Como deducir senos y cosenos sin calculadora
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Matemática y Software Matemática y Software Matemática y Software Matemática y Software – http://www.matematicaysoftware.com.ar [email protected] Página 1 Cómo deducir senos y cosenos sin calculadora 1. Introducción. Hay veces que no se dispone de una calculadora, y realizar ese cálculo puede ser imperioso. Este trabajo está pensado para estudiantes de enseñanza media que están iniciando sus primeros pasos en trigonometría, pero también puede ser muy útil para estudiantes más avanzados. Esto es para aprender ahora y usar durante toda la vida. Más aún para aquellos que se iniciarán en disciplinas como física, ingenierías y/o matemáticas. 2. Tablas para tener siempre presente. A continuación se presentan dos tablas que es necesario tener siempre presente. Luego se explica cómo surgen, de modo que se facilite su deducción. 2.1. Los signos de la función en cada cuadrante: 2.1. Los signos de la función en cada cuadrante: 2.1. Los signos de la función en cada cuadrante: 2.1. Los signos de la función en cada cuadrante: Cuadrante / Angulo Seno Coseno 1° Cuadrante: 0° - 90° (0 a π /2) + + 2° Cuadrante: 90° - 180° ( π /2 a π ) + - 3° Cuadrante: 180° - 270° ( π a 3 π /2) - - 4° Cuadrante: 270° - 360° (3 π /2 a 2 π ) - + 2.2. Los valores de la función en el primer cuadrante (base): 2.2. Los valores de la función en el primer cuadrante (base): 2.2. Los valores de la función en el primer cuadrante (base): 2.2. Los valores de la función en el primer cuadrante (base): • Tabla expresada en números reales: Tabla expresada en números reales: Tabla expresada en números reales: Tabla expresada en números reales: redondeado a 4 decimales de máximo. 0° ó 0. π 30° ó /6 π 45° ó /4 π 60° ó /3 π 90° ó /2 π Seno Seno Seno Seno 0 0,5 0,7071 0,8660 1 Coseno Coseno Coseno Coseno 1 0,8660 0,7071 0,50 0 • Tabla expresada con raíces: Tabla expresada con raíces: Tabla expresada con raíces: Tabla expresada con raíces: 0° ó 0. π 30° ó /6 π 45° ó /4 π 60° ó /3 π 90° ó /2 π Seno Seno Seno Seno 0 ½ /2 2 /2 3 1 Coseno Coseno Coseno Coseno 1 /2 3 /2 2 ½ 0
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Cómo deducir senos y cosenos sin calculadora
1. Introducción.
Hay veces que no se dispone de una calculadora, y realizar ese cálculo
puede ser imperioso.
Este trabajo está pensado para estudiantes de enseñanza media que
están iniciando sus primeros pasos en trigonometría, pero también
puede ser muy útil para estudiantes más avanzados. Esto es para
aprender ahora y usar durante toda la vida. Más aún para aquellos que
se iniciarán en disciplinas como física, ingenierías y/o matemáticas.
2. Tablas para tener siempre presente.
A continuación se presentan dos tablas que es necesario tener siempre
presente. Luego se explica cómo surgen, de modo que se facilite su
deducción.
2.1. Los signos de la función en cada cuadrante:2.1. Los signos de la función en cada cuadrante:2.1. Los signos de la función en cada cuadrante:2.1. Los signos de la función en cada cuadrante:
Cuadrante / Angulo Seno Coseno
1° Cuadrante: 0° - 90° (0 a π /2) + +
2° Cuadrante: 90° - 180° (π /2 a π ) + -
3° Cuadrante: 180° - 270° (π a 3π /2) - -
4° Cuadrante: 270° - 360° (3π /2 a 2π ) - + 2.2. Los valores de la función en el primer cuadrante (base):2.2. Los valores de la función en el primer cuadrante (base):2.2. Los valores de la función en el primer cuadrante (base):2.2. Los valores de la función en el primer cuadrante (base):
• Tabla expresada en números reales:Tabla expresada en números reales:Tabla expresada en números reales:Tabla expresada en números reales: redondeado a 4 decimales de
máximo.
0° ó 0.π 30° ó / 6π 45° ó / 4π 60° ó / 3π 90° ó / 2π
SenoSenoSenoSeno 0 0,5 0,7071 0,8660 1
CosenoCosenoCosenoCoseno 1 0,8660 0,7071 0,50 0
• Tabla expresada con raíces:Tabla expresada con raíces:Tabla expresada con raíces:Tabla expresada con raíces:
0° ó 0.π 30° ó / 6π 45° ó / 4π 60° ó / 3π 90° ó / 2π
SenoSenoSenoSeno 0 ½ / 22 / 23 1
CosenoCosenoCosenoCoseno 1 / 23 / 22 ½ 0
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3. La circunferencia trigonométrica.
Es una circunferencia de radio unitario.
Sobre los ejes coordenados se proyectan los
valores de senos y cosenos de los ángulos
que forman los ejes coordenados con el
radio-vector.
En este ejemplo, se ven las proyecciones
sobre ambos ejes de un radio unitario (R=1)
y un ángulo de 30°.
4. Porqué solo interesa el análisis en el primer cu adrante.
En este punto se justifica porqué es de interés sólo analizar los
ángulos en el primer cuadrante.
Obsérvese que tanto seno como coseno no pueden tener valores menores a
–1 o mayores a 1. En particular, en el primer cuadrante puede verse
que los valores tanto seno como coseno no pueden tener valores menores
a 0 o mayores a 1.
Es bueno recordar también que:
• Si el ángulo está en el 1° cuadrante:
o El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento.
Por ejemplo: Sen(30°) = Cos(60°) = 0,50.
• Si el ángulo está en el 2° cuadrante:
o El seno de un ángulo es igual al seno de su suplemento.
Por ejemplo: Sen(150°) = Sen(30°) = 0,50.
o El coseno de un ángulo es igual a menos el coseno de su
suplemento. Por ejemplo: Cos(150°) = -Cos(30°) = -0,866.
• Si el ángulo está en el 3° cuadrante:
o El seno o coseno de un ángulo es igual a menos el seno o
coseno del ángulo que difiere 180°. Por ejemplo:
Sen(210°) = - Sen(30°) = -0,50.
• Si el ángulo está en el 4° cuadrante:
o El seno de un ángulo es igual a menos el seno de su
diferencia a 360°. Por ejemplo: Sen(330°) = -Sen(30°) =
-0,50.
o El coseno de un ángulo es igual al coseno de su diferencia
a 360°. Por ejemplo: Cos(330°) = Cos(30°) = 0,866.
La circunferencia trigonométrica
R=1
0,866
0,5
30°
Cos(30°)
Sen(30°)
La circunferencia trigonométrica
R=1
0,866
0,5
30°
Cos(30°)
Sen(30°)
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Si el ángulo es mayor a 360° basta restarle “k” veces 360° hasta
que el ángulo esté entre 0° y 360° para aplicar lo anterior.
Con esto, toda la deducción se reduce al análisis de unos pocos casos,
solo en el primer cuadrante. Para el resto, no queda más de sumar y
restar ángulos y aplicar la variación del signo según el caso.
5. La regla práctica para el primer cuadrante.
5.1. Variación del signo de las funciones trigonométricas eleme5.1. Variación del signo de las funciones trigonométricas eleme5.1. Variación del signo de las funciones trigonométricas eleme5.1. Variación del signo de las funciones trigonométricas elementales.ntales.ntales.ntales.
Recordar que en el primer cuadrante:
o El “Seno” “Sube” de 0 a 1
o El “Coseno” Cae” de 1 a 0.
5.1.1. Variación de signos del Seno.
-1
1
0
+ +
- -90° 180° 270° 36 0°
-1
1
0
-1
1
0
+ +
- -90° 180° 270° 36 0°
5.1.2. Variación de signos del Coseno.
-1
1
0
+
- -
+90° 180° 270° 36 0°
-1
1
0
+
- -
+90° 180° 270° 36 0°
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5.2. Tabla de valores:5.2. Tabla de valores:5.2. Tabla de valores:5.2. Tabla de valores:
El seno y el coseno son las funciones trigonométricas elementales. A
continuación, algunas premisas para recordar la deducción de los
valores de senos y cosenos en algunos ángulos muy usados:
o Recordar que una función en un ángulo tiene el mismo valor que
la otra en el ángulo complementario. P/ej:
Cos(60°)=Sen(30°)=0,50.
o El “Seno” “Sube” de 0 a 1, mientras que el “Coseno”
“Cae” de 1 a 0.
o Así, entonces, solo es necesario trabajar sobre una de ella ya
que los valores de la otra serán el valor del ángulo
complementario.
o Para el “Seno” que “Sube” de 0 a 1. Expresemos sus valores:
o Numerar los ángulos de la tabla de 0 a 4.
o Aplicar raiz cuadrada.
o Dividir por “2”.
o Repitamos para el “Coseno” que “Cae” de 1 a 0, pero en
sentido inverso.
0° ó 0.π 30° ó / 6π 45° ó / 4π 60° ó / 3π 90° ó / 2π
SenoSenoSenoSeno 0 / 2 1 / 2 / 22 / 23 4 / 2 CosenoCosenoCosenoCoseno 4 / 2 / 23 / 22 1 / 2 0 / 2
o Calculamos los valores de las raíces y la tabla de valores
queda.
0° ó 0.π 30° ó / 6π 45° ó / 4π 60° ó / 3π 90° ó / 2π
SenoSenoSenoSeno 0 ½ / 22 / 23 1
CosenoCosenoCosenoCoseno 1 / 23 / 22 ½ 0
6. Ejemplos:
6.1. Encause de los problemas:6.1. Encause de los problemas:6.1. Encause de los problemas:6.1. Encause de los problemas:
o Si el ángulo es menor que 0° o mayor que 360°: Sumar o restar
tantas veces como sea necesario hasta que el ángulo se encuentre
entre 0° y 360°.
o Si el ángulo es ahora, mayor a 90°: ubicar el cuadrante,
aplicar la tabla de signos que le corresponda, restar 90° 0 180°
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270° hasta que se encuentre en el primer cuadrante y luego aplicar
la tabla de valores.
6.2. Ejemplos:6.2. Ejemplos:6.2. Ejemplos:6.2. Ejemplos: Al principio, se recomienda seguir con dibujos...
Sen 510°Sen 510°Sen 510°Sen 510°
- Le resto 360° � el ángulo neto al que hay que calcularle el
seno es 150°.
- Seno 150°
o 150° = 180° - 30° � Un ángulo de 30° en el 2°
cuadrante en sentido horario.
o En el 2° cuadrante el seno es positivo.
o El seno de 30° es 0,5
� ���� El sen 510 = 0,50 El sen 510 = 0,50 El sen 510 = 0,50 El sen 510 = 0,50
Cos 690°Cos 690°Cos 690°Cos 690°
- Le resto 360° � el ángulo neto al que hay que calcularle el
coseno es 330°.
- Cos 330°
o 330° = 360° - 30° � Un ángulo de 30° en el 4°
cuadrante en sentido horario.
o En el 4° cuadrante el coseno es positivo.
o El coseno de 30° es 0,8660
� ���� El coseno 690° = 0,8660 El coseno 690° = 0,8660 El coseno 690° = 0,8660 El coseno 690° = 0,8660
