Comdig Artes Perez

Comunicaciones digitales

Antonio Arts RodrguezDepartamento de Teora de la Seal y Comunicaciones

Universidad Carlos III de Madrid

Fernando Prez GonzlezDepartamento de Teora de la Seal y Comunicaciones

Universidad de Vigo

Jess Cid SueiroDepartamento de Teora de la Seal y Comunicaciones

Universidad Carlos III de MadridRoberto Lpez Valcarce

Departamento de Teora de la Seal y ComunicacionesUniversidad de Vigo

Carlos Mosquera NartalloDepartamento de Teora de la Seal y Comunicaciones

Universidad de VigoFernando Prez Cruz

Departamento de Teora de la Seal y ComunicacionesUniversidad Carlos III de Madrid

DERECHOS RESERVADOS, c 2012 Los autoresEste manuscrito electrnico es slo para uso personal no comercial, y

no puede ser publicado y/o redistribuido en cualquier forma ni sertransformado y/o utilizado parcialmente sin el permiso de los autores.

Para referenciar el manuscrito, por favor, emplee la pgina webwww.tsc.uc3m.es/antonio/libro_comunicaciones

PRLOGO

Tras una larga gestacin y una corta vida, el libro Comunicaciones digitales fue desca-talogado en 2010. Tras volver el copyright a los autores analizamos las distintas alternativasa nuestro alcance, y decidimos publicar, tras corregir todas las erratas detectadas hasta lafecha, el manuscrito en la web para que pueda seguir siendo utilizado por todo aquel que lodesee.

Antonio Arts RodrguezFernando Prez Gonzlez

Junio de 2012

Comunicaciones digitales; A. Arts Rodrguez, F. Prez Gonzlez, J. Cid Sueiro, R. Lpez Valcarce, C. MosqueraNartallo, F. Prez Cruz. DERECHOS RESERVADOS, c 2012 Los autores

PRLOGO DE LA EDICIN IMPRESA

El libro que tiene en sus manos es el resultado de un largo y azaroso proceso, casisiempre a punto de naufragar, que pretenda producir el texto del que nos hubiese gustadodisponer para impartir docencia sobre comunicaciones digitales y que no encontrbamos.No imaginbamos, en aquel tiempo lejano, la magnitud del esfuerzo necesario para llevar abuen puerto este proyecto.

La estructura y el estilo narrativo del libro estn orientados hacia su uso como manual deaprendizaje. Hemos intentado, sin abandonar el rigor, acomodar la extensin de cada tema,mtodo o herramienta conforme a la dificultad de su aprendizaje segn nos dicta nuestraexperiencia. Esta orientacin puede ocasionar que el lector eche en falta algn contenidoque resulta comn en otros textos con vocacin de manual de referencia de comunicacionesdigitales. Un apartado al final de cada captulo trata de guiar al lector ofreciendo una seriede referencias donde poder profundizar en lo aqu expuesto.

En este libro se tratan la mayor parte de los contenidos sobre comunicaciones digita-les que actualmente se imparten en una titulacin como Ingeniera de Telecomunicacin,y particularmente pretende posibilitar al alumno la comprensin de los actuales sistemas yestndares de comunicaciones. Tras un par de captulos donde se repasan los resultados deseales y sistemas y probabilidad y procesos estocsticos ms relevantes para las comuni-caciones digitales, se aborda el estudio de los fundamentos de la modulacin y la deteccin.A partir de aqu se procede de forma sistemtica con el anlisis de las modulaciones linea-les monoportadora, el diseo de receptores para este tipo de modulaciones cuando el canalintroduce distorsin, las modulaciones de fase y frecuencia, las modulaciones multiporta-dora y las modulaciones de espectro ensanchado y, por ltimo, los lmites establecidos porla Teora de la Informacin. El libro concluye con el estudio de las tcnica de proteccincontra errores y las tcnicas de sincronizacin. Se abarcan as las tcnicas de modulacin,codificacin y diseo de receptores de la prctica totalidad de sistemas y estndares de co-municaciones digitales sobre medios conductores o transmisin inalmbrica, tales comoUMTS, DVB, ADSL, Wi-Fi (IEEE 802.11x), WiMAX (IEEE 802.16x), Bluetooth o Zigbee(IEEE 802.15.4), por poner algunos ejemplos.

Adems de algunas tcnicas concretas empleadas en los sistemas actuales, como loscdigos Reed-Muller, los barajadores convolucionales o las modulaciones PPM (Pulse Po-sition Modulation ) que no se estudian en este texto, en este libro no se abordan las co-municaciones inalmbricas en canales con desvanecimiento, las comunicaciones digitalespticas ni las tcnicas de codificacin de fuente, que en ocasiones son tratadas en textos con


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nombres similares al nuestro.Pueden configurarse distintos cursos empleando este libro. Podemos programar un curso

de introduccin a las comunicaciones digitales con material seleccionado de los captulosde seales y sistemas y probabilidad y procesos estocsticos en funcin del nivel de forma-cin de los alumnos, el tema de modulacin y deteccin en canales gausianos y el tema delmites en comunicaciones digitales. Podemos tambin programar un curso basndonos lostemas de modulaciones lineales, la primera parte del captulo de deteccin en canales coninterferencia intersimblica, las modulaciones de fase y frecuencia, las modulaciones multi-portadora y las modulaciones de espectro ensanchado y parte de las tcnicas de codificacinpara proteccin contra errores. Podemos programar un curso de tcnicas de tratamiento digi-tal de seales en comunicaciones con la segunda mitad del captulo de deteccin en canalescon interferencia intersimblica, los receptores para modulaciones de espectro ensanchadoy los receptores multiusuario y el captulo de sincronizacin. Tambin pueden programarsecursos en base a captulos completos que exploren de forma sistemtica el texto.

Este libro no habra visto la luz de no haber sido por algunos Profesores que contribu-yeron a modernizar el estudio de las comunicaciones digitales en Espaa mediante un usosistemtico de tcnicas de tratamiento estadstico de seales y de quienes nos considera-mos discpulos. A Anbal R. Figueiras Vidal y Miguel ngel Lagunas Hernndez, nuestrosincero agradecimiento.

Agradecemos a Alberto Prieto, de la empresa Tredess 2010, Jos Luis Ledo, de Gsertel,Modesto Gmez y Justo Rodal, de Televs, y Fidel Garca Pedraja, primero en TelettraEspaa y posteriormente en Alcatel el habernos ayudado a convertir en productos nuestrosconocimientos. Un agradecimiento muy especial es para Jos Luis Fernndez Carnero, deTelevs, quien hace diecisis aos intuy el potencial de las comunicaciones digitales ycrey en nosotros como investigadores.

Queremos agradecer la labor de revisin de partes de libro y las sugerencias realiza-das por Emilio Parrado Hernndez, Jos Luis Alba Castro, Jos Emilio Vila Forcn, Mar-cos Martn Fernndez, Vernica Santalla del Ro, Juan Jos Murillo Fuentes, Francisco Ja-vier Payn Somet, Luis Prez Freire, Ignacio Santamara Caballero, Juan Ramn TroncosoPastoriza, Mario de Prado Cumplido, Harold Molina Bulla, Joaqun Mguez Arenas, LuisCastedo Ribas, Jos Miguel Leiva Murillo, Santiago Zazo Bello, Pedro Comesaa Alfaro,Sergio Cruces lvarez, ngel Mara Bravo Santos, scar W. Mrquez Flrez, Mara JuliaFernndez-Getino Garca, Jaume Riba y Nuria Gonzlez Prelcic, y muy especialmente aMarcelino Lzaro Teja, Ricardo Santiago Mozos y Eduardo Rodrguez Banga.

Tambin queremos agradecer a Gregori Vzquez Grau, Javier Ramos Lpez y Luis Cas-tedo Ribas, como participantes que fueron en algunas de las etapas de este proyecto, sutrabajo, sus sugerencias y, sobre todo, su generosidad.

A los alumnos de las asignaturas de Teora de la Comunicacin, ComunicacionesDigitales y Transmisin en Banda Ancha de las titulaciones de Ingeniera de Telecomu-nicacin e Ingenieras Tcnicas de Telecomunicacin de la E.P.S. de la Universidad CarlosIII de Madrid, y a los alumnos de las asignaturas de Fundamentos de ComunicacionesDigitales y Transmisin Digital de la Escola Tcnica Superior de Enxeeiros de Tele-comunicacin de Vigo, por sufrir y ayudar a mejorar mltiples y lamentables versiones de


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partes de este libro, nuestro ms sincero agradecimiento.Este libro ha sido escrito principalmente en la parte de nuestro tiempo que le corres-

ponda a nuestras familias. Por su paciencia y comprensin, el resultado de este esfuerzo vadedicado a ellas.

Antonio Arts RodrguezFernando Prez Gonzlez

Benavente, marzo de 2007


NDICE

1. Introduccin 11.1. Comunicaciones digitales y analgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Elementos de un sistema de comunicaciones digitales . . . . . . . . . . . . 31.3. Canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Estructura del libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Seales y sistemas 92.1. Seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Clasificacin de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2. Medidas de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3. Seales de inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.4. Espacios de Hilbert para seales de energa finita . . . . . . . . . . 20

2.2. Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1. Clasificacin de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2. Sistemas lineales e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Representacin de seales y sistemas mediante transformadas . . . . . . . 312.3.1. Respuesta de los sistemas lineales e invariantes a las exponenciales

complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2. Transformada de Fourier para seales y sistemas en tiempo continuo 342.3.3. Transformada de Fourier para seales y sistemas en tiempo discreto 462.3.4. Transformada Z para sistemas lineales e invariantes . . . . . . . . . 512.3.5. Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.6. Representacin de seales paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4. Muestreo, diezmado e interpolacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.1. Muestreo de seales en tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.2. Interpolacin y diezmado de secuencias . . . . . . . . . . . . . . . 822.4.3. Simulacin de seales y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.5. Lecturas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3. Teora de la probabilidad y procesos estocsticos 933.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1.1. Asignacin de probabilidades a sucesos . . . . . . . . . . . . . . . 95


X NDICE

3.2. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.1. Distribucin de probabilidades y funcin de densidad de probabilidad 973.2.2. Esperanza matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2.3. Distribuciones de inters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.2.4. Funcin de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.2.5. Variables aleatorias conjuntamente distribuidas . . . . . . . . . . . 1103.2.6. Probabilidades condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2.7. Distribuciones mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.2.8. Teorema central del lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.3. Procesos estocsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.3.1. Caracterizacin de procesos estocsticos . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3.2. Estacionariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.3.3. Ergodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.3.4. Sistemas lineales con entradas estocsticas . . . . . . . . . . . . . 1443.3.5. Densidad espectral de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.3.6. Procesos gausianos, seal y ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.3.7. Procesos gausianos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.3.8. Modulacin de procesos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161


3.A. Teorema de Wiener-Khinchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4. Modulacin y deteccin en canales gausianos 1754.1. Un modelo de comunicacin digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.2. Modulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.3. Demodulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.3.1. Correlacionador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.3.2. Filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.3.3. Canal discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4.4. Decisor y codificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954.4.1. Desarrollo del decisor ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1954.4.2. Clculo de probabilidades de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.4.3. Codificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.5. Transmisin indefinida de smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.6. Lecturas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.A. Procedimiento de ortogonalizacin de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . 2374.B. Estadstico suficiente para la deteccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

5. Modulaciones de amplitud 2475.1. PAM en banda base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5.1.1. Espectro de la seal PAM en banda base . . . . . . . . . . . . . . . 2505.1.2. Transmisin de PAM en banda base sobre canales gausianos . . . . 252


NDICE XI

5.1.3. Canal discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2535.2. El criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

5.2.1. Pulsos en coseno alzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595.2.2. Otras consecuencias del criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . 2615.2.3. Probabilidades de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.3. Transmisin de PAM sobre canales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2635.3.1. El diagrama de ojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

5.4. PAM paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2745.4.1. Espectro de la seal PAM paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . 2825.4.2. Receptores para PAM paso banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2845.4.3. Caractersticas del ruido en el receptor . . . . . . . . . . . . . . . . 2865.4.4. Canal discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2885.4.5. Probabilidades de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

5.5. Implementacin discreta de sistemas PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.6. Lecturas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

6. Deteccin en canales con interferencia intersimblica 3056.1. El problema de la interferencia entre smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . 306

6.1.1. Canal discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3066.1.2. Medida de la interferencia entre smbolos . . . . . . . . . . . . . . 3076.1.3. Cota del filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

6.2. Detector de mxima verosimilitud de secuencias en presencia de ISI . . . . 3116.2.1. Expresin del detector ML de secuencias . . . . . . . . . . . . . . 3126.2.2. El algoritmo de Viterbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136.2.3. Probabilidad de error del detector ML de secuencias . . . . . . . . 320

6.3. Igualacin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3266.3.1. Igualador lineal bajo el criterio forzador de ceros . . . . . . . . . . 3286.3.2. Igualador lineal bajo el criterio de error cuadrtico medio . . . . . . 331

6.4. Igualador con realimentacin de decisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 3376.4.1. Concepto de realimentacin de decisiones . . . . . . . . . . . . . . 3376.4.2. Estructura del igualador DFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3406.4.3. Igualador DFE bajo el criterio de error cuadrtico medio . . . . . . 3416.4.4. Consideraciones sobre el diseo del igualador DFE . . . . . . . . . 345

6.5. Igualador fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3476.6. Prestaciones asintticas de los igualadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

6.6.1. Igualador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3546.6.2. Igualador con realimentacin de decisiones . . . . . . . . . . . . . 356

6.7. Ajuste del receptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3606.7.1. Esquemas no realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3616.7.2. Igualacin adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364



XII NDICE

6.A. Probabilidad de error de smbolo del detector ML . . . . . . . . . . . . . . 3816.B. Estimacin lineal ptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3826.C. Minimizacin de la densidad espectral de potencia del error de igualacin . 3856.D. Demostracin del teorema de factorizacin espectral . . . . . . . . . . . . 386

7. Modulaciones de fase y frecuencia 3897.1. Modulaciones de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

7.1.1. Modulaciones QPSK con desplazamiento temporal . . . . . . . . . 3907.1.2. Receptores para modulaciones de fase . . . . . . . . . . . . . . . . 3947.1.3. Modulaciones de fase diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

7.2. Modulaciones por desplazamiento de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . 3987.2.1. Seal transmitida FSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3997.2.2. Espectro de la seal FSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4017.2.3. Receptores para FSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

7.3. Modulacin MSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4057.3.1. Seal transmitida MSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4067.3.2. Espectro de la seal MSK binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4117.3.3. Receptores para MSK binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

7.4. Modulaciones de fase continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4137.4.1. Seal transmitida CPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4147.4.2. Detector coherente ML para CPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421


7.A. Espectro de una seal multipulso sin memoria . . . . . . . . . . . . . . . . 4287.B. Receptor Incoherente ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

7.B.1. Receptor ML Incoherente para CPFSK ortogonal binaria . . . . . . 432

8. Modulaciones multipulso 4358.1. Modulaciones multiportadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

8.1.1. Modulaciones multiportadora en tiempo continuo . . . . . . . . . . 4378.1.2. Modulaciones multiportadora en tiempo discreto . . . . . . . . . . 4428.1.3. Receptores para modulaciones multiportadora . . . . . . . . . . . . 4508.1.4. Caractersticas del ruido en el receptor . . . . . . . . . . . . . . . . 4518.1.5. Canal discreto equivalente en banda base . . . . . . . . . . . . . . 4528.1.6. Eliminacin de la ISI y la ICI en modulaciones multiportadora . . . 4568.1.7. La OFDM vista como un proceso en bloques . . . . . . . . . . . . 4608.1.8. Igualacin Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

8.2. Modulaciones de espectro ensanchado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4648.2.1. Espectro ensanchado por secuencia directa . . . . . . . . . . . . . 4688.2.2. Espectro de la seal espectro ensanchado por secuencia directa . . . 4708.2.3. Receptores para modulaciones de espectro ensanchado por secuen-

cia directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4718.2.4. Caractersticas del ruido en el receptor . . . . . . . . . . . . . . . . 473


NDICE XIII

8.2.5. Canal discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4738.2.6. Inmunidad a las interferencias de banda estrecha . . . . . . . . . . 4758.2.7. Espectro ensanchado por salto en frecuencia . . . . . . . . . . . . . 4778.2.8. Receptores RAKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4818.2.9. Diseo de pulsos para espectro ensanchado . . . . . . . . . . . . . 487

8.3. Acceso mltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4938.3.1. Seales multiusuario en CDMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4968.3.2. Diseo de secuencias de cdigo para CDMA . . . . . . . . . . . . 5018.3.3. Deteccin Multiusuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510


9. Lmites fundamentales en las comunicaciones digitales 5299.1. Modelos probabilsticos de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

9.1.1. Canales digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5329.1.2. Canal gausiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5369.1.3. Canal gausiano con entrada digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

9.2. Canales digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5409.2.1. Informacin y entropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5409.2.2. Capacidad de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5469.2.3. Teorema de codificacin de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

9.3. Canal gausiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5609.3.1. Informacin mutua y entropa diferencial . . . . . . . . . . . . . . 5609.3.2. Capacidad del canal gausiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5639.3.3. Teorema de codificacin de canal y curva de capacidad . . . . . . . 5679.3.4. Canal gausiano con entrada digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572


9.A. Justificacin de la medida de entropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5819.B. Demostracin de algunas desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5849.C. Relacin entre las medidas de variables aleatorias continuas y discretas . . . 587

10. Codificacin para proteccin contra errores 59110.1. Introduccin y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59110.2. Cdigos bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

10.2.1. Cdigos bloque lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60010.2.2. Cdigos cclicos y su estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . 60510.2.3. Cdigos BCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61210.2.4. Cdigos Reed-Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61610.2.5. Decodificacin de los cdigos BCH y RS . . . . . . . . . . . . . . 61910.2.6. Prestaciones de los cdigos bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

10.3. Cdigos convolucionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62710.3.1. Cdigos convolucionales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627


XIV NDICE

10.3.2. Decodificacin de los cdigos convolucionales . . . . . . . . . . . 63010.3.3. Prestaciones de los cdigos convolucionales . . . . . . . . . . . . . 633

10.4. Modulaciones codificadas en rejilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64610.4.1. TCM bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64710.4.2. TCM con bits sin codificar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65110.4.3. Otros TCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657

10.5. Tcnicas de codificacin avanzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66010.5.1. Cdigos turbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66110.5.2. Cdigos LDPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671


11. Sincronizacin 68711.1. Caractersticas de la seal recibida: el problema de la sincronizacin . . . . 68711.2. Receptor ML ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69011.3. Lazo enganchado en fase (PLL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

11.3.1. Anlisis del PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70011.3.2. Otras consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

11.4. Sincronizacin de smbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70611.4.1. Esquemas realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

11.5. Recuperacin de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71411.5.1. Recuperacin de fase dirigida por decisin . . . . . . . . . . . . . 71511.5.2. Recuperacin de fase no asistida por los datos . . . . . . . . . . . . 716

11.6. Ajuste de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72111.6.1. Ajuste de errores de frecuencia grandes . . . . . . . . . . . . . . . 72211.6.2. Ajuste de errores de frecuencia pequeos . . . . . . . . . . . . . . 726

11.7. Sincronizacin de modulaciones multiportadora . . . . . . . . . . . . . . . 72911.7.1. Impacto de los errores de sincronizacin en modulaciones multipor-

tadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73011.7.2. Sincronizacin pre-DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73411.7.3. Sincronizacin post-DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737

11.8. Sincronizacin para modulaciones de espectro ensanchado . . . . . . . . . 73811.8.1. Adquisicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73911.8.2. Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74111.8.3. Ajuste de fase y frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74311.8.4. Salto en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743


11.A.Resultados asintticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75311.B. Criterio ML para SNR reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75511.C. Cicloestacionariedad y sincronizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75611.D.Estimacin gruesa de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758


CAPTULO 1INTRODUCCIN

1.1. COMUNICACIONES DIGITALES Y ANALGICASPor qu comunicaciones digitales? Para comprender el sentido de la pregunta es nece-

sario entender que muchas de las seales que deseamos comunicar estn originalmente enformato analgico y que cabe, por tanto, transmitirlas usando alguna de las tcnicas clsicasen comunicaciones analgicas, como la modulacin de amplitud (amplitude modulation,AM) o la modulacin de frecuencia (frequency modulation, FM). Un ejemplo puede seruna seal de voz que es captada por el micrfono de un telfono mvil de primera genera-cin y que, modulada en FM, se transmite por radio hasta la estacin base. Como alternativa,se puede pensar en digitalizar la seal de voz y transmitir los bits resultantes utilizando cual-quiera de las tcnicas empleadas en este libro.

El concepto comunicaciones digitales suele evocar la idea de seales de voltaje quecambian entre dos niveles que representan el uno y el cero y que, aunque distorsionadas alser transmitidas por el canal, pueden ser reconstruidas en el destino gracias a su carcterdiscreto. Como veremos, estas formas de onda no son precisamente las ms eficientes paracomunicar informacin y existen soluciones mejores; sin embargo, son un buen ejemplo decmo la discretizacin ayuda a conseguir una comunicacin fiable. De hecho, la diferenciafundamental entre comunicaciones digitales y analgicas es que en las primeras el nmerode formas de onda transmitidas posibles es finito, lo que no ocurre en el segundo caso. Pode-mos pensar, por tanto, que en un instante de tiempo dado el transmisor tiene a su disposicinun conjunto finito y discreto de formas de onda que puede hacer corresponder con los bits atransmitir.

Ahora que hemos aclarado de qu estamos hablando cuando nos referimos a las comu-nicaciones digitales, retomemos la pregunta que nos hacamos al principio e identifiquemossus ventajas frente a las comunicaciones analgicas. Cabe sealar, en primer lugar, que enmuchas ocasiones la propia naturaleza digital de la informacin hace que no quepa otraalternativa, por ejemplo, cuando se desea transmitir un fichero de texto. En otros casos esla naturaleza del canal, en s ms adecuado para la transmisin de seales digitales, la queaconseja el uso de tcnicas de comunicaciones digitales. Esto ocurre, por ejemplo, en los


2 INTRODUCCIN

dispositivos de almacenamiento ptico, como el DVD (Digital Versatile Disc).Una destacable ventaja de las comunicaciones digitales con respecto a las analgicas es

el grado de abstraccin que permite alcanzar, independizando la comunicacin de la natu-raleza de la informacin a enviar. Para un sistema de comunicaciones digitales se aplica elviejo dicho un bit es un bit, que puede entenderse como que su objetivo no es otro quecomunicar de manera fiable cada bit, con independencia de qu representa1. Fue ClaudeShannon quien se encarg de demostrar en los aos 40 que el problema de la transmisinde informacin se poda descomponer en dos sin prdida terica de prestaciones: primero sebusca la forma ms eficiente de representar como una secuencia binaria la seal a transmitir;despus se busca la forma ms eficiente de transmitir la secuencia binaria.

Otra gran ventaja de las comunicaciones digitales se conoce como el efecto regenerati-vo. Cuando se deseaba transmitir informacin a larga distancia (p.ej., a travs de un cablesubmarino), la atenuacin sufrida por la seal enviada obligaba a que los sistemas de comu-nicaciones analgicas incorporasen repetidores, esto es, dispositivos que captan, amplificany retransmiten dicha seal. El inconveniente de los repetidores es que no slo amplifican laseal, sino tambin el ruido, por lo que al final de una cadena con muchos repetidores lacalidad de la seal en el extremo receptor poda ser muy pobre. Empleando comunicacionesdigitales es posible emplear repetidores regenerativos, esto es, que reconstruyen la seal an-tes de retransmitirla. De este modo, si la calidad de un solo enlace es suficientemente buena,la reconstruccin puede tener lugar sin apenas errores, lo que hace que la informacin enel extremo receptor pueda extraerse sin una prdida de calidad apreciable. Curiosamente,es el efecto regenerativo el que tambin propicia que se realicen copias de un medio dealmacenamiento ptico a otro manteniendo la calidad.

Adems, las comunicaciones digitales permiten aprovechar todo el potencial de los sis-temas electrnicos digitales para alcanzar el objetivo de fabricar terminales ms baratos ypequeos. Gracias al formato digital, es posible emplear tcnicas de tratamiento digital deseales que dotan a los sistemas de nuevas funcionalidades, entre las que destaca la flexi-bilidad. Un terminal de comunicaciones digitales moderno contiene una enorme cantidadde software; de hecho, se tiende hacia terminales definidos mediante software, que pue-dan actualizarse automticamente para incorporar nuevas versiones del estndar bajo el queoperan, o incluso de diferentes estndares, dependiendo del uso que se de al terminal. Asi-mismo, el formato digital permite aplicar sobre las seales ciertas operaciones que en el casoanalgico no estn resueltas satisfactoriamente, como ocurre con la criptografa, gracias a lacual se consigue conferir privacidad a la comunicacin.

Finalmente, los sistemas digitales permiten construir fcilmente mecanismos de multi-plexacin temporal y encaminamiento, que resultaran muy complejos con sistemas anal-gicos.

Pero no todo van a ser ventajas: as, las seales obtenidas al digitalizar una seal analgi-ca necesitan ms ancho de banda para poder ser transmitidas con un nivel similar de calidad.Por fortuna, en la prctica se han conseguido desarrollar algoritmos de codificacin de fuen-

1En realidad, cuando se trata de tarificar, los operadores de telefona mvil bien saben que un bit no es unbit: enviar un bit de un mensaje de texto cuesta ms de 500 veces ms que un bit de voz.


1.2 ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE COMUNICACIONES DIGITALES 3

te tan eficientes que la situacin ha dado la vuelta, siendo posible en la actualidad emplearuna fraccin del ancho de banda ocupado por la seal analgica; no obstante, estos algo-ritmos demandan una elevada potencia de clculo que encarece el coste de los terminales.A ello hay que aadir, por supuesto, el coste de los conversores analgico/digital y digi-tal/analgico. Slo gracias a los rpidos avances en las tecnologas de circuitos integradosse han podido reducir estos costes.

Otra desventaja de las comunicaciones digitales es la necesidad de sincronizar perfec-tamente los relojes empleados en transmisin y recepcin. Como comprobaremos en estetexto (Captulo 11), ello ha obligado a concebir ingeniosos algoritmos de sincronizacin.

1.2. ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE COMUNICACIONES DIGITALESLa Figura 1.1 es un diagrama de bloques que contiene los elementos fundamentales de

un sistema de comunicaciones digitales. La fuente de informacin puede ser, como ya he-mos indicado, analgica o digital. En el primer caso podemos tener, por ejemplo, la sealcaptada por un micrfono o por una cmara; en el segundo, la fuente podra ser un servi-dor web. La misin del bloque denominado codificacin de fuente es la de representar lainformacin de fuente con la menor cantidad de bits posible; es por ello que en ocasiones sehabla de compresin de la informacin. Para lograr este propsito el codificador de fuenteelimina la redundancia presente en la seal a su entrada. Pinsese, por ejemplo, en una se-al de televisin, en la que el locutor apenas vara de posicin de un cuadro de la imagenal siguiente; en tal caso es ms eficiente transmitir slo la informacin que nos dice cmovara la imagen en un cuadro con respecto al anterior que el cuadro completo. Naturalmente,cuanta ms redundancia, mayor compresin se puede alcanzar.

Fuentedeinformacin

Codificadordefuente

Codificadordecanal

Modulador

Canal

Sumidero Decodificadordefuente

Decodificadordecanal

Demodulador

Figura 1.1. Diagrama de bloques de un sistema de comunicaciones digitales.

El bloque denominado codificacin de canal protege los bits fruto de la compresincontra errores producidos en el canal. Es fcil entender que cuanta ms redundancia se hayaeliminado ms importante ser cada bit, en el sentido de que si se recibe errneamente,sus efectos se propagarn cuando se descomprima la seal recibida. Cmo protege losbits el codificador de canal? Aadiendo redundancia. Ciertamente, en este punto el lector


4 INTRODUCCIN

puede hallarse un tanto desconcertado: hemos eliminado redundancia y ahora volvemos aintroducirla. Pero hay que pensar que se trata de otro tipo de redundancia, destinada a evitarque se produzcan errores en el canal. Una forma sencilla, aunque poco eficiente, de cdigode canal consiste en repetir cada bit un nmero impar n de veces y en el decodificadordecidir por mayora: si en los n bits recibidos hay ms unos que ceros, se decide que setransmiti un uno; en caso contrario, un cero. En el Captulo 10 comprobaremos que existenformas de construir cdigos de canal mucho mejores, en el sentido de que la probabilidadde equivocacin por bit transmitido es menor.

La secuencia de bits que sale del codificador de canal debe ser ahora transformada enformas de onda que se adapten a las caractersticas del canal. Por ejemplo, si el canal eslimitado en banda, no se gana nada transmitiendo potencia fuera de ella. El cometido delmodulador digital es hacer corresponder las formas de onda de un conjunto finito y discretocon los bits que se tienen a su entrada. En el caso ms sencillo que recordbamos en el apar-tado anterior, la transmisin de un bit de valor uno se corresponde con una forma de ondarectangular de un determinado nivel de voltaje, mientras que el cero se corresponde con otronivel distinto. Pero se pueden concebir esquemas ms eficientes sin ms que considerar unnmero mayor de niveles posibles, haciendo la correspondencia entre varios bits y una for-ma de onda. Por ejemplo, los bits de entrada al modulador se pueden agrupar de tres en trespara transmitir un pulso rectangular que pueda tomar uno de entre 23 = 8 niveles posibles.La clave de un buen diseo est en elegir adecuadamente las formas de onda para que sunmero sea lo mayor posible (y as enviar ms bits por cada forma de onda transmitida) ysean lo suficientemente distintas como para que al ser deterioradas en el canal se puedanseguir distinguiendo en el receptor.

El canal se corresponde con el medio fsico sobre el que transmitimos la seal que saledel modulador. Por ejemplo, el canal puede ser el cable de pares de la lnea telefnica,o el espacio libre en el caso de seales de radio. Por desgracia, todos los medios fsicosdeterioran la seal transmitida al menos de dos maneras: por un lado distorsionan la formade onda y por otro corrompen la seal incorporando ruido. En ltima instancia son estosefectos indeseables los que dan sentido a muchas de las tcnicas que estudiaremos en estelibro.

Los bloques de la figura denominados demodulador digital, decodificador de canal ydecodificador de fuente simplemente realizan las funciones inversas al modulador digital,codificador de canal y codificador de fuente, respectivamente. Por ejemplo, el demoduladordigital debe convertir la forma de onda recibida en un grupo de bits, para lo que suele buscaraquella forma de onda transmitida que ms se parece a la recibida.

Por lo que respecta al bloque denominado sumidero ste implica la vuelta al mundoanalgico en aquellos casos en que la seal a transmitir es de esta naturaleza, y la presenta-cin o almacenamiento en aquellos casos en que la fuente es digital. Por ejemplo, en el casode una seal de voz, el bloque sumidero convierte los bits de entrada en una seal audible.

Los bloques codificador de fuente, codificador de canal y modulador componen el trans-misor, mientras que el demodulador, el decodificador de canal y el decodificador de fuentecomponen el receptor. En aplicaciones en que se necesita es mantener una comunicacindigital bidireccional, es frecuente encapsular transmisor y receptor en un nico equipo que


1.3 CANALES 5

se conoce como mdem, trmino que procede de la combinacin de las palabras modula-dor y demodulador. El ejemplo ms conocido es el mdem telefnico, empleado paracomunicar informacin digital sobre el cable de pares telefnico.

Los algoritmos de codificacin y decodificacin de fuente son fuertemente dependientesde las caractersticas de la seal de entrada, por lo que suelen ser descritos en textos enfoca-dos a aplicaciones especficas. Por otra parte, dado que nuestro objetivo es la comunicacinfiable (con una baja probabilidad de error) de bits independientemente de su naturaleza, elmbito del presente texto ser exclusivamente el de los bloques sombreados en la Figura1.1.

1.3. CANALESLa existencia de un canal es la razn que justifica la existencia de un sistema de comu-

nicaciones, y la forma en que un canal degrada la seal que ponemos a su entrada es la guapara el diseo del sistema de comunicaciones. Por esta razn, conviene que nos detengamosa analizar, al menos, los tipos de canales ms importantes.

Un primer tipo de canales son aquellos en que el medio fsico empleado para la trans-misin es un conductor elctrico, tal como el par de hilos de cobre que conectan un terminaltelefnico con la central o centralita a la que est asociado, el cable coaxial que conecta elmdem de una red de cable con su distribuidor correspondiente, los ocho hilos de un cablede pares trenzados de los utilizados para conectar un ordenador al conmutador de la red derea local o los cuatro hilos paralelos de un cable USB (Universal Serial Bus ).

Los principales mecanismos de degradacin que introduce este medio son la atenuacinde la seal puesta a su entrada y la adicin del denominado ruido trmico . La atenuacin vaa depender, entre otros factores, de la longitud de los hilos o el cable, pero no de la longituden unidades de medida como el metro, sino en longitudes de onda de la seal que lo atraviesa(supuesto que es una sinusoide), lo que implica que sinusoides de distintas frecuencias vana sufrir distintas atenuaciones. Para una seal en general, este efecto se va a traducir en unadistorsin de su forma de onda. El segundo efecto, el ruido trmico o ruido de Johnson, seproduce por el movimiento desordenado de los electrones en un material conductor y es denaturaleza aleatoria. Es, en la mayora de los casos, el factor que limita ms severamente lafiabilidad de la comunicacin.

Un segundo tipo de canal es el denominado canal radioelctrico o canal radio, que en-globa todas aquellas transmisiones electromagnticas en el espacio libre. Suele dividirse encanal radio fijo (si tanto la antena transmisora como la receptora estn en una ubicacin f-sica fija) y canal radio mvil (si al menos una de las antenas est en movimiento). Ejemplosde estos canales son los radioenlaces fijos en HF (High Frequency, de 3 a 30 MHz), elcanal radio mvil en el sistema de telefona mvil GSM en las bandas de 900 o 1.800 MHzo el canal entre un satlite de comunicaciones y un receptor terrestre en la banda Ka (entre18 y 40 GHz).

Los mecanismos de propagacin electromagntica son distintos en bandas distintas defrecuencia, pero en espacio libre el efecto es slo una atenuacin (aunque puede ser distinta


6 INTRODUCCIN

a frecuencias distintas). El principal mecanismo de distorsin de la forma de onda es debidoa las mltiples reflexiones y refracciones que pueden sufrir las ondas electromagnticas ensu propagacin, lo que se conoce con el nombre de propagacin multitrayecto , que provocaque en la antena receptora aparezcan rplicas de la onda original a distintos retardos y condistintas amplitudes. Adicionalmente, en el canal radio mvil (o en canales fijos si cambianlas condiciones de propagacin), todos estos efectos varan con el tiempo, lo que origina unnuevo problema que no vamos a considerar en este texto y que se suele denominar trans-misin en canales con desvanecimiento. A los lectores interesados les recomendamos comoprimera opcin la consulta de los captulos correspondientes en algunos libros generales decomunicaciones digitales como [61].

En el canal radioelctrico no hemos mencionado la presencia del ruido trmico porqueno aparece en la propagacin radioelctrica, lo que no quiere decir que lo vayamos a poderevitar, ya que en el momento de realizar la conversin electromagntica a elctrica en laantena, encontramos el primer elemento metlico, por no mencionar toda la circuitera elc-trica o electrnica posterior. Aunque en trminos absolutos la magnitud del ruido trminoque introduce la antena puede ser muy pequea, la seal que recibe esta misma antena tam-bin puede ser muy pequea, por lo que el ruido trmico vuelve a ser el factor limitante msimportante tambin en este canal.

La aparicin del ruido trmico en el canal radioelctrico pone de manifiesto que rara veznos encontraremos con un canal compuesto por un nico medio fsico (en este caso, pro-pagacin radioelctrica y circuitos elctricos o electrnicos). Un ejemplo extremo de estasituacin puede ser el canal telefnico en banda vocal que ha sido profusamente utilizadoen dcadas pasadas: imaginemos que queremos realizar una comunicacin entre Madrid yBuenos Aires empleando mdems de canal telefnico; adems del par de hilos entre el m-dem y la central probablemente la seal atraviese un gran nmero de medios de transmisincomo enlaces va radio terrestres, satelitales, cables submarinos, cables coaxiales terrestres,etc., adems de posibles conversiones analgico-digital y digital-analgico. Para lograr unacaracterizacin til de este tipo de canales compuestos se suele agrupar todas las distorsio-nes sobre la forma de onda como un nico sistema lineal o no lineal y todas las fuentes deruido aditivo en una nica, generalmente representada como ruido trmico.

Un tercer tipo de canal, que no vamos a considerar en este texto, son los canales pticos,tanto guiados (fibras pticas) como no guiados. El principal motivo de su ausencia en estetexto es que, en general, requiere un desarrollo distinto (como demuestra la existencia de nu-merosos libros dedicados exclusivamente a las comunicaciones pticas) debido, entre otrasrazones, al poco desarrollo de los dispositivos que permiten realizar pticamente operacio-nes como las que vamos a considerar y, adems, porque el ruido presente en los dispositivosfotnicos, de tipo impulsivo, es de naturaleza radicalmente distinta al ruido trmico.

De lo expuesto hasta ahora podra deducirse que todos los codificadores de canal y mo-duladores se aplican para comunicaciones que podramos denominar instantneas, perono es as. El cuarto tipo de canal que vamos a considerar es el canal magntico , que encon-tramos en discos duros y cintas magnticas. Tngase en cuenta que, desde el punto de vistadel diseo del sistema de comunicacin importa poco que el retardo entre la entrada al canal(grabacin en el caso del canal magntico) y la salida (lectura en el caso del canal magn-


1.3 CANALES 7

tico) sea de microsegundos o de aos (siempre que no exista realimentacin del receptor altransmisor). Este canal, al igual que los canales radioelctrico y de medio conductor, intro-duce una distorsin a la forma de onda (aunque los mecanismos que generan esta distorsinsean de naturaleza distinta) y un ruido que, aunque no es el ruido trmico, presenta unaspropiedades muy similares a ruido trmico filtrado. Resulta impensable hoy en da producirdiscos duros o sistemas de almacenamiento en cinta magntica sin emplear tcnicas comolas que se describen en este texto.

Otro interesante ejemplo de canal no instantneo es el que aparece en los sistemas demarcado de agua digital. El marcado de agua digital se refiere a un conjunto de tcnicasutilizadas para enviar informacin escondida en un objeto multimedia. Por ejemplo, unamarca de agua puede incrustarse de forma invisible en una imagen digital; dicha marcapuede contener informacin sobre el propietario legal de la imagen, anotaciones relativas ala misma o datos que garanticen su integridad. En estos casos, el canal es la propia imagenen donde se desea esconder la marca, que por su parte hace las veces de seal transmitida.La comunicacin se ve dificultada por el hecho de que, para garantizar la invisibilidad, laenerga de la imagen (nivel de ruido) suele ser mucho mayor que el de la marca (nivel deseal), por lo que se suelen emplear tcnicas de proteccin contra errores como las quedescribiremos en este libro para conseguir comunicar la cantidad de informacin deseada.

Adems de las fuentes intrnsecas de degradacin que introducen los canales y que he-mos analizado hasta ahora puede existir adems otro tipo de interferencias de fuentes nonaturales que es necesario tener en cuenta en algunos canales concretos. Si esa interferenciaest provocada por otras comunicaciones simultneas solemos hablar de interferencia radio-elctrica o interferencia a secas en el caso del canal radioelctrico y diafona en el caso decanal de medio conductor. Si adems esta interferencia est producida por otras comunica-ciones de las mismas caractersticas realizadas por otros usuarios se denomina interferenciamultiusuario .

Otras interferencias suelen denominarse ruido generado por el ser humano si la fuentede la interferencia es alguna mquina o aparato elctrico o electromecnico (por ejemplo,las interferencias generadas por los tubos fluorescentes de iluminacin o por las bujas delos motores de explosin en el canal radio, o los transitorios que generan los arranques demotores en la lnea elctrica considerada como canal). En algunos mbitos como el militartambin existen interferencias que se realizan de forma deliberada para degradar un siste-ma de comunicaciones por parte del enemigo, que en este contexto recibe el nombre dejammer . En general, aunque las principales fuentes de degradacin siguen siendo el ruidotrmico y la distorsin de la forma de onda, la presencia de estas interferencias condiciona eldiseo de los sistemas de comunicacin y fuerza el empleo de tcnicas para su mitigacin.Estas tcnicas incluyen, por ejemplo, el empleo de modulaciones resistentes a interferen-cias (vase el Apartado 8.2.6), de receptores multiusuario (vase el Apartado 8.3.3), o decanceladores de interferencias.


8 INTRODUCCIN

1.4. ESTRUCTURA DEL LIBROEn el contexto de las redes de ordenadores, en que se establece un modelo de capas para

la comunicacin, nuestro texto se centra en la llamada capa fsica, cuyo cometido no es otroque la transmisin fiable de bits de un extremo a otro. Es por ello que en dicho modelola capa fsica es aqulla sobre la que descansan todas las dems; se necesitan unas buenasprestaciones de la capa fsica para que el rendimiento del sistema completo sea aceptable.

Los Captulos 2 y 3 repasan los conceptos fundamentales de seales y sistemas, y teorade la probabilidad, respectivamente, y que son necesarios para la comprensin del resto dellibro. Aquellos lectores que tengan conocimientos previos en estos temas pueden saltarse sulectura, aunque se recomienda un rpido vistazo para hacerse con la notacin empleada.

El Captulo 4 sirve para sentar las bases de la modulacin y deteccin, empleados en ca-ptulos posteriores. Ello se consigue con la llamada formulacin en espacio de seales quepermite que el anlisis de un sistema de comunicaciones digitales se pueda abstraer de lasformas de onda empleadas. La extensin de dicha formulacin a la transmisin indefinidade informacin sirve de preludio al Captulo 5, que se ocupa de las modulaciones de ampli-tud, describiendo las tcnicas que clsicamente se han utilizado para transmitir datos sobrecanales paso bajo y paso banda. Un concepto fundamental que aparece en el contexto deeste tipo de modulaciones es el de interferencia intersimblica, que se debe a la dispersintemporal sobre las formas de onda transmitidas introducida por el medio fsico. El Captulo6 se dedica precisamente a discutir tcnicas para mitigar la interferencia intersimblica yposibilitar as la comunicacin.

Las limitaciones de algunos canales se traducen en distorsiones no lineales que dificul-tan el empleo de modulaciones de amplitud. Una alternativa consiste en la utilizacin demodulaciones de fase y frecuencia, que se discuten en el Captulo 7. La combinacin demodulaciones de frecuencia con modulaciones de amplitud da lugar a las llamadas modu-laciones multiportadora que recientemente se han convertido en el formato ms extendidopor sus excelentes propiedades en canales dispersivos y su relativa facilidad de implementa-cin. El estudio de estas modulaciones se aborda en el Captulo 8. Una alternativa, tambindescrita en el Captulo 8, es el empleo de modulaciones de espectro ensanchado.

El estudio de todos estos formatos de modulacin plantea de forma natural cules sonlos lmites fundamentales de las comunicaciones digitales. Estos lmites, sorprendentementeobtenidos por Shannon en los aos cuarenta, constituyen parte de la base de la teora de lainformacin, que se presenta en el Captulo 9, donde, adems, se introduce la codificacinde canal como forma pragmtica de acercarse a dichos lmites. La codificacin de canales precisamente el tema sobre el que versa el Captulo 10, en el que se discuten tanto lastcnicas de codificacin clsicas, los cdigos bloque y los cdigos convolucionales, como lasmodulaciones codificadas en rejilla o tcnicas avanzadas de codificacin como los cdigosturbo o los cdigos LDPC. Finalmente, el Captulo 11 se ocupa de una importante cuestina veces soslayada en los libros de texto: la sincronizacin. sta se refiere a la recuperacinen el receptor de algunos parmetros empleados por el transmisor, como el reloj de smboloo la frecuencia de la portadora, y sin cuyo conocimiento las prestaciones se ven seriamenteafectadas.


CAPTULO 2SEALES Y SISTEMAS

En este captulo se ofrece una revisin de los conceptos fundamentales de seales ysistemas con algunas extensiones de la teora bsica que son de inters en el estudio de lossistemas de comunicaciones como son el espacio de Hilbert de las seales de energa finitao la representacin de seales paso banda.

2.1. SEALESUna seal es una representacin matemtica de la evolucin de una magnitud fsica (o

una medida) respecto de algn o algunos parmetros; generalmente tiempo o espacio. Es-ta magnitud fsica puede ser voltaje, intensidad elctrica, presin, temperatura, intensidadlumnica, etc.; e incluso puede que ni tan siquiera tenga un sentido fsico claro, como lacotizacin burstil de una empresa determinada, o la poblacin mundial. Lo realmente in-teresante del estudio de las seales es que suponen una abstraccin respecto a la magnitudfsica concreta, pasando esta a ser considerada como una funcin matemtica, x(), que tie-ne como variables independientes los parmetros con respecto a los cuales vara. A lo largode todo el texto vamos a considerar que existe un nico parmetro y que este es el tiempo.

A continuacin vamos a abordar los siguientes aspectos relacionados con el estudio delas seales: criterios que nos permiten su clasificacin, medidas que podemos realizar sobreellas, algunas seales concretas especialmente tiles y una representacin algebraica de lasseales que va a ser de inters en captulos posteriores. Adems, emplearemos este apartadopara ir introduciendo la notacin que se utilizar a lo largo de todo el texto.

2.1.1. Clasificacin de sealesUn primer paso en el estudio de las seales consiste en su clasificacin de acuerdo con

determinados criterios. Veamos a continuacin los criterios ms importantes.

Seales en tiempo continuo y en tiempo discreto. Si la variable independiente puedetomar cualquier valor real decimos que la seal es en tiempo continuo y la denotamos como


10 SEALES Y SISTEMAS

x(t) (t R, siendo R el cuerpo de los nmeros reales). Si la variable independiente tomasolo valor en los nmeros enteros decimos que la seal es en tiempo discreto (tambindenominada secuencia) y la denotamos como x[n] (n Z, siendo Z el anillo de los nmerosenteros).Ejemplo 2.1

Un ejemplo de seal en tiempo continuo es

x(t) = t

y un ejemplo de seal en tiempo discreto es

x[n] = n

que representamos en la Figura 2.1.

4

4

3

3

2

2

11

1

1

2

2

3

3

4

4

t

x(t)

04

4

3

3

2

2

1

11

1

2

2

3

3

4

4

n

x[n]

0

Figura 2.1. Ejemplos de seales en tiempo continuo y en tiempo discreto.

Ntese que la diferencia entre ambas seales no est en su descripcin analtica (el valor de laseal es igual al valor de la variable independiente), sino en que x(0,5) es igual a 0,5 y x[0,5] noexiste, no est definido.

En algunos casos las secuencias se obtienen a partir de muestras de seales en tiempo conti-nuo, pero en otros la propia magnitud fsica que representa la seal es de naturaleza discreta.Al fin y al cabo, una secuencia no es sino una lista de nmeros ordenados.

Seales analgicas y digitales. Si la seal puede tomar uno entre un conjunto finito devalores decimos que la seal es digital y la denotamos con letras maysculas como X(t) oX[n] (segn sea en tiempo continuo o en tiempo discreto). Si la seal puede tomar uno deentre un conjunto infinito de valores decimos que la seal es analgica y la denotamos conletras minsculas como x(t) o x[n].

Comnmente se asocia el trmino seal digital a seales en tiempo discreto y digitales,pero no hay que confundir una propiedad que afecta a la variable independiente (tiempocontinuo o tiempo discreto) con una propiedad que afecta a los valores que toma la sealpropiamente dicha (analgica o digital).


2.1 SEALES 11

Ejemplo 2.2La Figura 2.2 representa ejemplos de seales digitales en tiempo continuo y en tiempo discretoque slo pueden tomar los valores 1 y 1. Las seales del ejemplo anterior eran seales analgi-cas.

4 3 2 1 1 2 3 4

1

1

t

X(t)

04 3 2 1 1 2 3 4

1

1

n

X[n]

0

Figura 2.2. Ejemplos de seales digitales en tiempo continuo y de tiempo discreto.

Seales deterministas y aleatorias. Este criterio de clasificacin, comnmente citado ennumerosos textos, es un criterio falso porque no puede aplicarse a ninguna seal concre-ta, sino al modelo matemtico que empleamos para representar las seales. Estrictamentehablando, no podemos hablar de seales deterministas y seales aleatorias, sino de un mo-delo determinista y un modelo aleatorio o estocstico para representar el conocimiento queposeemos sobre las seales.

Bajo un modelo determinista, si suponemos que conocemos x(t) (o x[n]) estamos supo-niendo que conocemos la amplitud de x(t) para todos los valores de t; por ejemplo, sabemosque x(75,4) es igual a 2,1 y no cualquier otro, y as con todos lo valores de t. Bajo un modeloestocstico, si suponemos que conocemos x(t) (o x[n]) estamos suponiendo que conocemoslas propiedades estadsticas de x(t) para todos los valores de t, pero no el valor concreto dex(t); por ejemplo, sabemos que el valor medio (esperanza matemtica) de x(75,4) es iguala 0,5, o que la varianza de x(75,4) es igual a 1,1, o que el valor x(75,4) tiene una descrip-cin probabilstica gausiana de media 0,5 y varianza 1,1, pero no sabemos con certeza elvalor de la seal en ese instante.

El modelo realmente importante dentro de las comunicaciones es el modelo estocstico,pues es el nico capaz de representar la informacin que puede contener una seal. Comoveremos a lo largo del texto, informacin es equivalente a incertidumbre sobre el valorconcreto que toma una seal, un parmetro, etc. Sin embargo, el tratamiento empleandoel modelo estocstico resulta por lo general ms complicado y farragoso, por lo que alldonde se pueda se recurrir a un modelo determinista. En este captulo vamos a considerarnicamente el modelo determinista, tratando el modelo estocstico en el captulo siguiente.

Seales peridicas y aperidicas. Una seal es peridica si los valores que toma se repi-ten de forma cclica. Matemticamente podemos expresarlo de la siguiente forma: una seal



x(t) (o x[n]) es peridica con periodo T (o N ) si existe un valor T R (o N Z) para elque se cumple que

x(t) = x(t+ T ) t (2.1)( x[n] = x[n+N ] n )

El menor valor de T (o N ) para el que se cumple (2.1) se denomina periodo fundamental yse denota como T0 (o N0). Si una seal no es peridica se dice que es aperidica.

Seales reales y complejas. Una seal compleja es aquella que toma valores en el cuerpode los complejos, x(t) C o x[n] C. Una seal real es aquella que slo toma valores enel cuerpo de los reales; x(t) R o x[n] R. Salvo que se especifique lo contrario, siempreque nos refiramos a una seal sin especificar si es real o compleja entenderemos que es unaseal compleja.

Definimos las partes real e imaginaria de una seal como (omitimos la definicin parasecuencias por ser idntica)

Re{x(t)} .= x(t) + x(t)

2(2.2)

Im{x(t)} .= x(t) x(t)

2j(2.3)

donde j =1 y indica complejo conjugado. Puede comprobarse que las partes real e

imaginaria son seales reales. A partir de las partes real e imaginaria reconstruimos la sealcomo

x(t) = Re{x(t)}+ jIm{x(t)} = x(t) + x(t)

2+ j

x(t) x(t)2j

= x(t) (2.4)

y podemos interpretar una seal real como aquella cuya parte imaginaria es idnticamentenula.

Otra descomposicin de una seal compleja en dos seales reales se realiza (como rea-lizaramos la descomposicin de un nmero complejo) mediante su mdulo, |x(t)|, definidocomo

|x(t)| .=x(t)x(t) =

Re2{x(t)}+ Im2{x(t)} (2.5)

y su fase, x(t), definida como

x(t).= arctan

Im{x(t)}Re{x(t)} (2.6)

de la forma

x(t) = |x(t)|ejx(t) = |x(t)| cos(x(t)) + j|x(t)| sen(x(t)) (2.7)


2.1 SEALES 13

Seales pares e impares. Una seal x(t) (o x[n]) es par si cumple

x(t) = x(t) t (2.8)( x[n] = x[n] n )

Una seal x(t) (o x[n]) es impar si cumple

x(t) = x(t) t (2.9)( x[n] = x[n] n )

De manera anloga a las partes real e imaginaria de una seal, podemos definir laspartes par, Ev{x(t)}, e impar, Od{x(t)}, de una seal como (omitimos la definicin parasecuencias por ser idntica)

Ev{x(t)} = x(t) + x(t)2

(2.10)

Od{x(t)} = x(t) x(t)2

(2.11)

y expresar cualquier seal en funcin de sus partes par e impar

x(t) = Ev{x(t)}+Od{x(t)} (2.12)

Podemos comprobar fcilmente que la parte par de una seal es a su vez una seal par y quela parte impar es una seal impar.

Seales hermticas y antihermticas. Otro tipo de simetra similar a la paridad o impari-dad es la hermiticidad. Una seal x(t) (o x[n]) es hermtica si cumple

x(t) = x(t) t (2.13)( x[n] = x[n] n )

lo que implica que la parte real es par y la imaginaria es impar. Una seal x(t) (o x[n]) esantihermtica si cumple

x(t) = x(t) t (2.14)( x[n] = x[n] n )

lo que implica que la parte real es impar y la imaginaria par.Podemos definir las partes hermtica, He{x(t)}, y antihermtica, Ah{x(t)}, de una se-

al como (omitimos la definicin para secuencias por ser idntica)

He{x(t)} = x(t) + x(t)

2(2.15)

Ah{x(t)} = x(t) x(t)

2(2.16)



y expresar cualquier seal en funcin de sus partes hermtica y antihermtica

x(t) = He{x(t)}+Ah{x(t)} (2.17)

Aun a costa de parecer un triste remedo de un famoso dilogo de los hermanos Marx,podemos cruzar algunas de las clasificaciones anteriores y establecer aseveraciones comola parte par de la parte hermtica de una seal compleja es una seal real, o la parteantihermtica de la parte impar de la parte imaginaria de una seal es idnticamente nula.

2.1.2. Medidas de sealesEmpleando los criterios vistos hasta ahora podemos clasificar una seal determinada,

pero no podemos distinguir entre dos seales que cumplan los mismos criterios. Un pasoms all en el estudio de seales consiste en representar una seal mediante un conjunto demedidas sobre ella. Veamos a continuacin las medidas ms importantes.

Valor medio. Es la media temporal de la amplitud de la seal y ser, en general, un nmerocomplejo. Formalmente se define como

Seales en tiempo continuo

Aperidicasx = x(t) .= lm

T1

2T

TT

x(t) dt (2.18)

Peridicasx = x(t) .= 1

T0

(T0)

x(t) dt (2.19)

donde(T0)

denota integracin a lo largo de un intervalo de duracin T0, seacual sea el inicio de este intervalo.

Seales en tiempo discreto

Aperidicas

x = x[n] .= lmN

1

2N + 1

Nn=N

x[n] (2.20)

Peridicasx = x[n] .= 1

N0

n{N0}

x[n] (2.21)

donde

n{N0} denota suma a lo largo de un intervalo de duracin N0, sea cualsea el inicio de este intervalo.


2.1 SEALES 15

Valor de pico. Es el valor mximo del mdulo de la seal

Seales en tiempo continuoxp

.= max

t|x(t)| (2.22)

Seales en tiempo discretoxp

.= max

n|x[n]| (2.23)

Energa. Es una medida cuadrtica de naturaleza real y no negativa definida como


Ex = E {x(t)} .=

|x(t)|2 dt (2.24)


Ex = E {x[n]} .=

n=|x[n]|2 (2.25)

Si Ex es una cantidad finita, decimos que x(t) (o x[n]) es una seal de energa finita. Si Exexcede toda cota, decimos que x(t) (o x[n]) es una seal de energa infinita.

Potencia. Es una medida cuadrtica de naturaleza real y no negativa que resulta de interspara seales de energa infinita y representa la energa por unidad de tiempo. Se define como


Aperidicas

Px = P {x(t)} =|x(t)|2 .= lm

T1

2T

TT

|x(t)|2 dt (2.26)

PeridicasPx = P {x(t)} =

|x(t)|2 .= 1T0

(T0)

|x(t)|2 dt (2.27)


Aperidicas

Px = P {x[n]} =|x[n]|2 .= lm

N1

2N + 1

Nn=N

|x[n]|2 (2.28)

PeridicasPx = P {x[n]} =

|x[n]|2 .= 1N0

n{N0}

|x[n]|2 (2.29)



2.1.3. Seales de intersAnalizaremos a continuacin algunas seales concretas que sern de utilidad a lo largo

del texto.

Delta de Dirac. La funcin delta de Dirac, (t), tambin conocida como funcin impulsose emplea para modelar fenmenos fsicos en tiempo continuo y corta duracin. Estric-tamente hablando ni tan siquiera es una funcin matemtica, sino una distribucin o unafuncin generalizada. Definimos la funcin delta de Dirac como la que cumple la igualdad

x(t) (t t0) dt = x(t0) (2.30)

para cualquier seal x(t) continua y cualquier instante t0. Esta definicin admite la inter-pretacin de una descomposicin de la seal x(t) mediante funciones delta reescribindolacomo

x(t) =

x() (t ) d (2.31)

Una interpretacin ms intuitiva de la funcin (t) puede realizarse a partir de sus pro-piedades:

1. Toma valor cero fuera del instante cero

(t) = 0 t 6= 0

2. El rea bajo la funcin es igual a 1

(t)dt = 1

3. Es una funcin par(t) = (t)

Tambin puede definirse la funcin delta como

(t) = lm0

(t) (2.32)

siendo (t) la seal representada en la Figura 2.3. En general, cualquier seal que cumplalas dos ltimas propiedades de las reseadas anteriormente y disponga de un parmetro quepermita controlar su duracin hasta hacerla instantnea puede dar origen a (t).

La funcin delta de Dirac se representa tal y como muestra la Figura 2.4, dada la impo-sibilidad de dibujar una funcin de rea 1 y duracin instantnea.


2.1 SEALES 17

0 t

1/

(t)

Figura 2.3. Seal que origina una funcin delta de Dirac cuando el valor del parmetro tiende a cero.

t0

1

(t)

t0

a

a(t)

Figura 2.4. Representacin de (t) y su versin escalada, a(t).

Delta de Kronecker. Es el equivalente en tiempo discreto de la delta de Dirac pero, alcontrario que sta, su definicin no plantea ningn problema

[n].=

{1 si n = 00 si n 6= 0 (2.33)

Tambin puede emplearse para la descomposicin de secuencias de la forma

x[n] =

k=x[k] [n k] (2.34)

Funciones escaln. Se definen a partir de las funciones delta como

u(t).=

t

() d =

{0 para t < 01 para t > 0

(2.35)

u[n].=

nk=

[k] =

{0 para n < 01 para n 0 (2.36)

Sinusoides complejas. Una sinusoide compleja en tiempo continuo se define mediante lafrmula

x(t) = ejt = cost+ jsent (2.37)



donde es un parmetro de naturaleza real denominado frecuencia. controla la rapidezde las oscilaciones de la seal y se mide en radianes por segundo. Valores distintos de danlugar a seales distintas, y a mayor valor de , mayor rapidez en la variacin de la amplitudde la seal.

Una representacin alternativa del parmetro de frecuencia se obtiene mediante su ex-presin en ciclos por segundo o hercios mediante la igualdad f = /2

x(t) = ej2ft = cos 2ft+ jsen 2ft (2.38)Las sinusoides complejas en tiempo continuo son siempre seales peridicas, siendo su

periodo fundamental T0 = 2/ = 1/f .Se dice que dos sinusoides de frecuencias 1 y 2 poseen una relacin armnica si se

cumple que 2 = k1, siendo k un nmero entero. En ese caso decimos que la sinusoide defrecuencia 2 es el k-simo armnico de la sinusoide de frecuencia 1.

Una sinusoide compleja en tiempo discreto se define de manera anloga mediante lafrmula

x[n] = ejn = cosn+ jsenn (2.39)Existen, sin embargo, dos diferencias fundamentales respecto a las sinusoides complejas entiempo continuo:

1. Una sinusoide compleja en tiempo discreto no es siempre una seal peridica. Paraque una sinusoide compleja sea peridica de periodo N ha de verificarse que ejn =ej(n+N) para todo n. Como ej(n+N) = ejnejN , ha de cumplirse que ejN =1 = ej2k o, lo que es lo mismo, que la frecuencia sea un mltiplo racional de 2(2k/N , con k y N nmeros enteros) para que la sinusoide sea una seal peridica.

2. Valores distintos de no generan siempre seales distintas. Si generamos una sealcon un valor de igual a 0 y otra con un valor de igual a (0 + 2k) sien-do k un nmero entero, comprobamos que ambas seales son la misma, puesto queej(0+2k)n = ejnej2kn = ej0n.

Este hecho nos da un margen de variacin efectiva de 2 del parmetro en lassinusoides complejas discretas, que suele tomarse como (, ].

Exponenciales reales. Una exponencial real en tiempo continuo se define mediante lafrmula

x(t) = et (2.40)donde es un parmetro real. Si es mayor que cero, la seal es montona creciente y si es menor que cero, montona decreciente. Cuanto mayor es el valor absoluto de , msrpidamente crecer o decrecer la funcin.

Una exponencial real en tiempo discreto se define mediante la frmulax[n] = rn (2.41)

donde r es un parmetro real. Si r es mayor que uno, la seal es montona creciente, si res positivo y menor que uno, montona decreciente; y si r es negativo no es montona nicreciente ni decreciente.


2.1 SEALES 19

Exponenciales complejas. Una exponencial compleja en tiempo continuo se define comoel resultado de multiplicar una exponencial real por una sinusoide compleja

x(t) = etejt = e(+j)t = est (2.42)donde s = + j.

De manera anloga definimos una exponencial compleja en tiempo discreto como elresultado de multiplicar una exponencial real por una sinusoide compleja

x[n] = rnejn = (rej)n = zn (2.43)donde z = rej.

Funcin sinc. Otra funcin que aparece comnmente en anlisis de seales y sistemas esla funcin sinc, definida como

sinc(t).=

sen(t)

t(2.44)

y que podemos ver (parcialmente) representada en la Figura 2.5. Es una funcin par de dura-

4 3 2 1 0 1 2 3 4 t

1sinc(t)

Figura 2.5. Funcin sinc

cin infinita cuyos cruces por cero se producen en todos los nmeros enteros a excepcin delcero, donde toma su valor mximo, 1. Conforme t tiende a infinito la funcin va decreciendoen amplitud como 1/t.

Su versin en tiempo discreto se obtiene sin ms que sustituir t por an, donde a es unparmetro de escala. En el caso en que a = 1 tenemos sinc(n) = [n].

Funcin pulso. Otra funcin de uso frecuente, definida como

(t).=

{1 para |t| < 1/20 para |t| > 1/2 (2.45)

Su versin en tiempo discreto es mucho menos frecuente.



2.1.4. Espacios de Hilbert para seales de energa finitaLas seales admiten una representacin como vectores dentro de un espacio vectorial.

Esta representacin nos permite dotar de una estructura algebraica a las seales que consi-deremos en cualquier problema y nos abre la posibilidad de aplicar una gran cantidad deherramientas de anlisis y sntesis desarrolladas para espacios vectoriales.

Analicemos en primer lugar la estructura de espacio vectorial para comprobar si lasseales pueden ser consideradas como vectores. Un espacio vectorial V es un conjunto deelementos que denominamos vectores que poseen las siguientes propiedades:

1. Existe una ley de composicin interna, que denominamos suma y representamos porel signo + que, aplicada a dos vectores x e y (x,y V ) de la forma x+ y, da comoresultado otro vector del espacio (x + y V ), cumpliendo adems las siguientespropiedades:

1.1. Conmutativa: x,y V ; x+ y = y + x.1.2. Asociativa: x,y, z V ; x+ (y + z) = (x+ y) + z.1.3. Existencia de elemento neutro: 0 V / x V ; x+ 0 = 0+ x = x.1.4. Existencia de elemento inverso: x V (x) / x+ (x) = 0.

2. Existe una ley de composicin externa que denominamos producto con un conjun-to C de elementos denominados escalares (que deben tener la estructura de cuerpo)que, aplicada a un escalar ( C) y a un vector x (x V ) de la forma x, dacomo resultado otro vector del espacio(x V ), cumpliendo adems las siguientespropiedades:

2.1. Asociativa: , C; x V ; (x) = ()x.2.2. Existencia de elemento neutro: 1 C / x V ; 1x = x.2.3. Distributiva con respecto a la suma: C; x,y V ; (x + y) =

x+ y.

2.4. Distributiva con respecto al producto por un escalar: , C; x V ; (+ )x = x+ x.

Si consideramos el caso general de una seal compleja (tanto en tiempo continuo comoen tiempo discreto), la ley de composicin interna del espacio vectorial es la suma punto apunto de la seal. Verificando sus propiedades, vemos que cumple que la suma de seales esotra seal; que es irrelevante el orden en que realicemos la suma (esto es, que es conmuta-tiva); que es asociativa; que el elemento neutro es la seal idnticamente nula (x(t) = 0), yque el elemento inverso de una seal es la misma seal cambiada de signo; en definitiva, lasuma cumple las propiedades de la ley de composicin interna. Los escalares son nmeroscomplejos (que tienen la estructura de cuerpo al igual que los nmeros reales) y la ley decomposicin externa es la multiplicacin de una seal por un nmero complejo. Podemosverificar fcilmente que tambin esta operacin cumple todas las propiedades requeridas y,


2.1 SEALES 21

por tanto, podemos concluir que las seales cumplen todos los requisitos para ser conside-radas como vectores de un espacio vectorial.

La estructura de espacio vectorial genrico como el que hemos expuesto es, sin embargo,demasiado simple como para tener utilidad. Una estructura ms elaborada la encontramosen los espacios vectoriales de Hilbert o, simplemente, espacios de Hilbert. Esta estructuranos va a permitir, por ejemplo, reintrepretar algunas de las medidas de seales expuestas enel Apartado 2.1.2.

Un espacio de Hilbert es, bsicamente, un espacio vectorial con producto escalar1. Elproducto escalar es una aplicacin de pares de vectores en el campo de los escalares (loscomplejos en nuestro caso), f:(V, V ) C, que denotamos como x , y y que cumple lassiguientes propiedades:

1. x , y = y , x

2. (x+ y) , z = x , z+ y , z3. x , x 04. x , x = 0 x = 0A partir del producto escalar definimos una norma para el espacio vectorial como

||x|| =x , x (2.46)

y, a partir de la norma, una medida de distancia entre vectores

d(x,y) = ||x y|| (2.47)Incluso podemos medir el ngulo entre dos vectores x e y como

= arc cos

(Re{x , y}||x|| ||y||

)(2.48)

Para la seales y, en general, para cualquier espacio vectorial genrico no existe unanica posibilidad de definicin de producto escalar: podemos escoger como producto escalarcualquier funcin que cumpla los requisitos establecidos anteriormente. Cada definicin deproducto escalar da lugar a un espacio de Hilbert distinto, con mtrica y norma distinta.Vamos a exponer a continuacin la estructura de dos espacios de Hilbert para seales deenerga finita, uno para seales en tiempo discreto y otro para seales en tiempo continuoque denominaremos, respectivamente, l2 y L2.

El espacio l2 se define mediante el siguiente producto escalar

x , y =

n=x[n]y[n] (2.49)

1Estrictamente, es un espacio vectorial con producto escalar que cumple la propiedad de completitud. Lapropiedad de completitud se cumple cuando toda sucesin de Cauchy es convergente en la mtrica inducida porel producto escalar. Si no posee esta propiedad el espacio vectorial recibe el nombre de espacio pre-Hilbert.



y nos da una medida del parecido o similitud entre dos seales. El producto escalar de dosseales cuya variacin con el tiempo sea similar ser grande y el de dos seales cuyavariacin con el tiempo sea distinta ser pequeo. Cuando el producto escalar de dosseales es igual a cero decimos que las seales son ortogonales , lo que indica que formanentre ellas un ngulo de 90 (segn podemos comprobar a partir de (2.48)).

Una medida derivada del producto escalar es la funcin de ambigedad temporal , rx[k],que algunos autores denominan funcin de autocorrelacin determinista (y que no debeconfundirse con la funcin de autocorrelacin de procesos estocsticos que veremos en elCaptulo 3). Se define como el producto escalar de una seal con ella misma desplazada unacantidad k (que denotaremos como xk),

rx[k] = x , xk =

n=x[n]x[n k] (2.50)

y da una idea de la variabilidad y concentracin de la energa de la seal: una seal queflucte rpidamente tendr una funcin de ambigedad temporal que vare rpidamente conrespecto a k, y una seal cuya energa est concentrada en un corto espacio de tiempo tendruna funcin de ambigedad temporal estrecha. Ntese adems que rx[0] = E {x[n]}.

La norma inducida por (2.49) resulta ser la raz cuadrada de la energa de la seal

||x|| =x , x =

n=

|x[n]|2 =E {x[n]} (2.51)

y la distancia es la bien conocida distancia eucldea,

d(x,y) = ||x y|| =

n=|x[n] y[n]|2 (2.52)

Como propiedades de inters de la norma podemos citar la desigualdad de Cauchy-Schwarz,que establece

|x , y| =

n=

x[n]y[n]

||x|| ||y|| =

n=|x[n]|2

n=

|y[n]|2 (2.53)

cumplindose la igualdad slo si y[n] es una versin escalada en amplitud de x[n] (y[n] =Kx[n], para algn K R).

El producto escalar tambin permite encontrar de forma sencilla la representacin deuna seal en una base del espacio vectorial. El ejemplo ms claro lo encontramos en la des-composicin de una secuencia mediante la funcin delta de Kronecker, (2.34). El conjuntode seales {[n k], k = , . . . , 0, . . . ,} forma una base ortonormal del espacio vec-torial l2; esto es, se cumple que

k, i =

n=[n k][n i] = [k i] (2.54)


2.1 SEALES 23

Las coordenadas de una seal x[n] en cualquier base, y en esta en particular, se obtienencomo producto escalar de la seal x[n] con cada uno de los elementos de la base; en nuestrocaso

xk = x , k =

n=x[n][n k] = x[k] (2.55)

Una vez obtenidas las coordenadas, x[n] se representa como

x[n] =

k=xk[n k] =

k=

x[k][n k]

que es exactamente la ecuacin (2.34). Bajo esta interpretacin queda claro que los valoresx[k] de (2.34) son algo ms que un cambio de variable (n por k), pues no representan unaseal (un vector) sino que son simplemente las coordenadas (escalares) de x[n] en una basedel espacio vectorial formada por funciones delta.

El espacio L2 se define de manera anloga a l2 sin ms que cambiar sumatorios porintegrales. El producto escalar es

x , y =

x(t)y(t) dt (2.56)

y tiene el mismo sentido que en l2: nos da una medida del parecido o similitud entre dosseales.

La funcin de ambigedad temporal posee ahora una variable independiente de natura-leza continua, , y se define como

rx() = x , x =

x(t)x(t ) dt (2.57)

La norma inducida por (2.56) tambin resulta ser la raz cuadrada de la energa de la seal

||x|| =x , x =

|x(t)|2 dt =E {x(t)} (2.58)

y la distancia es

d(x,y) = ||x y|| =

|x(t) y(t)|2 dt (2.59)

La desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma

|x , y| = x(t)y(t) dt

||x||||y|| =

|x(t)|2 dt

|y(t)|2 dt (2.60)

cumplindose la igualdad slo si y(t) = Kx(t), para algn K.El conjunto de funciones delta de Dirac {(t ), (,)} es una base para

el espacio L2. La obtencin de las coordenadas de una seal x(t) respecto a esta base se



realiza mediante (2.30) y la representacin de la seal en funcin de los elementos de labase mediante (2.31).

Para seales de potencia no nula los espacios descritos no tienen utilidad porque, engeneral, los sumatorios o integrales que definen el producto escalar van a ser divergentes.En este caso podemos plantear otros productos escalares que dan lugar a espacios de Hilbertdistintos introduciendo restricciones como, por ejemplo, limitar el intervalo de integracino suma, definir el espacio vectorial slo para aquellas seales que cumplen determinadosrequisitos, etc.

2.2. SISTEMASUn sistema es una representacin matemtica de una entidad fsica que ante el estmulo

de una o varias magnitudes fsicas (seales) ofrece como respuesta otras magnitudes (sea-les). Las seales que estimulan al sistema se denominan entradas del sistema y las sealescon que responde el sistema se denominan salidas del sistema. Si las seales de entrada ysalida son en tiempo continuo decimos que el sistema es en tiempo continuo, y si las sealesde entrada y salida son en tiempo discreto decimos que el sistema es en tiempo discreto.Aqu vamos a considerar nicamente el caso en que tenemos una nica entrada, x(t) o x[n],y una nica salida, y(t) o y[n].

Aunque no existe total unanimidad en la literatura, se suelen denominar como filtrosa los sistemas que diseamos y construimos con un propsito determinado. En este textoemplearemos el trmino filtro con este propsito, aunque en ocasiones nos refiramos a losfiltros con el nombre genrico de sistemas.

Un sistema queda definido mediante la transformacin T que realiza de la entrada paraobtener la salida

y(t) = T {x(t)} (2.61)( y[n] = T {x[n]} )

y este apartado est dedicado al estudio de esta transformacin. En un caso general, esta noes una tarea fcil porque si bien en algunos casos somos capaces de encontrar una expresinanaltica sencilla que relaciona la entrada con las salida del sistema, en otros no, como semuestra en los dos ejemplos siguientes.Ejemplo 2.3

Considere el caso de un generador de tensin conectado a una resistencia de valor R ohmios. Elsistema va a consistir en la resistencia, que transforma la tensin que proporciona el generador,x(t), en la corriente que atraviesa la resistencia, y(t). El sistema queda definido mediante laecuacin

y(t) = T {x(t)} = 1Rx(t)

Ejemplo 2.4Considere una conversacin telefnica entre dos personas. El sistema va a consistir en todos loselementos que realizan la transmisin en uno de los sentidos, transformando la presin sonora


Comdig Artes Perez

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