3 d) 5 3 e) 11 3
04. Encontrar el circunradio de un tringuloequiltero, si su inradio mide 4.a) 4 b) 2 c) 8d) 12 e) 16
05. En un tringulo ABC, la altura BH mide 6 y
la =m ABC 45 ; la recta de EULER esparalela al lado AC. Hallar la distancia delCIRCUNCENTRO al vrtice A.a) 4 3 b) 2 3 c) 2 d) 2 2 e) 3 2
06. Se tiene el tringulo acutngulo ABC, seubica el EXCENTRO E relativo al lado BC,de modo que se verifica: =m AEB 40 ,
=m AEC 25 , encuentre la medida delmenor ngulo formado por AE y BC.a) 70 b) 75 c) 72d) 85 e) 80
07. En un tringulo rectngulo, calcular ladistancia del BARICENTRO alCIRCUNCENTRO, la hipotenusa mide 30m.a) 15m b) 10m c) 5md) 12m e) 12,5m
08. La altura BH de un tringulo acutnguloABC mide 12, la recta que pasa por elORTOCENTRO y el BARICENTRO esparalela al lado AC. Hallar elCIRCUNRADIO de dicho triangulo, siAC=16.a) 4 3 b) 2 3 c) 2 d) 4 5 e) 3 2
09. En un tringulo ABC issceles, =m B 120 y AB=4. Hallar la distancia del INCENTRO alEXCENTRO relativo al lado AC.
a) 8 3 b) 2 3 c) 2 2 d) 3 5 e) 3 2
10. La suma de las distancias del BARCENTROde un tringulo a sus vrtices es 26.Calcular la suma de las medianas de dicho
triangulo.a) 30 b) 39 c) 36d) 52 e) 48
11. En un tringulo ABC, la =m A 45 , la rectade EULER es paralelo al lado BC, la alturaAQ mide 6m. hallar la longitud delCIRCUNRADIO de dicho triangulo.a) 8 3 b) 2 3 c) 2 2 d) 3 5 e) 3 2
12. El ngulo B de un tringulo acutngulo mide45, la distancia de su ORTOCENTRO alvrtice B es 8. Calcular el CIRCUNRADIOde dicho triangulo.a) 8 3 b) 2 3 c) 2 2 d) 4 2 e) 3 2
13. Se tiene el tringulo ABC donde se trazanlas cevianas AM y BN que se intersecan enO, siendo O el CIRCUNCENTRO del
tringulo. Si se verifica que: =m AMB 70 y =m ANB 80 . Calcule la medida del nguloC.a) 45 b) 35 c) 50d) 75 e) 60
14. En un tringulo acutngulo ABC deORTOCENTRO L, la recta de EULER cortaal lado AC en el punto F. calcular la medidadel ngulo AFL, si: AF=2FC=2LB.a) 30 b) 45 c) 60
d) 37 e) 5315. La distancia del CIRCUNCENTRO de untringulo acutngulo ABC al lado AC es 5m.hallar la medida de la altura BH, si la rectade EULER es paralela al lado AC.a) 10 b) 13 c) 17d) 15 e) 12
16. Determinar la distancia del circuncentro albaricentro en un tringulo si sus lados miden5; 12 y 13.a) 13/2 b) 13/3 c) 13/4
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GRUPO INGENIERAS
d) 13/6 e) 13/5
17. Calcular el valor de x, sabiendo que: T, P yQ son puntos de tangencia, tal como seindica en el grfico adjunto.
a) 32b) 74c) 52d) 68e) 64
18. En un tringulo acutngulo ABC, O es el
circuncentro; BO prolongado interseca en D
a AC , calcular m BDC .Si m ABO 10 y m OBC 30
a) 70 b) 80 c) 50d) 75 e) 85
PROPORCIONALIDAD01. Hallar x si AC + BD = 48.
a) 6b) 12c) 14d) 16e) 18
02. En un tringulo ABC, AB=40cm, BC=20cm yAC=42cm, Se trazan las bisectrices interiorBD y exterior BE. Calcular la longitud de CE.a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44
03. Del grfico CD//EB ; AB=11; BC=7; AE=EFy BP=14. Hallar PF.
a) 4b) 6
c) 8d) 10e) 12
04. En un tringuloABC, se traza la bisectriz BDy en los tringulos ABD y BDC se trazan lasbisectrices interiores BE y BF tal que AE=2u,EB=3u, DF=5u. calcular FC.
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
05. El lado AB de un tringulo mide 12 cm. Porel baricentro del tringulo se traza unaparalela a AC que corta en Q a AB . HallarBQ.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10
06. En la figura: AC//MN ; AB=6m, AC=14m.Calcular MN.
a) 4b) 4,5c) 5d) 5,5e) 6
07. Se tiene el ABC donde AB=BC=12cm, enAB se toma el punto medio P, sobre la
prolongacin de AC se toma el punto R demanera que AC=CR, sobre BP se toma elpunto F de manera que BF=4cm, PR y FRintercepta el lado BC en los puntos E y Drespectivamente. Calcule la longitud de DE.a) 1 b) 3 c) 2d) 5 e) 4
08. Del grfico calcular x si: 4AB=3BC; EF=8.
a) 1b) 2
c) 4d) 6e) 8
09. En un tringulo ABC se trazan la bisectrizinterior AD y la ceviana BP que se cortan
perpendicularmente. Si1
3
AP
PC= y BC = 25,
T
B
CAQ
O x
52
A
12
21
7
B
C
D
E
F
G
H
x
A
B
C
DE F
P
A
B
C
M N
A
B C
D
E Fx
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hallar BD.a) 4,5 b) 5 c) 6d) 7,5 e) 10
10. En la figura AE=5, EF=8 y CD=6. Hallar DF.
a) 9,5b) 10,5c) 9,6d) 7,5e) 10
11. En un tringulo acutngulo ABC, se trazanlas bisectrices interiores AQ y CP . HallarQC, si AP=2, PB=3 y BQ=4.
a) 717 b) 722 c) 732
d)7
12 e)
7
18
12. En la figura mostrada, BC=8m, CD=12m,DE=9m; calcular AB.
a) 8m b) 9mc) 12m d) 7me) 6m
13. Dado el tringulo ABC, se traza la bisectriz
interior BD y la mediana BM . Hallar:AC
DM,
si AB 3=BC 5
a)1
4 b)
1
5 c)
1
8
d)2
7 e)
1
9
14. El permetro de un tringulo ABC es 36 cm.Hallar AC si el segmento que une el incentro
con el baricentro es paralelo a AC .a) 8 b) 9 c) 12d) 18 e) 24
15. Hallar IG, s AC//IG . I: incentro,G: baricentro.
A)1
15 B) 3
14 C)
4
3
D) 221
E) 34
16. Se tienen dos circunferencias tangentesinteriormente en A luego se trazan lascuerdas AC y AD en la circunferencia mayorcortando a la menor en B y Erespectivamente. Si AB=1m, BC=1,5m,AE=2m; hallar DE.a) 4m b) 3m c) 5md) 6m e) 7m
17. En la figura AB, BC, AC son dimetros.AB=4, EF=10 y CG=12; hallar GH
a) 4,5b) 4,2c) 4,7d) 4,8e) 4,6
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
01. En un tringulo ABC, mA=2mC, AB=6 y
BC=10. La bisectriz de B corta al lado AC en P. Hallar PC.a) 6 b) 7 c) 19/2d) 20/3 d) 19/3
C
A
B
C
D
F
E
A
B
C
G
10 18
I
A B C
E
F
G
H
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7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
02. En la figura, hallar ML, si AB=c, MN=a,AC=b
a) abcb) ab/cc) ac/bd) bc/ae) ab
03. En la figura se tiene que AN=4 m y AC=18m. Hallar AH.
a) 6 2 m
b) 5 2 mc) 8 m
d) 9 2 m
e) 8 2 m
04. En un tringulo acutngulo ABC se trazan
las alturas AR y CQ . Calcular RQ, si AC=8y mB=60
a) 2 2 b) 3 c) 3 3
d) 5 e) 4
05. En un tringulo obtusngulo (AB=BC) setraza la mediatriz de AB que corta a la
prolongacin de CB en P. Hallar AC, si AB=6y BP=9.
a) 6 b) 2 6 c) 3 6
d) 4 6 e) 5 6
06. En la figura, calcular el valor de x
a) 12b) 16c) 18d) 20e) 22
07. AE=6, BC=12, AC=18, DE//CB , BP=PE.Hallar DE.
a) 2b) 6c) 5
d) 7e) 4
08. Del grfico, calcular x.
a) 3b) 4c) 5d) 6
e) 7
09. En un tringulo ABC se traza la mediana BMluego se traza una paralela a BM que cortaa AC y BC en los puntos E y Frespectivamente y a la prolongacin de ABen G, BM=8m y EF=3m. calcular FG.a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
10. Segn el grfico, calcular BA, si BC=12 y
2CQ
5PD
7AR
==
a) 4b) 6c) 7d) 8e) 10
11. En la figura, ABCD es un paralelogramo. SiAB=9, AD=12 y PR=6. hallar PQ.
A) 1.2B) 6.3C) 4D) 4.5E) 5
A
B
CD
RP
Q
A
N
B
CM
L
A
B
C
M
N H
8n
14n
x6
C P
D E
B
A
AH C
M
B
F
Q
x
5
39
P
A
B C
DQ
R
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
12. Un tringulo ABC est inscrito en unacircunferencia, la bisectriz del ngulo Aencuentra a BC en D y a la circunferencia enE. si AD=5m, DE=4m. calcular BE.a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
13. La circunferencia inscrita en un tringuloABC es tangente a AB, BC y AC, en M, N yL respectivamente, la recta paralela a MNtrazada por B interseca a la prolongacionesde LM y LN en P y Q respectivamente, siPB=9m y BQ=12m. hallar BN
a) 2 2 b) 3 2 c) 5 2
d) 2 e) 6 2
14. Calcular PQ, PQ//AC. Si AC=12 y G:
Baricentro del ABC.
a) 3b) 4c) 5d) 6e) 8
15. Calcular AT, si T es punto de tangencia,AB=4 y TC=3TB.
a) 6b) 8c) 10d) 12e) 16
16. Calcular x.a) 5b) 7,5c) 9
d) 10e) 12,517. En un romboide ABCD, M es punto medio
de AC, P es punto de AD y Q es puntointerior del tringulo ACD tal quemBCA=mACQ=mQCD, si MC=2AM,PM//QC, MQ // BC y PM=5u. Hallar MQa) 9 b) 10 c) 11d) 15 e) 12
18. En un tringulo MNP, se traza la ceviana PQ
tal que MQ=3,5u, NP=6u, mNMP=mNPQ.Hallar MN.a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5
RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOSRECTANGULOS
01. Hallar: AB; BH=2
a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10
02. En la figura, AB=12 y BC=4. Calcular EF.
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
03. Hallar: AB; BH=9; HC=4 y MH=2
a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10
04. Hallar AP; BH=4; AF=6 ABCD es uncuadrado
a) 6b) 8c) 9d) 10e) 12
A
B
C
GP Q
A
T
B C
A
B
C D
E
6 x
12
15
CA B H
M
P
A B C
E
D
F
B C
A D
H
M2
B C
A D
H
P
F
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
05. Hallar: x
a) 310 b) 6c) 15
d) 20e) 100
06. Hallar:a
b
a)1
2 b)
2
9 c)
1
3
d) 9 e) 7
07. En la figura. Hallar la distancia OP entre loscentros de las circunferencias.
A) 310
B) 10 2
C) 5 2 D) 2 3
E) 3 2
08. Siendo A, B, C puntos de tangencia. Hallar
3
1
R
R; Si: AB=2BC
a) 1/2
b) 1/3c) 1/4d) 2/3e) 2/5
09. Se tiene un tringulo ABC, AC=16m, ladistancia del ortocentro al vrtice B es 12m.Calcule la longitud del circunrario deltringulo ABC.a) 10 b) 16 c) 15
d) 20 e) 11
10. En un tringulo NMP, recto en N. si
NP = 7u ;MN 3
=MP 4
, Q en un punto de MN
tal que MQ es media aritmtica de MN y
QN. Calcule la longitud de MQ.a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0d) 2,5 e) 3,0
11. En la figura AD es dimetro; BM=4u yMC=9u. Calcule FM
a) 5b) 6c) 7
d) 8e) 10
12. En ambas orillas del ro Apurmac, crecendos rboles de eucalipto de 30m y 20m,respectivamente; se encuentran separadosa una distancia de 50m; en la copa de cadarbol se ubica un pato esperando laaparicin de algn pez; de sbito los dospatos descubren un pez; se lanzan con lamisma velocidad y logran atraparlo. A qudistancia de la base del tronco del eucaliptomayor fue atrapado el pez?a) 25 b) 40 c) 30d) 20 e) 15
13. Calcular x, si AB=8, BP=4 y PC=9
A) 0,5B) 1C) 1,5D) 2E) 2,5
14. Una rueda est apoyada en un ladrillo comomuestra el grfico. AB=12, BC=8. Hallar R.
a) 12b) 13c) 14d) 15
8 17
x
5
34
OP
A
B P
xC
DO
AB
C
R
4 81
a b
R1R2
R3
A B C
DFA
B
C
M
O
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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Av. Arenas N 121 Telf. 322577Anexo 302 30
GRUPO INGENIERAS
e) 17
15. En un tringulo rectngulo ABC, recto en"B", se traza la altura y la bisectriz interiorlas cuales se cortan en "P". Si: AD.PD = 72,calcular "BP". En un tringulo rectnguloABC, recto en "B", se traza la altura y labisectriz interior las cuales se cortan en "P".Si: AD.PD=72, calcular "BP"a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8
16. En un tringulo ABC, recto en B, se traza laceviana interior BR, tal que AB=BR. HallarAB, si AC.AR=72a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8
17. En un tringulo rectngulo ABC recto en Bdesde el pie de la altura BH se traza laperpendicular HS a AB; si BH+AH=12m yAB.HS=32m. Hallar AB
a) b) c) 30
d) a)
18. Los lados de un tringulo rectngulo seencuentran en progresin aritmtica derazn igual a 2. Evaluar la longitud del
cateto mayor.a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOSOBLICUANGULOS
01. Calcular "PB", si: AO=OB= 3 y R= 2
a) 2 b) 4 2
c) 3
d) 2 2
e) 3 2
02. Las bases de un trapecio miden 4 y 10 u ylos lados no paralelos miden 5 y 7 u. Hallarel segmento que une los puntos medios de
las bases.
a) 2 7 b) 3 7 c) 2 14
d) 3 14 e) 21
03. En un tringulo ABC, AB=c, BC=a y AC=b,calcular la m
BAC,
Si: 2 2 2a = b + c + 3.bc a) 90 b) 135 c) 150d) 127 e) 143
04. Hallar "AP", si: AB=8cm, AC=BC=10cm yAM=MC
a) 2b) 3
c) 4d) 3,2e) 4,8
05. Las medianas de un tringulo rectngulo,trazadas a partir de los vrtices de los
ngulos agudos miden 5u y 40 u. lalongitud de la hipotenusa es.
a) 13 b) 3 13 c) 2 13 d) 2 3 e) 5 13
06. Si la mediana relativa a la hipotenusa de untringulo rectngulo mide 5cm y forma unngulo cuya medida es 30 con el catetomayor. Hallar la distancia del baricentro alvrtice opuesto del cateto menor.
a)
3
13 b)
2
3
13 c) 2 13
d) 2 3 e)5
3
13
07. En un tringulo ABC, M es punto medio deAC y N BC tal que la mNMC=90, siAB=13cm, BC=14cm. Hallar la longitud deMN.
54 56
68 23
R
P
A
B
0
B
P
A H M C
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
32/291
Av. Arenas N 121 Telf. 322577Anexo 302 31
GRUPO INGENIERAS
a)20
3 b)
25
3 c)
28
3
d) 28 e) 25
08. Dado el tringulo ABC circunscrito a unacircunferencia, la cual es tangente al lado
AC en el punto F. si AB=5cm, BC=7cm yAC=6cm. Calcule BFa) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 7
09. En un tringulo ABC, la medianas BM y CN
son perpendiculares. Calcule2 2
AB + A C2
BC
A) 4 B) 5 C) 6D) 8 E) 7
10. Si ABCD es un trapecio issceles,determinar x. CD=10
A) 7
B) 69 C) 89
D) 79 E) 9
11. En un tringulo ABC se traza BH perpendicular a la bisectriz interior trazadade C calcular AH, s AB=15; BC=13 yAC=14a) 12 b) 6 c) 8
d) 61 e) 51 12. Los lados AB y CD de un trapezoide ABCD
miden 18 y 20; y el segmento que une lospuntos medios de los otros dos lados mide17, calcular la medida del ngulo queforman las rectas que contienen a los ladosAB y CD.a) 60 b) 120 c) 53d) 37 e) 74
13. En un tringulo acutngulo sus lados formanuna progresin aritmtica de razn r,calcular el mximo valor entero de r, si elpermetro del tringulo es 144.a) 13 b) 9 c) 12d) 10 e) 11
14. En el grafico mostrado calcular x, si:OA=OB=20 y OM=MB.
A) 6B) 8
C) 4 2 D) 10E) 5
15. En un tringulo ABC se cumple que:2 2a c bc y m B 54= ; calcular m C .
a) 46 b) 42 c) 44d) 52 e) 36
16. Los lados de un tringulo miden 2k, 3k, 4k.determinar k, si la altura relativa al ladointermedio mide 15 a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
17. En un paralelogramo ABCD, AB=6, ladiagonal AC=8 y BD=12. Hallar AD.a) b) c)
d) e)
18. En el cuadriltero ABCD, donde susdiagonales AC y BD se cortanperpendicularmente, se cumple que: AB=3,BC=2, CD=5. Calcular la longitud del cuartolado.a) b) c)
d) e)
RELACIONES METRICAS EN UNA
CIRCUNFERENCIA
01. Calcular EF, si: AG=DC=4, DE=5 y AB=2.
a) 6b) 5c) 4d) 3e) 2
5 17 2 5
2 17 17 5
15 30 2 15
2 21 4 22
G
AB
C
D
E
F
A
M
B C
N
D12
x
8
O
A
BM
x
-
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Av. Arenas N 121 Telf. 322577Anexo 302 32
GRUPO INGENIERAS
02. Si "T" es punto de tangencia; AB=4u; TC=6uy la media del arco BT=2. Hallar "BC"
a) 6b) 7c) 5d) 8e) 4
03. Si: AB=8u, BC=10u y CT=TE=6u. Hallar"TD"
a) 2
b) 3c) 4d) 2,5e) 3,5
04. Si: ABCD es un romboide; adems AQ=10uy QD=12u. Hallar "CE"
a) 3,6b) 2,8c) 5,4d) 4,4e) 6,3
05. la figura se muestra un cuadrado ABCD,
cuyo lado mide 4. Se ha inscrito unacircunferencia tangente a todos los lados yun cuadrante que lo interseca en P y Qsegn como se muestra. Se pide determinarEP.
a) 3b) 2c) 3,6d) 2,4
e) 2 5
06. Calcular PC, si: AM=MC, AQ=2 y PQ=4.
a) 2 5 b) 2 6 c) 6d) 3
e) 3 2
07. En la figura mostrada; calcular PB, si3AM=5PM; PN=BN; AB=10 y BC=6.
A) 3 2
B) 3 2 C) 3 2
D) 3 2 E) 3 2
08. En la figura mostrada, calcular AT, si: AH=ay HB=b.
a) 2 2a b
b)
2
a ab c) 2a ab
d) ab
e) 2 2a b ab
09. En la figura O es centro y C es punto detangencia de EO con la circunferenciamenor. Si adems se sabe que: AB=1,
BC=2 y CE 7 ; calcular CD.
a) 6b) 7
c) 3 7 d) 14e) 12
10. En la figura mostrad; T es punto de
AH B
T
P
B
C
A
T
D
B T
EA
C
B C
DA
Q
E
A
B C
D
P
Q
E
A
M
Q
CB
P
A
M
P
N
BC
F OD
A
E
B C
-
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Av. Arenas N 121 Telf. 322577Anexo 302 33
GRUPO INGENIERAS
tangencia y TA PQ , si: AB=2, BC=1 yCD=7, calcular AQ.
a) 2 2 b) 5
c) 2 d) 1e) 2
11. En la figura mostrada; AC es dimetro; si:EF=3 y FG 2 , calcular: GH.
a) 5b) 5
c) 6 d) 4
e) 2 3
12. En una semicircunferencia de dimetro AB yde centro O, se inscribe un cuadrado OPQL,de modo que Q pertenece a lacircunferencia, se traza la cuerda BE quecontiene al punto P, si PO=3cm. CalculeEP.a) 2 b) 5 c) 3 d) 2 3 e) 3 3
13. Dado un cuadrado de centro F, por F y Dpasa una circunferencia que intercepta a loslados AD y CD, desde B se traza la secanteBPQ a la circunferencia, si BP=4cm yPQ=5cm. Calcular BC.a) 6 b) 7 c) 3
d) 4 e) 5
14. Del grfico, calcule 2 2PE / TE , si DE=2r
a) 1b) 1,2c) 1,25d) 2e) 0.8
15. En un tringulo acutngulo ABC lasemicircunferencia de dimetro ACintercepta a la altura BQ en el punto P talque BP=3u y PQ=6u. Calcule la distanciadel ortocentro del tringulo ABC al lado AC.a) 2 b) 6 c) 3d) 4 e) 5
16. En un tringulo KLM, de mediana LN, setraza la circunferencia que pasa por L y N(N es un punto de tangencia), e intercepta aLK y LM en los puntos P y Q. si LK=8cm,LP=6cm y LM=10cm, entonces LQ mide.a) 8 b) 8,2 c) 8,3d) 8,4 e) 9
17. En la figura, O es centro del arco FT
tangente en T a la circunferencia de centroP. Calcular la longitud del radio r.
a) 6b) 6,4c) 6,8d) 7,2e) 8
18. En la figura, O es centro de lacircunferencia, r=3,5 y HC=9. Hallar BC.
a) 11b) 13c) 14d) 12e) 15
POLIGONOS REGULARES
01. El lado de un tringulo equiltero inscrito en
una circunferencia mide 8 3cm . Calcularel permetro del cuadrado circunscrito a lamisma circunferencia.a) 48 b) 52 c) 56d) 64 e) 72
AQ
C B
T
P
D
AH
G
C
F
E
A
P E
C D
OT
r
AO F
P
T
12 8
A
B
C
r
O H
-
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GRUPO INGENIERAS
02. El permetro de un hexgono regular es 60.Calcular su apotema.a) 10 b) 12 c) 4 3
d) 16 e) 5 3
03. Se tiene un hexgono regular inscrito en
una circunferencia cuyo radio mide "a".Hallar el permetro del polgono que seforma al unir los puntos medios de treslados no consecutivos del hexgonoa) 3a b) 5a c) 6ad) 3,5a e) 4,5a
04. En un hexgono regular ABCDEF de lado
igual a 13 las prolongaciones de la
diagonal CA y el lado EF se cortan en
"P". Hallar "PDa) 13 b) 13 c) 2 13
d) 13/2 e) 3 13
05. En un tringulo equiltero cuyo permetro
mide 18 13cm . calcular el permetro delhexgono regular inscrito en dicho tringuloequiltero.
a) 13 b) 13 13 c) 2 13
d) 10 13 e) 12 13 06. Se tiene un cuadrado cuyo lado mide 8 2 .
Si a partir de cada vrtice se disminuye unacierta longitud "x", se formarn en cadaesquina tringulos rectngulos issceles;eliminndolos quedar un octgono regular.Calcular "x".
a) 8( 2 1) b) 2( 2 1) c) 2 1d) 6 2 e) 2 2
07. Hallar el permetro del cuadrado circunscritoa una circunferencia circunscrita a un equiltero de lado igual a 6 3 .
a) 24 3 c) 48 e) 30
b) 36 d) 36 3
08. Hallar la apotema de un hexgono regularcircunscrito a una circunferencia inscrita en
un tringulo equiltero de lado 18.
a) 3 3 b) 6 3 c) 4d) 3 e) 6
09. En una circunferencia de radio 2 m se
encuentra inscrito un ABC. Calcular lamedida del lado AC si el arco AB mide 90y el arco BC mide 120.
a) 2 2 b) 6 c) 1+ 3
d) 2 e) ( 2 + 3 )
10. En la figura, AD es el lado de un cuadrado
inscrito y BC = 2 3 . Hallar el radio de lacircunferencia.
a) 6
b) 4 3
c) 3
d) 2 3 e) 4
11. Se tiene un hexgono regular inscrito enuna circunferencia de radio R. Determinarel permetro del cuadriltero que se forma al
unir los puntos medios de dos ladosconsecutivos con el centro de lacircunferencia.
a) 7R2
b) ( )R 3 -1
c) ( )R 3 - 3 d) ( )R 3 +1
c) R(2 3 -1)
12. Hallar la longitud del lado del polgonoregular inscrito en una circunferencia, cuyoradio mide 5 cm, si se sabe que la longitudde su apotema es igual a la diferencia de lalongitud del lado del polgono con lalongitud del radio de la circunferenciacircunscrita.a) 7 cm. b) 8 cm. c) 9 cm.d) 6 cm. e) 5 cm.
A
B
CD
P15
-
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GRUPO INGENIERAS
13. En la figura, O es centro, AQ=R 2 y BP=
R 3 . Calcular x
a) 45b) 30c) 60
d) 75e) 90
14. Calcular la altura del trapecio ABCD.Si = 3 -1R a) 1b) 2 c) 3 d) 2 / 2
e) 3 / 2
15. Calcular la razn entre los lados de loscuadrados inscritos y circunscritos a umamisma circunferencia.a) 2 / 2 b) 2 / 4 c) 1/2
d) 2 / 3 e) 2 / 8
16. Dado un tringulo ABC: m A =10 ,
m C=20 y AC = 34 . Hallar la longituddel segmento que une los pies de lasalturas trazadas de los vrtices A y C.
a) 3b) 3 3 c) 6d) 6 3 e) 9
17. De la figura. Calcular FM
a) 2 2
b) 4 - 2
c) 4 - 2 2
d) 2 2 - 2
e) 2 - 2
18. La figura muestra un hexgono regular y untringulo equiltero. Qu relacin hayentre sus permetros?
a) b) c)
d) e)
REAS
01. En la figura mostrada, calcular la razn delas reas de las regiones triangulares ABCy MTN.
a)b) 1/2
c)
d)
e)
02. En la figura mostrada; OA=OB=6m,
OM=MB y , determinar el rea dela regin triangular OPM.
a)b)
c)
d)
e)
03. En una circunferencia se inscribe uncuadriltero ABCD, si AB=2m y BC=4m,
2 5
5
2 3
3
3 5
5
2 3
5
2 5
7
1
22
322
3
AN NB
2
3m24m
23 2m26m
21,5m
M
A
B
C
N
T
x
R
O
A
P Q
B
120
R
O
A
P Q
B
60
A
O
P
N
BM
A
B C
D
2x
O
H
F M
A
Q
C
H
B
150
x
-
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GRUPO INGENIERAS
calcular el rea de la regin triangular ACD,sabiendo adems que l esequiltero.
a) b) c)
d) e)
04. Determinar S, si: .
a)
b)
c)
d)
e)
05. Determinar el rea de la regin sombreada:
a) 164 2cm
b) 166 2cm
c) 126 2cm
d) 170 2cm
e) 150 2cm
06. Hallar el rea de la regin sombreada,
sabiendo que AB es dimetro y O escentro:
AC CD DB 6cm= = = y AC, CD, DB sondimetros.
a) 248 cm
b) 243 cm
c) 236 cm
d) 240 cm
e) 245 cm
07. Hallar el rea de la regin sombreada, siABCD es un cuadrado de lado 10m.
a) 253
b) ( )25 23
+
c) ( )25 3 3 43
+ d) ( )25 3 43
+
e)25
2
08. Siendo I el incentro del tringulo ABC; AI=6
y CI=8 , calcular SAIC.
a) 24b)c) 18d)e) 16
09. En la figura mostrada, hallar el rea de la
regin sombreada, s AB 40m= .
a) 200 b) 100 c) 400 d) 156 e) 90
10. S: 1 1 1R r 2 + = Hallar el rea de la regin sombreada.
a) 8 b) 16 c) 9 d) 13 e) n.a.
11. En un tringulo ABC el segmento que uneel incentro con el baricentro es paralela aAC. Si AB+BC=16u y el inradio mide 2u.Calcule el rea de la regin triangular ABC.a) 12 b) 16 c) 18d) 21 e) 24
12. Sea ABCD un cuadrado y AEF un tringuloequiltero inscrito en ABCD. Si el rea de la
ACD
26 3m 27 3m 25 3m28 3m 214m
2m.n 18m29m218m24,5m227m
26m 2
24 2
18 2
n
m
S
A
I
B
C
A BC D
25 cm37
10cm
A D
10B C
10
A
B
Rr
-
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GRUPO INGENIERAS
regin triangular AEF es 3 cm2, el reade la regin cuadrada ABCD es.
a) 2 3 b) 2 5 c) 3 3
d) 4 3 e) 5 3 13. En rectngulo ABCD, se traza la diagonal
AC y DF perpendicular a AC (F en AC). SiDF=6 y AB=2(CD), el rea de la reginrectangular es.a) 30 b) 45 c) 60d) 120 e) 90
14. En la figura, I es centro de la circunferenciainscrita en el tringulo ABC. Si el rea de laregin rectangular ABCD es 34u2. Calculeel rea de regin rectangular EIFD
a) 28b) 36c) 24d) 18e) 16
15. En un ABC de ortocentro H y circuncentroO. Hallar la relacin entre las reas de lasregiones AOC y ABCH.
a) 1b) 1/2c) 1/3d) 2/3e)
16. En la figura: G es baricentro del ABC. SiAM=10cm; BN=9cm; NC=3cm, Calcular larelacin:
a) b) c)
d) e)
17. Halle el rea de la regin sombreada, si elrea de la regin triangular ABC es 90 cm2
a) 2cm
2
b) 3cm2c) 4cm2d) 5cm2e) 6cm2
18. Calcule el rea de la regin sombreada, siAR=RQ, BP=PR, PQ=QC y el rea de laregin triangular ABC es 28u2
A)
B)C)
D)
E)
19. Si ABCD es un rectngulo y CMNQ escuadrado de 2 m de lado. Hallar el rea dela regin sombreada AD=8m
a) 4m2b) 8 m2c) 6 m2d) 10 m2e) 14 m2
20. De la figura, calcular el rea de la reginABC, si S(APH)= 4 y S(HQC) = 9.
a) 16b) 18c) 20d) 24e) 25
MBN ABC
S / S
310
12
920
38
25
224u
23u2
4u27u
28 2u
3
M
A
B
N
C
G10
a9
3
.
A H
B
C
P
Q
A
B
CO
H
A
B C
D
I
E
F
A
B
C
P
Q
R
A
B C
D
Q
N M
-
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GRUPO INGENIERAS
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GRUPO INGENIERAS
SEMANA 01
NGULO TRIGONOMTRICO Y SISTEMA DEMEDICIN ANGULAR
ngulo tr igonomtr ico
El ngulo trigonomtrico se genera por larotacin de un rayo alrededor de su origen,desde una posicin inicial hasta unaposicin final.
Si la rotacin es en sentido antihorario elngulo es positivo. Si la rotacin es ensentido horario, el ngulo es negativo
Su magnitud es ilimitada:
< < +ngulos coterminales
Son ngulos que tienen los mismos elementos(vrtice, lado inicial y lado final).
Zk,)360( = K
SISTEMA DE MEDICIN ANGULAR
A) S. SEXAGESIMAL (S)
360
vuelta11
B) S.CENTESIMAL (C)
400
vuelta11 g
C) S. RADIAL (R)rad1
RELACIN DE CONVERSIN DE LOS TRESSISTEMAS
Donde: S: Nmero de grados sexagesimales. C : Nmero de grados centesimales. R : Nmero de radianes.
Entonces se cumple:
kR
200kC
180kS
=
=
=
Luego:
k
20R10C
9S ===
k20
R
10kC
9kS
=
=
=
rad20
g109 ==
PROBLEMAS
k
R
200
C
180
S===
Lado inicial
Lado final
(-)O
Lado inicial
Lado final
(+)
O
0
0g200g
400g
300g
100g
0180360
270
90
Arad
2 rad
3
2rad
2rad
B
Equivalencias:
1 vuelta =360
Equivalencias:1 vuelta = 400g
1g= 100m= 10
000s
1m= 100s
Si: = 1radin
R = LAB
1 vuelta = 2rad
O
S C R
0
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
01. Del grfico mostrado a qu es igual:10x 9y
A) 1 100B) 360
C) 280D) 2 400E) 1 800
02. Determinar la medida de un ngulo en elsistema sexagesimal, si se cumple:
2S 93
=C + 4
2
A) 30 B) 36 C) 45D) 48 E) 54
03. Al convertir
rad50
a grados
sexagesimales se obtiene AB ' , Calcular:
=
B 2AMB 10A
A) 7 B) 5 C) 11D) -2 E) -3
04. Siendo S, C y R los nmerosconvencionales y verificndose lascondiciones:
+ =
7mS nC 20R 6m+5n=
12
Determinar el valor de: mn
A) 3/5 B) 5/3 C) 9/10D) 10/9 E) 2/3
05. R, C y S son los nmeros que indican lamedida de un ngulo en los sistemasconocidos, si se verifica que:
+ + = +S 2 SC C 3 5 5 2 Hallar la medida de dicho ngulo en
radianesA)
4 B) 6 C) 5D)73 E) 35
06. Calcular la medida en gradossexagesimales de un ngulo que verifiquela siguiente relacin:
19
1+
40R=
19R
R+S+C
2
A) 60 B) 30 C) 90D) 80 E) 100
07. En la Figura adjunta calcular la medida delngulo A (en radianes)
A) 3 B) 1336 C) 74 D)
713E) 54 08. Cul es el ngulo en radianes para el cual
el nmero de grados centesimales ysexagesimales, verifica a la siguienteigualdad.
4
3
SC
S=
A) B) 45 C) 2D)32 E) 59
09. Efectuar:
E =45 + 30g
9rad
A) 1,2 B) 2,4 C) 3,6D) 4,8 E) 5,4
10. Determinar R si se cumple queA = B.
S +S +S + S . = A
x
g
y 2 rad3
80 3 C
80
A
B
D
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
42/291
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GRUPO INGENIERAS
C +C +C + C . = BA)
10 B)
95
C)35
D)1910 E) 511. De la figura Qu alternativa es correcta?
A) + = 90B) - = 90C) - = 90D) - - = 90E) = -2
12. De la figura calcular el valor positivo quetoma x
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10
13. Calcular el valor de expresado enradianes = 180 + 90 + 45 + 2230 + 1115 +
A) 6 B) 5 C) 4D) 3 E) 2
14. En la expresin:
5S
S
3
S3 = 296
Sabiendo que S representa un nmeroentero de grados sexagesimales contenidosen un ngulo, hallar la medida de dichongulo en radianes.
A)950 B) 825 C) 635
D)564 E) 445
15. Del grfico hallar x
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
16. Los ngulos iguales de un tringuloissceles son: (5x - 3) y (7x - 25)g. Hallar elngulo desigual expresado en radianes.
A)4 B) 5 C) 6
D)8 E) 9
17. Reducir la expresin:
P =2(2C + S)(2C S)
400R2
A) 319 B) 309 C) 303D) 296 E) 285
18. Sabiendo que:
48rad
Calcular:
35
BA
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
19. R. representa la medida de un ngulo enradianes.
2 3 = 22Hallar la medida de dicho ngulo en grados
(5x - 4)(4 8x)g
AD O
BC
25 x + 1g
13x +x
ra
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
43/291
Av. Arenas N 121 Telf. 322577Anexo 302 42
GRUPO INGENIERAS
sexagesimales
A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 60
20. Se inventa un sistema de medicin angular
de tal manera que su unidad angularequivale a la 150ava parte del ngulo deuna vuelta. A cuntos grados equivalen300?
A) 100 B) 120 C) 125D) 90 E) 105
21. Los nmeros que representan la medida deun ngulo en los sistemas sexagesimal y
centesimal son nmeros paresconsecutivos. Hallar el complemento dedicho ngulo expresado en radianes.
A)25 B) 23 C) 38
D)8 E) 6
22. Determine la medida de un ngulo enradianes, si:A = B
S +S
S +S
S +S
S +S
= A
=
A)3613500 B) 1811800 C) 3611800
D)1813600 E) 361900
SEMANA 02
RAZONES TRIGONOMTRICAS EN ELTRINGULO RECTNGULO
Se llama razn trigonomtrica al cociente que seda entre las longitudes de dos lados de untringulo rectngulo respecto a uno de susngulos agudos.
Las razones trigonomtricas en total son seis yestas son: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente,Secante y Cosecante.
Considerando:C.O. : Cateto opuestoC.A. : Cateto adyacenteH : Hipotenusa
Tener presente que la hipotenusa siempre esmayor que los catetos
Guindonos en el tringulo rectngulo anterior,podemos deducir las Razones Trigonomtricas
RAZONES TRIGONOMTRICAS
Razn Def.
Seno C.O.
H
asenb
=
csenb
=
Coseno C.A.H
ccosb
=
acosb
=
Tangente C.O.C.A. atan
c=
ctana
=
Cotangente C.A.C.O. ccot
a= acot
c=
Secante HC.A. bsec
c= bsec
a=
Cosecante HC.O. bcsc
a=
bcscc
=
Propiedades de las razones trigonomtricas:I. Razones trigonomtricas Recprocas
Conocemos que el recproco de un nmerocualesquiera viene a ser la inversa de dichonmero, en donde el producto del nmero y surecproco resulta ser la unidadEjemplo:
El recproco de N ser su inversa
1N , en
-
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GRUPO INGENIERAS
donde:Se denomina razones trigonomtricas recprocassi el producto de ellos resulta la unidad.
Nota: no cometas estos errores frecuentes:
II. Razones trigonomtricas de ngulosComplementarios (CoRazones)
Recordando que ngulos complementarios es la sumade dos ngulos agudos cualesquiera en donde lasuma resultante debe ser un ngulo recto (90)
CONCLUSIN:
RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOSNOTABLES:
30, 60, 45, 37 y 53
Para determinar la cofuncin o corazn de
las funciones seno, tangente y secante se
anteponeel prefijo Co.
Sen60 = Cos30
Sen = Sen(90 - )
-
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GRUPO INGENIERAS
PROBLEMAS
01. Del grfico, calcular:K = Tg+ Tg
A) 13/7 B) 13/6 C) 11/6D) 15/4 E) 5/9
02. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B,se cumple que:
TgA =9
40
Calcular:
E =41(SenA + CosA)CtgA + CscA
A) 7/3 B) 5/4 C) 10/9D) 2/5 E) 13/8
03. Del tringulo rectngulo mostrado, calcularel valor de:
E = Sec + Tg
A) 3/5 B) 3/2 C) 5/4D) 6/7 E) 2/3
04. Del grfico, calcular:E =
TgTg
A) 2 B) 3C) 4D) 5 E) 6
05. En la figura, calcular el valor de: Ctg
A) 2/5 B) 3/4 C) 4/5D) 2/9 E) 3/7
06. A partir del grfico, calcular:M = Ctg- Tg
A) 1/2 B) 3/4 C) 1D) 2 E) 2
07. A partir de la figura, calcule el valor de:
(3x - 2)
x
(2x + 2)
13
A
5
M B
C
A D
CB E
G
2
3F
-
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GRUPO INGENIERAS
2senMcos cos.
=
, si: AD DC
A) 1 B) 1/2 C) 2D) 3 E) 1/3
08. Conociendo que:
A = Tg1.Tg2.Tg3.Tg45B = Tg46.Tg47.Tg48.Tg89
Calcular:
=
2M AB tan AB4
. A) 3 B) 2 C) 1/2D) 1/3 E) 1
09. Del grfico adjunto, calcule:M = 3Ctg 11Tg
A) 43 B) 83C) 103 D) 113E) 5
3
10. De un tringulo rectngulo ABC, se cumple:TgA + TgC = m.Calcular el valor de: SenA.SenC
A) m B) 3m C) 1mD)
3m4 E) 2m5 11. De la figura siguiente, determine el valor de
d
A) 4 B) 8 C) 12D) 16 E) 20
12. Hallar Tg
A) 1 B) 2 C) 3D) 1/2 E) 1/3
13. Si Tg=2/3, AB=2, AD=3, calcular: Tg
A) 7/4 B) 4/7 C) 4/9D) 9/4 E) 2/5
14. Hallar el valor de:(Ctg+Ctg)Tg
O37
B
A
A
D
B
C
D C
B
A
60
30
-
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GRUPO INGENIERAS
A) 1 B) 2 C) 4D) 1/2 E) 1/4
15. Calcular el valor de Tg
A) 1/4 B) 1/5 C) 1/6
D) 1/8 E) 1/9
16. Calcular el valor de Sen si ABCD es uncuadrado
A)81765 B) 81775
C)81785 D) 81755
E)81795
17. Del grfico mostrado, calcule Tg. Si setiene que : 13Csc-12Ctg = 15
A) 5/3 B) 3/5 C) 3/4D) 4/3 E) 4/5
18. De la figura mostrada, calcular el valor deTg
A)mn B) 2mn C) m2n
D) n2m E) m+nmn19. Si el rea del tringulo sombreado es
de 66 m2y adems : Tg=3/5; determine d
A) 15m B) 19m C) 23m
A
D
B C
E
53
45
A M D
37
B P C
O 12
B
C
A
5
n
37A B
C
D
d
-
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GRUPO INGENIERAS
D) 27m E) 31m
20. De la figura, si AOB es un sector circular,adems MN =2; OH = 52.Calcule ctg
A) 3B) 5C) 9D) 6E) 4
21. De la figura, calcule L = ctgctg
A) 6B) 9C) 3D) 8E) 12
SEMANA 03
RESOLUCIN DE TRINGULOSRECTNGULOS REAS DE REGIONES
TRIANGULARES
CASOS DE RESOLUCIN DE TRINGULOS.A) Cuando se conoce un ngulo agudo y elcateto hipotenusa a este.B) Cuando se conoce un ngulo agudo y elcateto adyacente a este.C) Cuando se conoce un ngulo agudo y elcateto opuesto.
CASO ESPECIAL
(Tringulo Issceles)
REA DE LA REGIN TRIANGULARrea de un tringulo en funcin de dos lados y elngulo comprendidoEl rea de un tringulo cuales quiera se puedehallar conociendo dos lados y el ngulocomprendido entre ellos.
REA DE UN CUADRILTEROConociendo las diagonales y el ngulo
comprendido.
PROBLEMAS
01. Hallar x
A) mSenSen B) mSenCos
x
m
A D
B
C
30
A
b
Cbcos
bsen
B
A
asec
Ca
atg
B
A
mcsc
Cmctg
m
B
A
Cmcos
m
B
mcos
BC = 2mCos
Area =abSenC
2=
bcSenA
2=
acSenB
2
B
Ac
b
a ch
d1
d2
= 122
-
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GRUPO INGENIERAS
C) mCosCos D) mCosSenE) mTgCtg
02. Hallar x
A) R(Csc+Ctg+1)B) R(Csc+1)TgC) R(Csc+1)CtgD) (Csc+1)CosE) R(Sec+1)Ctg
03. Hallar x
A) R(1 sen) B) R(sec 1)C) R(1 cos) D) R(csc 1)E) R(1 tg)
04. Hallar x
A) RCtg B) RTgC) R(Ctg+1) D) R(Tg+1)E) R(Sen+1)
05. Hallar: CD
A) mSenTgB) mCosCtgC) mCos2D) mSen2E) mSen
06. Calcule el rea de la regin limitada por unterreno de forma triangular, donde dos desus dimensiones miden 8m y 11m y elngulo que forman dichas dimensiones es
45.
A) 202m2 B) 222m2C) 212m2 D) 102m2E) 152m2
07. De la figura hallar x en trminos de : a; y
A) aCscSen B) aTgTgC) aCscSen D) aSenSenE) aTgCtg
08. La longitud de la hipotenusa de un tringulo
rectngulo es m y uno de sus ngulosagudos mide . Halle el rea de dicharegin en trminos de m y .
A)m2 sencos
B)m2 tgsec
C)m4 sen
R
x
A
B
O
R
H
x
R
2x
D C
A B
m
x
a
8m
11m
A
B
C
S
-
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GRUPO INGENIERAS
D) m3 ctgcosE)
m4 sencos09. En un tringulo ABC, se tiene que
B = 60, se traza la bisectriz BD (D
AC
.
Calcule BD, si AB = 4, BC = 2.
A)233 B) 433 C) 332
D) 423 E) 234 10. Hallar x
A) mSen2 B) mCos2C) mSenCos D) mSenTgE) mSecCsc
11. En la figura mostrada, calcular el valor dex. si AC=4 y m BPC 53= .
A) 3Cos 4Sen+ B) 3Cos 4Sen C) 4Cos 3Sen+ D) 3Ctg 3Sec E) 4Cos 3Sen
12. En la circunferencia de radio R se ha
inscrito el tringulo ABC con AB=AC. Si lamedida del ngulo BAC es
, entonces lalongitud del lado BC es:
A) RSen
B) RSen2
C) 2RCos
D) RCos2
E) 2RSen
13. Calcular x en la figura:A) a bsen
B) asen ncos+ C) acos bsen+ D) asen bcos E) acos bsen
14. Hallar x en trminos de m; ;
A) mctgtgB) mtgctgC) msentg D) mtgcosE) mseccsc
15. Del grfico mostrado, hallar:S = OA + OB + OC + OD + .
A)11Sen
B)
11Cos
C) 1+Sen1SenD) 1+Cos1CosE)
1Cos1+Cos16. Del grfico mostrado, halle la longitud del
segmento PB en trminos de m, ,
A) msentg( )
B) msenctg( )C) mcostg( )D) mcosctg( )E) m(tg ctg)
B
A
D
HCm
x
A
B
C
D
E
O
1
CA
P
B
m
A P B
C
x
a
b
x
B
A
C
O.
x
m
-
7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
17. Expresar PQ en trminos de ; y x
A) xtgctg+ctg B) xctgctg+ctgC) xcossec+csc D) xsenctgctgE)
xctgctgctg18. Hallar el rea del rectngulo ABCD en
funcin de , si : MN = 1
A) Sec.Csc B) Sec2.Csc2C) Sen.Cos D) Sen2.Cos2E) Sen3.Cos3
19. La figura muestra un cuadrado cuya rea es264m y tal que PC BP . Calcular AM si
AP 6m .
A) 12 5m
B)12 3m5
C)16 3m5
D)
12
5m5 E) 12 3m
20. En la figura mostrada se cumple:
AB BC R= y 2sen cos M+ = ,
Determinar: PQ . ABC y PBD son sectorescirculares concntricos.
A) RM
B)R
M
C) R M 1
D) R M 1
E)2RM
21. En la figura la longitud del segmento PS yRT es L y el segmento TS es k. el valor de kest dado por:
A) L Sen Sen
B) L Sen Sen+
C) L Sen Sen
D) L Sen .Sen
E) L Cos Sen+
22. Si ABCD es un cuadrado m EBA 53= ,
m DCE = , m BEA 90= , Calcular:K 5 10.Cos
A) 18B) 15C) 12D) 9E) 6
23. De la figura mostrada, m ABC 90= ,
m CBD = ; AB p ; BC x ; BD q .
Calcule x.
A) pqCosp qSen
B) pqSen
p qCos
+
C) pqSenq pCos
+ D) pq
pSen qCos+
M D C
A B
N
8
B
C
D
P
Q
x
A B
C D
O
P '
PM
6m
B C
A
PQ
P R Q
S
T
A
B
D C
AB
C D
E
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7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
=( ) + ( )
E) pqCosq pSen
SEMANA 04:
INTRODUCCIN A LA GEOMETRAANALTICA
PLANO CARTESIANOEl plano cartesiano son dos rectas realesperpendiculares, una horizontal cuyo nombre esABSCISAS, ms conocida como eje x y la otravertical, llama eje de ORDENADAS, msconocida como eje y.
Recta x : AbscisasRecta y : OrdenadasO : Origen de
coordenadasEjemplo:
Punto P(3; 2) abscisa 3 y ordenada 2.DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Segn Pitgoras: = ( ) + ( )
Divisin de un segmento en una razn (r)dada
Utilizar la frmula:
(m + n)P = nP1+ mP2
BARICENTRO DE UN TRINGULOTambin llamado punto de equilibrio de untringulo, centroide, el centro del tringulo.
G(x, y): BARICENTRO
x =x1 + x2 + x3
3
y = y1 + y2 + y33 REA DE UN POLGONODaremos la frmula, para un polgono de tresvrtices, para polgonos de ms vrtices, lafrmula generalizada.
S =1
2 x1 y1x2 y2x3 y3
x1 y1
S =12(x1y2+ x2y3+ x3y1x2y1 x3y2 x1y3)
B
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3
y
P1(x1; y1)43
2
1
-1
-2
-3
-4
A
x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
P2(x2; y2)
y
0 x
P3(x3; y3)
P1(x1; y1) P2(x2; y2)
S
y
0 x
G(x; y)
P3(x3; y3)
P1(x1; y1) P2(x2; y2)
x2
y
P
x
P22
1
nk
mk
P1
x1
R
S
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7/23/2019 Compendio 2015-II Grupo Ingenierias
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GRUPO INGENIERAS
PROBLEMAS
01. Determine las coordenadas de un punto Pque equidiste de los puntos A(2;7), B(-4;3) yC(6;3).
A) (1;2) B) (2;-1) C) (1/2;1)D) (2;1) E) (1;1/2)
02. Qu tipo de tringulo, determinan los puntosA(-1;3), B(-3;-3) y C(11;-1)
A) Issceles B) EquilteroC) Escaleno D) RectnguloE) Rectngulo issceles
03. Dados los puntos A(2;5) y B(14;17);determine las coordenadas de los puntosque trisecan al segmento AB.
A) (5;9) y (10;13)B) (6;9) y (12;15)C) (8;10) y (10;13)D) (6;9) y (10;13)E) (6;9) y (12;14)
04. Los puntos P(7;3) y Q(5;1) son los puntosmedios de los lados BC y AC de untringulo ABC; siendo el baricentro deltringulo el punto G(5;3); determine la sumade los cuadrados de las medianas deltringulo ABC.
A) 36 B) 72 C) 81D) 120 E) 144
05. En la figura mostrada, determine lascoordenadas del punto E.
A) (1;2) B) (3;-2) C) (6;-3)D) (6;-1) E) (-3;5)
06. En un tringulo ABC, las coordenadas delbaricentro son (5;5) y las coordenadas dedos de los puntos medios de sus lados son(5;3) y (6;8); determine las coordenadas de
los vrtices del tringulo.
A) (3;-1), (5;9), (7;7)B) (3;-1), (5;9), (4;13)C) (2;-3), (7;5), (6;13)D) (4;2), (5;9), (6;4)E) (4;5), (3;6), (8;4)
07. En la figura mostrada, siendo Tg=2/5;determine las coordenadas del punto M.
A) (4;0) B) (8;0) C) (9