Comet Belt Beyond Neptune

7/30/2019 Comet Belt Beyond Neptune

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P r o c e e d i n g s o f t h eNATIONAL ACADEMY OF SCIENCES

V o l u m e 5 1 . N u m b e r 5 . May 1 5 , 1 9 6 4

EVIDENCE FOR A COMET BELT BEYOND NEPTUNEBY FRED L . W H I P P L E

SMITHSONIAN ASTROPHYSICAL OBSERVATORY AND HARVARD COLLEGE OBSERVATORY,CAMBRIDGE, MASSACHUSEITS

C o m m u n i c a t e d M a r c h 3 0 , 1 9 6 4I n t h e c o n d e n s a t i o n o f a n e x t e n d e d m a s s o f g a s a n d d u s t t o f o r m t h e S u n a n d t h ep l a n e t a r y s y s t e m , C a m e r o n ' h a s s u g g e s t e d t h a t " t h e r e m u s t b e a t r e m e n d o u s m a s so f s m a l l s o l i d m a t e r i a l o n t h e o u t s k i r t s o f t h e s o l a r s y s t e m . " I c o n c u r w i t h t h i sc o n c l u s i o n ; 2 t h e c o m p o s i t i o n o f U r a n u s a n d N e p t u n e a p p e a r c l o s e t o t h e e x p e c t e dc o m p o s i t i o n o f c o m e t s i f , f o l l o w i n g t h e i c y - c o m e t m o d e l , 3 t h e c o m e t s w e r e d e r i v e df r o m g a s c o m p a r a b l e i n c o m p o s i t i o n t o t h e S u n , b u t w e r e f r o z e n o u t o f t h i s g a s a t

t e m p e r a t u r e s p e r h a p s much b e l o w 1 0 0 ' K . I f t h e c o m e t s a r e i n d e e d t h e b u i l d i n gb l o c k s o f t h e o u t e r m o s t p l a n t s , t h e n t h e O p i k - O o r t 4 5 g r e a t c l o u d o f c o m e t s mayh a v e b e e n d e r i v e d f r o m t h o s e f o r m e d w i t h i n t h e p l a n e t a r y r e g i o n b u t p e r t u r b e dg r a v i t a t i o n a l l y i n t o e x t r e m e l y e l o n g a t e d o r b i t s . T h o s e " c o m e t e s i m a l s " f o r m i n gb e y o n d t h i s r e g i o n d i d n o t c o l l e c t i n t o p l a n e t s b e c a u s e o f t h e l o w s u r f a c e d e n s i t y o ft h e p r e p l a n e t a r y c l o u d ; t h e y r e m a i n i n a r i n g e x t e n d i n g i n d e f i n i t e l y b e y o n d t h e" p e r t u r b a t i v e r e a c h " o f N e p t u n e b u t n e a r t h e p l a n e o f t h e p l a n e t s . P l u t o mayt h u s b e a c o m e t a r y a c c u m u l a t i o n o r , a s s u g g e s t e d b y L y t t e l t o n , 6 a l o s t s a t e l l i t e o fN e p t u n e .I f t h e l a r g e s t c o m e t s i n t h e p o s t u l a t e d b e l t h a v e r a d i i n o t much e x c e e d i n g 1 0 0k m , o r a p p r o x i m a t e l y 1 / 3 0 P l u t o ' s d i a m e t e r , t h e i r a p p a r e n t m a g n i t u d e w o u l d b ea p p r o x i m a t e l y 2 2 a n d t h e c h a n c e o f d i s c o v e r y r e m o t e , e v e n t h o u g h a n u m b e r o f s u c hc o m e t s m i g h t e x i s t .

I f t h e t o t a l m a s s o f t h e c o m e t b e l t i s t a k e n a s 1 0 E a r t h m a s s e s a t a d i s t a n c e o f 5 0a . u . f r o m t h e S u n i n a l a y e r o n l y 1 a . u . t h i c k , o r a p p r o x i m a t e l y a d e g r e e p e r p e n d i c u -l a r t o t h e p l a n e o f t h e p l a n e t a r y o r b i t s , t h e r i n g c a n n o t c o n t r i b u t e m u c h t o t h eZ o d i a c a l L i g h t b y r e f l e c t e d s u n l i g h t u n l e s s t h e c o m e t e s i m a l s a v e r a g e r a t h e r s m a l l i nd i m e n s i o n . F o r a u n i f o r m d i a m e t e r o f 1 km a n d a n a l b e d o o f 0 . 0 7 , t h e r i n g w o u l dc o n t r i b u t e 8 . 5 m a g n i t u d e s p e r s q u a r e d e g r e e , s o m e 4 . 5 m a g n i t u d e s f a i n t e r t h a n t h ea v e r a g e n i g h t s k y , a n d c o u l d n o t b e e a s i l y d i s t i n g u i s h e d f r o m t h e Z o d i a c a l L i g h tu n l e s s i t s p l a n e d i f f e r e d q u i t e a p p r e c i a b l y f r o m t h e p l a n e o f t h e e c l i p t i c . T h e e x -t r e m e l y p r e c i s e m e a s u r e s t h a t w o u l d b e n e c e s s a r y t o d e t e c t s u c h a r i n g w o u l dp r o b a b l y b e s t b e m a d e f r o m o u t s i d e t h e E a r t h ' s a t m o s p h e r e . T h u s we s e e t h a t ,s i n c e d i r e c t o b s e r v a t i o n a l e v i d e n c e f o r t h e e x i s t e n c e o f a c o m e t a r y b e l t m ay n o t b ea v a i l a b l e f o r s o m e t i m e t o c o m e , we must l o o k f o r p o s s i b l e g r a v i t a t i o n a l e f f e c t s .P e r t u r b a t i v e E f f e c t s o f a C o m e t B e l t . - A c o m e t b e l t w o u l d p e r t u rb t h e m o t i o n s o f a

7 1 1


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7 1 2 ASTRONOMY: F . L . WHIPPLE P R O C . N . A . S .TABLE 1

V A L U E S OF B ( E Q . 1 ) AND A ( E Q S . 2 AND 3 )a p / a o r r / a B ( a p l a ) A ( r / a )0 . 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 00 . 0 5 0 . 0 0 1 8 8 4 0 . 0 0 0 0 6 30 . 1 0 0 . 0 0 7 6 4 3 0 . 0 0 0 5 0 60 . 1 5 0 . 0 1 7 6 1 0 . 0 0 1 7 3 10 . 2 0 0 . 0 3 2 3 9 0 . 0 0 4 1 8 80 . 2 5 0 . 0 5 2 9 1 0 . 0 0 8 4 0 00 . 3 0 0 . 0 8 0 5 8 0 . 0 1 5 0 10 . 3 5 0 . 1 1 7 4 0 . 0 2 4 8 20 . 4 0 0 . 1 6 6 6 0 . 0 3 8 9 10 . 4 5 0 . 2 3 2 6 0 . 0 5 8 7 00 . 5 0 0 . 3 2 2 6 0 . 0 8 6 2 20 . 5 5 0 . 4 4 8 0 0 . 1 2 4 4

0 . 6 0 0 . 6 2 8 0 0 . 1 7 7 60 . 6 5 0 . 8 9 6 9 0 . 2 5 2 90 . 7 0 1 . 3 2 0 0 . 3 6 2 10 . 7 5 2 . 0 3 6 0 . 5 2 6 50 . 8 0 3 . 3 7 7 0 . 7 8 9 50 . 8 5 6 . 3 2 4 1 . 2 5 30 . 9 0 1 4 . 8 8 ' , 2 . 2 2 70 . 9 5 6 1 . 7 9 5 . 2 7 41 . 0 0 O c o

p l a n e t a n d s h o u l d b e m o s t e f f e c t i v e i n p r o d u c i n g a r e t r o g r a d e m o t i o n o f i t s o r b i t a ln o d e o r t h e d i r e c t i o n s o f i t s p o l e a b o u t a s m a l l c i r c l e . From P l u m m e r 7 ( p p . 1 4 7 ,1 7 3 , a n d 1 9 8 ) a c i r c u l a r c o m e t r i n g o f o n e d i m e n s i o n , w i t h a t o t a l m a s s m , a t a d i s -t a n c e a f r o m t h e S u n ( o f m a s s m a ) , w o u l d i m p a r t t h e f o l l o w i n g r e t r o g r a d e m o t i o n t ot h e n o d e o f a p l a n e t o f m a s s m . i n a s m a l l e r c i r c u l a r o r b i t o f s e m i m a j o r a x i s a , :

d= Bm [ ] ( 1 )d t a a , ( m , + m , ) jw h e r e G i s t h e c o n s t a n t o f g r a v i t y , B i s a d i m e n s i o n l e s s f u n c t i o n o f a , / a e x p r e s s i b l eb y a L a p l a c e c o e f f i c i e n t i n t h e f o r m B = a , 6 b 1 s / J ( 4 a ) , a n d t h e i n c l i n a t i o n i s s m a l l .N u m e r i c a l v a l u e s o f B a r e g i v e n i n T a b l e 1 .F o r a p l a n e t i n t h e p l a n e o f t h e r i n g a t d i s t a n c e r f r o m t h e S u n , t h e r a t i o , R , o f t h er a d i a l f o r c e o u t w a r d t o t h a t i n w a r d b y t h e S u n i s g i v e n b y

R = A ( y ) - , ( 2 )i n w h i c h i t c a n b e s h o w n t h a t

A ( y ) = - [ E Q 2 ) K- 2 ) ( 3 )w h e r e y = r / a , a n d E ( k 2 ) a n d K ( k 2 ) a r e t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l s o f k 2 =2 ' y / 2 / / ( 1 + y ) . N u m e r i c a l v a l u e s o f A ( 7 y ) a r e g i v e n i n T a b l e 1 .T h e m a j o r e f f e c t o f a c o m e t r i n g o n p l a n e t a r y l o n g i t u d e s w o u l d a r i s e f r o m t h er e d u c t i o n i n e f f e c t i v e s o l a r g r a v i t y a s g i v e n b y R i n e q u a t i o n ( 2 ) . An o u t e r p l a n e ti n a c i r c u l a r o r b i t w o u l d a c t u a l l y m o v e i n a s m a l l e r o r b i t a , t h a n a , ' , c a l c u l a t e df r o m t h e p e r i o d . To f i r s t - o r d e r t e r m s w e f i n d

a.-ap R 3a . 3 4


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V O L . 5 1 , 1 9 6 4 ASTRONOMY: F . L . WHIPPLE 7 1 3F o r a p l a n e t a t a g r e a t d i s t a n c e f r o m t h e S u n , t h e s e m i m a j o r a x i s i s , i n f a c t ,

a l m o s t e n t i r e l y d e t e r m i n e d b y t h e p e r i o d b e c a u s e t h e b e s t o b s e r v a t i o n s a r e m a d en e a r o p p o s i t i o n . T h e p a r a l l a c t i c e r r o r , A X , m a d e i n t h e l o n g i t u d e o b s e r v a t i o n sb e c a u s e o f t h e i n c o r r e c t l y d e t e r m i n e d v a l u e o f a , i s t h e n ( 0 - C )

/ \ = - 3 , R P 8 s i n H , ( 5 )w h e r e H i s t h e h e l i o c e n t r i c l o n g i t u d e o f t h e E a r t h m i n u s t h a t o f t h e p l a n e t ; p , i s t h ed i s t a n c e f r o m E a r t h t o p l a n e t ; a n d P s , t h e d i s t a n c e t o t h e S u n .A maximum v a l u e o f s i n H l i e s n e a r p , a , . H e n c e , t h e maximum v a l u e o fA X i s , f o r a , i n a . u . , a p p r o x i m a t e l y

A X ( m a x ) = R ( 5 a )3 a , ,A s a n e x a m p l e , f o r a c o m e t r i n g o f 1 0 E a r t h m a s s e s , a t a s o l a r d i s t a n c e o f 4 0a . u . w e f i n d f o r N e p t u n e R = 1 . 6 X 1 0 - 5 a n d A X ( m a x ) = 1 0 ! 0 3 6 ; f o r U r a n u sR = 2 . 6 X 1 0 - 6 a n d A X ( m a x ) = 0 ! 0 0 9 . T h u s , t h e r a d i a l e f f e c t o f o u r p o s t u l a t e dc o m e t b e l t o n a n y o f t h e p l a n e t s , e x c e p t p o s s i b l y P l u t o , i s p r o b a b l y u n m e a s u r a b l e a tp r e s e n t . We m u s t l o o k t o m o t i o n s o f t h e n o d e s f o r e v i d e n c e o f t h e b e l t .O b s e r v a t i o n s o f p l a n e t s w h e n c o m p a r e d w i t h t h e o r y w i l l y i e l d r e s i d u a l s i n t h el a t i t u d e , , 3 . We w i s h t o c a l c u l a t e t h e m o t i o n i n # f o r a p l a n e t t h a t i s b e i n g p e r -t u r b e d b y t h e c o m e t b e l t . L e t u b e t h e l o n g i t u d e o f t h e p l a n e t a t t i m e t , m e a s u r e df r o m i t s a s c e n d i n g n o d e a t t h e e c l i p t i c , a n d l e t Q b e t h e a n g l e f r o m t h e e c l i p t i c n o d et o t h e a s c e n d i n g n o d e w i t h r e s p e c t t o t h e p l a n e o f t h e c o m e t b e l t .T h e c o m e t b e l t w i l l e x e r t a n a c c e l e r a t i o n W , n o r m a l t o t h e o r b i t a l p l a n e , t h a t c a nb e w r i t t e n

W = -2n2aK s i n ( u - Q ) , ( 6 )w h e r e n i s t h e mean m o t i o n o f t h e p l a n e t i n a c i r c u l a r o r b i t , a n d K i s a d i m e n s i o n l e s sc o n s t a n t t o b e e v a l u a t e d f r o m o b s e r v a t i o n .On i n t e g r a t i o n o f t h e u s u a l e q u a t i o n s f o r p e r t u r b a t i o n s i n n o d e a n d i n c l i n a t i o n ,w i t h r e s p e c t t o t h e e c l i p t i c , we c a n c a l c u l a t e t h e p e r t u r b a t i o n s i n 3 a r i s i n g f r o m t h ec o m e t r i n g ,

A= - s i n u ( P + u s i n Q ) + - c o s u ( Q +u c o s ) , ( 7 )K p Pw h e r e P = s i n u o s i n (u-Q)- u 0 s i n 2 - c o s Q ; Q = s i n u o c o s ( u s - )-sc o s Q , p i s t h e g e o c e n t r i c d i s t a n c e o f t h e p l a n e t , a n d t h e p e r t u r b a t i o n A f 3 i s i n t e -g r a t e d f r o m t o a n d u 0 .T h e c o n s t a n t K c a n b e f o u n d f r o m t h e n o r m a l e q u a t i o n s f o r t h e p l a n e t a r y o r b i t ,s o l u t i o n s b e i n g made f o r v a r i o u s v a l u e s o f Q t o m i n i m i z e t h e w e i g h t e d s q u a r e s o f t h er e m a i n i n g r e s i d u a l s i n # .We m u s t t h e n d e t e r m i n e t h e t i m e - a v e r a g e d v a l u e o f d Q / d t f r o m t h e u s u a l e q u a t i o nf o r a c i r c u l a r o r b i t , d- s i n ( u - Q ) W ( 8 )d t n a s i n i


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7 1 4 ASTRONOMY: F . L . WHIPPLE P N o c . N . A . S .w h e r e i i s t h e i n c l i n a t i o n o f t h e p l a n e t a r y o r b i t t o t h e p l a n e o f t h e c o m e t b e l t .T h i s a v e r a g e y i e l d s , o n s u b s t i t u t i n g W f r o m e q u a t i o n ( 6 ) a n d i n t e g r a t i n g f o r o n ep e r i o d ,

d Q K [ G ( m , + m , ) 1 / 2d t a v g . s i n a 3 ( 9 )E q u a t i n g e q u a t i o n ( 9 ) t o e q u a t i o n ( 1 ) , we f i n d f o r t h e c o r r e s p o n d i n g m a s s o f t h ec o m e t b e l t

m = ( m s + m , ) - . . , ( 1 0 )B a , s i n Vw h e r e K i s m e a s u r e d i n r a d i a n s .N o t e t h a t e q u a t i o n ( 1 0 ) i n v o l v e s t h r e e u n k n o w n s , a . 1 a , ( d i r e c t l y a n d i n B ) , m ,a n d s i n i . W e r e t h e p e r t u r b a t i o n s o f t h e r i n g m e a s u r a b l e f o r t w o p l a n e t s , we c o u l dd e t e r m i n e Q , a n d h e n c e s i n i , f o r e a c h . T h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f K c o u l d t h e o -r e t i c a l l y p r o v i d e a s o l u t i o n f o r m a n d a / a , , a " c o m p l e t e s o l u t i o n . " I n f a c t , h o w -e v e r , a n a c t u a l c o m e t b e l t w o u l d h a v e a c o n s i d e r a b l e e x t e n t i n s o l a r r a d i u s . Morei n f o r m a t i o n i s t h u s r e q u i r e d f o r a t r u l y c o m p l e t e s o l u t i o n .O b s e r v e d P e r t u r b a t i o n s o n N e p t u n e a n d U r a n u s . - F r o m a d e f i n i t i v e o r b i t o f N e p -t u n e o v e r t h e i n t e r v a l f r o m 1 7 9 5 t o 1 9 3 8 ( 1 8 4 6 - 1 9 3 8 e x c l u d i n g L a l a n d e ' s p r e d i s -c o v e r y o b s e r v a t i o n s ) , L . R . W y l i e 8 f i n d s t h a t s y s t e m a t i c r e s i d u a l s i n t h e h e l i o c e n t r i c

+ 2 . 0

a . WYLIE ( W i t h o u t P l u t o )+ 1 . 0 _

0 *

- 2 . 0-

z 2 . 0* b . COMET BELT ( 1 7 9 5 O b s e r v a t i o n n o t u s e d i n s o l u t i o n )0 - t - 1 . 0 _

0

o-2.0

-2.079 0 1 8 0 0 1 0 20 30 40 50 60 70 80 90 90 0 1 0 20 30 40 50- ~ ~ ~ ~ ~ D A T EF I G . C . O N e p t u n e r e s i d u a l s i n l a t i t u d e .


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V O L . 5 1 , 1 9 6 4 ASTRONOMY: F . L . WHIPPLE 7 1 5l a t i t u d e ( F i g . 1 ) c a n b e a t t r i b u t e d t o p e r t u r b a t i o n s b y P l u t o . A s o l u t i o n f o r t h em a s s o f P l u t o r e d u c e s t h e w e i g h t e d su m o f t h e s q u a r e s o f t h e r e s i d u a l s t o 2 5 " 6 , f r o m8 3 ' 2 . W y l i e f i n d s , h o w e v e r , t h a t t h e l a t i t u d e s a r e a b o u t a s w e l l r e p r e s e n t e d b y as e c u l a r m o t i o n o f t h e n o d e .From W y l i e ' s 9 n o r m a l e q u a t i o n s f o r t h e p o s i t i o n s o f N e p t u n e a n d U r a n u s o v e rt h e p e r i o d 1 7 8 5 - 1 9 3 5 l e a s t - s q u a r e s s o l u t i o n s f o r t h e P i )m o t i o n s o f t h e p l a n e s o f t h e o r b i t s h a v e b e e n m a d e ; e o tt h e r e s u l t s a r e p o r t r a y e d g r a p h i c a l l y i n F i g u r e 2 . P o e l e l t eH e r e t h e e l l i p s e s i n d i c a t e t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s i n Cmtett h e s o l u t i o n s f o r t h e m o t i o n s o f t h e o r b i t a l p o l e s , t h ea x e s o f t h e e l l i p s e s r e p r e s e n t i n g t h e s t a n d a r d d e v i -a t i o n s i n A t a n d i n s i n i A Q . T h e f i t w i t h o b s e r v a t i o n I S a t u r ni s s l i g h t l y b e t t e r f o r N e p t u n e t h a n t h o u g h t h e e f f e c t I n v a r i a b l e P l a n ew e r e a t t r i b u t e d t o P l u t o . F o r U r a n u s t h e s o l u t i o n s E c l i p t i c J U e E q u i r n o xa r e q u i t e i n d e t e r m i n a t e ; t h e y d o n o t r e m o v e t h eu n e x p l a i n e d s e c u l a r c h a n g e i n l a t i t u d e . A n g l e : 1F i g u r e 2 s h o w s t h a t t o p r o d u c e a r e t r o g r a d e m o - M o t i o n : 1 7 1 0 0 y rt i o n o f t h e p o l e o f N e p t u n e ' s o r b i t , t h e p o l e o f t h e F I G . 2 . - P o l e s o f p l a n e t o r b i t sc o m e t b e l t m u s t b e o r i e n t e d a p p r o x i m a t e l y a l o n g t h e ( e l l i p s e s r e p r e s e n t m . e . o fd a s h e d l i n e a t t h e t o p o f t h e f i g u r e . T h e p o s i t i o n o f m o t i o n s ) .t h e p o l e i s o n l y s l i g h t l y c o n s t r a i n e d b y t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e e f f e c t o n U r a n u sm u s t b e t o o s m a l l t o b e d e t e c t a b l e . T h e c o m e t b e l t m u s t t h e r e f o r e b e i n c l i n e ds o m e w h a t m o r e t h a n 1 0 f r o m t h e i n v a r i a b l e p l a n e o f t h e p l a n e t s .

A l t h o u g h c e r t a i n l i m i t a t i o n s o n t h e p o s i t i o n a n d m a s s o f t h e c o m e t b e l t c a n b eo b t a i n e d f r o m t h e m o t i o n o f t h e o r b i t a l p l a n e s o f N e p t u n e a n d U r a n u s , a m o r ep r e c i s e a n a l y s i s i s j u s t i f i e d . H e n c e , l e a s t - s q u a r e s s o l u t i o n s f o r t h e c o e f f i c i e n t s o f Kw e r e m a d e f r o m W y l i e ' s n o r m a l e q u a t i o n s i n l a t i t u d e f o r b o t h N e p t u n e a n d U r a n u sb y a p p l i c a t i o n o f e q u a t i o n ( 7 ) . T h e u n k n o w n s w e r e M i , , s i n i p A Q , a n d K . Tos o l v e f o r Q , s o l u t i o n s w e r e m a d e a t 1 0 0 i n t e r v a l s i n Q ; t h e v a l u e a d o p t e d w a s t h a tf o r w h i c h t h e w e i g h t e d s u m o f t h e s q u a r e s o f t h e r e s i d u a l s , 2 p v 2 , w a s a m i n i m u m .F o r N e p t u n e t h e s t a r t i n g o r b i t w a s t h e s a m e a s W y l i e ' s , f o r w h i c h P l u t o ' s e f f e c tw a s n e g l e c t e d ( A B ' i n h i s T a b l e 5 ) . F o r U r a n u s , s i m i l a r l y , W y l i e ' s s t a r t i n g o r b i tw a s u s e d ( d B ' o f h i s T a b l e 1 5 ) . T h e c o e f f i c i e n t s f o r A i p a n d s i n i p A u p w e r e t a k e nf r o m h i s n o r m a l e q u a t i o n s , w h i c h f o r U r a n u s m e a n s t h a t t h e r a t i o r / p w a s t a k e n a su n i t y , a n a c c e p t a b l e a p p r o x i m a t i o n .T a b l e 2 l i s t s t h e s o l u t i o n s d e s c r i b e d a b o v e . A c o m p a r i s o n o f t h e 2 p v 2 i f K = 0w i t h t h e O p t i m u m 2 p v 2 s h o w s t h e e f f e c t o f o p t i m i z i n g U . T h i s e f f e c t i s v e r y s i g n i f i -c a n t f o r N e p t u n e , b u t n o t f o r U r a n u s . T h e mean e r r o r i n K i s much u n d e r -e s t i m a t e d b e c a u s e , i n f a c t , t h e s o l u t i o n f o r Q w a s n o t i n c l u d e d i n t h e l e a s t s q u a r e s .A b e t t e r e s t i m a t e c a n b e m a d e f r o m t h e s o l u t i o n f o r t h e m o t i o n o f t h e p o l e , w h i c hf o r N e p t u n e w a s 1 ". 0 4 ( 0 " 4 5 ) p e r 1 0 0 y r . T h u s , K = + 0 ' . ' 2 8 ( 4 0 ' . ' 1 2 ) i s a r e a l i s t i cv a l u e . F o r U r a n u s K = + 0 O ' 0 2 ( 4 0 - ' . 0 6 ) i s p r o b a b l y m e a n i n g f u l .We m ay c o n c l u d e t h a t f o r N e p t u n e t h e a s s u m p t i o n o f a c o m e t b e l t l e a d s t o as l i g h t l y b e t t e r f i t w i t h t h e l a t i t u d e o b s e r v a t i o n s t h a n d o e s t h e a s s u m p t i o n o f P l u t op e r t u r b a t i o n s ; 2 p v 2 b e c o m e s 2 3 . 6 i n s t e a d o f 2 5 . 6 , e v e n t h o u g h t h e 1 7 9 5 o b s e r v a t i o nw a s n e g l e c t e d i n t h e s o l u t i o n b u t n o t i n t h e r e s i d u a l s . E i t h e r a s s u m p t i o n r e d u c e s2 p v 2 b y m o r e t h a n a f a c t o r o f t h r e e , a r a t h e r s i g n i f i c a n t a m o u n t . F o r U r a n u s


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7 1 6 ASTRONOMY: F . L . WHIPPLE P R O C . N . A . S .TABLE 2

O R B I T A L C O R R E C T I O N SP l a n e t Neptune Uranus

ZpV2ifK=0 8 3 . 2 1 . 1 4Optimum Z p v 2 2 3 . 6 1 . 1 2Optimum a 2 4 0 0 3 0 0 0A i , ( m . e . ) - 0 ` 1 6 4 ( 4 - 0 ! 0 4 8 ) -0 ` 4 1 ( - 4 0 . 1 1 )s i n i , A O p ( m . e . ) +0 4 9 8 ( 4 - 0 ' 0 3 7 ) + 0 " 6 8 ( 4 0 ` 0 7 )K ( m . e . ) + 0 " 2 7 8 ( @ 0 ! 0 3 6 * ) + 0 " 0 2 0 ( 4 0 ` 0 2 5 * )t o 1 9 0 0 . 0 8 1 8 5 1 . 4 5* To o s m a l l ; s e e t e x t .

n e i t h e r a s s u m p t i o n i m p r o v e s t h e f i t s i g n i f i c a n t l y n o r h e l p s r e m o v e t h e s e c u l a r t r e n di n t h e r e s i d u a l s i n l a t i t u d e . F o r n e i t h e r p l a n e t i s t h e f i t i n l o n g i t u d e i m p r o v e d s i g -n i f i c a n t l y b y e i t h e r a s s u m p t i o n , e x c e p t f o r t h e 1 7 9 5 o b s e r v a t i o n o f U r a n u s .T h e s e f a c t s p r o v i d e s o m e s u p p o r t f o r t h e e x i s t e n c e o f a c o m e t b e l t , p a r t i c u l a r l y a st h e c a l c u l a t e d v a l u e o f t h e m a s s o f P l u t o f a l l s i n t h e r a n g e o f 0 . 5 - 1 . 0 E a r t h m a s s e s ,w h i c h i s f a r g r e a t e r t h a n p h y s i c a l o b s e r v a t i o n c a n a l l o w . N o t e t h a t t h e o b s e r v a -t i o n s o f U r a n u s p r e v i o u s t o 1 7 8 1 , a n a l y z e d b y W o o l a r d , 1 0 h a v e n o t b e e n i n c l u d e d i nt h e s o l u t i o n s h e r e . B r o u w e r " f o u n d t h a t " T h e a c c i d e n t a l e r r o r o f t h e s e o l d o b s e r -v a t i o n s i s d i s a p p o i n t i n g l y l a r g e . "P o s s i b l e M a s s o f t h e C o m e t B e l t . - W e c a n c a l c u l a t e t h e m a s s o f t h e c o m e t b e l t f r o mt h e d e r i v e d v a l u e o f K a n d e q u a t i o n ( 1 0 ) i f w e a s s u m e a mean d i s t a n c e f r o m t h e S u na n d i n c l i n a t i o n t o t h e p l a n e o f N e p t u n e ' s o r b i t . F o r t h e o p t i m u m Q = 2 4 0 , t h ea s c e n d i n g n o d e o f N e p t u n e ' s o r b i t w i t h r e s p e c t t o t h e p l a n e o f t h e c o m e t b e l t l i e s i nl o n g i t u d e 1 3 1 0 + 2 4 0 0 = 1 1 0 . T h e p o l e o f t h e c o m e t b e l t t h u s l i e s v e r y n e a r l ya l o n g t h e g r e a t c i r c l e i n d i c a t e d i n F i g u r e 2 ; i t s p l a n e i s i n c l i n e d 0 ? 8 o r m o r e t o t h ei n v a r i a b l e p l a n e a n d a b o u t 1 ? 4 m o r e w i t h r e s p e c t t o t h e o r b i t o f U r a n u s t h a n t o t h a to f N e p t u n e .F o r N e p t u n e we m ay a d o p t K = 0 " 2 8 f r o m T a b l e 2 i n e q u a t i o n ( 1 0 ) t o d e r i v e am a s s f o r a c o m e t r i n g . S u p p o s e t h e r i n g i s 4 0 a . u . f r o m t h e S u n . T h e n B ( T a b l e 1 )= 2 . 0 4 a n d

M a s s ( c o m e t r i n g ) = 8 . 4 ( s i n . ) E a r t h M a s s e s , ( 1 1 )w h e r e i N i s t h e a s s u m e d i n c l i n a t i o n o f N e p t u n e ' s o r b i t t o t h a t o f t h e c o m e t r i n g .

F o r U r a n u s we m ay a d o p t K = 0 " ' 0 6 , t h e e s t i m a t e d e r r o r , t o r e p r e s e n t a maximumv a l u e . R o u g h l y . t h e i n c l i n a t i o n o f U r a n u s ' o r b i t t o t h a t o f t h e c o m e t r i n g w i l l b ei N + 0? 4 , s o t h a t f o r a = 4 0 a . u . , B = 0 . 3 2 , a n dM a s s ( c o m e t r i n g ) < 1 0 . 1 s i n 3 0 4 E a r t h M a s s e s . ( 1 2 )s n ( i N + 1 0 4 ) ErhMse.(2

P l a c i n g t h e c o m e t r i n g a t a d i s t a n c e o f 5 0 a . u . f r o m t h e S u n , w e f i n d t h a t t h e c o r r e -s p o n d i n g c o e f f i c i e n t s i n e q u a t i o n s ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) b e c o m e , r e s p e c t i v e l y , 2 7 a n d 2 0E a r t h m a s s e s . A s e x p e c t e d , t h e m a s s n e e d e d i n t h e c o m e t b e l t i n c r e a s e s w i t h s o l a rd i s t a n c e b u t i s o f t h e o r d e r o f 1 0 - 2 0 E a r t h m a s s e s a t d i s t a n c e s o f 4 0 - - 5 0 a . u . f o r a ni n c l i n a t i o n o f 2 0 t o t h e o r b i t o f N e p t u n e . T h e c a l c u l a t e d m a s s v a r i e s i n v e r s e l y a ss i n i .

B e c a u s e o f i t s h i g h i n c l i n a t i o n a n d l a r g e s e m n i m a j o r a x i s , t h e o r b i t o f P l u t o s h o u l d


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V O L . 5 1 , 1 9 6 4 ASTRONOMY: F . L . WHIPPLE 7 1 7e v e n t u a l l y g i v e a d e f i n i t i v e a n s w e r r e g a r d i n g t h e e x i s t e n c e o f a c o m e t b e l t . A t t h em o m e n t , h o w e v e r , t h e i m p r o v e d o r b i t b y S h a r a f 2 e x h i b i t s s e m i p e r i o d i c v a r i a t i o n s i nt h e d e c l i n a t i o n r e s i d u a l s , w i t h a s e m i a m p l i t u d e o f a b o u t : 2 " a n d a p e r i o d o f a b o u t1 1 y e a r s . T h u s , a n y p e r t u r b a t i o n s i n d e c l i n a t i o n a r i s i n g f r o m a c o m e t b e l t a r e n o tc o n s p i c u o u s .A s e a r c h f o r a p a r a l l a c t i c l o n g i t u d e e f f e c t , a s s u g g e s t e d b y e q u a t i o n ( 5 ) , w a s m a d ef o r N e p t u n e f r o m t h e r e s i d u a l s g i v e n b y W y l i e ' s f i n a l o r b i t . A s t r o n g e f f e c t a p p e a r e da m o n g t h e e a r l y o b s e r v a t i o n s , 1 8 4 6 - 1 8 6 0 , b u t i t w a s o p p o s i t e i n s i g n t o e x p e c t a t i o n sa n d a n o r d e r o f m a g n i t u d e t o o l a r g e ( - . ' 0 " . 5 ) . I n t h e r e m a i n i n g r e s i d u a l s , 1 8 6 1 -1 9 0 6 , t h e e f f e c t w a s g r e a t l y r e d u c e d , p o s s i b l y b e l o w t h e l e v e l o f s i g n i f i c a n c e . I tp r o b a b l y r e p r e s e n t s a s y s t e m a t i c o b s e r v a t i o n a l e r r o r a m o n g e v e n i n g o b s e r v a t i o n s ,w h i c h a r e m u c h m o r e n u m e r o u s t h a n m o r n i n g o b s e r v a t i o n s . T h e d a t b f o r U r a n u sc o u l d n o t b e t e s t e d s i m p l y f o r a l o n g i t u d e e f f e c t .

I n c o n c l u s i o n , t h e e v i d e n c e f o r a c o m e t b e l t l y i n g b e y o n d t h e p l a n e t s i n a p l a n e av e r y f e w d e g r e e s f r o m t h e i n v a r i a b l e p l a n e i s s l i g h t l y s t r o n g e r t h a n t h e e v i d e n c e f o rt h e m a s s o f P l u t o . B r o u w e r " 1 s t a t e s w i t h r e s p e c t t o t h e m a s s o f P l u t o : " I h a v e nowc o m e t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e g r a v i t a t i o n a l d e t e r m i n a t i o n i s n o t e n t i t l e d t o t h ew e i g h t t h a t t h e f o r m a l s o l u t i o n i n d i c a t e s . " D e f i n i t i v e o r b i t s o f N e p t u n e a n d p o s s i b l yo f U r a n u s o r P l u t o b a s e d o n c u r r e n t l y a v a i l a b l e o b s e r v a t i o n s a n d t h e o r y m i g h t e n a b l eu s t o d i s t i n g u i s h a m o n g t h e a l t e r n a t i v e s : ( a ) P l u t o i s m a s s i v e , a n d n o a p p r e c i a b l ec o m e t b e l t e x i s t s ; ( b ) P l u t o h a s a n e g l i g i b l e m a s s , w h i l e a c o m e t b e l t o f a p p r e c i a b l em a s s d o e s e x i s t ; ( c ) n e i t h e r P l u t o n o r t h e p o s t u l a t e d c o m e t b e l t h a s a p p r e c i a b l e m a s s .I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t s u c h a c o m e t b e l t c o u l d b e a s o u r c e o f a p p r e c i a b l em e t e o r i t i c m a t e r i a l , p a r t i c u l a r l y f i n e r m a t e r i a l , p o s s i b l y c o n t r i b u t i n g t o t h e Z o d i a c a lL i g h t . D r a w n i n t o w a r d t h e S u n f r o m l a r g e o r b i t s b y t h e P o y n t i n g - R o b e r t s o n E f f e c t ,s u c h m a t e r i a l w o u l d s u f f e r o r b i t a l v i c i s s i t u d e s b y p l a n e t a r y p e r t u r b a t i o n s m u c h a s d oc o m e t s a n d c o m e t a r y d e b r i s . T h u s , n e i t h e r i t s d i s t r i b u t i o n i n s p a c e n o r i t s o r b i t a lc h a r a c t e r i s t i c s w o u l d b e d i s t i n c t i v e . I f w e f i n d t h a t c o m e t s a r e i n d e e d i n a d e q u a t et o m a i n t a i n t h e z o d i a c a l c l o u d , p e r h a p s t h e c o m e t b e l t w i l l s u p p l e m e n t t h e s u p p l y .S u m m a r y . - C e r t a i n t h e o r i e s o f p l a n e t a r y f o r m a t i o n l e a d t o t h e p o s s i b i l i t y t h a t as t a b l e b e l t o f c o m e t s e x i s t s n e a r t h e p l a n e o f t h e p l a n e t s b e y o n d t h e o r b i t o f N e p t u n e .T h i s b e l t w o u l d n o t b e e a s i l y v i s i b l e n o r w o u l d i t c o n t r i b u t e a p p r e c i a b l y t o t h e o b s e r v -a b l e c o m e t s . I t w o u l d , h o w e v e r , e x e r t a g r a v i t a t i o n a l e f f e c t o n t h e o u t e r p l a n e t s .C a l c u l a t i o n s i n d i c a t e t h a t i t a c c o u n t s f o r o b s e r v e d d i s t u r b a n c e s o f t h e m o t i o n i nN e p t u n e ' s l a t i t u d e a s w e l l a s o r s l i g h t l y b e t t e r t h a n t h e p r e v i o u s l y a s s u m e d a t t r a c t i o na t t r i b u t e d t o P l u t o . S i n c e P l u t o a p p e a r s f a r t o o s m a l l t o h a v e a m a s s c o m p a r a b l et o t h e E a r t h , a b e l t o f c o m e t s c o m p r i s i n g p e r h a p s 1 0 - 2 0 E a r t h m a s s e s m ay w e l le x i s t i n t h e r e g i o n o f 4 0 - 5 0 a . u . f r o m t h e S u n a n d b e y o n d . M o d e r n d e f i n i t i v e o r b i t so f N e p t u n e , U r a n u s , a n d P l u t o m i g h t p e r m i t a n a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n .

T h e a s s i s t a n c e a n d a d v i c e o f I m r e G . I z s a k h a v e c o n t r i b u t e d g r e a t l y t o t h i s p a p e r . I am a l s og r a t e f u l t o R u d o l f L o e s e r , who p r o g r a m m e d a n d s u p e r v i s e d m o s t o f t h e c a l c u l a t i o n s o n a n IBM-7 0 9 4 c o m p u t e r .C a m e r o n , A . G . W . , " T h e f o r m a t i o n o f t h e S u n a n d P l a n e t s , " I c a r u s , 1 , 1 3 - 6 9 ( 1 9 6 2 ) .2 W h i p p l e , F . L . , C e n t e n n i a l ( F i r s t S c i e n t i f i c S e s s i o n ) , " H i s t o r y o f t h e s o l a r s y s t e m , " t h e s eP R O C E E D I N G S , i n p r e s s .3 W h i p p l e , F . L . , "A c o m e t m o d e l . I . T h e a c c e l e r a t i o n o f C o m e t E n c k e , " A p . J . , 1 1 1 , 3 7 5 -

3 9 4 ( 1 9 5 0 ) .


8/8

7 1 8 ASTRONOMY: T . Y . THOMAS P R O C . N . A . S .4 O p i k , E . , " N o t e o n s t e l l a r p e r t u r b a t i o n s o f n e a r l y p a r a b o l i c o r b i t s , " P r o c . A m e r . A c a d . A r t sS c i . , 6 7 , 1 6 9 - 1 8 2 ( 1 9 3 2 ) .6 O o r t , J . H . , " T h e s t r u c t u r e o f t h e c l o u d o f c o m e t s s u r r o u n d i n g t h e s o l a r s y s t e m , a n d a h y -p o t h e s i s c o n c e r n i n g i t s o r i g i n , " B u l l . A s t r o n . I n s t . N e t h . , 1 1 , 9 1 - 1 1 0 ( 1 9 5 0 ) .6 L y t t l e t o n , R . A . , " O n t h e p o s s i b l e r e s u l t s o f a n e n c o u n t e r o f P l u t o w i t h t h e N e p t u n i a n s y s -t e m , " M o n t h l y N o t i c e s R o y . A s t r o n . S o c . , 9 7 , 1 0 8 - 1 1 5 ( 1 9 3 b ) .7 P l u m m e r , H . C . , An I n t r o d u c t o r y T r e a t i s e o n D y n a m i c a l A s t r o n o m y ( C a m b r i d g e U n i v . P r e s s ,1 9 1 8 ) .8 W y l i e , L . R . , " A c o m p a r i s o n o f N e w c o m b ' s t a b l e s o f N e p t u n e w i t h o b s e r v a t i o n , 1 7 9 5 - 1 9 3 8 , "P u b l . U . S . N a v a l O b s . , S e r . I I , v o l . 1 5 , P a r t 1 , p p . 1 - 2 1 ( 1 9 4 2 ) .9 W y l i e , L . R . "An i n v e s t i g a t i o n o f N e w c o m b ' s t h e o r y o f U r a n u s , " P u b l . U . S . N a v a l O b s . , S e r .I I , v o l . 1 5 , P a r t 3 , p p . 4 1 - 7 1 ( 1 9 4 2 ) .1 0 W o o l a r d , E . W . , " C o m p a r i s o n o f t h e o b s e r v a t i o n s o f U r a n u s p r e v i o u s t o 1 7 8 1 w i t h t h e o r e t -i c a l p o s i t i o n s o b t a i n e d b y n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n , " A . J . , 5 7 , 3 5 - 3 8 ( 1 9 5 2 ) .1 1 B r o u w e r , D . , " T h e m o t i o n s o f t h e o u t e r p l a n e t s , " M o n t h l y N o t i c e s R o y . A s t r o n . S o c . , 1 1 5 , 2 2 1 -2 3 5 ( 1 9 5 5 ) .1 2 S h a r a f , S . G . , " I m p r o v e m e n t o f t h e e l e m e n t s o f P l u t o , " c h a p . 7 , T r . I n s t . T e o r . A s t r o n . ,n o . 4 , 7 9 - 9 4 ( 1 9 5 5 ) .

OUTLINE OF A THEORY OF THE UNIVERSE*BY T . Y . T H O M A S

I N D I A N A U N I V E R S I T Y , BLOOMINGTONC o m m u n i c a t e d M a r c h 1 6 , 1 9 6 4

1 . I n t r o d u c t i o n . - T h e i n a d e q u a c y o f t h e c u r r e n t c o s m o l o g i c a l t h e o r i e s f o r t h ee x p l a n a t i o n o f t h e d i s c r e t i z e d g a l a c t i c s t r u c t u r e f o u n d b y A . G . W i l s o n ' c l e a r l yn e c e s s i t a t e s a m o d i f i c a t i o n o f o u r o v e r - a l l v i e w p o i n t o f t h e u n i v e r s e . I n t h ef o l l o w i n g n o t e we h a v e g i v e n a n o u t l i n e o f a t h e o r y o f e p o c h a l c o s m o l o g y t o p r o v i d et h e t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d f o r t h e s e d i s c r e t i z a t i o n e f f e c t s a n d t o s e r v e a s a b a s i sf o r l a t e r m a t h e m a t i c a l i n v e s t i g a t i o n s .T h e e s s e n t i a l f e a t u r e s o f t h i s t h e o r y c a n b e s t a t e d a s f o l l o w s : I t i s a s s u m e d t h a tt h e u n i v e r s e h a s e x i s t e d t h r o u g h o u t t h e i n f i n i t e p a s t i n a s t a t e d e v o i d o f p o n d e r a b l em a t t e r a n d t h a t i t w o u l d h a v e c o n t i n u e d t o e x i s t i n s u c h a s t a t e e x c e p t f o r t h ea c c i d e n t a l c r e a t i o n o f m a t e r i a l p a r t i c l e s . T h i s i n i t i a l s t a g e o f t h e u n i v e r s e i sd i s c u s s e d i n m o r e o r l e s s d e t a i l i n s e c t i o n 2 . I t s t e r m i n a t i o n w i t h t h e c r e a t i o no f m a t e r i a l p a r t i c l e s i s c o n s i d e r e d i n s e c t i o n 3 a n d i s b a s e d o n t h e p o s s i b i l i t y o fs u c h c r e a t i o n w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e E i n s t e i n f i e l d e q u a t i o n s , i . e . , t h e w e l l -known e q u a t i o n s

B A B - 1 / 2 B h A B = X T A B , (AB = 0 , 1 , 2 , 3 ) , ( 1 )i n w h i c h h A B a n d B A B a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e m e t r i c a n d R i c c i t e n s o r s , r e -s p e c t i v e l y , t h e q u a n t i t y B i s t h e s c a l a r c u r v a t u r e , t h e T A B a r e t h e c o m p o n e n t s o ft h e e n e r g y t e n s o r , a n d f i n a l l y x i s a n a b s o l u t e o r u n i v e r s a l c o n s t a n t . T h e e x -p l o s i o n o f a n a c c u m u l a t i o n o f m a t e r i a l c r e a t e d t o w a r d t h e e n d o f t h e i n i t i a l s t a g ep r o d u c e d t h e f i r s t c o s m o l o g i c a l e p o c h a n d a l s o g a v e r i s e t o t h e s e r i e s o f e p o c h so f c r e a t i o n w h i c h c o n t i n u e a s a c r e a t i v e f o r c e i n t h e u n i v e r s e a n d w h i c h a r e s i g -n i f i c a n t l y r e l a t e d t o t h e o b s e r v e d d i s c r e t i z a t i o n i n r e d s h i f t s a n d t h e a g e s o f g a l a x i e s

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