Elemente de combinatoricElemente de combinatoricăăProiectProiect

Grupa 1:Grupa 1:Moroșanu GheorghițăMoroșanu Gheorghiță

Dascălu RobertDascălu RobertCiotină RăzvanCiotină RăzvanLupu ClaudiuLupu Claudiu

ConţinutConţinutViaţa matematicianului Blaise Pas

calPermutăriAranjamente şi şi combinăriBinomul lui Newton

1.Viaţa lui Blaise Pascal1.Viaţa lui Blaise Pascal Blaise PascalBlaise Pascal s-a născut pe 19 iunie 1623 s-a născut pe 19 iunie 1623

în Clermont şi a murit la Paris în 19 august în Clermont şi a murit la Paris în 19 august 1662. Tatăl lui, un judecător din Clermont, 1662. Tatăl lui, un judecător din Clermont, având la rândul sau un anumit renume în având la rândul sau un anumit renume în ştiinţă, s-a mutat în Paris în 1631, pentru ştiinţă, s-a mutat în Paris în 1631, pentru a-şi continua propriile studii pe o parte, şi a-şi continua propriile studii pe o parte, şi pentru a-şi educa unicul său fiu care pentru a-şi educa unicul său fiu care dovedise deja abilităţi excepţionale. dovedise deja abilităţi excepţionale.

Micul Blaise a fost ţinut acasă pentru nu se Micul Blaise a fost ţinut acasă pentru nu se obosi prea mult şi din acelaşi motiv educaţia lui obosi prea mult şi din acelaşi motiv educaţia lui a fost mai întâi restrânsă la învăţarea limbilor a fost mai întâi restrânsă la învăţarea limbilor străine, neincluzând evident matematica. Acest străine, neincluzând evident matematica. Acest program a simulat curiozitatea băiatului şi, într-o program a simulat curiozitatea băiatului şi, într-o zi, la doisprezece ani, a întrebat ce este zi, la doisprezece ani, a întrebat ce este geometria. Învăţătorul lui i-a răspuns că este geometria. Învăţătorul lui i-a răspuns că este ştiinţa construirii figurilor exacte şi a determinării ştiinţa construirii figurilor exacte şi a determinării proporţiilor dintre diferite parţi ale lor. proporţiilor dintre diferite parţi ale lor.

În curând Pascal se apucă de studiat geometria, În curând Pascal se apucă de studiat geometria, sacrificându-şi timpul de joacă şi în ciuda sacrificându-şi timpul de joacă şi în ciuda restricţiilor care îi erau impuse, şi în câteva restricţiilor care îi erau impuse, şi în câteva săptămâni descoperă singur multe proprietăţi săptămâni descoperă singur multe proprietăţi ale figurilor. Cea mai importantă este aceea ale figurilor. Cea mai importantă este aceea privitoare la suma unghiurilor unui triunghi care privitoare la suma unghiurilor unui triunghi care este egală cu două unghiuri drepte, respectiv este egală cu două unghiuri drepte, respectiv 180 de grade. 180 de grade.

Se pare că dovada consta simplu în împăturarea Se pare că dovada consta simplu în împăturarea unghiurilor peste figură astfel încât vârfurile lor să unghiurilor peste figură astfel încât vârfurile lor să se întâlnească în centrul cercului înscris în se întâlnească în centrul cercului înscris în triunghi. O demonstraţie similară se poate obţine triunghi. O demonstraţie similară se poate obţine prin împăturarea unghiurilor astfel încât ele să se prin împăturarea unghiurilor astfel încât ele să se întâlnească pe piciorul perpendicularei duse din întâlnească pe piciorul perpendicularei duse din vârful unghiului cel mai mare pe latura opusă. vârful unghiului cel mai mare pe latura opusă. Impresionat de această demonstraţie inteligenţă, Impresionat de această demonstraţie inteligenţă, tatăl său i-a dat o copie a cărţii Elementele de tatăl său i-a dat o copie a cărţii Elementele de Euclid, pe care Pascal o citeşte cu interes până Euclid, pe care Pascal o citeşte cu interes până când o învaţă.când o învaţă.

La vârsta de paisprezece ani este admis la întâlnirile La vârsta de paisprezece ani este admis la întâlnirile săptămânale ţinute de Roberval, Mersenne, Mydorge şi săptămânale ţinute de Roberval, Mersenne, Mydorge şi de alţi matematicieni francezi. În final din aceste şedinţe de alţi matematicieni francezi. În final din aceste şedinţe se naşte Academia Franceză. La vârsta de şaisprezece se naşte Academia Franceză. La vârsta de şaisprezece ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la optsprezece ani construieşte prima maşină aritmetică, optsprezece ani construieşte prima maşină aritmetică, un un calculatorcalculator rudimentar, pe care o va îmbunătăţii peste rudimentar, pe care o va îmbunătăţii peste opt ani. Scrisorile lui către Fermat arată că aproximativ opt ani. Scrisorile lui către Fermat arată că aproximativ în această perioadă se concentra asupra geometriei în această perioadă se concentra asupra geometriei analitice şi fizicii. A repetat şi experimentele lui Toricelli.analitice şi fizicii. A repetat şi experimentele lui Toricelli.

În 1650 la mijlocul carierei lui ştiinţifice, Pascal În 1650 la mijlocul carierei lui ştiinţifice, Pascal şi-a abandonat brusc idealurile lui în favoarea şi-a abandonat brusc idealurile lui în favoarea religiei, aşa cum zice în Pensées, religiei, aşa cum zice în Pensées, "contemplează măreţia şi misterul omului". "contemplează măreţia şi misterul omului". În 1653 a trebuit să administreze moşia tatălui În 1653 a trebuit să administreze moşia tatălui său. Acum a adoptat iarăşi vechile lui ocupaţii şi său. Acum a adoptat iarăşi vechile lui ocupaţii şi a făcut câteva experimente asupra presiunii a făcut câteva experimente asupra presiunii exercitate de lichide şi gaze. În aceeaşi perioadă exercitate de lichide şi gaze. În aceeaşi perioadă a inventat triunghiul aritmetic, şi împreună cu a inventat triunghiul aritmetic, şi împreună cu Fermat a creat calculul probabilităţilor.Fermat a creat calculul probabilităţilor.

Medita asupra căsătoriei când un accident l-a determinat Medita asupra căsătoriei când un accident l-a determinat iarăşi să se concentreze asupra religiei. S-a mutat la iarăşi să se concentreze asupra religiei. S-a mutat la Port Royal unde a trăit până în 1662.Port Royal unde a trăit până în 1662.Singura lucrare matematică care o mai scrie o a fost un Singura lucrare matematică care o mai scrie o a fost un eseu despre cicloidă în 1685. eseu despre cicloidă în 1685.

Suferea de insomnie şi de o durere de dinţi când i-a Suferea de insomnie şi de o durere de dinţi când i-a venit idea şi spre surprinderea lui suferinţa i-a trecut. venit idea şi spre surprinderea lui suferinţa i-a trecut. Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema, Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema, lucrând fără oprire opt zile, şi a terminat o lucrare relativ lucrând fără oprire opt zile, şi a terminat o lucrare relativ completă despre geometria cicloidei.completă despre geometria cicloidei.

Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisă în 1639, a fost publicată Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisă în 1639, a fost publicată doar în 1779. Conica este o curbă plană rezultată din intersecţia unui con doar în 1779. Conica este o curbă plană rezultată din intersecţia unui con circular cu un plan. Se pare că a fost scrisă sub îndrumarea lui circular cu un plan. Se pare că a fost scrisă sub îndrumarea lui Desargues. Două rezultate sunt deopotrivă importante şi interesante. Desargues. Două rezultate sunt deopotrivă importante şi interesante. Primul este o teoremă cunoscută sub numele de Teorema lui Pascal :Primul este o teoremă cunoscută sub numele de Teorema lui Pascal :Dacă un hexagon poate fi înscris într-o conică atunci punctele de Dacă un hexagon poate fi înscris într-o conică atunci punctele de intersecţie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiaşi dreaptă). A doua intersecţie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiaşi dreaptă). A doua care i se datorează în mare parte lui Desargues spune următoarele: care i se datorează în mare parte lui Desargues spune următoarele: Dacă un patrulater poate fi înscris într-o conică şi ducem o dreaptă care Dacă un patrulater poate fi înscris într-o conică şi ducem o dreaptă care intersectează laturile în A, B ,C respectiv D, şi conica în P şi Q atunci:intersectează laturile în A, B ,C respectiv D, şi conica în P şi Q atunci:Pascal şi-a îmbunătăţit triunghiul aritmetic în 1653, dar nu există nici o Pascal şi-a îmbunătăţit triunghiul aritmetic în 1653, dar nu există nici o consemnare a metodei lui până în 1665. Triunghiul este o figură simplă consemnare a metodei lui până în 1665. Triunghiul este o figură simplă (ca cele două şi se poate continua la infinit). Fiecare linie este formată din (ca cele două şi se poate continua la infinit). Fiecare linie este formată din numere egale cu suma numerelor din stânga poziţiei de pe linia numere egale cu suma numerelor din stânga poziţiei de pe linia precedentă. De exemplu 20=1+3+6+10. Dacă aşezăm triunghiul altfel (ca precedentă. De exemplu 20=1+3+6+10. Dacă aşezăm triunghiul altfel (ca în dreapta) este mai uşor să vedem că un număr este egal cu suma celor în dreapta) este mai uşor să vedem că un număr este egal cu suma celor două numere de deasupra lui, respectiv suma dintre numărul din stânga şi două numere de deasupra lui, respectiv suma dintre numărul din stânga şi cel de deasupra în prima figură. vârful triunghiului fiind 1. Cele două reguli cel de deasupra în prima figură. vârful triunghiului fiind 1. Cele două reguli sunt echivalente.sunt echivalente.

Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc numere de ordinul întâi, cele din a doua linie numere de ordinul doi, numere de ordinul întâi, cele din a doua linie numere de ordinul doi, cele din a treia linie numere de ordinul trei ş.a.m.d. Se poate uşor cele din a treia linie numere de ordinul trei ş.a.m.d. Se poate uşor demonstra că a m-lea număr de pe al n-lea rând este: demonstra că a m-lea număr de pe al n-lea rând este: Triunghiul se obţine, în cazul primei figuri, trasând o diagonală în jos Triunghiul se obţine, în cazul primei figuri, trasând o diagonală în jos din colţul dreapta sus. Numărul pe fiecare diagonală dau coeficienţii din colţul dreapta sus. Numărul pe fiecare diagonală dau coeficienţii binomiali al unei dezvoltări, sunt coeficienţii binomiali ai binomului lui binomiali al unei dezvoltări, sunt coeficienţii binomiali ai binomului lui Newton. De exemplu a cincia diagonală 1, 4, 6, 4, 1 sunt coeficienţii Newton. De exemplu a cincia diagonală 1, 4, 6, 4, 1 sunt coeficienţii binomiali ai dezvoltării (a+b)4 . binomiali ai dezvoltării (a+b)4 .

Pascal a folosit triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii şi Pascal a folosit triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii şi pe de altă parte pentru a calcula combinări de m luate câte n pentru pe de altă parte pentru a calcula combinări de m luate câte n pentru cate a găsit formula corectă:Probabil ca matematician Pascal este cel cate a găsit formula corectă:Probabil ca matematician Pascal este cel mai bine cunoscut pentru corespondenţa lui cu Fermat din 1657 în care mai bine cunoscut pentru corespondenţa lui cu Fermat din 1657 în care a stabilit principiile probabilităţii. Totul a pornit de la o problemă a stabilit principiile probabilităţii. Totul a pornit de la o problemă propusă lui Pascal de un jucător numit Chavalier de Méré (Cavalerul propusă lui Pascal de un jucător numit Chavalier de Méré (Cavalerul Marii). Marii).

La rândul său acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era La rândul său acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era următoarea: Doi jucători de valori egale vreau să plece de la masă următoarea: Doi jucători de valori egale vreau să plece de la masă înainte de a termina o partida. Dacă se cunoaşte scorul (în puncte) şi înainte de a termina o partida. Dacă se cunoaşte scorul (în puncte) şi numărul de punctelor până la care vroiau să joace (adică numărul numărul de punctelor până la care vroiau să joace (adică numărul turelor dacă o tură câştigată înseamnă un punct) se cere să se afle în turelor dacă o tură câştigată înseamnă un punct) se cere să se afle în ce proporţie trebuie să împartă miza. Fermat şi Pascal au dat acelaşi ce proporţie trebuie să împartă miza. Fermat şi Pascal au dat acelaşi răspuns dar demonstraţi diferite. răspuns dar demonstraţi diferite. Următoarea este demonstraţia celui din urmă:Următoarea este demonstraţia celui din urmă:Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecărui jucător când, Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecărui jucător când, de exemplu, doi jucători joacă pe trei ture şi fiecare au pus 32 de de exemplu, doi jucători joacă pe trei ture şi fiecare au pus 32 de galbeni.galbeni.Să zicem că primul jucător a câştigat două puncte, iar al doilea unul. Să zicem că primul jucător a câştigat două puncte, iar al doilea unul. Acum trebuie să joace ultima tură pentru un punct. Dacă primul jucător Acum trebuie să joace ultima tură pentru un punct. Dacă primul jucător ar câştiga ar lua toată miza adică 64 de galbeni, în timp ce dacă al ar câştiga ar lua toată miza adică 64 de galbeni, în timp ce dacă al doilea ar câştiga fiecare ar avea două puncte şi ar trebui împărţită doilea ar câştiga fiecare ar avea două puncte şi ar trebui împărţită miza, adică 32 de galbeni la fiecare. Aşadar dacă primul jucător ar miza, adică 32 de galbeni la fiecare. Aşadar dacă primul jucător ar câştiga 64 de galbeni i-ar aparţine, dacă nu ar lua 32 de galbeni.câştiga 64 de galbeni i-ar aparţine, dacă nu ar lua 32 de galbeni.

Cuprins Cuprins

PermutăriPermutări

DefiniţieDefiniţie:: Se numeşte Se numeşte permutare a mulţimii Apermutare a mulţimii A oricare oricare mulţime ordonată care se formează cu elementele sale. mulţime ordonată care se formează cu elementele sale.

Dacă A este o mulţime finită cu n elemente numărul Dacă A este o mulţime finită cu n elemente numărul permutărilor ei se notează .permutărilor ei se notează .

Convenim că mulţimea vidă se poate ordona într-un singur Convenim că mulţimea vidă se poate ordona într-un singur mod şi mod şi

  

nP

10 P

Calculul numerelor Calculul numerelor

O mulţime cu un element poate fi ordonată într-un singur mod, O mulţime cu un element poate fi ordonată într-un singur mod, deci .deci .Fie o mulţime formată din două elemente. Cu elementele Fie o mulţime formată din două elemente. Cu elementele mulţimii A se pot forma două mulţimi ordonate şi , deci mulţimii A se pot forma două mulţimi ordonate şi , deci

..Fie . Permutările mulţimii se pot obţine din permutările Fie . Permutările mulţimii se pot obţine din permutările mulţimii , prin completarea acestora cu elementul . mulţimii , prin completarea acestora cu elementul . Se obţine pentru fiecare permutare cu două elemente, trei permutări cu Se obţine pentru fiecare permutare cu două elemente, trei permutări cu trei elemente, deci .trei elemente, deci .Această relaţie sugerează relaţia generală .Această relaţie sugerează relaţia generală .Din această relaţie se obţine succesiv:Din această relaţie se obţine succesiv:

Deci, . Deci, .

nP

}{ 11 aA

11 P

},{ 212 aaA ),( 21 aa ),( 12 aa

22 P},,{ 3213 aaaA 3A

2A 3a

6233 23 PP1,1 nnPP nn

123)...1(123)...2)(1(...)1( 021 nnPnnnPnnnPP nnn

nnPn )1...(321

Pentru simplificarea scrierii se foloseşte notaţia Pentru simplificarea scrierii se foloseşte notaţia Prin convenţie Prin convenţie

AplicaţiiAplicaţii:: 1) Să se calculeze: a) b) .1) Să se calculeze: a) b) .2) Câte numere de cinci cifre distincte se pot forma cu cifrele 2) Câte numere de cinci cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,2,3,4,5? 1,2,3,4,5?

CuprinsCuprins

!)1...(321 nnn

1!0

!3!5 !128!129

ARANJAMENTEARANJAMENTEDefiDefiniţieniţie:: Fie Fie A=A= { { } şi . } şi . Se numeşte Se numeşte aranjament aranjament de de nn elemente luate câte elemente luate câte kk orice mulţime ordonată alcătuită din orice mulţime ordonată alcătuită din kk elemente ale mulţimii elemente ale mulţimii A.A.ObservaţiiObservaţii::Două aranjamente de Două aranjamente de nn luate câte luate câte kk diferă: diferă:

1.1. prin natura elementelor;prin natura elementelor;2.2. prin ordinea de dispunere a elementelorprin ordinea de dispunere a elementelor..

TeoremăTeoremă:: Numărul de aranjamente de Numărul de aranjamente de nn luate câte luate câte kk,, , , kk, , nn numere naturale, numere naturale, nn nenul este egal cu nenul este egal cu . .

naaa ,...,, 21 nk 1

nk 0 1...21 knnnnAkn

Proprietăţi Proprietăţi ::1.Numărul 1.Numărul se poate exprima cu ajutorul factorialelor, se poate exprima cu ajutorul factorialelor,

astfel:astfel:

Au loc următoarele relaţii de recurenţă:Au loc următoarele relaţii de recurenţă:a)a) b)b) c)c) d)d)

knA

.1

1,,,!

!

0

n

kn

A

nkknknnA N

111 kn

kn

kn kAAA

11 kn

kn nAA

11 kn

kn AknA

kn

kn A

knnA 1

AplicaAplicaţiiţii::1) Să se calculeze: a) b) .1) Să se calculeze: a) b) .2) La o întrunire, 20 de persoane au 2) La o întrunire, 20 de persoane au

schimbat fotografii între ele. Câte fotografii schimbat fotografii între ele. Câte fotografii au fost necesare?au fost necesare?

45A 2

5

547

APA

Cuprins

COMBINARICOMBINARI  Definitie Definitie : : Daca A este o mulţime cu Daca A este o mulţime cu nn

elemente, atunci submulţimile lui A având elemente, atunci submulţimile lui A având k k elemente, unde , se numesc elemente, unde , se numesc combinări de combinări de nn luate cate luate cate kk, notate ., notate .

Teorema Teorema : : Dacă Dacă kk şi şi nn sunt numere sunt numere naturale, astfel încât naturale, astfel încât , , atunci atunci

knC

nk 0

nk 0

!)1)...(1(

!)!(!

kknnn

kknnC k

n

DemonstratieDemonstratie Fie A o multime cu Fie A o multime cu nn elemente. Sa consideram elemente. Sa consideram

toate submultimile multimii A care au toate submultimile multimii A care au kk elemente. elemente. Ordonăm fiecare dintre aceste submulţimi în toate Ordonăm fiecare dintre aceste submulţimi în toate modurile posibile. Obţinem astfel, toate submulţimile modurile posibile. Obţinem astfel, toate submulţimile ordonate ale lui A, care au cate ordonate ale lui A, care au cate kk elemente. Numărul lor, elemente. Numărul lor, după cum ştim , este după cum ştim , este . Dar cum numărul tuturor . Dar cum numărul tuturor submulţimilor lui A având submulţimilor lui A având kk elemente este egal cu , iar elemente este egal cu , iar fiecare din acestea se pot ordona în fiecare din acestea se pot ordona în moduri, rezultă moduri, rezultă că . că . Din aceasta egalitate rezultă că .Din aceasta egalitate rezultă că .ÎÎnlocuind în aceasta formula expresiile şi nlocuind în aceasta formula expresiile şi obţine , obţine , , , ceea ce se poate scrieceea ce se poate scrie

knA

knC

kPk

kn

kn PCA

k

knk

n PAC

)!(!knnAkn

!kPk

!)!(!kkn

nC kn

!)1)...(2)(1(

kknnnnC k

n

ObservaţiiObservaţii::Două combinări de Două combinări de nn luate câte luate câte kk diferă prin natura elementelor; diferă prin natura elementelor;  Proprietăţi Proprietăţi ::1.1. Formula combinărilor complementare : , .Formula combinărilor complementare : , .2.2. Formula de recurenţă : , .Formula de recurenţă : , .3.3. Pentru orice număr natural n are loc egalitatea :Pentru orice număr natural n are loc egalitatea :

AplicaţiiAplicaţii::1) 1) Să se calculeze: a) b) . Să se calculeze: a) b) . 2) Câte drepte pot fi duse prin 6 puncte dacă oricare trei nu sunt 2) Câte drepte pot fi duse prin 6 puncte dacă oricare trei nu sunt

coliniare.coliniare.

knn

kn CC nk 0

nk 0111 kn

kn

kn CCC

.2...10 nnnnn CCC

810

910 CC 2

5

1920

120

2ACC

Cuprins

BINOMUL LUI NEWTONBINOMUL LUI NEWTONBinomul lui Binomul lui Newton este o teoremă care ne Newton este o teoremă care ne

dă regula de dezvoltare a expresieidă regula de dezvoltare a expresiei , , unde unde aa şi şi bb sunt două numere reale, iar sunt două numere reale, iar nn este un număr natural diferit de zero.este un număr natural diferit de zero.

TeoremăTeoremă:: Fie Fie aa şi şi bb două numere reale, două numere reale, nn număr natural nenul. Atunci:număr natural nenul. Atunci:

nba

nnn

nn

nn

nn

n baCbaCbaCbaCba 022211100 ...

ObservaţiiObservaţii::1.1. Putem scrie formula de mai sus astfel:Putem scrie formula de mai sus astfel: , , de unde deducem uşor formula termenului general de unde deducem uşor formula termenului general

..2. Dezvoltarea unui binom are 2. Dezvoltarea unui binom are n n + 1 termeni.+ 1 termeni.3.3. Coeficienţii Coeficienţii se numesc coeficienţii se numesc coeficienţii

binomiali ai dezvoltării.binomiali ai dezvoltării.4.4. Coeficienţii binomiali din dezvoltare egal depărtaţi de Coeficienţii binomiali din dezvoltare egal depărtaţi de

termenii extremi ai dezvoltării sunt egali, termenii extremi ai dezvoltării sunt egali, (formula combinărilor complementare).(formula combinărilor complementare).

n

k

kknkn

n baCba0

kknknk baCT

1

nnnnn CCCC ,...,,, 210

,..., 110 nnn

nnn CCCC

5.Dacă exponentul puterii este par 5.Dacă exponentul puterii este par nn = = 2k2k, atunci , atunci dezvoltarea are dezvoltarea are 2k2k + + 11 termeni, iar termenul din mijloc termeni, iar termenul din mijloc are coeficientul binomial cel mai mare:are coeficientul binomial cel mai mare:

;; Dacă Dacă nn = = 2k + 12k + 1, atunci dezvoltarea are , atunci dezvoltarea are 2k + 22k + 2 termeni şi termeni şi

avem doi termeni la mijlocul dezvoltării care au avem doi termeni la mijlocul dezvoltării care au coeficienţii binomiali egali şi de valoare cea mai mare:coeficienţii binomiali egali şi de valoare cea mai mare:

. . 6.Avem următoarea formulă de recurenţă: Între doi termeni 6.Avem următoarea formulă de recurenţă: Între doi termeni

consecutivi consecutivi din dezvoltarea binomului are loc din dezvoltarea binomului are loc relaţia:relaţia:

nn

kn

knnnn CCCCCC ...... 1210

21 , kk TT

12 1

kk Tab

kknT

nn

kn

kn

knnnn CCCCCCC ...... 21210

AplicaţiiAplicaţii::1. Să se dezvolte: a) b) .1. Să se dezvolte: a) b) .2. Se consideră binomul .2. Se consideră binomul .a) Scrieţi termenul general al dezvoltării, a) Scrieţi termenul general al dezvoltării,

aducându-l la o formă mai simplă.aducându-l la o formă mai simplă.b) Calculaţi termenii .b) Calculaţi termenii .c) Există termenul care-l conţine pe ?c) Există termenul care-l conţine pe ?  

6)32( ba 8)2( x

113 )( xxx

114 ,TT

2x

Cuprins