COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ENTRE OS GRÁFICOS DE … · 2016. 8. 11. · COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO...

COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO

ENTRE OS GRÁFICOS DE CONTROLE

X-BARRA E T - STUDENT VARIANDO-

SE O NÚMERO E O TAMANHO DAS

AMOSTRAS

Flavio Luiz Mazocco (UFSCar )

[email protected]

Germano Mendes Rosa (IFMG )

[email protected]

Guilherme Dandrade Lourenco (UFSCar )

[email protected]

Lucas Augusto Radicchi (UFSCar )

[email protected]

Pedro Carlos Oprime (UFSCar )

[email protected]

Os gráficos de controle são ferramentas estatísticas poderosas para

alertar ocorrências de anormalidades durante um processo produtivo,

além de proporcionar às organizações uma linguagem comum para

discutir o desempenho do processo. O monitoramento das

características críticas para qualidade do produto por meio dos

gráficos de controle torna vital a fase de dimensionamento destes

gráficos, pois um mau desempenho levará a tomadas de decisões

equivocadas. Dada à importância, este artigo aborda a comparação

das propriedades estatísticas entre a carta X-barra e a carta t-student

XXXIV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO

Engenharia de Produção, Infraestrutura e Desenvolvimento Sustentável: a Agenda Brasil+10

Curitiba, PR, Brasil, 07 a 10 de outubro de 2014.




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ao variar o número (m), o tamanho (n) e o delta (δ) das

amostras, dispostos em tabelas. A performance dos dois gráficos de

controle será avaliada por meio do cálculo da medida de desempenho

ARL (average run lenght), evidenciada graficamente. Ao final será

realizado um paralelo em relação ao estudo apresentado no artigo de

Castagliola; Celano; Fichera, 2013, a fim de verificar as possíveis

diferenças entre os resultados obtidos.

Palavras-chaves: CEP, desempenho dos gráficos de controle, ARL,

variação dos parâmetros




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1. Introdução

Dentre todas as ferramentas do controle estatístico de processo (CEP), o gráfico de controle

ocupa um papel de destaque na engenharia da qualidade, pois ele possibilita estatisticamente

controlar os processos. Essa poderosa técnica possibilita aos gerentes e operadores a

(MONTGOMERY, 2004):

a) Separar as variações dos processos entre causas comuns e causas especiais;

b) Coletar dados ao longo do tempo e compará-los para identificar problemas;

c) Utilizar de uma linguagem comum para discutir o desempenho do processo;

d) Verificar se alterações intencionais em um processo alcançaram o resultado esperado;

e) Monitorar processos e identificar rapidamente mudanças ou alterações para ajudar a

conservar os ganhos gerados por um projeto de melhoria.

No caso em que as características da qualidade em estudo referem-se a um tipo de dado

contínuo (com variação ao longo do tempo) coletado em subgrupos (amostra do processo para

gerar um ponto no gráfico), tradicionalmente, o gráfico é escolhido (MONTGOMERY,

1992; MONTGOMERY, 2004). Um dos motivos pela escolha desse tipo de gráfico é o fato

de que os subgrupos permitem uma estimativa precisa de variabilidade “local” de modo a

captar somente os efeitos decorrentes de causas aleatórias dentro de cada subgrupo, e detectar

diferenças entre subgrupos. A eficácia do CEP é afetada por julgamentos errôneos sobre o real

estado do processo, e cabe aos instrumentos estatísticos mitigar esses erros.

A implantação dos gráficos de controle estatístico do processo passa por duas fases, conforme

indica Montgomery (1992). É na chamada fase I que são estabelecidos os limites de controle,

no caso da carta clássica de Shewhart /s e /R, por meio da estimativa dos parâmetros

estatísticos da média (µ) e desvio padrão (σ).

O problema desses gráficos de controle é supor que os parâmetros estatísticos sejam

conhecidos, o que na prática não é verdade. Isso afeta substancialmente a eficiência desses

gráficos. Esse problema foi estudado pelos principais autores da área (JENSEN et al., 2006;

CASTAGLIOLA; CELANO; CHEN, 2009; CASTAGLIOLA; MARAVELAKIS, 2011;

CASTAGLIOLA; CELANO; FICHERA, 2013). Em todos esses estudos o objetivo foi




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melhorar o desempenho dos gráficos de controle, redimensionando os procedimentos de

cálculo dos limites de controle utilizados correntemente.

Castagliola, Celano e Fichera (2013) fizeram um interessante estudo sobre o desempenho dos

gráficos de controle e . Os autores estudaram as cartas e onde propuseram novas

constantes e para os cálculos dos limites de controle para o erro e

consequente número médio de amostras até a detecção de um ponto fora de controle

(Average Run Lenght), quando o processo está sob controle. Nesse trabalho

são estabelecidas e para diferentes números e tamanhos de amostras.

Este artigo procura avaliar o que ocorre com o desempenho do gráfico de controle , por

meio da medida de desempenho ARL, quando se varia o número (m) e o tamanho (n) de

amostras para uma determinada faixa de variação na média com base no número de desvio

padrão ( ). Na sequência, foi comparado com o desempenho do gráfico de controle t-

student para o mesmo plano amostral descrito anteriormente.

Foram utilizados métodos de simulação desenvolvidos no software Maple 13 para a análise do

desempenho dos gráficos e t-student. Em geral, o método de simulação é mais simples que

os métodos numéricos o que facilita seu uso em problemas de engenharia.

O artigo foi estruturado da seguinte maneira: na próxima seção será realizada uma revisão

teórica, onde serão expostos os principais autores e seus respectivos estudos relacionados ao

tema do trabalho. Posteriormente, será apresentado o método de trabalho realizado, com as

tabelas contendo os parâmetros selecionados para os diferentes planos amostrais e as curvas

da medida de desempenho ARL obtidas para ambos os gráficos de controle, completando

assim a análise numérica. Na seção 4, finalmente será realizada a conclusão sobre o

desempenho estatístico dos gráficos e t-student, discutindo os resultados obtidos, além de

compará-los com o estudo realizado no artigo de Castagliola, Celano e Fichera (2013).




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2. Revisão da literatura

2.1. Fundamentos teóricos do controle estatístico do processo

O controle estatístico do processo (CEP) compreende um conjunto de técnicas estatísticas

utilizadas no monitoramento sistemático dos processos produtivos, a fim de contribuir para a

fabricação de produtos ou serviços que atendam aos requisitos dos clientes (CASTAGLIOLA

et al., 2008). A essência do CEP é monitorar a variação inerente aos processos, denominada

de variação natural do processo, e distingui-las das causas especiais, que em geral são

identificáveis (JURAN, 1982).

A fundamentação teórica do CEP centra-se na distinção entre causas comuns e causas

especiais. As causas comuns produzem individualmente pequenos efeitos e são difíceis de

serem detectas e eliminadas. Por outro lado, as causas especiais produzem grandes efeitos, sua

ocorrência é menos frequente e são mais fáceis de serem detectadas (MICHEL;

FOGLIATTO, 2002; MONTGOMERY; RUNGER, 2003). O procedimento estatístico

proposto por Shewhart define limites estatísticos de controle que contenha somente a

variabilidade aleatória, natural do processo. Isso é feito extraindo-se amostras pequenas (n<9),

denominado de subgrupos racionais, ao longo do tempo de modo a determinar um padrão de

variabilidade.

Segundo Jensen et al. (2006), a estimação de parâmetros nos gráficos de controle tem gerado

diversas questões de pesquisa. Uma delas se preocupa com a determinação da eficiência dos

gráficos de controle. A outra busca determinar o número e o tamanho das amostras que devem

ser considerados na fase I para se garantir o correto desempenho do gráfico na fase II. Por

fim, são estudadas formas de se ajustar os limites do gráfico na fase II com o objetivo

principal de minimizar os efeitos da estimação.

Em geral, os valores dos parâmetros do processo não são conhecidos e precisam ser

estimados. As incertezas associadas a essas estimativas podem causar diferenças de

desempenho dos gráficos de controle em relação ao uso dos mesmos com parâmetros

conhecidos (JENSEN et al., 2006).

Quando os parâmetros de uma determinada característica da qualidade são desconhecidos, os

gráficos de controle são normalmente construídos em duas fases. Na fase I (fase pré-

prospectiva) são estimados os limites de controle estatístico. Na carta tradicional de Shewhart,




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em geral, são extraídas 25 amostras com de tamanho cinco (5) para estimativa dos parâmetros

do processo e dos limites de controle estatístico.

Na fase II, com o gráfico já definido, novas amostras são retiradas e diz-se que o processo está

estável quando o resultado da característica observada é plotada entre os limites de controle,

ou quando não é observada tendências dentro dos limites estatísticos. Caso contrário, diz-se

que o mesmo está fora de controle devido à presença de causas especiais (JENSEN et al.,

2006).

Uma das questões de pesquisas atuais é estudar o desempenho dos gráficos de controle (por

meio do ARL) sabendo-se que os parâmetros estatísticos dos processos são estimados na fase

I. Apesar de artigos que tratam do problema terem sido publicados na segunda metade da

década de noventa, é a partir de 2006 que um significativo número de artigos surgiu tratando

dos efeitos da estimativa de parâmetros estatístico no desempenho do CEP (CASTAGLIOLA;

MARAVELAKIS, 2011; CASTAGLIOLA; WU, 2012; CASTAGLIOLA; CELANO; CHEN

2009; MARAVELAKIS; CASTAGLIOLA, 2009; ZHANG; CASTAGLIOLA, 2010).

2.2 Medidas do desempenho de gráficos de controle

O uso de estimativas dos parâmetros pode ocasionar piora no desempenho dos gráficos de

controle, quando comparados com o desempenho de gráficos construídos com parâmetros

realmente conhecidos. Jensen et al. (2006) apresenta o problema de modo prático. Para os

autores, o desempenho de gráficos de controle é extremamente afetado pela estimativa dos

parâmetros estatísticos feitos na fase I. É importante salientar que essa questão já tinha sido

estudada anteriormente (CHEN, 1997), mas o trabalho de Jensen et al. (2006) é significativo

para o desenvolvimento de pesquisas na área, pois nesse artigo são detalhadas as pesquisas já

realizadas sobre o assunto com indicações de futuras pesquisas.

O uso do gráfico de controle deve permitir a correta separação das causas naturais das causas

especiais, detectando com um determinado erro α, a presença de causas especiais atuando no

processo. Outra questão importante no uso do gráfico de controle é sua capacidade de

predição de perda de estabilidade. Neste caso, existem medidas de eficiência associadas aos

gráficos de controle, as quais são: o falso alarme e o falso negativo (β)




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(MONTGOMERY, 1992).

Para avaliar os efeitos das estimativas dos parâmetros no desempenho dos gráficos de

controle, algumas medidas comparativas são necessárias. Dentre elas, o comprimento médio

da sequência ou ARL, é a medida de desempenho de gráficos de controle mais comum e é

definido como o número esperado de dados plotados (ou coletados) antes que um sinal ocorra.

O ARL em controle é o valor de dados esperados, na média, até um sinal ocorrer. ARL fora

de controle é uma medida de quão rápido uma situação fora de controle será detectada

(JENSEN et al., 2006).

Tanto o erro como o erro são probabilidades de decisões erradas sobre o processo, sendo o

primeiro a falsa detecção de um problema (detectar que o processo está fora de controle, quando não

está), e o segundo é o erro da não detecção do estado fora de controle do processo. Do ponto de vista

teórico, o erro tipo I é fixado ( e o erro tipo II é avaliado pelo poder do teste estatístico,

dado por 1-β.

O desempenho de um gráfico de controle é avaliado pela sua capacidade de detectar causas

especiais e com o menor erro tipo I. Para um processo estável, o ARL é dado por , e

para um processo instável, o (MONTGOMERY, 1992;

MONTGOMERY, 2004).

Zhang et al. (2011) analisaram comparativamente os comportamentos dos gráficos e t-

student (e dos respectivos gráficos de média móvel exponencialmente ponderada) através dos

cálculos de ARL, assumindo que os parâmetros da fase de referência eram perfeitamente

conhecidos, para sequência longa de produção. Celano et al. (2011) e Celano, Castagliola e

Trovato (2012) também analisaram a implementação dos gráficos t e t de média móvel

exponencialmente ponderada para sequência curta de produção e assumindo parâmetros

conhecidos na fase I.

O comprimento médio da sequência, ARL, é calculado diferentemente para cada tipo de

gráfico ( e t) e para cada situação (parâmetros conhecidos ou estimados). As expressões




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considerando a estimativa dos parâmetros, conforme Castagliola, Celano e Fichera (2013),

são:

a) Gráfico :

b) Gráfico t-student:

em que é a probabilidade de uma amostra da fase II, onde i é um subgrupo e encontra-se

sob controle, ou seja, encontra-se entre os limites inferior e superior de controle; fU e fV são

densidades de probabilidade de variáveis aleatórias U e V (CASTAGLIOLA; CELANO;

FICHERA, 2013).

Castagliola, Celano e Fichera (2013) realizaram uma análise numérica e determinaram as

constantes quando os parâmetros são desconhecidos, que são diferentes das constantes

quando os parâmetros estatísticos são conhecidos, isso para , o que equivale a

. Por exemplo, para e , =1,329 e e quando ,

. Esse resultado permite utilizar valores exatos de para combinações de e .

Métodos numéricos são extensivos às aplicações em problemas de engenharia, como as

utilizadas correntemente nos estudos de desempenho de gráficos de controle estatístico de

processo. Métodos de simulação podem ser adequados quando se deseja avaliar alternativas

delineadas para solucionar determinados problemas.

A utilização de gráficos de controle do tipo Shewhart é baseada em três suposições:

independência (medidas são coletadas consecutivamente dentro e entre os subgrupos e são

independentes), normalidade (características de qualidade monitoradas seguem distribuição

normal) e setup inicial perfeito (média e desvio padrão da característica da qualidade do




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processo são perfeitamente estimados através da fase I em controle). Muitos trabalhos foram

publicados analisando a violação das duas primeiras suposições, mas poucos estudos

analisaram a violação da terceira suposição, entre eles, Castagliola, Celano e Fichera (2013).

3. Resultados e análises

Neste artigo, a avaliação numérica é realizada por meio da medida de desempenho ARL, com

o intuito de analisar a propriedade estatística dos gráficos de controle (baseado na

distribuição Normal) e t (baseado na distribuição t-student). Para a construção das tabelas foi

utilizado o software Maple 13, configurado conforme as fórmulas apresentadas para obtenção

dos valores do ARL. No software foram feitos dois programas para obtenção do ARL e

construção das tabelas para e t-student.

Para a obtenção do ARL no programa específico para t-student, manipularam-se os

parâmetros m, n e . Nesse caso, o programa retornou valores teóricos do ARL, e por isso

pode-se verificar que os dados apresentados na Tabela 3 são iguais aos descritos no artigo do

Castagliola, Celano e Fichera 2013 (Tabela 1). Enquanto Castagliola, Celano e Fichera (2013)

apresentam valores do ARL e SDRL (Standard Deviation Run Leght) para um processo sob

controle (Tabela 1), a Tabela 3 apresenta apenas valores do ARL com variando de 0 a 2.

Nota-se que ao variar , diminui-se o número e/ou tamanho de amostras necessárias para

detectar qualquer variação no processo. A variação do não é desejada, mas é imprescindível

conhecê-la para identificação prematura da variação no processo.

Para a obtenção do ARL no programa foi considerado um processo real no qual são

conhecidas as variáveis α=0,0027, μ=1,26±0,10 mm, Cpk=1,0. Conhecendo-se as variáveis do

processo foi possível simular os valores de ARL variando-se m, n e δ nas fases I (µ0=1,26) e II

(μ calculado). Como se trata de uma simulação, pode-se verificar que os valores de ARL na

Tabela 2 (Maple 13, ) e na Tabela 1 são muito diferentes. O mesmo comentário feito no

parágrafo anterior sobre a variação do , também se aplica à Tabela 2.




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Tabela 1 – Valores de ARL e DSRL para n={3,5,7,9} e δ=0, correspondente aos

gráficos de controle e t-student sob controle estatístico

Fonte: Castagliola, Celano e Fichera (2013, p. 10)

Tabela 2 – Valores de ARL para n={3,5,7,9} e δ={0;0,2;0,4;...;2} correspondente ao

gráfico de controle .




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Fonte: Elaboração própria

Tabela 3- Valores de ARL para n={3,5,7,9} e δ={0;0,2;0,4;...;2} correspondente ao

gráfico de controle t-student





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Analisando a Figura 1, é visível a diferença no comportamento da curva ARL entre e t-

student. Tanto para os gráficos de quanto para os gráficos t, verifica-se que quanto maior o

tamanho da amostra n, menor o ARL e consequentemente maior a possibilidade de

identificação de variação no processo. Para δ=0, obtém-se menores valores de ARL nos

gráficos de t, porém, a partir de δ=0,2 fica evidente que os gráficos são muito mais

robustos. Ou seja, verifica-se uma curva muito mais acentuada o que facilita a identificação

da variação no processo.

Para processos fora do controle estatístico, quanto menor o valor do ARL melhor é o

desempenho do gráfico, já que neste caso o ARL é uma medida do quão rápido se detecta

uma situação fora de controle do processo. Comparando as tabelas fornecidas anteriormente

observa-se que os valores do ARL dos gráficos de controle são consideravelmente menores

do que o de t-student, indicando que é mais robusto que t, ou seja, seu desempenho

estatístico é melhor para situação fora de controle. As simulações realizadas mostram um

resultado contrário ao estudo realizado por Castagliola, Celano e Fichera (2013), onde ficou

constatado que para situações fora de controle o gráfico t se apresentou como o mais robusto.

Essa diferença entre o presente artigo e o do Castagliola, Celano e Fichera (2013) deve ser

estudada com mais ênfase. Enquanto aqui foram apresentados valores do ARL variando m, n

e δ, por meio do artigo Castagliola, Celano e Fichera (2013), os autores chegaram à diferente

conclusão construindo gráficos onde foram considerados valores fixos para o número de

amostras m=10 e tamanho da amostra n=5 (variando-se δ e τ). Apesar de Castagliola, Celano

e Fichera (2013) afirmarem que os gráficos t são mais robustos, verifica-se que os gráficos t

são mais eficientes para valores de δ<0,80. Ou seja, de certa maneira pode-se interpretar que

para valores de δ>0,80, Castagliola, Celano e Fichera (2013) concordam que os valores do

ARL decrescem acentuadamente nos gráficos . Analisando detalhadamente os gráficos de

Castagliola, Celano e Fichera (2013) em contraste com o resultado das simulações, podem ser

notados comportamentos semelhantes, apesar das diferentes conclusões, o que sugere a

necessidade de estudos mais detalhados.




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Figura 1 – Gráficos com os valores da medida de desempenho ARL para um mesmo m,

variando n = {3, 5, 7, 9} e = {0; 0,2; 0,4; ...; 2}




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4. Conclusão

As Tabelas 2 e 3 mostram que correções para os limites de controle devem ser aplicadas

corretamente, em função de m e n, tanto para o gráfico quanto para o gráfico t. Verifica-se

também que os valores do ARL utilizando número de amostras m=25 e tamanho da amostra

n=5, usualmente sugeridos na literatura e utilizados na prática, diferem dos valores para

parâmetros conhecidos (m → ), podendo levar a erros na avaliação dos parâmetros.

Os valores de ARL foram coletados utilizando o software Maple 13 para montagem das

tabelas e gráficos. Os gráficos da Figura 1 simplificaram a análise, mostrando que: apesar dos

gráficos t apresentarem valores de ARL menores para δ=0, ao se variar o δ, o gráfico

apresentou maior robustez para 0<δ≤2, uma vez que este apresentou menores valores de ARL,

significando maior rapidez na identificação de uma variação no processo fora de controle.

Apesar de Castagliola, Celano e Fichera (2013) afirmarem e mostrarem em seu artigo que os

gráficos t são mais robustos, é importante salientar que os valores de ARL foram obtidos

considerando fixos os valores de m=10 e n=5 (variando-se δ e τ). Além disso, foi possível

identificar em seu artigo que os gráficos t são mais eficientes para valores de δ<0,80 (ou seja,

para δ>0,80 os valores de ARL decrescem acentuadamente nos gráficos ), o que comprova

parte do trabalho apresentado.

Pensando em trabalhos futuros, sugere-se um estudo mais aprofundado para explicar essa

aparente divergência nas conclusões, ampliando-se os intervalos estudados e comparando os

métodos de análise numérica e por simulação.

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