Communications Numériques 1...
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Communications numériques 1, D. Roviras 1
Communications
Numériques 1
FIP-SETI-2A
Daniel Roviras CNAM 2016-2017 (v12)
Communications numériques 1, D. Roviras 2
7 séances de cours de 3h30 : 24h30 16h30 cours
8h00 TD
4 séances de TP de 4h00 : 16h00
Plan du cours
Communications numériques 1, D. Roviras 3
Chapitre 1 Introduction, Architecture générale d’une chaîne de transmission
Introduction à la normalisation
Chapitre 2 Multiplexage fréquentiel et temporel, Modulateur et symboles, Formule de la Capacité
du canal
Chapitre 3 Architecture d’un récepteur numérique, exemples de prises de décisions, Estimateurs
MAP et ML
Chapitre 4 Performances d’une transmission numérique en l’absence d’Interférence Inter Symbole
(ISI)
Chapitre 5 Filtrage adapté
Performance d’une transmission numérique optimale sans ISI
Plan du cours
Communications numériques 1, D. Roviras 4
Chapitre 6 Canal de transmission et ISI, Critère de Nyquist
Chapitre 7 Chaîne de transmission globale avec filtres de Nyquist en racine de cosinus surélevés
Performance dans le cas d’une chaîne avec ISI
Chapitre 8 Codes en bande de base
Plan du cours
Communications numériques 1, D. Roviras 5
Chapitre I • Introduction
• Architecture générale d’une chaîne
de transmission
• Introduction à la normalisation
Communications numériques 1, D. Roviras 6
INTRODUCTION - Historique
1837: Samuel Morse propose un système de transmission de lettres de
l'alphabet-» Télégraphe. Codage des lettres par des points et des
traits de longueurs différentes (correspondant à des durées
différentes) Optimisation du temps de transmission
-»Théorie de l'information
1865: 1ère conférence de l'Union Télégraphique Internationale-»
développement des télécommunications sur le plan international,
Normalisation
1870: Transmissions télégraphiques longues distances (plusieurs
milliers de km)
1874: Invention du multiplexage temporel par BAUDOT
1876: Graham Bell dépose un brevet de système électrique de
transmission du son (pour applications dans le domaine de
la surdité)-» Téléphone
1891: Premier autocommutateur téléphonique
Communications numériques 1, D. Roviras 7
1901: MARCONI, Radio, télégraphie sans fils (TSF)
1907:Invention de la Triode: Amplification analogique-» Téléphonie
longue distance
1928: NYQUIST: Théorie de l'échantillonnage
1936: Invention du Pulse Code Modulation (PCM) par REEVES
-»Transmission numériques
1947: Création de l'UNION INTERNATIONALE des
TELECOMMUNICATIONS (UIT) afin de réglementer les
télécommunications internationales
1948: Invention du transistor: Développement de l'électronique des
télécommunications
1948: SHANNON: Théorie de la capacité du canal
INTRODUCTION - Historique
Communications numériques 1, D. Roviras 8
1962: Premier satellite pour télécommunications (orbite basse):
TELSTAR 1, Premier câble 1.544 Mb/s (USA,Bell)
1965: Premier Satellite géostationnaire de télécommunications:
EARLY BIRD (Organisation INTELSAT)
1966:Premières Fibres optiques à faibles pertes --» vers les hauts
débits numériques
1970: Autocommutateurs numériques (Platon CNET)
1980: MINITEL
1988: RNIS (ISDN): Réseau Numérique à Intégration de Services
(Numéris de France Télécom)
1999: GSM : Global System for Mobile Communications (2G)
1995: Démocratisation du réseau Internet
2004: UMTS Universal Mobile Telecommunication System (3G)
2010: Internet mobile, WiFi, vers la 4G….
2013: 4G….
INTRODUCTION - Historique
Communications numériques 1, D. Roviras 9
Le cours de
communications
numériques 1
dans les FIP « Systèmes
électroniques »
Communications numériques 1, D. Roviras 10
Communications
Numériques 1
Théorie de l’information
Architecture générale d’une chaîne de transmission
Codage
source
Codage
canal
Source Codeur
source
Codeur
Canal Modulateur
Décodeur
source
Décodeur
Canal
Démodulateur
Récepteur
Numérique
Utilisation
du signal
Canal
Communications numériques 1, D. Roviras 11
Historique Modulation/Codage source et canal
1948: Shannon: Capacité du canal
1965: Forney: Codes concaténés
1967: Viterbi: Algorithme de Viterbi
1970: Soft decision: le démodulateur et le décodeur canal coopèrent
1980: Ungerboeck: Treillis Coded Modulations: mélange entre codage et modulation
1990: Codage Conjoint Source/Canal: mélange entre codage source et canal
1993: Berrou, Glavieux: Turbo codes, limite de Shannon atteinte dans canal AWGN
2000: Turbo xxxx: décodage, égalisation
2000: « Multiple Input Multiple Output » (MIMO) systèmes et « Space Time Coding »
Codeur
source
Codeur
Canal Modulateur avant 1980
Codeur
source
Codeur Canal
+ Modulateur 1980-1990
Codeur source
+ Codeur canal Codeur Canal
+ Modulateur après1990
Communications numériques 1, D. Roviras 12
Organismes de Normalisation
Internationale: • UIT / ITU: Union Internationale des
Télécommunications (http://www.itu.ch/)
Régionales: • ETSI: European Telecommunication Standard
Institute (http://www.etsi.fr/)
• ANSI Comitee T1: American National Standard
Institute, comitee T1 on Telecommunications
• TTC: Japanese Telecommunications Technology
Comitee
Communications numériques 1, D. Roviras 13
Normalisation Internationale : UIT
UIT: Organisation sous l'égide des Nations Unies crée en 1947
Les membres: • Chaque état membre des UN peut être représenté (en
général par l'opérateur historique)
• Constructeurs,
• Opérateur de réseaux,
• Prestataires de services,
• Organisations scientifiques et industrielles
Communications numériques 1, D. Roviras 14
Normalisation Internationale UIT: avant 1993
Comité Consultatif International Télégraphique et Téléphonique CCITT:
Transmissions par fils, équipements de modulation et multiplexage
Commutation, Réseaux de Télégraphe, Téléphone,données
Comité Consultatif International des Radiocommunications: CCIR
Radiodiffusion (son et image), Faisceaux Hertziens
Télécommunications par satellites
Normalisation Internationale UIT: après 1993
IUT-T: Telecommunication standardisation sector
• Reprend les secteurs d'activité du CCITT
• Plusieurs "Study Groups (15 SGs)
IUT-R: Radiocommunication sector
• Reprend les secteurs d'activité du CCIR et IFRB
Communications numériques 1, D. Roviras 15
Normalisation Régionale : ETSI
ETSI: Organisation créée en 1988 sous l'égide de l'Union Européenne
Les membres: The European Telecommunications Standards Institute (ETSI) is a non-
profit making organization whose mission is to determine and produce
the telecommunications standards that will be used for decades to
come. It is an open forum that unites 490 members from 34 countries,
representing Administrations, network operators, manufacturers,
service providers, and users. Any European organization proving an
interest in promoting European telecommunications standards has the
right to represent that interest in ETSI and thus to directly influence the
standards making process.
Communications numériques 1, D. Roviras 16
Normalisation Régionale : Committee T1
Established in February 1984, Committee T1 develops technical
standards and reports regarding interconnection and
interoperability of telecommunications networks at interfaces with
end-user systems, carriers, information and enhanced-service
providers, and customer premises equipment (CPE). Committee
T1-Telecommunications is sponsored by the Alliance for
Telecommunications Industry Solutions (ATIS) and is accredited by
the American National Standards Institute (ANSI).
Committee T1 has six technical subcommittees
Committee T1: http://www.t1.org/
Communications numériques 1, D. Roviras 17
1 F
Organismes de Normalisation: AVIS du CCITT
Service Fonctions (N°de la commission, X Lettre de l'Avis)
Tarification Exploitation Equipements Commutation Transmission Maintenance
Téléphonie 2 E 3 D
13 Liaisons mondiales
12 P
13 Liaisons mondiales
4 MNO 11 Q 15 GHJ
Télégraphie 3 D 8 S
10 U 9 R 4 MNO
Données 3 D
7 X
Nouveaux
réseaux de
données
7 X
14 T (Fac similé)
17 V
Réseaux
Numériques
18 G
Réseaux Intégrés
18 G
Réseaux Intégrés
18 G
Réseaux Intégrés
13 Liaisons mondiales
Nouveaux
réseaux de
données
7 X
Nouveaux
réseaux de
données
14 T (Fac similé)
Communications numériques 1, D. Roviras 18
Chapitre II
• Multiplexage fréquentiel et temporel
• Modulateur et symboles
• Capacité du canal (Shannon 1948)
Communications numériques 1, D. Roviras 20
Multiplexage fréquentiel et temporel
1 2
3
Temps
Bande
Bc
Bc/n
Temps
Bande
1 2 3
T/3 T/3 T/3
T
Communications numériques 1, D. Roviras 21
Annulation d’écho
Em. A
Rec. A
Em. B
Rec. B
Canal de transmission
Deux sens de transmission: • Multiplexage fréquentiel :FDD (Freq. Div. Duplex)
• Multiplexage temporel : TDD
• Annulation d’écho : Annuler le signal de retour venant de
l’émetteur proche
Communications numériques 1, D. Roviras 22
Annulation d’écho, principe
Em. A
Rec. A
Em. B
Rec. B +
Signal
d’écho
+
Signal
d’écho
Canal de
transmission
+
+ +
+ +
Synthèse du
Signal d’écho
+
-
Annuleur d’écho
Synthèse du
Signal d’écho
+ -
+
Communications numériques 1, D. Roviras 23
Annulation d’écho, exemple
Em: MICRO
Rec : ECOUTEUR
y(t) = r(t)
y(t)= utile
1 1
ligne 2F
r(t) : signal utile
R2
G
-
+
R1
v(t)
ZE
Synthèse de l’écho : v(t)
+ x(t).R2/ZL
+ écho
x(t) : signal émis
Communications numériques 1, D. Roviras 25
Modulateur et symboles
Symbole: Signal électrique de durée Ts
Avec M symboles un symbole code Log2(M) bits
Db=Ds.Log2(M)
Modulateur
ou
Codeur de
Ligne
CANAL Db Ds
Communications numériques 1, D. Roviras 26
Bits: 0 1 1 0 1
Ts
Modulateur et symboles en bande de base, M=2
NRZ
2 niveaux
RZ
Biphase
v0(t) v1(t)
???
Communications numériques 1, D. Roviras 27
Bits: 0 1 00 01 10 11
Ts
Modulateur et symboles en bande de base, M=4
NRZ
4 niveaux
4 PPM
Communications numériques 1, D. Roviras 28
Modulateur et symboles sur fréquence porteuse
Symbole numéro i : Si(t)=Ai cos(2p fi t + fi)
Pour définir un symbole on peut jouer sur les paramètres
amplitude (Ai) fréquence (fi) phase (fi) ou sur une combinaison
de ces paramètres.
Un symbole est représenté par un vecteur dans le diagramme de
Fresnel (cos/sin ou I/Q):
Si(t) = Ai cos(fi).cos(2p fi t) - Ai sin(fi).sin(2p fi t)
Si(t) = Ii(t). cos(2p fi t) - Qi(t) . sin(2p fi t)
Communications numériques 1, D. Roviras 29
Modulateur et symboles sur fréquence porteuse
S1(t) S2(t)
S3(t) S4(t)
S1(t) S2(t)
S3(t) S4(t)
Diagramme de
Fresnel avec vecteurs
Diagramme de
constellation
I(t)
Q(t)
Communications numériques 1, D. Roviras 30
Modulateur et symboles sur fréquence porteuse
2-ASK=OOK 0 Ap 0
M- ASK
V 2V 3V
4-PSK=QPSK
MDP-4 8-PSK
MDP-8
2-PSK=BPSK
MDP-2
Communications numériques 1, D. Roviras 31
Modulateur et symboles sur fréquence porteuse
16-QAM
MAQ-16
32-QAM
MAQ-32
16-PSK 16-QAM
Répartir les symboles
sur le plan IQ et non
plus sur un cercle:
Augmentation de la
distance entre deux
symboles
La suite en Communications numériques 2 ….
Communications numériques 1, D. Roviras 32
Capacité du canal (Shannon 1948)
Canal
AWGN
Bande B
Bits
émis
Emetteur Codage canal
Modulateur
Récepteur Démodulateur
Récepteur
Décodage canal
Ps
Pn
Ps = puissance du signal reçu, Pn = puissance du bruit reçu
SNR= Ps/Pn
(bits/sec) 1log. 2 SNRBC
La suite en Théorie de l’information ….
Communications numériques 1, D. Roviras 33
Capacité du canal (Shannon 1948)
(bits/sec) 1log. 2 SNRBC
Canal passe-bas
f -B +B 0
Canal passe-bande
f +B 0 +B
Exemple : SNRdB = 40dB, B = 3100Hz
C = 3100*log2(1+104) = 3100*Ln(1+104)/Ln(2) = 41 kbps
Communications numériques 1, D. Roviras 34
Chapitre III
• Architecture d’un récepteur numérique
• Exemple de prises de décision
• Estimateurs MAP et ML
Communications numériques 1, D. Roviras 35
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-3
-2
-1
0
1
2
3Signal reçu
Programme Matlab: symboles.m
Communications numériques 1, D. Roviras 36
Architecture d'un récepteur numérique
REC
Objectif:
-» Prendre des décisions sur les symboles reçus
-» Prendre une décision tous les instants Ts
-» Faire le moins d'erreurs possible
Ts
t t
Besoins:
-» Retrouver le rythme des symboles
-» Prendre des décisions tous les Ts
Communications numériques 1, D. Roviras 37
Tb
Bits
Db
Codeur
canal
Architecture d'un récepteur numérique, bande de base
Canal
Décisions
Reconstitution Horloge Symboles (Ts)
k.Ts
Ts
Ds modulateur
Règle
de
codage
Suite de
symboles
reçus Sk
Suite de
bits
reçus bk
Communications numériques 1, D. Roviras 38
Tb
Bits
Db
Codeur
canal
Architecture d'un récepteur numérique, bande de base
Canal
Décisions
Reconstitution Horloge Symboles (Ts)
k.Ts
Ts
Ds modulateur
Règle
de
codage
Suite de
symboles
reçus Sk
Suite de
bits
reçus bk
TES : Taux
d’Erreur sur les
Symboles
SER : Symbol
Error Rate
Opération simple
en général
TEB : Taux d’Erreur
sur les Bits
BER : Bit Error Rate
Communications numériques 1, D. Roviras 39
Décisions
Transposition
fréquence
Tb
Bits
Db
Codeur
canal
Architecture d'un récepteur numérique, fréquence porteuse
Reconstitution Horloge
Symboles (Ts)
k.Ts
Canal
Ts
Ds Bits vers
symboles
Règle de codage
Transposition
fréquence
Ts
Reconstitution
porteuse
Suite de
symboles
reçus Sk
Suite de
bits
reçus bk
Communications numériques 1, D. Roviras 40
Décisions
Transposition
fréquence
Tb
Bits
Db
Codeur
canal
Architecture d'un récepteur numérique, fréquence porteuse
Reconstitution Horloge
Symboles (Ts)
k.Ts
Canal
Ts
Ds Bits vers
symboles
Règle de codage
Transposition
fréquence
Ts
Reconstitution
porteuse
Suite de
symboles
reçus Sk
Suite de
bits
reçus bk
La suite en Communications numériques 2 ….
Communications numériques 1, D. Roviras 41
Exemple de récepteur numérique : Signal NRZ rectangulaire
• Modulateur de type NRZ avec M=2
• Canal AWGN [C(f)=1, bruit additif gaussien]
• Dessiner le signal reçu
• Comment prendre des décisions ?
Communications numériques 1, D. Roviras 42
Exemple de récepteur numérique : Signal triangulaire
• Modulateur avec M=2 et mise en forme triangulaire
• Canal AWGN [C(f)=1, bruit additif gaussien]
• Dessiner le signal reçu
• Où prendre des décisions ?
• Comment prendre des décisions ?
1 0 1 1 0 0
t
Communications numériques 1, D. Roviras 43
Signal
émis
Signal
reçu
Décisions
S1 S2 S1 S1 S0 S3 Règle de
codage
0 1 1 0 1 1 01 00 11 Bits
émis
0 1 1 0 0 1 01 00 11
Bits
reçus
Exemple de récepteur numérique : M=4
Communications numériques 1, D. Roviras 44
Exemple de modulateur et de récepteur
numérique avec M=4 symboles
Illustration Matlab : symboles.m
Lancement Matlab: programme « symboles.m »
Exemple de récepteur numérique : M=4
Communications numériques 1, D. Roviras 45
M=4 symboles
10 20 30 40 50 60 70 80
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
S1 (b) S2(r) S3 (c) S4 (k)
Exemple de récepteur numérique : M=4
Communications numériques 1, D. Roviras 46
M=4 symboles
200 400 600 800 1000 1200
-2
-1
0
1
2
3
4
Bits (k) Signal émis (b)
Exemple de récepteur numérique : M=4
Communications numériques 1, D. Roviras 47
M=4 symboles
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Signal émis (b) Signal reçu (r)
Exemple de récepteur numérique : M=4
Communications numériques 1, D. Roviras 48
M=4 symboles
0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 10 20 30 40 50 60 70 80-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Exemple de récepteur numérique : M=4
Communications numériques 1, D. Roviras 49
M=4 symboles
0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 10 20 30 40 50 60 70 80-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Exemple de récepteur numérique : M=4
Communications numériques 1, D. Roviras 50
Modulateur 8-PSK (mise en forme rectangulaire de I(t) et Q(t)
Conversion
de la suite
binaire
en signaux
I/Q
I(t)
Q(t)
cos(wo.t)
sin(wo.t)
+
-
8-PSK Suite
binaire
(Db)
Exemple de récepteur numérique : 8-PSK
Canal
Règle
de
codage
Communications numériques 1, D. Roviras 51
4 VALEURS POUR I(t)
CONSTELLATION POUR 8-PSK
000
001 011
010
110
111 101
100
p/4
4 V
AL
EU
RS
PO
UR
Q(t
)
+cos(3.p/8)
+cos(p/8)
-cos(3.p/8)
-cos(p/8)
Exemple de récepteur numérique : 8-PSK
Règle
de
codage
Communications numériques 1, D. Roviras 52
t
t
t
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 SIGNAL D'ENTREE
Q(t)
I(t)
Codage I/Q pour 8-PSK
Exemple de récepteur numérique : 8-PSK
Communications numériques 1, D. Roviras 53
t Q(t)
t Qa(t)
INSTANTS DE DECISION
Exemple de récepteur numérique : 8-PSK
Ts
Communications numériques 1, D. Roviras 54
8-PSK
récupération
horloge
Symboles (Ts)
Suite de
symboles
le
Qe
DE
MO
DU
LA
TE
UR
I/Q
Test
de la d
ista
nce e
ntr
e l
e
po
int
reçu
de
co
ord
on
nées (
Ie,Q
e)
et
les
po
ints
de la c
on
ste
llati
on
Récepteur 8-PSK
Exemple de récepteur numérique : 8-PSK
k.Ts
Règle
de
codage
Suite de
bits reçus
Communications numériques 1, D. Roviras 57
Récepteur optimal MAP
ei (t) peut être représenté par un vecteur de dimension N dans une
base de signaux {si } de dimension N
M symboles
e1, e2,.... eM
n(t)
C(f) ei (t) rk (t)
Décisions
NiN
i
i
NiN
i
i
k
kik
NiNii
n
n
n
a
a
a
n
n
n
a
a
a
r
ner
sasasa
.
.
.
.
.
.
.
.
.......e
2
1
2
1
2
1
2
1
2211i
Exemple:
Modulation 16-QAM
M=16,
N=2: les composantes I(t)
et Q(t)
kème observation reçue
Communications numériques 1, D. Roviras 58
reçu) /rp(e maximise qui e trouver :Objectif
nobservatio k.Tsinstant l' àreçu signalr
kii
k
Récepteur optimal MAP
)(rp
émis) /e(rémis).p P(e=reçu) /rp(e
kr
ikiki
r
Le récepteur optimal MAP (Maximum A Posteriori) doit
choisir, à chaque instant de prise de décision, le symbole émis ei
qui a la plus grande probabilité d'avoir été émis, connaissant le
signal reçu (l’observation).
bruitdu éprobabilit de Densitéémis) e / (rp
e symboledu émission d' éProbabilit=)P(e
ikr
ii
émis) e /(rp connaitrefaut Il
)P(e connaitrefaut Il
ikr
i
Communications numériques 1, D. Roviras 59
Récepteur optimal MAP
émis) /e(rémis).p P(e
maximise qui e cherche MAP récepteur Le
ikri
i
)e- (rpémis) e / (rp :tsindépendansont symboles
leset bruit leoù cas le Dans
émis) e/ e- (rpémis) e / (rp
iknikr
iiknikr
Exemple: n(t) bruit gaussien
ei
pr(a/ei)
b 0
pn(a)
b-ei
Communications numériques 1, D. Roviras 60
Récepteur optimal MAP
)e-r.2.
1.exp(-
..2
1).P(eMax
)e-r.2.
1.exp(-
..2
1).P(eMax
)e-(r).pP(eMaxémis) /e(rémis).p P(eMax
)u.2.
1.exp(-
..2
1(u)p
)u.2.
1.exp(-
..2
1(u)p
2
ik22/2i
2
ik22/2i
ikniikri
2
22/2n
N=i
1=i
2
i22/2n
p
p
p
p
N
N
N
N
Ln
Cas d’un bruit additif gaussien dont toutes les composantes sont
indépendantes, de moyenne nulle et de même variance 2
Communications numériques 1, D. Roviras 61
Récepteur optimal MAP
))P(e(e-r.2.
1Minimum
e-r.2.
1
..2
1Ln+ )P(eMax
)e-r.2.
1.exp(-
..2
1).P(eMax
i
2
ik2
2
ik22/2i
2
ik22/2i
Ln
Ln
Ln
N
N
p
p
))P(e(.2.e-r
:minimise qui e symbole leChoisir
i
22
ik
i
Ln
Distance Euclidienne entre rk et ei
Communications numériques 1, D. Roviras 62
Récepteur ML
Si les probabilités des différents symboles sont
égales il suffit de choisir le symbole ei qui est le
plus proche, en distance Euclidienne, de
l’observation rk
On parle alors de détecteur suivant le
Maximum de Vraisemblance (ML Maximum
Likelihood)
Pour réaliser le récepteur ML il suffit de
connaître la statistique du bruit additif
Communications numériques 1, D. Roviras 63
Comparaison récepteur ML / MAP
MAP ML
optimal sous optimal
identiques si symboles
équiprobables
identiques si symboles
équiprobables
Statistique du bruit connue
Probabilité d'émission des
symboles connue
Statistique du bruit connue
Maximise
p(ei/rk reçu)
Maximise
p(rk/ei émis)
Utilisé en pratique Très utilisé en pratique
Communications numériques 1, D. Roviras 64
ML, Exemple, Bruit discret
x(t) 0
1
0,1
0,9
n(t) 0
1
0,5
0,5
Val. Proba.Observations yk
0 Pr / , Pr /oba y x oba y x 0 0 0 5 0 1 0
On choisit x = 0
2
x(t)
n(t)
y(t) y(k) +
Pr / Pr / .oba y x oba y x 2 0 0 2 1 05
On choisit x = 1
1 Pr / . Pr / .oba y x oba y x 1 0 05 1 1 05
On choisit x = 1 ou 0
Communications numériques 1, D. Roviras 65
MAP, Exemple, Bruit discret
x(t) {
0 p = 0,1
1 (1-p) = 0,9 n(t) {
0 p = 0,5
1 (1-p) = 0,5
yk
0
Pr /. .
. . .
Pr /
oba x y
oba x y
k
k
0 005 01
05 01
1 0 0
.
= 1
On choisit x = 0
2
Pr /
Pr /. .
. . .
oba x y
oba x y
k
k
0 2
1 205 0 9
05 0 91
0
.
On choisit x = 1
1
Pr /. .
. . . . . .
Pr /. .
..
oba x y
oba x y
k
k
0 105 01
01 05 0 9 05
1 205 0 9
050 9
.
= 0.1
.
On choisit x = 1
Communications numériques 1, D. Roviras 66
ML, Exemple, Bruit continu
x(t) {
+1 p
- 1 (1-p) n(t) { Gaussien centré
variance 2
p(a/x=-1)
-1
p(a/x=+1)
+1
Zone de décision de -1 Zone de décision de +1
a
Communications numériques 1, D. Roviras 67
MAP, Exemple, Bruit continu
x(t) {
+1 p=0.9
- 1 (1-p)=0.1 n(t) { Gaussien centré
variance 2
p(a/x=-1).Proba(-1)
-1
p(a/x=+1).Proba(+1)
+1
Zone de décision de -1 Zone de décision de +1
a
Communications numériques 1, D. Roviras 68
Remarque: Estimateur ML, Cas du canal binaire
s
s1
s2
sk
Canal Binaire y
y1
y2
yk s : Vecteur formé de 0 et 1
y : Vecteur formé de 0 et 1
Canal binaire : caractérisé par un TEB égal à p et identique sur 0 et 1.
0/1 0/1 (1-p)
1/0 (p)
Canal binaire
Communications numériques 1, D. Roviras 69
Hypothèse : Le bruit sur chaque composante du vecteur émis est
indépendant .
Objectif : Trouver s qui maximise p(y/s )
Si les vecteurs y et s ont m bits différents on a :
Proba (y/s)=pm . (1-p)k-m avec p<<1
Le vecteur s qui maximise la probabilité précédente est
le vecteur qui est le plus proche de y au sens de la
distance de Hamming, c.a.d. avec le nombre de bits
différents le plus faible possible.
Remarque: Estimateur ML, Cas du canal binaire
Communications numériques 1, D. Roviras 70
Chapitre IV
• Performance d’une transmission
numérique en bande de base en
l’absence d’interférence inter
symbole (ISI)
Communications numériques 1, D. Roviras 73
Transmissions Numériques: Filtres de mise en forme
NRZ 2 niveaux V1 et V2
NRZ 4 niveaux V1, V2, V3, V4
AM I entre +V, 0, -V
0 0 0 1 1 1
0 Ts
h(t) V1
V2
0 0 0 0 1 1 1
1
0 0 0 0 1 1 1
1 0
Ts
Ts
V1
V2
V3 V4
0 Ts
h(t) 1
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
Ts
0 Ts
h(t) 1
0 0 0 1 1 1 1 0
V1
V2
V3
V4
Communications numériques 1, D. Roviras 74
Transmissions Numériques: Filtres de mise en forme
• Le signal émis par le modulateur est une suite de symboles de
période élémentaire Ts
• Les symboles ont des formes variées (rectangulaires ou autres) et
ces formes sont données par le filtre de mise en forme
• Tout signal émis par un modulateur bande de base peut, en général,
s’écrire sous la forme:
Les symboles Sk sont choisis dans un alphabet à M symboles
)(*).(.).(.)(00
thTsktSTskthStsk
k
k
k
Communications numériques 1, D. Roviras 75
Transmissions Numériques: Filtres de la chaîne de transmission
Mise en
forme Canal
+
n(t)
Filtre de
réception
Récepteur
Numérique
t hR(t) hC(t) h(t)
0
).(.k
k TsktS
Décisions
to+k.Ts
Pas d’ISI : La valeur du signal lors la prise de décision du symbole numéro p
dépend seulement du pème symbole émis (Sp) et non des autres symboles
Les valeurs prises par le signal lors des prises de décision sont donc limitées à un
nombre égal à M (M = taille de l’alphabet des symboles)
Exemple : ISI avec un canal hc(t)=(t)+0.5 (t+Ts)
Communications numériques 1, D. Roviras 76
Transmissions Numériques: Illustration de l'ISI
Symbole émis Symbole
reçu
zone de dépassement
sur le symbole suivant
Instants de prise de décision
Ts Ts
t
t
t
t
Communications numériques 1, D. Roviras 78
Transmissions Numériques Diagramme de l'œil, principe
Résultat de la réponse du canal
à un rectangle
t
2.Ts
Communications numériques 1, D. Roviras 79
a b
-a- Immunité au bruit
-b- Immunité à la gigue de phase dans la
récupération d'horloge des symboles
Transmissions Numériques Diagramme de l'œil, principe
Communications numériques 1, D. Roviras 80
Réponse impulsionnelle
du canal
T
t
NRZ de période T Filtre passe-bas du 1er ordre
fc=1/T
Bit émis
Transmissions Numériques Diagramme de l'œil
Prises
de
décision
Communications numériques 1, D. Roviras 81
NRZ de période T Filtre passe-bas du 1er ordre
fc=1/(2.T)
Réponse impulsionnelle
du canal
t
Bit émis
Transmissions Numériques Diagramme de l'œil
Prises
de
décision
Communications numériques 1, D. Roviras 82
NRZ de période T Filtre passe-bas du 1er ordre
fc=1/(4.T)
Réponse impulsionnelle
du canal t
Bit émis
Transmissions Numériques Diagramme de l'œil
Prises
de
décision
Communications numériques 1, D. Roviras 83
NRZ de période T Filtre passe-bas du 1er ordre
fc=1/(10.T)
Réponse impulsionnelle
du canal t
Bit émis
Transmissions Numériques Diagramme de l'œil
Prises
de
décision
Communications numériques 1, D. Roviras 86
Sans bruit Avec bruit
Suite binaire
101 Modulateur CANAL
k.Ts
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur de Bit (TEB)
Instant de prise de décision
Décisions
Communications numériques 1, D. Roviras 87
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur de Bit (TEB)
-» Pas d'ISI (sans bruit)
V0 V1
Niveau V1-» 1 émis
Niveau V0-» 0 émis
Niveaux proches de V1-» 1 émis
Niveaux proches de V0-» 0 émis
-» Amplitudes aux instants de prise de décision
Densité de probabilité
-» Bruit introduit par canal
Communications numériques 1, D. Roviras 88
Fixer un seuil de décision: Règle de décision MAP
V0 V1 Seuil Erreur / 1 est émis Erreur / 0 est émis
V0 V1 Seuil
SEUIL OPTIMAL:
CROISEMENT DES DEUX COURBES
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur de Bit (TEB)
Communications numériques 1, D. Roviras 89
-» Statistique du Bruit?
Cas particulier: Bruit Gaussien
Courbe V0:
2
0
2
0
0 2exp
2
1.
p
Vxp
2
0
2
1
0 2exp
2
1).1(
p
VxpCourbe V1:
Seuil Optimal: 21
01
01
2
0 VV
VVp
pLn
p =Proba. émettre 0 ------ Vo+no(t)
1-p =Proba. émettre 1 ------ V1+no(t)
o =Ecart type du bruit no(t)
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur de Bit (TEB)
Communications numériques 1, D. Roviras 90
TEB Courbe V Courbe V
TEB pu
du pu
du
TEB p QV S
pQS V
S
S
S V
S V
1 0
2 2
1
0
0
0
11
2 2
1
2 2
1
1
0
0
0
( ) exp exp
( )
p p
S = Seuil Optimal 0 = écart type du Bruit
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur de Bit (TEB)
Communications numériques 1, D. Roviras 91
Loi Normale réduite
p z z
Q z p u du
z
( ).
exp
( ) ( ).
1
2
1
2
2
p
0 2 4 6 7 z
Q(z)
2.27 e-2
3.17 e-5
1.28 e-12
9.87 e-10
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur de Bit (TEB)
Communications numériques 1, D. Roviras 92
Relations entre Q(z) et erfc(z)
duuzQz
.2
1exp.
.2
1)( 2
p
Fonction Q(z) et erfc(z)
dvvzerfcz
.exp.2
)( 2
p
2.
2
1)(
zerfczQ
Communications numériques 1, D. Roviras 93
-» Symboles équiprobables, p=(1-p)=0.5
-» Bruit Gaussien,
-» V1 et V0= Niveaux aux instants de prise de décision (si pas
de bruit)
2
2
01
01
VVOptimalSeuil
VVQTEB
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur de Bit (TEB)
2.
DistanceQTEB
(si M=2 et symboles équiprobables)
Communications numériques 1, D. Roviras 94
1) ISI ?
2) Amplitudes aux Instants de prise de décision (équiprobabilité)
3) Calcul du seuil optimal (récepteur MAP)
4) Statistique du bruit: Gaussien?
5) Calculer la distance entre les niveaux à la prise de décision
6) Calculer l'écart type du bruit affectant le signal aux instants
d'échantillonnage
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur de Bit (TEB)
Communications numériques 1, D. Roviras 95
Exemple: NRZ à 4 niveaux
10 11 01 00 t
V4 V3
V2
V1
Amplitudes à l'échantillonnage
Codage GRAY= Minimise le TEB
V1 V2 V3 V4
+ TES sur le symbole V2
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur Symbole (TES)
Communications numériques 1, D. Roviras 96
Codage GRAY V1 V2 V3 V4
00 01 11 10
Transmissions Numériques: Taux d'Erreur Symbole (TES)
• Un symbole code log2(M) bits
• Si on fait une erreur sur un symbole on se trompe (avec une
probabilité proche de 1) avec le ou les symboles directement
adjacents
• On commet donc une erreur sur un seul bit parmi les log2(M)
bits qui sont codés par le symbole
TESM
TEB)(2log
1
Communications numériques 1, D. Roviras 98
Chapitre V
• Filtrage adapté
• Performance optimale d’une
transmission numérique sans ISI
Communications numériques 1, D. Roviras 99
Transmissions Numériques: Filtre adapté
hC h e(t) +
Mise en forme Canal Filtre
Adapté n(t)
Sn(f) p(t)
s(t)
s(t)= [x(t)*p(t)*e(t)] + n1(t) = Signal + Bruit filtré
Objectif du filtre adapté: Minimiser le TEB/TES
Minimiser Q(distance(to)/2.n1) [si pas d’ISI et prise de décision en to]
Maximiser distance(to)/n1
la distance(to) est proportionnelle à : [p(t)*e(t)] t=to
n1 est la variance du bruit filtré par e(t)
Maximiser [p(t)*e(t)] t=to/ n1
x(t)
Communications numériques 1, D. Roviras 100
Transmissions Numériques: Filtre adapté
Objectif du filtre adapté: Maximiser [p(t)*e(t)] t=to/ n1= s(to)/n1
Maximiser [s(to)]2/n12 = SNRt=to
dffEfS
jftofEfPtos
dffEfSdffS
jftofSfSTFtos
n
n
nnn
tot
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
212
)().(
)2exp().().()(
)().()(
)2exp().()]([)(
p
p
Communications numériques 1, D. Roviras 101
Transmissions Numériques: Filtre adapté
*2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
)2exp(.)(
. :si atteinte Egalité )(
)()(
)().(
)(.)(.)(
)(
)().(
)2exp().().(
)2exp(.)(
)().(
)2exp().().()(
jftoSn(f)
fPKSn(f)E(f).df
fSn
fPtos
dffEfS
dffSnfEdffSn
fP
dffEfS
jftofEfP
jftoSn(f)
fPB(f)
Sn(f)E(f).A(f)
dffEfS
jftofEfPtos
n
nn
n
n
p
p
p
p
*22
2
)(.)(: )(.)().().( fBKfAsiEgalitédffBdffAdffBfA
Communications numériques 1, D. Roviras 102
Transmissions Numériques: Filtre adapté
Expression générale du filtre adapté
)2exp(.)(
)(.)(
)2exp(.)(
.
*
*
jftofSn
fPKfE
jftoSn(f)
fPKSn(f)E(f).
p
p
Communications numériques 1, D. Roviras 103
E f P f jft ( ) ( ) exp *
2 0 p
2
énergie (p(t)) p t e t p d ( ) ( ) ( ) * 0 0 t t
où N0
2= DSP du bruit n(t) avant le
filtre adapté
S
N
énergie de p t
N t t
( )
/
2 0 0
e t p t t p t t ( ) * 0 0
p t e t p p t t d ( ) ( ) ( ) * *
0 t t t
S
N
énergie de p t
t t n
( )
2
2 0
1
Transmissions Numériques: Filtre adapté bruit blanc
Communications numériques 1, D. Roviras 104
p(t)
e(t) pour to=Ts
TS
TS
0
0
t= 0.9 . Ts
+ +
+
p(t) r(t)
s(t) e(t)
n(t)
t=Ts/2
s(t r t e t e r t d) ( ) ( ) ( ) ( ) *
t t t
Filtre adapté:
e(t)=p(to-t)
r(t-t) e(t) r(t-t) e(t)
Transmissions Numériques: Filtre adapté bruit blanc
Communications numériques 1, D. Roviras 105
+
T
T
T T T r(kT)
h1 h2 hn-1 hn
Sortie
Coefficient filtre
p(t)
h1 h2
hn
E(f)= Filtre
adapté
h3 h4
Transmissions Numériques: Filtre adapté bruit blanc
Communications numériques 1, D. Roviras 106
p(t)
+
+V
-V
n(t)(BB)
E(f)
p(t)+n(t)
s(t) Ts
e t( )0
1
Ts
t
Tt S
dnpts ttt )()(
Transmissions Numériques: Filtre adapté bruit blanc
Communications numériques 1, D. Roviras 107
Transmissions Numériques : Filtre adapté à deux symboles
Bit Symbole émis
0 --------> s0(t) 0<t<Ts
1 --------> s1(t) 0<t<Ts
Suite binaire
+ Codeur e(t)
n(t)
+
+
Objectif: Calculer e(t) de façon à minimiser le TEB
e(t) 0
0 0
Ts
Ts
s0(t)
s1(t) to
V0 V0(t)
V1(t) V1
Minimiser TEB
MaximiserV V
n
0 1
21
Communications numériques 1, D. Roviras 108
MaximiserV t V t V V t s t s t e t t t
Calculer e t adapté à s t s t
E f KS f S f
S fj f t
n n n
n
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 1
0 1
0
2 2 2
2
1 1 1
*
p
( ) ( ) * ( )
( ) ( ) ( )
( ) .( ) ( )
( ).exp . . . .
Filtre adapté aux deux symboles s0(t) et s1(t)
Transmissions Numériques : Filtre adapté à deux symboles
Communications numériques 1, D. Roviras 109
Chapitre VI
• Canal de transmission
• ISI
• Critère de Nyquist
Communications numériques 1, D. Roviras 110
Transmissions Numériques: Filtres de la chaîne de transmission
Diagramme de l'œil
2 valeurs distinctes: pas d'ISI
1 0 1 0
Mise en
forme Canal
+
n(t)
Filtre de
réception
Décision
Récepteur Numérique
t
he(t)
hR(t) hC(t) h(t)
Communications numériques 1, D. Roviras 111 ISI Info.
utile
Transmissions Numériques: 1er Critère de Nyquist
hR(t) hC(t) h(t)
Mise en forme Canal Egaliseur
y(t)
he (t)
a(t)
y(k)
ISIutileInfoTsnktohestohesky
nTskTstoheskTstoyky
nTsthesthetty
nTstst
knn
nk
n
n
n
n
n
n
))(()(.)(
)()()(
)()(*)()(
)()(
,
a
a
Décisions
Communications numériques 1, D. Roviras 112
Transmissions Numériques: 1er Critère de Nyquist
hR(t) hC(t) h(t)
Mise en forme Canal Egaliseur
y(t)
he (t)
1er Critère: h kTk
ke s( )
,
,
0 0
1 0
s
k s
e TT
kffH * )()( Cas général:
Communications numériques 1, D. Roviras 113
he(t)
0 Ts 2.Ts 3.Ts -Ts -2.Ts -3.Ts
1
t
|He(f)| Ts
Ts/2
0 1/2.Ts 1/Ts
Phase(He(f))
f
f 0
Instants d'échantillonnage en t=k.Ts
Transmissions Numériques: 1er Critère de Nyquist
Communications numériques 1, D. Roviras 114
he(t)
0 Ts 2.Ts 3.Ts -Ts -2.Ts -3.Ts
1
t
|He(f)| Ts
Ts/2
0 1/2.Ts 1/Ts
Phase(He(f))
f
f 0
to
Instants d'échantillonnage en t=k.Ts + to
Pente:2.p.to
Transmissions Numériques: 1er Critère de Nyquist
Communications numériques 1, D. Roviras 115
H f H fT
T fTe e
s
s
s
( ) ( ) 1
01
Filtres à support spectral égal à [-1/Ts, +1/Ts]:
Filtres à support spectral égal à [-1/2.Ts, +1/2.Ts]:
H f T fT
e ss
( ) 1
2 BDs .2
Transmissions Numériques: 1er Critère de Nyquist
Communications numériques 1, D. Roviras 116
Fonction vérifiant le 1er Critère de Nyquist,
Support spectral [-1/Ts, +1/Ts]
1/2.Ts 1/Ts f
|He(f)|
Ts
Ts/2
Symétrie impaire par
rapport à f=Ds/2 et
Ts/2 en amplitude
Transmissions Numériques: 1er Critère de Nyquist
Communications numériques 1, D. Roviras 117
a
fT
T
Facteur d arrondi
cs
s
1
2
1
2
= Roll off factor
Filtres de Nyquist à coupure cosinusoïdale
(Raised Cosine roll off Filters)
Ts
Ts/2
fc f
|He(f)|
1/2.Ts 1/Ts
Transmissions Numériques: Filtre en RCF
Communications numériques 1, D. Roviras 118
Filtres de Nyquist: Raised Cosine roll off Filters
= coefficient d’arrondi= Roll off factor
RCF(f) = 0
1 f
T f
s
c
RCF(f) =
T T f
T
s s
s 2
1 1
2
cos .
.
p
a
a
f
RCF(f) = 0
f c < f
fc=(1+a)/(2.Ts)
Ts
1
T f
s c f
c
s
sc
T
Tf
.21
.21
a
Transmissions Numériques: Filtre en RCF
2)/2(1
)/cos(
/
)/sin()(
s
s
s
s
Tt
Tt
Tt
Tttrcf
a
ap
p
p
Communications numériques 1, D. Roviras 119
Réponses impulsionnelles
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a=0 a=1 a=0.5
t
he(t)
Transmissions Numériques: Filtre en RCF
Communications numériques 1, D. Roviras 120
Transmittances |He(f)|
0.2
0.4
0.6
0.8
1.Ts
f 1/2.Ts 0 1/4.Ts 1/Ts
a=0
a=0.5
a=1
Transmissions Numériques: Filtre en RCF
Communications numériques 1, D. Roviras 124
Transmissions Numériques: Choix du filtre en RCF
On choisira le filtre en cosinus surélevé avec le
roll off le plus grand possible :
-1- Plus facile à réaliser car les pentes sont plus
faibles si le roll off est grand
-2- Moins sensible à la gigue de phase lorsque le
roll off est grand
Communications numériques 1, D. Roviras 125
Interprétation de la capacité du canal (Shannon 1948)
Canal
AWGN
Bande B
Bits
émis
Emetteur Codage canal
Modulateur
Récepteur Démodulateur
Récepteur
Décodage canal
Ps
Pn
(bits/sec) 1log. 2 SNRBC
• Nyquist : Ds max= 2.B Plus la bande passante est grande plus le débit symbole peut
être important (dépendance de C avec B)
• TEB=Q[distance/2.]=f(SNR) Plus le SNR est grand plus on pourra avoir un nombre M de
symboles grand et donc un grand débit binaire
Communications numériques 1, D. Roviras 126
Interprétation de la capacité du canal (Shannon 1948)
Comment s’approcher de la limite de Shannon ?
• On utilise des codes correcteurs d’erreurs
• La redondance introduite par le codeur canal impose de transporter plus de
bits (débit brut) que le débit utile
• Pour transporter ce débit brut on utilise plus de symboles qu’avec une
modulation non codée
• On fait donc plus d’erreurs car la distance entre symboles devient plus
faible à SNR=cte
• La capacité de correction du code permet de compenser la baisse du TEB
• On se rapproche de la limite de Shannon …..
La suite en théorie de l’information ….
Communications numériques 1, D. Roviras 127
Chapitre VII
• Chaîne de transmission globale
avec filtres de Nyquist en racine
de cosinus surélevés
• Performance dans le cas d’une
chaîne avec ISI
Communications numériques 1, D. Roviras 128
Transmissions Numériques: Filtre adapté et ISI, bruit blanc
hC(t) h(t) hR(t)
ou e(t) +
Mise en forme Canal Filtre
Adapté
n(t)
Sn(f)
s(t)
Nyquist: H(f). HC(f).E(f)=RCF(f)
Filtre Adapté: E(f)=H*(f). HC*(f).exp(-2.p.j.f.to)
Communications numériques 1, D. Roviras 129
)()( fRCFfE
)(
)()(
fH
fRCFfH
C
Phase(RCF(f))= -2.p.f.to
Phase(H(f))+Phase(HC(f))+Phase(E(f))= -2.p.f.to
Transmissions Numériques: Filtre adapté et ISI, bruit blanc
Communications numériques 1, D. Roviras 130
• TEB et TES avec ISI (voir
exercices, TD3)
• Correction de l’ISI :
Egalisation (Transmissions
Numériques 2)
Communications numériques 1, D. Roviras 131
Chapitre VIII
Codes en
Bande de Base
• Contraintes imposées aux codes
• NRZ, RZ, Biphase, Miller
• AMI, HDB3, 4B3T, CMI
Communications numériques 1, D. Roviras 132
Codages en bande de Base: Objectifs
Forme du spectre
Récupération aisée du
rythme des symboles
Donner des indications au
récepteur
Communications numériques 1, D. Roviras 133
Calcul de la densité
spectrale de puissance de
signaux aléatoires
numériques
Signaux aléatoires
Forme du spectre
Calcul de la DSP d’un signal modulé
Communications numériques 1, D. Roviras 134
Calcul de la DSP d’un signal modulé
Les modulations PAM, PSK, QAM ont toutes la même forme :
1,,1,0, Re2
MmeeenTtgets mnc
njjtfj
n
s
j
p
1,,1,0,A Re m
2
MmAenTtgAts n
tfj
n
snc p
1,,1,0, Re2
MmeAeAenTtgeAts mnc
nj
m
j
n
tfj
n
s
j
n p
Modulations PAM, PSK, QAM
M-PAM/ASK
M-PSK
M-QAM
Communications numériques 1, D. Roviras 135
Calcul de la DSP d’un signal modulé
Paquet
Log2(M)
bits
Mapping
Anexp(jn) g(t)
Re
Im
s(t)
tfc
p2cos
tfcp2sin
Bits
Bits s(t) GENERATION
SIGNAL PASSE-BAS
TRANSPOSITION
EN FREQUENCE
v(t)
k
bkkTta
n
s
j
n nTteA n
Génération PAM/PSK/QAM
Communications numériques 1, D. Roviras 136
Calcul de la DSP d’un signal modulé
• Calcul de la PSD du signal passe-bas v(t).
• Calcul de la PSD du signal passe-bande s(t).
s
n
j
n
tfj
tfj
s
n
j
n
nTtgeAtv
etv
enTtgeAts
n
c
cn
p
p
2
2
Re
Re
cvcvs ffSffSfS 4
1
Sv(f)
Ss(f)
Calcul de la PSD de s(t) en deux étapes
Communications numériques 1, D. Roviras 137
Calcul de la DSP d’un signal modulé
Calcul de la PSD de v(t)
Signal passe-bas v(t) : résultat du filtrage des symboles a(t)
par un filtre de RI g(t).
Calcul en deux étapes :
• Calcul de la PSD des symboles a(t).
• Prise en compte du filtre de mise en forme g(t)
s
n
j
n nTteAta n
2fGfSfS av g(t) a(t) v(t)
s
n
j
n nTtgeAtv n
Communications numériques 1, D. Roviras 138
Calcul de la DSP d’un signal modulé
PSD des symboles a(t)
knmamaE
k
nmaEnaEm
a
aknana
anana
,2
*
'
22
Fonction d’autocorrélation normalisée
des symboles (centrés)
Moyenne Variance
k ss
a
k
sa
s
a
s
aa
T
kf
T
mfkTk
TTfS p
2
2
1
'22
2cos2
Proakis, Digital Coms
4ème Ed. pp. 202-207
Communications numériques 1, D. Roviras 139
Calcul de la DSP d’un signal modulé
Commentaires
• Terme 1 nul si symboles indépendants.
• Terme 2 nul si symboles équi-répartis autour
de 0
1 2
k ss
a
k
sa
s
a
s
aa
T
kf
T
mfkTk
TTfS p
2
2
1
'22
2cos2
Communications numériques 1, D. Roviras 140
Calcul de la DSP d’un signal modulé
PSD du signal passe-bas v(t) et du signal passe-bande s(t)
sk ss
a
k
sa
s
a
s
av
T
kf
T
kG
T
mfkTkfG
TfG
TfS p
2
2
2
1
'22
22
2cos2
PSD
Continue
Composantes
Spectrales
Discrètes
cvcvs ffSffSfS 4
1
Communications numériques 1, D. Roviras 141
Codages en bande de Base: Spectre
Forme du spectre
- Largeur de bande
- Existence de Basses Fréquences
objectif: Adapter le signal Bande de Base au support de
transmission
G
-» Pas de BF dans la DSP des codes bandes de base utilisés
Exemple: Supports filaires
- Transformateurs
- Répéteurs à liaisons capacitives
Communications numériques 1, D. Roviras 142
Codages en bande de Base: Exemple d'un canal passe-haut
Problèmes posés par un canal passe-haut
SOLUTION: Ne pas avoir de longues périodes avec le même niveau
d'amplitude:
doit rester faible
Diagramme de l'oeil fermé:
x(t) Canal y(t)
x(t)
y(t)
t
duux )(
Communications numériques 1, D. Roviras 143
Codages en bande de Base: Exemple d'un canal passe-haut
Signal NRZ de débit Db, Passe-haut avec Fc=Db/100
Communications numériques 1, D. Roviras 144
Codages en bande de Base: Exemple d'un canal passe-haut
Signal NRZ de débit Db, Passe-haut avec Fc=Db/20
Communications numériques 1, D. Roviras 145
Codages en bande de Base: Somme digitale glissante
Notion de Somme Digitale Glissante:
x t a rect t kT
x u du a T
SDG n a
k
k
t nT
k
k
n
k
k
n
( )
( ) .
( )
0
0
0
SDG(n) doit rester faible pour que le code résiste aux canaux
de type passe-haut
Communications numériques 1, D. Roviras 146
Codages en bande de Base: Récupération d'horloge
Récupération du rythme des symboles L'information "Horloge des symboles" est contenue
dans les transitions du code bande de base
Objectif: Avoir un codage présentant suffisamment de
transitions
-» Beaucoup de transitions dans le code utilisé
Communications numériques 1, D. Roviras 147
Codes en bande de base: NRZ
1/T 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
DSP du NRZ
2/T
NRZ
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Communications numériques 1, D. Roviras 148
Codes en bande de base: NRZ, RZ
222
21
2
21
2
2
2
.2/1.2/1
.2/1.2/1
)(...
)..sin(..)(
xVV
VV
ftf
TfTfS
x
x
xxNRZ
)
1.2(.
)1.2.(.4)(.
16)
2.(sin.
16
.)(
22
222
2
T
kf
k
Vf
VTfc
TVfSRZ
p
NRZ entre V1 et V2 de Débit=1/T
RZ entre 0 et +V de Débit=1/T
Raies en f= 0, +1/T,-1/T,+3/T,-3/T,+5/T,-5/T....
Communications numériques 1, D. Roviras 149
Codes en bande de base: RZ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
DSP du NRZ (rouge) et du RZ (bleu)
1/T 2/T
NRZ
RZ
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Communications numériques 1, D. Roviras 150
Codes en bande de base: Biphase
1/T 2/T 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
DSP du NRZ (rouge) et du Biphase (bleu)
NRZ
Biphase
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Communications numériques 1, D. Roviras 151
Codes en bande de base: Biphase, Miller
Biphase entre +V et -V de Débit=1/T
S f V Tf T
f TBiphase ( ) . .
sin ( . . / )
( . . / ) 2
4
2
2
2
p
p
Miller entre +V et -V de Débit=1/T
S f V Tf T f T f T
f T f TMiller ( ) . .
.cos( . . ) .cos ( . . ) .cos ( . . )
.cos ( . . ) .cos ( . . )
22 3
2 4
1 4 4 4
1 8 32
p p p
p p.sin ( . . / )c f T2 2p
Maximum de la DSP en f=2/(5.T)
Communications numériques 1, D. Roviras 152
Codes en bande de base: Miller
1/T
0
0.5
1
1.5
2
2.5 DSP du NRZ (rouge) et du Miller (bleu)
2/T
Miller
NRZ
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 Biphase
Miller
Communications numériques 1, D. Roviras 153
Codes en bande de base: AMI
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
DSP du NRZ (rouge) et du AMI (bleu)
1/T 2/T
AMI
NRZ
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Communications numériques 1, D. Roviras 154
Codes en bande de base: AMI, Duobinaire, Bipolaire entrelacé d'ordre 2
AMI entre +V et -V de Débit=1/T
S f V T f T c f TAMI ( ) . .sin ( . . ).sin ( . ) 2 2 2p
Duobinaire entre +V et -V de Débit=1/T
S f V T c f TDuobin ( ) . .sin ( . . ) 2 2 2
Bipolaire entrelacé d'ordre 2 entre +V et -V de Débit=1/T
S f V T f T c f TBip ordre_ ( ) . .sin ( . . . ).sin ( . )22 2 22 p
Communications numériques 1, D. Roviras 155
Codes en bande de base: Duobinaire
0
0.5
1
DSP du NRZ (rouge) et du Duobinaire (bleu)
1/2.T 1/T
Duobinaire
NRZ
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Nombre impair de "1"
Communications numériques 1, D. Roviras 156
Codes en bande de base: Bipolaire Entrelacé d'ordre 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
DSP du NRZ (rouge) et du Bipolaire Entrelacé d'ordre 2 (bleu)
1/2.T 1/T
Bipolaire entrelacé d'ordre 2
NRZ
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Communications numériques 1, D. Roviras 157
Codes en bande de base
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1/T 2/T
NRZ
Biphase
RZ
Miller
Communications numériques 1, D. Roviras 158
Codes en bande de base
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1/2.T 1/T
Bipolaire entrelacé
AMI
NRZ
Duobinaire
Communications numériques 1, D. Roviras 159
Codes en bande de base
10 -5
10 -4
10 -3
10 -2
10 -1
10 0
1/T 2/T
NRZ
Biphase
RZ
Miller
Communications numériques 1, D. Roviras 160
Codes en bande de base
10 -5
10 -4
10 -3
10 -2
10 -1
1
Bipolaire entrelacé
AMI
NRZ Duobinaire
1/2.T 1/T
Communications numériques 1, D. Roviras 161
Codes en bande de base
Miller
NRZ
RZ
Biphase
AMI
Duobianire
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Bipolaire
entrelacé
Communications numériques 1, D. Roviras 162
Codes en bande de base: HDB3
AMI avec longues suites de 0 ---» Pas de transitions
Objectif: Rajouter des transitions ---» HDBn (n=3 pour HDB3)
Si plus de n=3 bits à 0 ---» Ajouter des transitions à +V ou -V
Pour dissocier un 0 codé par +V ou -V
d'un "vrai" 1 ---» Viol de polarité
Règle:
quadruplet "0000" codé par "B00V"
avec B=-SDG et V=Viol
Soucis: Garder la SDG la plus faible possible
Communications numériques 1, D. Roviras 163
Codes en bande de base: HDB3
1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Viol Viol
B=0 car SDG=0
B=+V car SDG=-V
SDG(t)
HDB3
Communications numériques 1, D. Roviras 164
Codes en bande de base: xByT
AMI a un rendement de 1/Lb(3)=63%
Objectif: Augmenter le rendement du code AMI---» xByT
x éléments binaires sont codés par y éléments ternaires
Code 4B3T, rendement= 0.63 . 4/3 = 84%
Soucis: Garder la SDG la plus faible possible
Rendement d'un code= (Nbr. Bits codés par symbole)/Lb(M)
avec M= Nombre de symboles
Rendement code xByT=x/Lb(3y)=x/(y.Lb(3))=0.63. x /y
Communications numériques 1, D. Roviras 165
Codes en bande de base: 4B3T
4 Eléments binaires= 16 quadruplets
3 Eléments ternaires = 27 possibilités de triplets
7 triplets à SDG nulle:
+V0-V -V0+V 0+V-V 0-V+V +V-V0 -V+V0 000
"000" interdit car pas de transition ---» Reconstitution d'horloge
(16 quadruplets à coder)-(6 triplets à SDG=0)=10
---» 10 quadruplets restent à coder
Choix du codage des 10 quadruplets restant dans les 20
triplets restant. Pas de bijection car SDG doit être bornée.
2 alphabets selon la valeur de la SDG
Communications numériques 1, D. Roviras 166
Codes en bande de base: 4B3T, règle de codage
Quadru
plets
Quadru
plets
SDG
Triplets
Choix si
SDG<0 Choix si
SDG> -1
Choix si
SDG<0
Choix si
SDG> -1
0000 0 +V 0 -V +V 0 -V
0001 0 -V +V 0 -V +V 0
0010 0 0 -V +V 0 -V +V
0011 0 +V -V 0 +V -V 0
0100 +2 / -2 +V +V 0 -V -V 0
SDG
Triplets
0101 +2 / -2 0 +V +V 0 -V -V
0110 +2 / -2 +V 0 +V -V 0 -V
0111 +3 / -3 +V+V+V -V-V-V
1000 +1 / -1 +V+V-V -V-V+V
1001 +1 / -1 -V+V+V +V-V-V
1010 +1 / -1 +V-V+V -V+V-V
1011 +1 / -1 +V 0 0 -V 0 0
1100 +1 / -1 0 +V 0 0 -V 0
1101 +1 / -1 0 0 +V 0 0 -V
1110 0 0 +V -V 0 +V -V
1111 0 -V 0 +V -V 0 +V
Communications numériques 1, D. Roviras 167
Codes en bande de base: Autres types de Codes
Codes du type xByQ
x éléments binaires codés par y éléments quaternaires
Exemple: 2B1Q, code de ligne à l'interface "U" du
RNIS
Codes du type xByB
x éléments binaires codés par y éléments binaires
Exemple: 1B2B= CMI, code de ligne pour liaisons fibre
optique
"0" codé par -V+V
"1" codé par "+V+V" ou par "-V-V"
Communications numériques 1, D. Roviras 168
Codes en bande de base: Spectre HDB3
SHDB3(f)
f 1/Ts 1/2.Ts
Communications numériques 1, D. Roviras 169
Codes en bande de base: Spectre 4B3T
S4B3T(f)
f 1/Ts 1/10.Ts
Communications numériques 1, D. Roviras 170
Codes en bande de base: Spectre 1B2B = CMI
SCMI(f)
f 2/T 1/T
Communications numériques 1, D. Roviras 172
Fonction Q(z)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 -16
10 -14
10 -12
10 -10
10 -8
10 -6
10 -4
10 -2
10 0
Q(z)
z
Q zu
duz
( ).
.exp( ).
1
2 2
2
p
Communications numériques 1, D. Roviras 173
Fonction Q(z)
z Q(z)
0.00 5.000e-001
0.01 4.960e-001
0.02 4.920e-001
0.03 4.880e-001
0.04 4.840e-001
0.05 4.801e-001
0.06 4.761e-001
0.07 4.721e-001
0.08 4.681e-001
0.09 4.641e-001
0.10 4.602e-001
0.11 4.562e-001
0.12 4.522e-001
0.13 4.483e-001
0.14 4.443e-001
0.15 4.404e-001
0.16 4.364e-001
0.17 4.325e-001
0.18 4.286e-001
0.19 4.247e-001
0.20 4.207e-001
z Q(z)
0.21 4.168e-001
0.22 4.129e-001
0.23 4.090e-001
0.24 4.052e-001
0.25 4.013e-001
0.26 3.974e-001
0.27 3.936e-001
0.28 3.897e-001
0.29 3.859e-001
0.30 3.821e-001
0.31 3.783e-001
0.32 3.745e-001
0.33 3.707e-001
0.34 3.669e-001
0.35 3.632e-001
0.36 3.594e-001
0.37 3.557e-001
0.38 3.520e-001
0.39 3.483e-001
0.40 3.446e-001
z Q(z)
0.41 3.409e-001
0.42 3.372e-001
0.43 3.336e-001
0.44 3.300e-001
0.45 3.264e-001
0.46 3.228e-001
0.47 3.192e-001
0.48 3.156e-001
0.49 3.121e-001
0.50 3.085e-001
0.51 3.050e-001
0.52 3.015e-001
0.53 2.981e-001
0.54 2.946e-001
0.55 2.912e-001
0.56 2.877e-001
0.57 2.843e-001
0.58 2.810e-001
0.59 2.776e-001
0.60 2.743e-001
z Q(z)
0.61 2.709e-001
0.62 2.676e-001
0.63 2.643e-001
0.64 2.611e-001
0.65 2.578e-001
0.66 2.546e-001
0.67 2.514e-001
0.68 2.483e-001
0.69 2.451e-001
0.70 2.420e-001
0.71 2.389e-001
0.72 2.358e-001
0.73 2.327e-001
0.74 2.296e-001
0.75 2.266e-001
0.76 2.236e-001
0.77 2.206e-001
0.78 2.177e-001
0.79 2.148e-001
0.80 2.119e-001
z Q(z)
0.81 2.090e-001
0.82 2.061e-001
0.83 2.033e-001
0.84 2.005e-001
0.85 1.977e-001
0.86 1.949e-001
0.87 1.922e-001
0.88 1.894e-001
0.89 1.867e-001
0.90 1.841e-001
0.91 1.814e-001
0.92 1.788e-001
0.93 1.762e-001
0.94 1.736e-001
0.95 1.711e-001
0.96 1.685e-001
0.97 1.660e-001
0.98 1.635e-001
0.99 1.611e-001
1.00 1.587e-001
Communications numériques 1, D. Roviras 174
Fonction Q(z)
z Q(z)
1.01 1.562e-001
1.02 1.539e-001
1.03 1.515e-001
1.04 1.492e-001
1.05 1.469e-001
1.06 1.446e-001
1.07 1.423e-001
1.08 1.401e-001
1.09 1.379e-001
1.10 1.357e-001
1.11 1.335e-001
1.12 1.314e-001
1.13 1.292e-001
1.14 1.271e-001
1.15 1.251e-001
1.16 1.230e-001
1.17 1.210e-001
1.18 1.190e-001
1.19 1.170e-001
1.20 1.151e-001
z Q(z)
1.21 1.131e-001
1.22 1.112e-001
1.23 1.093e-001
1.24 1.075e-001
1.25 1.056e-001
1.26 1.038e-001
1.27 1.020e-001
1.28 1.003e-001
1.29 9.853e-002
1.30 9.680e-002
1.31 9.510e-002
1.32 9.342e-002
1.33 9.176e-002
1.34 9.012e-002
1.35 8.851e-002
1.36 8.691e-002
1.37 8.534e-002
1.38 8.379e-002
1.39 8.226e-002
1.40 8.076e-002
z Q(z)
1.41 7.927e-002
1.42 7.780e-002
1.43 7.636e-002
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z Q(z)
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z Q(z)
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Communications numériques 1, D. Roviras 175
Fonction Q(z)
z Q(z)
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z Q(z)
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z Q(z)
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z Q(z)
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z Q(z)
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3.00 1.350e-003
Communications numériques 1, D. Roviras 176
Fonction Q(z)
z Q(z)
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z Q(z)
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z Q(z)
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z Q(z)
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z Q(z)
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4.00 3.167e-005
Communications numériques 1, D. Roviras 177
Fonction Q(z)
z Q(z)
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z Q(z)
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z Q(z)
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7.00 1.280e-012
8.00 6.661e-016
9.00 1.10 e-019
10.0 7.62 e-024
Communications numériques 1, D. Roviras 178
Bibliographie
• Digital Communications, J. Proakis, Mc Graw-Hill, 4th
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