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Colle PC Semaine 16 2011-2012
Espaces vectoriels prhilbertiens rels ou complexes + espaces euclidiens
EXERCICE 1 :
Soit E = M3(R) muni du produit scalaire usuel ( (A, B) (M3(R))2, (A|B) = T r(tAB)
1. Prouver que lorthogonal de A3(R) est S3(R).
2. Soit M =
0 1 00 0 10 0 0
. Calculer la distance de M au sous espace vectoriel des matrices antisymtriques.
EXERCICE 2 :
Soit n N et lapplication de (Cn[X ])2 dans C dfinie par : (P, Q) =1
2
2
0
P (ei)Q(ei)d.
1. Montrer que est un produit scalaire hermitien et que la base canonique de Cn[X ] est orthonormale.
2. tant donn Q = Xn + an1Xn1 + + a0 Cn[X ], calculer ||Q||2.Soit M = sup
|z|=1
|Q(z)|. Montrer que M > 1, puis que M = 1 si et seulement si an1 = = a0 = 0.
EXERCICE 3 :
On note E lensemble des sutes relles de carrs sommables cest dire les usites relles (un)nN telles que :
+
n=0
u2n < +
1. Montrer que E est un R-espace vectoriel.
2. Pour (u, v) de E2, on pose (u, v) =+
n=0
unvn. Montrer que est un produit scalaire sur E.
EXERCICE 4 :
Soit E un espace prhilbertien rel et (e1, e2, ..., en) une famille de n vecteurs unitaires de E (n N) telle que,
pour tout x E, on ait : ||x||2 =n
k=1
(x|ek)2.
Montrer que la famille (e1, e2, ..., en) est une base orthonorme de E.
EXERCICE 5 :
Dans R4 euclidien, former la matrice par rapport la base canonique de la symtrie orthogonale par rapport auplan H dquations :
x1 + x2 x3 x4 = 0x1 + 3x2 + x3 x4 = 0
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Correction des exercices :
Ex 1 : (A, B) (M3(R))2, (A|B) = T r(tAB) =
16i,j6n
aijbij .
1. Soit (A, B) S3(R) A3(R), (A|B) = T r(tAB) = T r(AB) = T r(BA) = T r(tBA) = (B|A) = (A|B)
On en dduit que (A|B) = 0 donc que S3(R) (A3(R)).
De plus, un raisonnement sur les dimensions donne : dim(S3(R))=dim((A3(R))) ()
() dim(A3(R))+dim((A3(R)))=n2 et dim(S3(R))+dim((A3(R)))=n
2 car A3(R) et S3(R) sont en somme directe.
Ainsi S3(R) = (A3(R))
2. On sait que M3(R) = A3(R) S3(R). ()
() M M3(R), M =M + tM
2+
M tM
2de manire unique avec
M + tM
2 S3(R) et
M tM
2 A3(R)
Daprs la question 1, la projection de M sur A3(R) est la partie antisymtrique de M et la distance chercheest la norme de la partie symtrique de M qui scrit :
12
0 1 00 0 10 0 0
+
0 0 01 0 00 1 0
=12
0 1 01 0 10 1 0
= D
Ainsi d(M, A3(R))=
tDD =12
12 + 12 + 12 + 12 = 1
Ex 2 :
Pour dmontrer que est un produit scalaire hermitien, on prouve que :
(P, Q) = (P, Q) (laiss au lecteur) est semi-linaire gauche et linaire droite : est sesquilinaire. (laiss au lecteur)
(P, P ) = 12
2
0
P (ei)
2d > 0.
(P, P ) = 0
P (ei)
= 0 P (z) = 0 pour tout nombre complexe de module 1, cest dire que P = 0. est dfinie positive.
On a dmontr que est un produit scalaire hermitien.
Soit p, q deux entiers compris entre 0 et n. (Xp, Xq) =1
2
2
0
ei(p+q))d donc ||Xp||2 = 12
2
0
d = 1 et
pour p 6= q, (Xp, Xq) = 12
1i(p + q)
[
ei(p+q)]2
0= 0 .
La base canonique est orthonormale.
Q = Xn + an1Xn1 + + a0 Cn[X ].
||Q||2 = (Q, Q) = (
Xn +n1
k=0
akXk, Xn +
n1
k=0
akXk
)
= (Xn, Xn) +n1
k=0
akak(Xk, Xk) = 1 +n1
k=0
|ak|2.
(compte-tenu du fait que (Xp)06p6n est une base orthonormale pour et du fait que est un produit scalairehermitien)
M = sup|z|=1
|Q(z)|. M = 1 n1
k=0
|ak|2 = 0 ak = 0 , k compris entre 0 et n 1. On a donc Q = Xn
Ex 3 :
1. S = (RN, +, .) est un espace vectoriel rel. Montrons que E est un sous-espace vectoriel de S. Pour cela, soit(u, v) E2 et (, ) R2) on a :
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De faon vidente u E ; (un + vn)2 = u2n + v2n + 2unvn 6 u2n + v2n + u2n + v2n = 2u2n + 2v2n. On sait que u et v sont des suites de carrs
sommables donc il en est de mme de la suite (u + v).
Ainsi en tant que sous-espace vectoriel de S, E est bien un R-espace vectoriel.
2. De (un vn)2 > 0, on en dduit que unvn 612
(u2n + v2n) donc cela prouve que la srie
+
n=0
unvn est convergente
donc (u, v) existe si (u, v) E2.Pour la symtrie, la bilinarit et la positivit de , cest vident et :
(u, u) = 0 +
n=0
u2n = 0 n N, u2n = 0 u = 0.
Lapplication est un produit scalaire sur E.
Ex 4 :
i tel que 1 6 i 6 n, 1 = ||ei|| =n
k=1
(ei|ek)2 1 = (ei|ei)2 +n
k=1,k 6=i
(ei|ek)2 k tel que 1 6 k 6 n et k 6= i,
(ei|ek) = 0. Ainsi la famille (e1, e2, ..., en) est orthonormale. (orthogonale compose de vecteurs unitaires)
Maintenant, pour rpondre la question, il faut dmontrer que E =vect(e1, e2, ..., en). On note F =vect(e1, e2, ..., en)et x E. On considre la projection orthogonale de x sur F et on dmontre que pF (x) = x ce qui prouvera queF = E.
On a pF (x) =n
k=1
(x|ek)ek, on en dduit que ||pF (x)||2 =n
k=1
(x|ek)2 = ||x||2.
En utilisant le thorme de Pythagore, on a ||pF (x)||2 + ||x pF (x)||2 = ||x||2 car x pF (x) et pF (x) sontorthogonaux. On a donc ||x pF (x)||2 = ||x||2 ||pF (x)||2 = 0 donc x pF (x) = 0 pF (x) = x.
Ex 5 :
Une base de F est (u, v) o u = (1, 0, 0, 1) et v = (0, 1, 1, 2).Une base orthonormale possible est (w, t) o w =
12
(1, 0, 0, 1) et v =12
(1, 1, 1, 1).
Soit p la projection orthogonale sur F (expression des p(ei) dans la base (ei)). P =14
3 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 3
et donc celle de la symtrie s = 2p Id est : S = 12
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
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