[COLIMADOR]Primera EdiciónAgosto de 2009[ ]

[ Tesla ]

Magnetoresistencia[ Gigante ][ Inteligencia ]

[ Agujeros Negros ]

[ Igualdad ][ Investigación ]

[ Anecdotario ]

E sta es la primera edición de una revista de carácter científico, pero además nuestro objetivo es estrechar los lazos entre todos aquellos quienes se dediquen a hacer ciencia o simplemente se sientan atraídos a ella.

Nosotros, como estudiantes de la Facultad de Física y Astronomía, estamos interesados en difundir temas de ciencia para que la gente sepa qué se hace al interior de nuestra facultad y con qué motivaciones. Quizás no todos disfrutarán cada uno de los textos que componen esta publicación, pero nosotros definitivamente disfrutamos y nos sentimos satisfechos de cómo distintos profesores y alumnos respondieron a nuestro llamado, escribiendo artículos especialmente dedicados para esta revista.

Con esta primera edición queremos hacernos partícipes de dos celebraciones muy importantes: el Año Internacional de la Astronomía y el Año de Darwin. La primera celebra el 400 aniversario de las primeras observaciones astronómicas realizadas con telescopio por Galileo Galilei y la publicación por Johannes Kepler de la “Astronomía nova”. Galileo Galilei transformó los “lentes largavista” de su época, que entragaban imágenes borrosas y poco confiables, en telescopios afines al estudio del universo, dando los primeros pasos de la astronomía moderna; por su lado, Kepler presentó sus famosas leyes del movimiento planetario. El Año de Darwin celebra los 150 años de su famoso y - hasta hoy - controversial libro “El Origen de las Especies”.

Ustedes se preguntarán, ¿por qué Colimador? Pues bien, un colimador es una pieza fundamental en muchos experimentos en física. Aunque no juega un rol protagónico es indispensable para homogeneizar un haz de luz o materia que viene viajando en todas direcciones transformándolo en un chorro unidireccional hacia el objetivo. Es algo así como un embudo. Esta revista tiene el mismo objetivo, juntar ideas dispersas y presentárselas a ustedes con este gran COLIMADOR.

¡Esperamos que la disfruten!

La Editorial

Campañas presidenciales

Santiago, Julio 2009.

L as campañas presidenciales son una de las pocas oportunidades en que nuestra sociedad entera se siente a conversar sobre el futuro del país. Hasta el momento, la ciencia básica y aplicada ha sido ignorada en las

declaraciones de los candidatos.La ciencia es una fuente principal de prosperidad futura para un país, aunque

no produzca frutos tangibles inmediatos. El mundo interconectado de hoy se hizo posible con investigación pura, dirigida por mera curiosidad. De hecho, cuando Hertz descubrió la transmisión de ondas de radio dijo: “Yo no creo que las ondas aéreas que he descubierto lleguen a tener una aplicación práctica”.

Será importante para los electores saber cuáles son los planes de los candidatos para el desarrollo de la investigación en Chile, que es clave para asegurar el desarrollo a mediano y largo plazo de nuestra nación.

Necesitamos conocer las respuestas de las campañas a preguntas como: ¿se incrementará el porcentaje del P.I.B. destinado a la ciencia básica y aplicada, que hoy en día consiste en un bajísimo 0,7%?, ¿cuál será la receta para mejorar drásticamente la educación científica en Chile para así generar mayor capital humano?, ¿cuáles serán los incentivos que pondrá el gobierno para la investigación y desarrollo en las universidades y en la industria privada?

Actualmente los sitios web de las campañas no hacen referencia al progreso científico del país, más allá de frases muy generales. Una campaña presidencial no estará completa sin una propuesta acabada con respecto a este tema. Hasta ahora, el énfasis de los candidatos y los medios de comunicación ha estado en debatir sobre los candidatos mismos y no sus programas de gobierno.

Los jóvenes estamos listos para escuchar, proponer y debatir. Esperamos entonces que las candidaturas y los medios de comunicación abran la discusión. ■

GONZALO DÍAZPRESIDENTE

CENTRO DE ESTUDIANTESFACULTAD DE FÍSICA

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

Y a casi no hay duda alguna. El centro de nuestra galaxia alberga un enorme agujero negro llamado Sagittarius A*.

Las últimas evidencias, que fueron publicadas hace sólo algunos meses, provienen de 16 años de observación de estrellas en torno al centro de la galaxia. Estás orbitan un objeto muy masivo, de varios millones de veces la masa del sol, a una distancia demasiado pequeña como para tratarse de materia estelar. A apenas 26 mil años luz de casa habita uno de los más exóticos protagonistas del universo.

Un agujero negro es la última etapa en la vida de estrellas cuya masa es suficientemente grande (unas 3 o 4 masas solares). El sol y todos los astros que vemos en una noche clara emiten luz debido a que están calientes. Esto, producto de la combustión de material nuclear que ocurre en sus interiores. El sol, por ejemplo, fisiona átomos de hidrógeno para transformarlos en helio, liberando grandes cantidades de energía (lo mismo hacen las famosas bombas de hidrógeno). Las altas temperaturas corresponden a una gran agitación de los átomos, que se mueven velozmente, escapando así de la atracción gravitacional que de lo contrario produciría un colapso de la estrella. Esto es igual a lo que ocurre al hornear un pastel, que debido a la temperatura, aumenta su volumen a pesar de la gravedad (y colapsará inevitablemente al sacarlo del horno, al menos en alguna medida, la que dependerá de la habilidad del chef). El

combustible nuclear no es renovable, y tarde o temprano la estrella ya no contará con suficiente hidrógeno, y comenzará a enfriarse, colapsando como el pastel que sacamos del horno.

Esto, sin embargo, aumentara la presión en su interior lo que producirá la combustión de nuevos núcleos, y la estrella se estabilizará nuevamente. El ciclocontinúa hasta que ya no hay combustible que puedan detener el colapso final. La estrella se cae sobre sí misma, disminuyendo su volumen hasta terminar en un punto de dimensiones subatómicas y densidades enormes: un agujero negro.

Hasta hace poco los agujeros negros eran sólo una predicción teórica, pero con los años las evidencias se han hacho cada vez más contundentes. Se cree, de hecho, que la mayoría de las galaxias contienen un agujero negro supermasivo en su interior. Otras observaciones muestran varios candidatos a agujeros negros pequeños esparcidos por la galaxia. La comunidad ya parece haber aceptado su real existencia.

Pero no se procupe. Los agujeros negros no son voraces aspiradoras cósmicas, como muchos piensan. De hecho, se comportan como cualquier otro cuerpo estelar masivo. Podemos

evitar caer en el orbitándolo, al igual como la luna orbita la tierra. De hecho, son precisamente las estrellas y gases que orbitan un agujero negro los que nos dan la información sobre su estructura. La diferencia, y lo que da el nombre a estos objetos, es que si nos acercamos demasiado, y traspasamos el así llamado horizonte de eventos, no podremos salir jamás. Este

horizonte es una esfera que lo rodea, que en el caso de Sagittarius A*,

tendría un diámetro igual a la distancia de la tierra al sol. Los agujeros negros pequeños tienen en cambio un horizonte de sólo algunos kilómetros. Dado que ni siquiera la luz puede salir de allí, estos son completamente negros. Se han anunciado nuevas observaciones que podrían, en un futuro cercano, mostrar directamente el horizonte de eventos de Sagittarius A*. Los astrónomos esperan ser capaces de detectar esta esfera negra que sería la evidencia última de la realidad de la teoría de agujeros negros.

¿Pero por qué no es posible salir de los agujeros negros? En la física Newtoniana, por intensa que sea una fuerza, siempre podemos, en teoría, imaginar una mayor, que nos libere del empuje que provoca la primera. En la relatividad general de Einstein, sin embargo, tiempo y espacio son dos atributos de un mismo objeto, el espaciotiempo. Pero hay una importante distinción: en el espacio podemos detenernos inmóviles. En el tiempo siempre vamos hacia adelante, y desafortunadamente

ninguna fuerza puede impedir este inexorable flujo hacia el futuro.

La gravedad puede enrollar y curvar el espaciotiempo de tal modo que al traspasar el horizonte de eventos la dirección del tiempo apunta hacia el interior del agujero. Lo que nos empuja entonces es nada menos que la fuerza invencible del tiempo. Un tiempo que en este caso tiene sus segundos contados, pues eventualmente un malogrado astronauta que cae en sus garras llegará a su centro, al punto en que la materia se concentra a densidades infinitas. Ya no tendrá donde ir, pues para él, el tiempo, ha dejado de transcurrir. ■

- ANDRES GOMBEROFF

A mediados del siglo XIX nació uno de los científicos más revolucionarios de

nuestra historia. Nikola Tesla nacido en Smiljan, Croacia, el 10 de julio de 1856. Fue físico, matemático, ingeniero eléctrico y célebre inventor, revolucionando la teoría eléctrica inventando y

desarrollando la corriente alterna. Falleció en Nueva York, Estados

Unidos, el 7 de enero de 1943. Apartado, ignorado en muchas ocasiones

y sobre todo silenciado por sus descubrimientos y experimentos fuera

de élite, Tesla es de esos científicos a los cuales la palabra límite no

existe, no se conformó con poco y se dedicó a la búsqueda de

una tecnología capaz de moldear la energía y

dirigirla al antojo del ser humano, a esa

energía la llamaron "energía libre".

Rebelde por naturaleza, en 1912 rechazó la nominación al Premio Nóbel.

En 1893 fue capaz de diseñar un sistema de comunicaciones sin hilos construyendo para ello una antena de más de 30 metros de altura, la conocida como Wardencliff Tower. Su objetivo no era otro que transmitir la energía eléctrica gratuitamente a distancia sin la necesidad del hilo y para ello utilizó los mismos principios que la radio.

Por la ciencia oficial, los hermanos Wright fueron los primeros en realizar el primer vuelo, encontraremos mucha información al respecto, sin embargo, se conoce escasamente que en 1893, Tesla ya realizó pruebas con éxito con un prototipo de un primer avión de despegue vertical.

Entre su amplia lista de creaciones, se comenta que llegó a inventar entre 700 y 1600 dispositivos, de los cuales la gran mayoría se desconocen. De los más interesantes podemos destacar el submarino eléctrico que patentó en 1898, una nave pequeña capaz de recibir la energía eléctrica desde la Wardencliff Tower, almacenando dicha electricidad en sus baterías y siendo controlado a distancia.

Otro de sus inventos revolucionarios fue el llamado "Oscilador Vibracional Mecánico". Con este aparato pretendía visualizar la dinámica de su sistema de electricidad sin hilos. En uno de sus experimentos llegó a provocar un pequeño terremoto en su laboratorio de Manhattan. Si esto fue así, no nos queda más remedio que pensar que a estas alturas deben existir sistemas tecnológicos ya perfeccionados capaces de provocar terremotos artificiales, entre otras cosas.

Nikola Tesla desarrolló toda la Tecnología de la Corriente Alterna que utilizamos hoy en día. Construyó los primeros motores y generadores polifásicos, los primeros transformadores, desarrolló la robótica y la bombilla incandescente.

Thomas Edison inventó un filamento mejor para la bombilla incandescente, pero Tesla inventó el tubo fluorescente. Prácticamente todo lo que hoy utiliza electromagnetismo está derivado de las patentes originales de Tesla. De hecho él demostró efectos que nosotros no hemos podido reproducir desde hace cientos de años.

Ahogado por las deudas e imposibilitado de continuar con su experimento, en la década de los 30, Tesla intentaría buscarle una aplicación militar a los descubrimientos realizados. Es así que pasaría varios meses ideando el rayo de la muerte (death ray), con una ilustración conceptual avanzada a su época capaz de enfocar eficientemente un rayo de artículas macroscópicas, el cual, montado en una torre o en un globo aerostático, podría sembrar el terror en los ejércitos enemigos. Tras preparar un detallado documento, Tesla presentaría el proyecto a varias compañías y departamentos de guerra de las distintas potencias, como el US War Department y las distintas ramas del ejército del Reino Unido.

Sin embargo, su investigación sería catalogada como “los divagues de un loco”. Debieron pasar varias décadas hasta que las ideas de Tesla fueran tomadas con seriedad y nacieran así los electrolásers.

La intención de Tesla no solo era retransmitir energía gratuita, sino que además sus ideas llegaron hasta el punto de crear luz diurna artificial al alterar la ionosfera. No sólo con los electrolasers y los rayos de partículas sería redimido este genio, sino que además la ciencia moderna corroboraría varias de las teorías propuestas por éste que en su época lo convirtieron en el hazmerreír de todo el mundo. Como por ejemplo el hecho de que la Tierra es un cuerpo cargado eléctricamente, e incluso su cálculo sobre la capacitación de la Tierra, el cual fue casi exacto.

Desafortunadamente, tendría que ser también después de su muerte que la Corte Suprema de los Estados Unidos reconociera oficialmente su importancia en la invención de la radio y se le diera el crédito por la primer fotografía de rayos X.

Sin duda, Nikola Tesla fue uno de esos personajes en la historia quienes no pudieron ver el fruto de sus trabajos ni pudieron recibir reconocimiento alguno hasta sus días finales dadas las circunstancias de su época. Sólamente en los días presentes podemos dar cuenta de su impacto en el desarrollo científico y su legado para la humanidad; sin él, gran parte de lo que conocemos hoy no existiria, y más aún, muchas cosas que dejó en sus escritos quedarían en el mar de la incertidumbre. ■

- CHRISTIAN DIAZ

Resumen: Los electrones poseen carga y momento angular (o espín). En la electrónica convencional, para transmitir información las cargas son movidas por campos eléctricos y para salvar la información son almacenadas en condensadores. En los primeros dispositivos de grabación magnética, campos magnéticos han sido utilizados para leer y escribir la información almacenada en dominios magnéticos, lo que se hace midiendo la orientación de los espines en el medio magnético. Este escenario comienza a cambiar en 1988 con el descubrimiento del efecto de magnetorresistencia gigante (GMR) abriendo nuevas vías para el control del transporte de carga a través estructuras magnéticas artificiales. En este artículo describimos el efecto de GMR y su impacto en el campo emergente de la electrónica de espín o espintrónica.

GMR

P arece increíble que 101 años después de que J. J. Thomson recibiera el premio Nobel por el descubrimiento

del electrón, en el 2007 lo recibieran los profesores Peter Grünberg y Albert Fert por el descubrimiento del efecto de magnetorresistencia gigante (GMR) en el cual, tanto el espín como la carga del electrón son manipulados en estructuras magnéticas a escalas nanométricas.

En realidad, la correlación entre magnetización y transporte de carga no es un asunto nuevo, de hecho, el efecto de magnetorresistencia anisotrópica (AMR) [1] que relaciona el valor de la resistencia con la orientación relativa entre la magnetización y corriente fue observado por primera vez en 1856 por William Thomson. A pesar de que este efecto es apenas del orden de 1% ( ΔR/R = (Rmax − Rmin) / Rmin ) la IBM introdujo en 1991 las cabezas de lectura magnetoresistivas (MR) en los discos duros.

En estos, la cabeza de lectura se desplaza sobre los dominios magnéticos que definen los “bits” en el medio de grabación sintiendo las variaciones espaciales del campo magnético de dichos dominios.

Desde que se introduce el disco duro en el mercado en el año 1957 la densidad de almacenamiento de datos crecía a una tasa de 25 % al año, sin embargo luego de introducir las cabezas MR la tasa llegó a ser de 60 % al año (ver Figura 1). A pesar de esto, ya a finales de los ochenta el consenso general en la comunidad científica era de que no sería posible mejorar significativamente el desempeño de los sensores magnéticos basados en el efecto de AMR.

En el año 1988 dos grupos de investigadores liderados por P. Grünberg y A. Fert, de manera independiente descubren materiales artificiales con magntorresistencia alta, lo que ahora conocemos como magnetorresistencia gigante (GMR). Grünberg y Fert no solo miden el aumento pronunciado en la magnetorresistencia sino

Figura 1. Disco duro (izquierda). Evolución de la densidad de información. Desde la creación del primer disco duro hasta principios de los años 90 la densidad de bits por área tenía un crecimiento de 25%, es decir, se duplicaba cada tres años. Cuando se introducen las cabezas de lectura por AMR el crecimiento aumentó a un 60 % anual. En 1997 la IBM introduce la primera cabeza de lectura por el efecto de GMR (solo nueve años después del descubrimiento) y desde entonces el crecimiento ha sido de 100% al año.

que también identifican sus observaciones experimentales como un nuevo fenómeno. El título del artículo original del grupo de Fert [2] ya se refiere al efecto observado como “Magnetorrsistencia Gigante”. Grünberg [3] por su parte también realzó la amplia gama de posibilidades que ofrecía el efecto en las aplicaciones tećnicas y patentó en descubrimiento [4]. Desde este preciso momento el área de investigación en magnetismo de capas finas cambiaría su dirección hacia la magnetoelectrónica o electrónica de espín (Espintrónica).

•Materiales FerromagnéticosEl efecto de GMR se basa en que la

conductividad de los metales ferromagnéticos como Fe, Ni, Co depende del espín (“up” o “down”). En estos metales las bandas 4s y 3d contribuyen a la densidad de estados en el nivel de Fermi. La densidad de estados (DOS), n(E) representa el múmero de electrones en el sistema con energías en el intervalo (E, E+dE). De

acuerdo con el principio de exclusión de Pauli para fermiones (en este caso electrones), solo un electrón puede ocupar un estado particular. Sin embargo, cada estado es degenerado en relación al espín de manera que en el mismo puede haber un electrón con espín “up” (↑) y espín “down” (↓) . En el estado base, todos los niveles de energía por debajo del nivel de Fermi, (EF) están ocupados por electrones. En la Figura 2 mostramos la densidad de estados para un metal no magnético, donde hay igual número de electrones con espín (↑) y spín (↓) , esto es, no existe magnetización neta.

En los metales ferromagnéticos (FM), producto de la fuerte interacción de intercambio que favorece la orientación paralela entre los espines de los electrones, la banda 3d está corrida en energía. Este desplazamiento, crea un desbalance entre el número de electrones 3d con espín (↑) (N↑) y espín (↓) (N↓) ,que origina el momento ferromagnético (µ=−(N[↑]−N[↓])µB/atomo , donde µ[B] es el magnetón de Bohr).

En particular, la densidad de estados en el nivel de Fermi, n(E[F]) puede ser ahora muy diferente para las dos bandas de espín (ver

Figura 2. En un conductor no magnético (izquierda), existe igual número de electrones con espín “up” (↑) que con espín “down” (↓) en equilibrio. En conductor ferromagnético (derecha), las densidades son diferentes debido a la interacción de intercambio provocando que el mínimo de las dos bandas de espín sean desplazados. El espín para el cual el número de electrones es mayor es llamado espín mayoritario (en este caso de la figura N[↓]>N[↑] ) . Usualmente, la densidad de estados en el nivel de Fermi es mayor para los electrones minoritarios.

Figura 2). Esto quiere decir que para un conductor ferromagnético el carácter del estado en la energía de Fermi es muy diferente para electrones con espín (↑) que electrones con espín (↓) . Esta observación esta conectada directamente con el efecto de GMR y es la piedra angular de la espintrónica.

Es importante señalar que una propiedad fundamental de los materiales ferromagnéticos es su temperatura de Curie, TC por encima de la cual su magnetismo desaparece. Para los materiales FM como Fe, Co, Ni esta temperatura está muy por encima de la temperatura ambiente (por ejemplo para el Ni T[C]=627 K ) y los efectos de esta son despreciados.

•Resistencia electricaUna corriente eléctrica a través de un

sistema metálico experimenta una resistencia R (a excepción de los superconductores para los cuales por debajo de cierta temperatura, R=0 ). Los electrones que participan en los procesos de conducción eléctrica son aquellos que se encuentran en el nivel de Fermi (o muy cercano a este). Para los metales no magnéticos no existe diferencia entre electrones con espín (↑) y espín (↓) por lo que los mismos contribuyen igualmente para la resistencia.

Ya en 1936, Mott [4] investigó la conductividad eléctrica de los elementos d de transición. Mott sugirió que la conductividad era determinada principalmente por los electrones 4s de mayor movilidad, sin embargo las transiciones s-a-d donde se conserva el espín son la fuente principal de dispersión de los electrones s. Esto tiene dos consecuencias fundamentales para el transporte: el desbalance de la densidad de estados en el nivel de Fermi para los

electrones 3d resulta en que las probabilidades de dispersión dependan fuertemente del espín, y entre dos eventos de dispersión de inversión de espín (spinflip) un electrón puede experimentar muchos eventos de dispersión que no alteran la dirección del mismo. Usualmente la probabilidad de dispersión es mayor para los electrones mayoritarios, aquellos para los cuales n(E) es menor en el nivel de Fermi (ver Figura 2). En el límite cuando los eventos de dispersión de spinflip son despreciables, podemos considerar la conducción en paralelo a través de dos canales de espín (up y down) que poseen conductividades bien diferentes. En general la conductividad es mayor (resistencia menor) para el canal de espín (↑) que el de espín (↓) .

El efecto de GMR es mostrado en la Figura 3 para el caso simple de una tricapa magnética con dos capas ferromagnéticas idénticas FM1 y FM2 separadas por una capa metálica no magnética (NM) de espesor del orden del camino libre medio del electrón, de manera que podamos despreciar los efectos de dispersión por spin-flip en este. Cuando las dos capas FM son magnetizadas paralelas (P), los electrones con espín (↑) (espín antiparalelo a la magnetización, i.e. canal de espines minoritario) viajan por la estructura prácticamente sin dispersarse lo que hace que la resistencia sea baja. Por el contrario, en el caso antiparalelo (AP) ambos, espín (↑) y espín (↓) sufren colisiones en F1 o en F2 y la resistencia es mayor.

De una manera simple, la estructura magnética puede ser modelada utilizando una red de resistores (ver Figura 4). En el primer caso, cuando las magnetizaciones son paralelas, el canal de espín (↑) al pasar por las dos estructuras FM experimenta una resistencia baja (R↑) (lo que representamos

con dos símbolos verdes en la figura). En el caso contrario, cuando las magnetizaciones son AP, los electrones del canal de espín (↑) al pasar por FM1 experimentan una resistencia (R↑) baja (símbolo en color verde) y una resistencia (R↑) alta (simbolo rojo) al pasar por FM2 y viceversa para el

Figura 3. Estructura magnética compuesta por dos capas ferromagnéticas FM1 y FM2 separadas por un metal no magnético NM. Cuando las magnetizaciones de las capas FM1 y FM2 son paralelas (izquierda) los electrones con espín “up” (espín antiparalelo a la magnetización) viajan a través de la estructura prácticamente sin dispersarse haciendo que la resistencia disminuya. Contrario a esto, en el caso antiparalelo (derecha) los electrones con espín “up” y “down” sufren colisiones tanto en FM1 como en FM2 de manera que la resistencia de la estructura aumenta.

Figura 4. Explicación simple del efecto de GMR utilizando una red de resistores. En el esquema de la izquierda, el canal de espín “up” es el canal de espínes minoritarios en ambas capas FM, experimentando una resistencia R↑ baja a través de toda la estructura. Contrario para el canal de electrones con espín “down”. En el esquema de la derecha, el canal de electrones con espín “up” es minoritario en la primera capa experimentando una R↑ baja (símbolo en verde) pero en la segunda es el canal de espines mayoritarios (con espín paralelo a la magnetización FM2, ver Fig. 3) experimentando una R↑ mayor (símbolo en rojo). Contrario para el canal con espín “down”.

canal de espín (↓) . De esta forma es fácil ver que R[AP]>R[P] .

La magnetorresistencia relativa ΔR/ R=(R[AP]−R[P])/ RP puede alcanzar 100% o más en multicapas con un alto número de estructuras periódicas FM/NM. De hecho, fue de 80% en las multicapas de Fe/Cr del descubrimiento original [2], de ahi el nombre de magnetorresistencia gigante (GMR).

El descubrimiento de la GMR inmediatamente suscitó intensas investigaciones en el área del magnetismo de capas finas y multicapas llegando rápidamente a los sensores de válvulas de espín [4,6].

Las válvulas de espín (SVs) son obtenidas artificialmente depositando secuencialmente capas finas magnéticas y no magnéticas sobre un substrato siguiendo un orden específico y de manera tal que los momentos

magnéticos de una de las capas FM sean difíciles de revertir al aplicar un campo magnético, mientras que los momentos magnéticos de la otra capa se puedan invertir fácilmente. La primera capa es llamada de “capa presa” y la segunda de “capa libre”.

Las SVs fueron introducidas por la IBM en 1997 como sensores de lectura en los discos duros revolucionado la industria de grabación magnética y son ya utilizadas en la construcción de los primeras tipos de memorias no volátiles: las memorias magnéticas de acceso aleatorio (MRAM). Estas memorias deben combinar las ventajas de las DRAM tales como rapidez y alta densidad y ser no volátiles como las memorias FLASH. Muy probablemente las MRAM se convertirán en las memorias universales reemplazando las memorias volátiles y no volátiles.

El elemento de memoria en las MRAM representa el valor de un bit digital, que depende de si los sentidos de las magnetizaciones de las camadas superior e

Figura 5. Corrientes eléctricas circulando a través de las líneas de entrada producen un campo magnético que muda el estado de las magnetizaciones de las camadas magnéticas pudiendo conmutar el sentido de las mismas para producir una salida digital “0” o “1”. El resultado de la conmutación puede ser leído a través de las líneas de salida. Prototipo de una memoria MRAM (derecha).

inferior sean iguales u opuestos (ver Figura 5). Cuando el sentido en las magnetizaciones es el mismo el estado por ejemplo representa un “1”, contrario a esto cuando la polaridad entre as magnetizaciones es contraria la magnetorresistencia aumenta correspondiendo a un “0”. Para cambiar la resistencia del elemento MRAM de baja (1) para alta (0) basta aplicar una corriente eléctrica a través de las entradas conectadas al dispositivo de memoria. Además de almacenar los bits digitales, un único elemento de MRAM puede ser usado para representar funciones lógicas, como AND u OR.

Los componentes magnetológicos podrán elevar la capacidad multitarea de dispositivos electrónicos a un nuevo patatar reduciendo con esto la necesidad de incorporar diferentes microprocesadores en los equipamientos electrónicos que podrán ser reconfigurados y optimizados para realizar cualquier tarea, ya siendo como procesadores de música, imagen o de cálculos matemáticos complejos.

Comparadas con las computadoras modernas que trabajan casi enteramente con la electrónica convencional, las computadoras con memorias magnéticas serán capaces de almacenar datos, consumir menos energía y procesar los datos más rápidamente. Tengamos en cuenta que las memorias convencionales tienen transistores que usan la carga eléctrica para almacenar ceros y unos. Las memorias basadas en la espintrónica usan los estados de espín (↑) y espín (↓) para almacenar los datos. Una vez que los espines son alineados estos permanecen en este estado a no ser que el mismo sea alterado por un campo magnético. Como resultado los datos almacenados podrán ser recuperados en el momento que la

computadora sea encendida evitando mover estos desde el disco rígido hasta las memorias. Por otro lado, la no volatilidad significa que no es necesario sincronizar la extracción de bits digitales de las células de almacenamiento en la memoria del computador, lo que simplifica y torna más rápido el procesamiento. Los propios bits son almacenados donde son procesados. Además, al contrario de CMOS, componentes magnetológicos no necesitan necesariamente tener sus dimensiones reducidas para mejorar su desempeño lo que es una ventaja para los fabricadores de chips preocupados en producir componentes cada vez menores. ■

[1] I. A. Campbell and A. Fert, “Transport Properties of Ferromagnets” in Ferromagnetic Materials , e. E. P. Wohlfarth, NorthHolland, Amsterdam, Vol 3, p. 747 (1982).

[2] Baibich, M. N. et al. Giant magnetoresistance of (001)Fe/(001)Cr magnetic superlattices. Phys. Rev. Lett. 61, 2472247 (1988).

[3] G. Binasch, P. Grünberg, F. Saurenbach, and W. Zinn, “Enhanced magnetoresistance in layered magnetic structures with antiferromagnetic interlayer exchange”, Phys. Rev. B 39, 4828 (1989).

[4] Grünberg, P. Magnetic field sensor with ferromagnetic thin layers having magnetically antiparallel polarized components. US patent 4,949,039 (1990).

[5] N. F. Mott, “The Electrical Conductivity of Transition Metals”, Proc. Roy. Soc. A153, 699 (1936).

[6] Dieny, B. et. al. Magnetoresistive sensor based on the spin valve effect. US patent 5,206,590 (1993).

ROBERTO L. RODRÍGUEZ SUÁREZ

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

P ara que exista tal como la conocemos, la vida exige múltiples restricciones sobre su entorno. Por ejemplo, la

distancia de la Tierra al Sol es tal que el calor absorbido es suficiente para que una gran proporción del agua se mantenga en su fase líquida. Si la Tierra estuviera muy cerca de su estrella toda el agua estaría en forma de vapor, o si estuviera suficientemente lejos sería un gran cristal de hielo.

La ciencia que se encarga de estudiar las condiciones para la vida y su potencial existencia dentro y fuera de nuestro sistema solar (Astrobiología o Exobiología) define el concepto de “zona habitable”, que ayuda a determinar las distancias mínimas y máximas a las que deberían estar planetas para ser candidatos de contener vida, por gozar de agua líquida. Entendemos vida como la existente en nuestro planeta, que se basa en el carbono. La Tierra es el único planeta conocido que alberga vida y por lo tanto se encuentra en la zona habitable, cerca del extremo más lejano. Simples cálculos utilizando aproximación de cuerpo negro dan como resultado que la zona habitable para un planeta como al cual estamos naturalmente ligados, se extiende desde el 50% al 105% del radio promedio de la órbita terrestre.

Otro ejemplo de las cotas en las condiciones externas (e internas) que exige

la vida y también relacionado sustancia bendita es la llamada “anomalía del agua”, a saber, el hecho de que a diferencia de todas las otras sustancias conocidas, el agua comienza a disminuir su densidad a medida que la temperatura baja de los 4ºC, temperatura a la cual el agua manifiesta su mayor densidad. La anomalía, manifiesta hasta la temperatura de fusión, está en que el resto de los materiales siempre se dilatan con

el aumento de la temperatura y no al revés. Hablamos, sin embargo, de una anomalía necesaria, pues de no existir, las capas de hielo caerían hacia los fondos marinos literalmente aplastando la vida acuática, indispensable para todo el resto de los organismos. Téngase en cuenta de que el 70% de la fotosíntesis planetaria es realizada por

miríadas de algas marinas microscópicas pertenecientes al reino protista, (“la cima de la complejidad unicelular”).

Lo anterior fueron meros ejemplos relacionados con el agua y su importancia para la existencia de la vida. No es coincidencia alguna que la proporción de agua en nuestro planeta y en las células sea aproximadamente la misma, tres cuartos, por lo que debemos tomar en serio los temas relacionados con el preciado recurso hídrico. Tampoco es coincidencia que la máxima cantidad de energía emitida por el sol corresponda a ondas electromagnéticas en el rango visible. La evolución, que es ciega, afinó los parámetros biológicos con los terrestres de modo que ninguno de los dos

puede cambiar drásticamente. En realidad los cambios sí pueden ser drásticos, pero las consecuencias podrían serlo aún más. La juventud de la vida estuvo marcada de frustraciones, y aprendió a palos. Meteoritos gigantes impactaron nuestro hogar extinguiendo la vida por completo,

probablemente más de una vez, pero ellos

mismos fueron

los que depositaron los elementos

para que, más tarde, la vida renaciera con más fuerza.

Queremos ir más allá y referirnos a la vida inteligente. Hay muchas especies inteligentes, sino todas, pero digamos que la más elevada inteligencia es aquella necesaria para elaborar teorías practicables y que, por ensayo y error (igual que la evolución), surjan tecnologías eficaces para escapar voluntariamente de la fuerte atracción generada por el campo gravitacional. La capacidad que posee el ser humano de liberarse de su prisión gravitatoria lo coloca en una posición única entre los vivientes. Como en el relato del Arca de Noé, el hombre sería el encargado de diseminar la vida terrestre a otros planetas cuando sea

necesario. Somos una conciencia de la naturaleza, pues podemos prever muchos aspectos del futuro y aunque quizá estemos acelerando el acabamiento de lo que creemos nuestros recursos, tarde o temprano será la raza humana la que deberá proyectar la vida hacia otros lugares dado que el Sol, como toda estrella, tiene una existencia finita y por ende nuestro sistema solar también. Personalmente no soy tan pesimista como para creer que la raza humana se autodestruirá. Tampoco soy tan optimista como para creer que logremos viajar hacia otras estrellas que están a años luz, pero es más esperanzador pensar de esa forma.

Pues entonces, surgida la vida en algún lugar del universo, debe generarse un mecanismo por el cual no quede confinada a su “hábitat natural”, y quizá la inteligencia elevada, intelectual, sea dicho mecanismo (al final comentaré otro mecanismo muchísimo más simple). Si la vida desea trascender venciendo las hostilidades astronómicas por

volición de organismos inteligentes, la naturaleza desearía que este tipo de inteligencia aparezca con anticipación suficiente, y disponer del tiempo necesario para elaborar soluciones ojalá mucho antes de que la estrella comience a mostrar los primeros síntomas de su enfermedad letal. Así la vida viviría en un régimen de nomadismo estelar, viajando de planeta en planeta prefiriendo aquellos iluminados por estrellas jóvenes.

Existen hipótesis que hacen más particular aún el fenómeno de la vida en la Tierra. Según una de éstas, es necesaria la existencia de un satélite relativamente grande para que florezca vida inteligente en un lapso de tiempo razonablemente corto. Isaac Asimov, que antes de ser escritor era científico, popularizó esta hipótesis en algunos de sus libros. La idea es la siguiente y su exposición es el propósito original de este texto:

◦UUnn ssaattéélliittee mmaassiivvoo ccoommoo llaa LLuunnaa ccrreeaa ffuueerrtteess mmaarreeaass..◦LLaass mmaarreeaass pprroodduucceenn rrooccee ccoonn eell ffoonnddoo mmaarriinnoo..◦EEll rrooccee ssoosstteenniiddoo vvaa eerroossiioonnaannddoo eell ffoonnddoo,, rreemmoovviieennddoo llaass ppaarrttííccuullaass mmááss lliivviiaannaass..◦CCoonn eell ttiieemmppoo ppaarrttííccuullaass yy ccoommppuueessttooss mmááss ppeessaaddooss,, qquuee ssoonn mmááss ddiiffíícciilleess ddee rreemmoovveerr,, ssee aaccuummuullaann eenn eell ffoonnddoo mmaarriinnoo..◦LLooss ááttoommooss mmááss ppeessaaddooss ttiieennddeenn aa sseerr mmááss iinneessttaabblleess,, ppoorr eennddee ddeeccaaeenn ccoonn mmuucchhaa mmaayyoorr ffrreeccuueenncciiaa pprroodduucciieennddoo rraaddiiaacciióónn..◦LLaa rraaddiiaacciióónn ddee eessttaass ssuussttaanncciiaass ppeessaaddaass aacceelleerraa llaa ttaassaa ddee mmuuttaacciioonneess aall iinntteerraaccttuuaarr ccoonn eell mmaatteerriiaall ggeennééttiiccoo ddee llooss oorrggaanniissmmooss..◦EEll iinnccrreemmeennttoo ddee llaa ttaassaa ddee mmuuttaacciioonneess eessttáá rreellaacciioonnaaddoo ccoonn llaa aaggiilliizzaacciióónn ddee llaa eevvoolluucciióónn..◦PPoorr eessttaass ccaauussaass ppuueeddee ccoonncceebbiirrssee vviiddaa iinntteelliiggeennttee eenn uunn llaappssoo ddee ttiieemmppoo ccoommppaarraattiivvaammeennttee ccoorrttoo rreessppeeccttoo aa llaa eeddaadd yy lloonnggeevviiddaadd ddee llaa eessttrreellllaa mmaaddrree..

A primera lectura los últimos puntos parecen no estar bien justificados, pero en rigor la idea no es para nada descabellada. Cada detalle que podemos verificar del ejemplo terrestre es sin duda una traza sutil en el complejo entramado de causas y efectos que son el escenario de nuestro personaje de interés: la vida.

El mecanismo de propagación de vida que se mencionó más simple podría llamarse “deriva biológica”. Está comprobado que al menos 500 toneladas del planeta Marte llegan a la Tierra cada año. Probablemente tanta masa no es más que la suma de muchas moléculas que se desprenden a la velocidad de

escape por el choque de pequeños o grandes meteoritos. Tales moléculas quedan errantes en el espacio y eventualmente han sido atraídas por nuestro planeta. Podrían viajar células completas o moléculas biológicas por este mecanismo, pero seguramente el viaje y las condiciones de ignición las degraden, por lo que no es éste un método de dispersión eficaz.

Las conclusiones o comentarios finales prefiero reservarlas a cada lector, para no influenciar más su pensamiento. Opto terminar este humilde tratamiento con tres bellas citas. La última de ellas se relaciona con una de las grandes zancadas de la evolución. ¡Salud! ■

(Citas Relevantes)

"La Tierra es la cuna de la humanidad, nadie se queda en la cuna para siempre." Konstantín Tsiolkovski, físico ruso.

“Todo nos llama a la muerte; la naturaleza, casi como si tuviera envidia del bien que nos ha hecho, nos declara a menudo y nos da a entender que no puede dejarnos mucho tiempo el poco de materia que nos presta, que no debe permanecer en las mismas manos y que debe estar eternamente en circulación: lo necesita para otras formas, lo reclama para otras obras.”BOSSUET, en “Sermon sur la mort”

“Las condiciones de la época en que la vida no había salido aún de los

océanos no han cambiado mucho para las células del cuerpo, bañadas por la ola

primordial que sigue corriendo en las arterias. Nuestra sangre tiene en realidad

una composición química análoga a la del mar de los orígenes, del cual las primeras células

vivientes y los primeros seres pluricelulares extraían el oxígeno y los otros elementos necesarios para la vida. Con la evolución de organismos más complejos, el problema de mantener el máximo número de células en contacto con el ambiente líquido no pudo ya resolverse simplemente mediante la expansión de la superficie exterior: resultaron beneficiados los organismos dotados de estructuras cóncavas huecas, en cuyo interior el agua marina podía fluir. Pero sólo con la ramificación de esta cavidad en un sistema de circulación sanguínea la distribución del oxígeno quedó asegurada en el conjunto de las células, haciendo así posible la vida terrestre. El mar donde en un tiempo estaban inmersos los seres vivientes, está ahora encerrado dentro de sus cuerpos.”

Italo Calvino en “Tiempo Cero”

- CONSTANTINO DRAGICEVIC

Durante el último tiempo mi trabajo se ha centrado en el tema de inestabilidades de plasmas tipo Z-

pinch, que son descargas en las que la misma corriente que circula por ellas genera un campo magnético azimutal. Este campo magnético es una componente fundamental que contribuye a explicar el comportamiento de estas descargas. La configuración más reciente ha sido la de un Z-pinch hueco, esto es, la descarga se logra iniciar como un manto de cilindro, con lo que se logra una mayor estabilidad. Hay dos aspectos asociados y que han sido igualmente importantes en nuestro trabajo, el desarrollo de diagnósticos y de generadores de potencia pulsada. Ambos son esenciales para poder desarrollar el trabajo, obviamente sin generador no se puede producir descargas y sin diagnósticos no es posible saber qué está pasando.

En relación con el generador Llampdkeñ, estamos haciendo modificaciones que permitan llegar al voltaje máximo de

operación, lo que permitirá llegar a la corriente de diseño, 1 MA. Sin duda que esto permitirá ir a un régimen en las descargas en donde la temperatura del plasma sea mucho mayor, en el rango de algunos cientos de eV.

En el área de diagnóstico he estado involucrado con diagnósticos de tipo óptico, electro-óptico y varios otros. Uno de ellos es el que permite hacer mediciones de corriente utilizando rotación de Faraday. La gran ventaja de este tipo de diagnóstico es que no perturban la descarga, por lo que hacen mucho más fácil la interpretación de los resultados, sin que haya efectos espúreos.

Por último, quiero mencionar el trabajo en el área de museografía, que hemos desarrollado con el Museo Precolombino, en que hemos trabajo en temas de ilumunación de textiles así como el desarrollo de nuevas alternativas de exhibición de objetos valiosos. ■

Tema deInvestigación________________________

Hernán Chuaqui

- HERNÁN CHUAQUI

En el mundo de la ciencia, no todo es trabajo concienzudo y sistematizado. De vez en cuando, los hombres dedicados al conocimiento son protagonistas de simpáticas

(algunas si, otras, no tanto) anécdotas. He aquí un pequeo muestrario.

Aunque podamos creer que un científico vive aislado del mundo, hay diferentes hecho que nos

demuestran que aquello es una falacia.Durante la Revolución Rusa (1917), el

físico-matemático Igor Tamm fue capturado en las cercanías de Odessa, Ucrania por un grupo anticomunista, que lo encontraron sospechoso de formar parte de células comunistas anti-ucranianas. De inmediato, negó absolutamente las acusaciones y les dijo que era un científico... no le creyeron. Al insistir -y para que probara sus afirmaciones- le contestaron: "De acuerdo, calcula el error de la aproximación de la serie de Taylor de una función cuando es truncada en el término n-ésimo. Si contesta correctamente te pondremos en libertad, pero falla y te fusilaremos". La respuesta la escribió en el suelo y con su dedo... y estaba correcta.

En 1958, Tamm fue merecedor del Premio Nobel de física por el descubrimiento e interpretación del efecto Cherenkov-Vavilov, que básicamente, versa sobre un tipo de radiación electromagnética producida por el paso de partículas a velocidades superiores a la de la luz en algún determinado medio. La leyenda cuenta, que Tamm usó aquella "anécdota" para incentivar el estudio de la matemática entre sus alumnos.

El bioquímico Daniel Koshland estaba trabajando en el laboratorio, cuando su supervisor Frank Westheimer entra corriendo, agitado. El resto, es el relato de la propia boca de Koshland:

- "Ven conmigo me dijo Westheimer-. Te necesitamos en una reunión.

Yo le seguí obedientemente para encontrar a Frank, Bill Libby, George Whelan, otros dos profesores y algunos estudiantes graduados y posdoctorados reunidos en una habitación. El problema que se nos presentó era que Libby quería saber cómo reducir a cenizas un pinguino.

Alguien había dicho a Libby que debería tener una muestra moderna y verificada de composición de carbono para comparar con sus antiguas muestras de datación por carbono y que para ello debería reunir animales del Polo Norte, el Polo Sur, el Ecuador, etc.

El pinguino había sido traído de la Antártida y estábamos encargados de transformar todo el carbono de la carne, el pico, las garras, las plumas, etc., en CO2. Las primeras respuestas del grupo eran las obvias, tales como ácido sulfúrico humeante, aqua regia (una mezcla de ácidos nítrico e

hidroclórico), ácido nítrico humeante, soluciones de cromato y así sucesivamente.

Cada sugerencia era descartada por recomendación de alguno cuya experiencia le decía que no podía funcionar. Finalmente, frustrado, el grupo se separó para cenar. Varios días más tarde me encontré casualmente con Libby y le pregunté a qué se había decidido. Libby dijo que no se había encontrado ninguna solución química pero que había mencionado el problema a su mujer. Ella señaló que todos los materiales del cuerpo estaban sintetizados a partir de una fuente común y, por ello, sugirió que cocinásemos el pinguino y recogiéramos la grasa que, por supuesto, podía oxidarse fácilmente para dar CO2. Seguimos su consejo y el problema se solucionó".

Todo este trabajo, redundó en el descubrimiento por parte del químico Willard Libby del método de datación mediante carbono, que permite conocer la edad de los fóciles mediante la determinación de la cantidad de carbono 14 que contenga. El método está basado en la ley de decaimiento exponencial de este elemento químico. Es conocido que la vida media de este elemento es de 5730 años, por lo que midiendo la radiactividad, se calcula la cantidad de carbono 14 que queda en el organismo. Con esto, es posible datar la edad del fósil.

Este trabajo, le valió a Libby el Nobel en 1960.

No sé si la palabra "anécdota" sea la más indicada para presentar la siguiente historia:

Cuando hablamos de conducir en exceso de velocidad, rápidamente se nos vienen a la cabeza parlamentarios atrasados, ministros

que van al Congreso a defenderse de alguna acusación constitucional, Seremis que se "duermen" y dejan al borrachín del pueblo en la conducción, o por último se nos viene a la memoria Axel, el "Schumacher argentino". Pero resulta que el mundo de la ciencia no está alejado de aquello, ya que en el año 2005, el físico norteamericano -ganador del Premio Nobel por su trabajo (paradójicamente) en el campo de la superconductividad, desarrollando la teoría BCS- John Robert Schrieffer fue condenado a 2 años de cárcel por el delito de manejar a más de 100 millas por hora, protagonizando un accidente que le costó la vida a una persona, dejando un saldo aparte de 9 heridos de diversa consideración. Incluso, el físico arriesgaba una pena aún mayor si consideramos como antecedente las nueve multas cursadas con anterioridad y el hecho de que en el momento de ocurrido el hecho, se encontraba con su licencia de conducir retenida.

"Creo que usted necesita probar la prisión estatal", sostuvo el juez en aquella ocasión. "La tragedia de este caso es que usted es un hombre brillante que ha hecho grandes contribuciones a la sociedad... Es un misterio por qué ha elegido conducir automóviles de gran rendimiento a gran velocidad en las carreteras públicas", explicó. De las palabras del juez, podemos desprender que su condición de Premio Nobel fue un atenuante para su condena, así como su avanzada edad (74 años entonces).

En el círculo más cercano de Schrieffer causo extrañesa el hecho, declarando uno de los científicos que obtuvo el Nobel con él, Leon Cooper: "éste no es el Bob con el que trabajé". ■

- JAVIER ANDRÉS CANCINO HENRÍQUEZ

M i área de investigación es la astrofísica teórica, es decir, intento entender y predecir

fenómenos que ocurren en el espacio, en base a las leyes de la física. Lo que me entusiasmó inicialmente es que reúne prácticamente todas las áreas de la física (mecánica, electromagnetismo, termodinámica, relatividad especial y general, fluidos, plasmas, átomos, núcleos y partículas elementales) y que es posible imaginarse los fenómenos en forma visual y geométrica, más allá de su descripción matemática. Esta última, dada la complejidad de los fenómenos y sus múltiples ingredientes, en general no es “exacta”, sino que recurre frecuentemente a estimaciones de órdenes de magnitud, lo cual he enseñado como curso un par de veces. Sólo después de meterme en esto vine a darme cuenta de la ventaja de trabajar en esta área en Chile, dado que las observaciones locales proporcionan muchísimos fenómenos para estudiar e interpretar.

Mi principal objeto de estudio han sido hasta ahora las estrellas de neutrones,

remanentes compactos de estrellas, con un radio de sólo 10 km, pero con una densidad de billones de toneladas por centímetro cúbico. Aunque en general son consideradas como objetos inertes, que se enfrían pasivamente, me di cuenta de que en ellas debe operar un proceso que llamé “calentamiento rotoquímico”, en que la reducción gradual de su rotación produce una contracción gradual de la estrella, que fuerza un transformación paulatina de neutrones en otras partículas. La energía liberada en este proceso debería ser emitida como radiación ultravioleta, y es posible que ya haya sido detectada en un caso.

Otro tema que me interesa mucho es la estructura y evolución del campo magnético, tanto en estrellas de neutrones como en otras estrellas. En fluidos altamente conductores como los que existen en ellas, las líneas de campo magnético pueden verse como un conjunto de elásticos que pueden ser acarreados y transportados cuando el fluido se mueve, y a su vez tienden a enderezarse y contraerse, acarreando consigo el fluido. No es obvio que en estas condiciones puedan existir estados de equilibrio estable, como

Tema deInvestigación________________________

Andreas Reisenegger

aparentemente ocurren en muchas estrellas.Finalmente, me interesa la evolución de la

estructura a gran escala en el Universo. Contrariamente a lo que muchos piensan, la expansión del Universo no significa que “todo” se expande: las galaxias suficientemente lejanas se alejan unas de otras, pero cuando un sistema llega a un estado de equilibrio (sea un cúmulo de galaxias, una galaxia individual, una estrella, un planeta, una persona o un átomo), no sigue expandiéndose. Los objetos más chicos se formaron primero, y después se fueron atrayendo con otros para formar objetos más grandes. Los más grandes que existen actualmente son los cúmulos de galaxias. Hoy sabemos que este proceso no va a seguir indefinidamente, porque la expansión del Universo se está acelerando, y pronto (en términos cósmicos) las estructuras ya no van a poder atraerse y juntarse. Esto significa que hay una cota para el tamaño de las estructuras que van a poder formarse. Estas

estructuras corresponden aproximadamente a lo que se ha denominado (sin definirlo muy precisamente) “supercúmulos de galaxias”. Con nuestro grupo hemos propuesto una definición física de estos objetos como “las mayores estructuras ligadas”, y hemos estado investigando su estado presente y su evolución pasada y futura, usando observaciones (por supuesto no para el futuro), cálculos analíticos y simulaciones numéricas. ■

- ANDREAS REISENEGGER

S on tres los pilares que sostienen este artículo y cada uno de ellos de gran relevancia en matemáticas, éstos son los

conceptos de estructura algebraica, partición de un conjunto y relación de equivalencia. A lo largo de este escrito presentaremos y desarrollaremos cada uno de estos conceptos, siendo nuestro objetivo principal la constatación de que las particiones de conjuntos y las relaciones de equivalencia son manifestaciones distintas de un mismo fenómeno, el cual podríamos asociar a la multiplicidad de formas diferentes en que es usada en el lenguaje cotidiano la noción de igualdad. Por su parte el concepto de estructura algebraica, de importancia en sí mismo para la práctica matemática actual, nos proporcionará de un contexto para desarrollar ejemplos de la mencionada dualidad, entregándonos también algunos trazosinsinuantes de otras ideas profundas.

El conjunto de números enteros Z posee dos reglas de combinación de sus elementos, dos llamadas operaciones algebraicas que conocemos como adición y multiplicación, estas operaciones pueden ser pensadas formalmente como funciones desde Z×Z hacia Z, las cuales asocian a cada par (n,m) 2 Z×Z su suma n+m 2 Z o su producto nm2Z respectivamente, sabemos además que en Z las operaciones algebraicas satisfacen un cierto número de propiedades que nos son familiares: asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia de neutros aditivo y multiplicativo e inversos aditivos. En general estos tres elementos: un conjunto, un cierto número de operaciones algebraicas en él y una colección de propiedades satisfechas por dichas operaciones, eterminan lo que se conoce como una estructura algebraica. El conjunto de números enteros con la adición y la multiplicación (Z,+,·) forman una estructura algebraica, los números reales y los polinomios con las operaciones usuales forman otras dos estructuras algebraicas, (R,+,·) y (R[x],+,·) respectivamente, mientras que otras más se

Cada una como un lente sobre nuestra vista,se alternan y reordenan el universo que contemplamos;

objetos confluyen y desaparecen en uno solo,mientras otros, desintegr´andose, dan vida a nuevos entes.

MÚLTIPLES

FORMAS

de Igualdad

obtienen al fijar el conjunto y cambiar las operaciones, como por ejemplo (Z,+) o bien (Z,·).

El álgebra actual descansa en gran medida sobre la noción de estructura algebraica y dedica mucha de su investigación a la determinación y clasificación de ellas, así como también a la explicitación de diferencias y similitudes entre conjuntos con estructuras algebraicas; como un ejemplo que ilustra esto último podemos constatar una diferencia algebraica entre (R,·) y (Z,·) al considerar inversos, en (R,·) todo elemento no nulo posee inverso multiplicativo mientras que en (Z,·) son sólo dos elementos quienes poseen, por otra parte, una hermosa similitud algebraica existente entre los números enteros (Z,+,·) y los polinomios (R[x],+,·) viene dada por la noción de descomposición en factores primos, bloques indivisibles con los cuales está formado cada elemento, en (Z,+,·) estos bloques son los números primos mientras que en (R[x],+,·) son los polinomios irreducibles. Podemos ilustrar esto con las siguientes descomposiciones:

759=3·11·23 y x3-1=(x-1)·(x2+x+1).

Examinemos un ejemplo más para apreciar la generalidad del concepto de estructura algebraica. Al rotar un triángulo equilátero en torno a su centro en 120 grados obtendremos la misma figura con la cual comenzamos, pero la posición de los vértices habrá cambiado. Llamemos r a la acción que se obtiene tras rotar contrareloj el triángulo en 120 grados, esta acción se muestra esquemáticamente en la Figura 1, adicionalmente denotemos por r2 a la acción fruto de aplicar dos veces consecutivas r, podemos ver en la Figura 2 que r2 es la

acción que se produce tras rotar contrareloj en 240 grados el triángulo. Si aplicamos r2 y luego r obtendremos una acción que no altera la configuración de los vértices, es como haber multiplicado un número real por el número~1, basándonos en esta analogía denotaremos por 1 a la acción de dejar invariante al triángulo. Observamos que rotaciones en otros ángulos que preservan el triángulo determinan sobre éste las mismas tres acciones \conj R={1,r,r2}, por ejemplo, rotar contrareloj en 480 grados produce la misma acción que rotar 120 grados en la misma dirección, mientras que rotar a favor del reloj en 120 grados induce la misma acción que rotar contrareloj en 240 grados.

Notemos la presencia de los tres elementos que conforman una estructura algebraica: un conjunto , una función que asocia a cada par (x,y 2 × un elemento x · y 2 , que en este caso corresponde a la acción fruto de la aplicación sucesiva de los elementos x e y, y una lista de propiedades satisfechas por la operación, que como se puede comprobar son similares a las de la multiplicación en R sin el número 0: asociatividad, conmutatividad, la existencia de un neutro y de inversos para cada elemento. Podemos visualizar esta operación algebraica utilizando la representación cartesiana del plano × , al escribir sobre el punto que representa al elemento (x,y) 2 ×

el elemento x · y 2 , como se muestra en la Figura 4.

Es interesante notar que caminando ahora desde la otra dirección, mucha información geométrica se puede extraer de la estructura algebraica de las simetrías rotacionales de una figura plana, concretamente, el triángulo

equilátero es el único polígono regular cuya estructura algebraica de simetrías rotacionales es ( ,·). Esta idea se puede llevar considerablemente más lejos, y mucho trabajo se ha realizado relacionando propiedades de objetos matemáticos con las estructuras algebraicas formadas por las transformaciones que lo dejan invariante. La idea es esencialmente la siguiente: al conocer un objeto éste impone restricciones a las transformaciones que lo preservan, definiéndolas; y recíprocamente, al declarar las transformaciones que preservan un objeto desconocido, éstas lo definen. Podríamos pensar que esta dualidad se asemeja a la presente en una composición gestáltica, como la Figura 3, de figura-fondo.1

Comencemos con un conjunto digamos el de estudiantes en una sala de clases, y ensayemos distintos subconjuntos de para clasificar sus elementos. Primero pensemos que llamamos al subconjunto de los estudiantes que escriben con su mano derecha y al de los estudiantes que lo hacen con su mano izquierda. Esta clasificación no excluye a ningún estudiante, pero tiene el problema que los estudiantes ambidextros pertenecen tanto al subconjunto como al subconjunto~ . Pensemos, por otra parte, en el subconjunto de estudiantes de pelo negro y en el subconjunto de aquellos con pelo castaño. Esta clasificación supera el

problema de la anterior ya que nadie pertenece simultáneamente a y a , sin embargo, excluye a los estudiantes de pelo rubio. Finalmente consideremos el subconjunto cuyos elementos son los estudiantes hombres y el subconjunto formado por las estudiantes mujeres. Esta clasificación carece de los problemas de las anteriores, ya que: todo estudiante pertenece a alguno de los subconjuntos y cada estudiante pertenece solamente a un subconjunto. Estas dos condiciones que llamaremos saturación y disjunción son las características que definen lo que se conoce como partición de un conjunto, que enunciado formalmente se expresa: , 4 forman una partición de si, y sólo si, \cup = y ∩ = {}. Cabe mencionar que podemos realizar particiones con más de dos subconjuntos; una pequeña modificación de la definición nos permitiría hacer particiones de 3, 4, n o infinitos subconjuntos. Llamaremos celdas a los subconjuntos que forman una partición, por lo cual en el ejemplo anterior y

son las celdas de una partición de . Retornemos nuestra atención al conjunto de enteros Z con su estructura algebraica tradicional, y representémoslo esquemáticamente por:

. . . , −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Supongamos que marcamos con rojo el número 0, luego nos movemos tres lugares hacia la derecha y marcamos con rojo el número donde llegamos, en este caso el número 3; desde ahí

nos movemos otros tres lugares y marcamos con rojo este nuevo número. Así hacia la derecha. Tras esto, continuamos desde el número 0 hacia la izquierda haciendo lo mismo, de lo cual obtenemos:

. . . , −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Ahora marquemos con azul el número 1, nos movemos tres lugares y marcamos con azul emulando el procedimiento anterior. Finalmente marquemos con verde el número 2 y repitamos el procedimiento. De esto obtendremos:

. . . , −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Notemos que cada uno de los elementos de Z fue marcado con uno y sólo uno de los colores, y por tanto esta coloración determinó una partición de Z. Simbolizaremos la celda con elementos rojos por ● llamándola simplemente celda roja. Denotaremos a las correspondientes celda azul y celda verde por ▲ y ♦ respectivamente.

Podemos definir, al menos intuitivamente por el minuto, una operación algebraica en el conjunto de las celdas ={●,▲,♦} que llamaremos suma. Veamos que:

● + ▲=▲

Para ello escogemos un representante de la celda roja, digamos el número -3, y lo sumamos con un representante de la celda azul, tomemos el número 4 como ejemplo, de esto obtenemos el número 1 que pertenece a la celda azul. En general, para sumar dos celdas debemos escoger un representante de cada una, sumarlos tradicionalmente y establecer la celda a la cual pertenece ese resultado, esta celda será la suma de las celdas originales. Revisemos otro ejemplo:

▲ + ♦=●

Podríamos sumar los números 4 y -4 representando a las celdas azul y verde res-pectivamente y obtener el número 0, un miembro de la celda roja; pero también podríamos haber obtenido el mismo resultado con los número -2 y 2 azul y verde respectivamente. Más aún, escogiendo al número 4 como representante de la celda azul y al número 2 de la verde, obtendríamos al sumarlos el número 6, otro miembro de la celda roja. Esta independencia de los representantes es imprescindible para que tenga sentido la operación algebraica que queremos definir en el conjunto de las celdas de Z. Demostraremos más adelante tal independencia pero por el minuto podríamos comprobar intuitivamente, a través de representantes particulares, la validez de la representación cartesiana de la suma en que se muestra en la Figura 5.

Hacemos notar la similitud existente entre la representación de la suma de celdas en ( ,+) y la encontrada para la operación de las simetrías rotacionales de un triángulo equilátero ( ,·), ver Figura 4 y Figura 5. Basta llamar 1 a ●, r a ▲, r2 a ♦ y · a + para obtener la misma representación, este proceso de cambio de nombre se puede formalizar mediante el concepto de isomorfismo, esto es, una función biyectiva* f: → tal que para cada x,y2 se cumple f(x·y)=f(x)+f(y). Es interesante reparar en que todas las propiedades que le atribuimos a la operación en el conjunto de simetrías rotacionales, como por ejemplo la conmutatividad o la existencia de inversos, son preservadas por el isomorfismo, y por tanto, también están presentes en la suma de celdas2. Esto nos dice en el fondo que ( ,+) y ( ,·) son algebraicamente indistinguible.

Finalizamos esta sección comentando que la pieza clave en la construcción de ( ,+) fue la idea de heredar la estructura algebraica de Z al conjunto de sus celdas. En general es factible y matemáticamente muy fructífero particionar conjuntos poseedores de alguna estructura,

[*] Léase una función sobreyectiva e inyectiva, es decir, una función tal que a cada elemento del conjunto de llegada le asocia uno, y sólo uno, de los elementos del conjunto de partida.

algebraica o de otra índole, y traspasarle al conjunto de sus celdas dicha estructura. Para ilustrar esto con otro ejemplo, consideremos a R ordenado como sabemos y a los subconjuntos In=(n,n+1]4R con n2Z. Constatamos que para cualquier n,m2Z con ns m se cumple In∩Im={} y que además Un2ZIn=R, es decir, se satisfacen las condiciones de disjunción y saturación que definen una partición, más aún, vemos que el conjunto de las celdas ={In:n2Z} se puede ordenar de la siguiente manera: diremos que la celda In es menor que la celda Im si y sólo si al escoger x2 In y y2 Im se satisface x<y, podemos observar que la definición de este orden en tiene sentido pues no depende de los representantes x,y2R. Concluimos que se ha heredado la estructura de orden de R al conjunto de celdas .

Comentamos adicionalmente que la biyección 4: →Z definida para cada n2Z por 4(In)=n satisface que In<Im si, y sólo si, 4(In)=n<4(Im)=m, es decir, es un cambio de nombres que vuelve a las estructuras de orden ( ,<) y (Z,<) indistinguibles.

Con la palabra relación poseemos una gran familiaridad y su uso cotidiano aparece en un gran número de situaciones para referirse, entre otros muchos ejemplos, a parentesco, amistad o jerarquía; esta idea puede ser formalizada de manera similar a como definimos las operaciones en un conjunto , las cuales decíamos eran funciones desde × hacia . Definimos una relación en como una función

desde × hacia el conjunto {0,1}; la cual a todo par (c1,c2)2 × le asocia el número 0 o bien el número 1 dependiendo de la respuesta a la pregunta ¿Está c1 relacionado con c2? Podemos ilustrar este concepto mediante la relación de orden usual en Z, la cual asigna el número 1 a un par (n,m)2Z×Z si n<m, en este caso diremos que n está relacionado con m, y asigna 0 en los demás casos. Al considerar una relación cualquiera escribiremos simplemente a ~ b para denotar que a (a,b) se le asigna el número 1.

Volvamos al conjunto de estudiantes en una sala de clases y definamos en él una relación. Diremos que el estudiante a está relacionado con el estudiante b, si y solamente si, el sexo de a es igual al de b. Observamos que al considerar a un estudiante cualquiera y agrupar a los estudiantes con los que éste está relacionado, obtenemos un subconjunto con todos los estudiantes que comparten un mismo sexo; y si consideramos ahora a un estudiante que no pertenece al subconjunto anterior, y agrupamos a los estudiantes con los cuales éste está relacionado, obtendremos entonces el subconjunto de todos los estudiantes del otro sexo. Observamos que cada estudiante pertenece a uno y sólo uno de estos dos subconjuntos y que dichos subconjuntos corresponden a las celdas y de la partición original. En este ejemplo la relación que introdujimos en indujo una partición de con base en los subconjuntos que se forman al agrupar elementos que están relacionados con un elemento fijo.

Dada una relación en un conjunto llamaremos clase de un elemento al

subconjunto con cuyos miembros el elemento está relacionado, en símbolos la clase de un elemento a es [a]={b2 : a ~ b}. Notamos que en la relación establecida en el conjunto de estudiantes hay muchas clases de elementos redundantes, la clase de cualquier par de estudiantes hombres es la misma, y así también coinciden las clases de estudiantes mujeres. Muchos nombres, un mismo objeto. Para hacernos cargo de este fenómeno, hablaremos de una clase de la relación, en oposición a una clase de un elemento, cuando queramos referirnos a las clases de elementos distintas, despreocupándonos con esto de la diversidad de nombres que puede recibir. Observamos que existen dos clases de la relación que definimos en , y que éstas constituyen las celdas y de la antes mencionada partición de .

Sin embargo, no toda relación induce una partición, como podemos constatar al analizar la relación de orden < en Z. Tomemos por ejemplo la clase del número 0, es decir, todos los números n tales que se tiene 0<n; ahora consideremos otro elemento que no pertenezca a la clase anterior, digamos el número -2, y notamos que la clase del número 0 no es disjunta de la del número -2, ya que, por ejemplo, el número 1 pertenece simultáneamente a ambas clases al ser mayor que los números -2 y 0. Además [0] y [-2] son subconjuntos distintos puesto que el número -1 pertenece sólo a una de ellas. Este ejemplo nos muestra que las clases de elementos distintos son distintas, y por lo tanto, cada una de ellas constituye diferentes clase de la relación, luego como éstas no son disjuntas podemos descartar la posibilidad de una partición de Z con base en las clases de la relación de orden < en Z. Naturalmente surge la interrogante por alguna conexión entre particiones de conjuntos y relaciones, de hecho, presentar tal conexión es el objetivo central de este artículo y para ello desarrollaremos un tipo especial de relaciones.

Consideremos las siguientes dos palabras: "igualdad" - "igualdad". Desde un punto de

vista caligráfico ambas palabras claramente difieren, sin embargo, son iguales desde un óptica semántica. Más aún, si pensamos en la primera palabra arriba diríamos que ella es la misma que "igualdad", pero si miramos ambas pala-bras posicionalmente reconoceremos que no son iguales, pues una se encuentra en la primera linea del párrafo y la otra más abajo. Incluso podríamos argumentar que aquella primera palabra, en el momento en que fue escrita, no es la misma que la palabra que está en ese lugar al momento de ser leída. Observamos que para cada uno de los pares de palabras que consideramos existen perspectivas desde las cuales dichas palabras son iguales y otras desde las cuales no lo son, es decir, el par que éstas forman satisface algunas relaciones que llamamos igualdad y no satisface otras relaciones que también llamamos igualdad.

Deseamos saber más sobre esta multiplicidad de formas de igualdad, particularmente conocer los códigos que guían nuestro uso del término en la pluralidad lingüística que hemos percibido. Podemos comenzar reconociendo que no toda relación puede ser correctamente llamada igualdad, por ejemplo, una relación que se satisface entre dos personas si una de ellas es más alta que la otra, no permite que digamos que dichas personas son iguales, sin embargo, una relación que se satisface si dos personas tienen la misma altura si lo permite. Si nos centramos en las propiedades más elementales que comparten las distintas formas de igualdad que usamos cotidianamente, encontramos las siguientes características básicas comunes a todas las formas de igualdad: una cosa es siempre igual a si misma, cuando una cosa es igual a otra, entonces la otra es igual a la una, y, si una primera cosa es igual a una segunda y esa segunda es igual a una tercera, entonces la primera es igual a la tercera. Estas son las propiedades que escogemos para definir lo que llamaremos relación de equivalencia, una versión rigurosa de una forma de igualdad, la cual definimos como una relación en un conjunto que cumple para todo a,b,c 2 C las siguientes condiciones: siempre a. Si a ~ b entonces b . Si

tanto a ~ b como b ~ c entonces a ~ c. Denominaremos respectivamente a estas tres condiciones reflexividad, simetría y transitividad.

Ilustraremos este recién introducido concepto con una relación de equivalencia de suma importancia en el campo del álgebra. Consideremos como conjunto de partida G aquel que contiene a todos los conjuntos finitos provistos de una estructura algebraica con una única operación, a este conjunto pertenece por ejemplo ( ,·) y ( ,+). Definimos una relación en G a través de la cual dos elementos ( 1,*1)2G y ( 2,*2)2G están relacionados siempre y cuando exista un isomorfismo f: 1→ 2 entre ellos, es decir, una función biyectiva que para todo x,y2 1 satisface 4(x*1y)=4(x)*24(y). Mediante una comprobación rutinaria, que involucra cierta familiaridad con funciones biyectivas y que puede ser encontrada en las notas3, podemos constatar que esta relación en el conjunto G es efectivamente una relación de equivalencia. Como la noción de relación de equivalencia surgió de hacer abstracción de características del uso cotidiano de la palabra igualdad, es natural preguntarnos por el tipo de igualdad que podría definir esta relación de equivalencia. Para responder, recordemos que un isomorfismo es sólo una manera sofisticada de referirnos a un cambio de nombres en un conjunto con estructura algebraica que preserva las propiedades de la o las operaciones definidas en el conjunto, por lo tanto, dos conjuntos con estructuras algebraicas son iguales desde la óptica de ésta relación de equivalencia, no porque sus elementos sean los mismos o porque sus operaciones se llamen igual, sino, como ya habíamos apreciado en el caso de ( ,·) y ( ,+), porque son algebraicamente indistinguibles. Podríamos decir que elementos relacionados son distintas instancias de una misma estructura algebraica, así como en una relación cualquiera las clases de elementos redundantes son distintas instancias de una misma clase de la relación.4

Vimos como una relación en el conjunto de estudiantes recuperó una partición, y también que no toda relación induce una partición como observamos al estudiar la relación de orden en Z. Veremos que la clave para establecer la mencionada conexión son las múltiples formas de igualdad, esto se traduce como se expone formalmente en la próxima sección, a que el contexto indicado para obtener tal conexión está acotado a particiones y relaciones de equivalencia. En esta sección ilustraremos dicha conexión recuperando en términos de una relación de equivalencia el conjunto de celdas

de la partición de Z que obtuvimos coloreando números.

Para ello definimos en Z la siguiente relación: para cada n,m 2 Z, n ~ m si y sólo si existe k2Z tal que n-m=3k; en otras palabras esto nos dice que un número entero n está relacionado con otro número entero m siempre y cuando la diferencia entre n y m sea un múltiplo del número 3.5 Comprobaremos a continuación que la recién definida relación es efectivamente una relación de equivalencia. Para verificar la reflexividad de la relación debemos asegurar que para cada n2Z se cumpla n ~ n, lo cual resulta de considerar k=0 en la definición pues: n-n=0=3·0. Para constatar la simetría de la relación supongamos que n ~ m, esto es, n-m=3k para algún k2Z, y debemos concluir que m ~ n, lo cual sigue de considerar -k en la definición ya que: m-n=-(n-m)=-(3k)=3(-k). Si suponemos que se tiene tanto n ~ m como m ~ r, es decir, n-m=3k y m-r=3k' para ciertos k,k'2Z, es necesario para comprobar la transitividad de la relación que podamos concluir que n ~ r, para lo cual usamos k+k' en la definición: n-r=(n-m)+(m-r)=3k+3k'=3(k+k'). Concluimos que ésta es una relación de equivalencia.

Nos preguntamos por las clases de esta relación. Pensemos primero en la clase de un elemento que escogeremos para fijar ideas como el número 1, vemos que si n2Z pertenece a la clase del número 1 es porque 1-

n=3k para algún k2Z, lo cual implica que n=1+3(-k), y como además todo número de la forma 1+3j con j2Z está relacionado con el número 1, se concluye que la clase del número 1 es el subconjunto [1]={n2Z:n=1+3 para algún j2Z}; analizando ahora la clase del número 2 vemos que n2Z pertenece a la clase del número 2 si y sólo si se tiene que n=2+3j para algún j2Z, de modo que [2]={n2Z:n=2+3j para algún j2Z}; siguiendo un análisis análogo concluimos que la clase de un número cualquiera m2Z es igual a [m]={n2Z:n=m+3j para algún j2Z}. Pero al igual que existía redundancia entre las clases de estudiantes del mismo sexo en la relación definida en , aquí existe redundancia entre las distintas clases [m]; vemos por ejemplo que [ ]=[3] ya que 3j=3+3(j-1)=3+3j' para j,j'2Z. Nos preguntamos ahora por las clases de la relación, es decir, por las clases de elementos distintas.

Demostraremos para responder esta interrogante un hecho general de las clases de elementos de una relación de equivalencia cualquiera, el cual enunciamos en el siguiente

Esto lo ejemplifican las clases [0] y [3] al estar los números 0 y 3 relacionados. Para probar esta afirmación consideremos una relación de equivalencia en un conjunto y dos elementos b,c2 tales que b está relacionado con c. Veremos que la clase de b es igual a la clase de c. Para ello mostraremos que todo elemento de [c] pertenece a [b], en símbolos [c]4 [b], y que además todo elemento de [b] pertenece a [c], es decir [b]4 [c]. Supongamos que d2[c], o lo que es lo mismo, que c ~ d; gracias a que b ~ c se sigue por transitividad que b ~ d, lo cual

muestra que d2[b]. Consideremos ahora a2[b] y observemos que por simetría se sigue que a ~ b, luego por transitividad y el hecho que b ~ c tenemos que a ~ c, y usando nuevamente la simetría concluimos que c ~ a, es decir, a2[c].

Usando el Lema anterior podemos comprobar que existen esencialmente tres clases de la relación que definimos en Z, pues veremos que la clase de cualquier elemento m2Z es redundante con alguna de las clases [0],[1] o [2]. Esto sigue gracias al Lema de comprobar que cualquier elemento 2Z está relacionado con r para algún r=0,1,2. Podemos ver que esta última afirmación sigue de la utilización del algoritmo de la división, ya que, dado m2Z existe k2Z y r2Z con r=0,1,2 tal que m=3k+r. Así es como concluimos que la relación que definimos en Z en términos de diferencias y múltiplos del número 3 posee tres clases, las cuales corresponden las celdas ●,▲,♦ de la partición que construimos coloreando números.

Podemos utilizar esta descripción de las celdas en términos de clases para comprobar que la operación que definimos en es independiente de los representantes que utilicemos para calcularla, vemos como ejemplo que si tomamos un representante de la clase azul este será de la forma +3j con j2Z, mientras que un representante de la celda verde será de la forma 2+3j' para algún j'2Z, luego la suma de ambos representantes será 3+3j+3j'=3(1+j+j')=0+3j'' con j''2Z que pertenece a la celda roja. De manera análoga podemos comprobar la veracidad de toda la representación cartesiana de la la Figura 5 y concluir que la suma heredada a está bien definida.

Hemos visto dos ejemplos, en y en Z, donde una partición fue recuperada por una relación de equivalencia. Mostraremos que este es el caso general probando el siguiente

De este modo obtendremos la ansiada conexión, una estricta correspondencia entre las particiones y las relaciones de equivalencia definidas sobre un conjunto dado, a través de las celdas y las clases respectivas, véase Figura 6.

Consideremos una relación de equivalencia definida en un conjunto , mostraremos que las clases de esta relación son disjuntas y saturadas, definiendo consecuentemente las celdas de una partición. Para probar la disjunción de las clases de la relación demostraremos que las clases de elementos son disjuntas o bien redundantes. Supongamos que las clases de dos elementos a,b2 no son disjuntas, es decir [a]\ca [b]s{}, de esto sabemos que existe c2 que está relacionado tanto con a como con b, aplicando el Lema obtenemos que [a]=[c] y que [b]=[c], de donde sigue que [a] y [b] son redundantes y definen la misma clase de la relación. Para comprobar que las clases de la relación son saturadas mostraremos que para cualquier c2 existe un elemento tal que su clase contiene a c, y por lo tanto también existe una clase de la relación que contiene a c, dicho elemento es precisamente c, ya que, como la relación es

refleja se tiene que c~ c. Así finalizamos de comprobar que las clases de una relación inducen las celdas de una partición.

Hacemos notar que las condiciones de reflexividad, simetría y transitividad son precisamente las condiciones que se requiere para que una relación de origen a una partición, pues para demostrar la disjunción usamos el Lema, el cual recaía sobre las dos últimas condiciones, y para demostrar la saturación usamos la primera condición.

Comenzamos ahora con una partición de y definamos la siguiente relación en~ : para cualquier a,b2 se tiene que a~ b si, y sólo si, existe una celda de la partición tal que a,b2 . Debemos comprobar que ésta es efectivamente una relación de equivalencia. Como las celdas son saturadas se tiene que para cualquier c2 C existe una celda que contiene a c, por lo cual c~ c y la relación es refleja; por otra parte, si a~ b es porque existe una celda tal que a,b2 , luego esa misma celda sirve para afirmar que b~ a y concluir que la relación es simétrica; finalmente sean F y F' las celdas que permiten que a~ b y b~ c, es decir, a, 2 F y b,c2 F', en particular se cumple que b2 F∩ F' y como las celdas son disjuntas F=F', de donde se obtiene la transitividad de la relación. Hemos comprobado que la relación es de hecho una relación de equivalencia, podemos ver además que la clase de un elemento c2 viene dada por todos los elementos que comparten la celda a la cual c pertenece y, por lo tanto, las clases de la relación coinciden con las celdas de la partición original.

Podemos visualizar el argumento de la

demostración anterior, y de paso iluminar el contenido del Teorema demostrado, a través de una comparación entre la Figura 7, que representa una partición, y la Figura 8 que simboliza la asociada relación de equivalencia. Estos conceptos una y otra vez utilizados a lo largo de este escrito, pueden ahora ser contemplados formalmente como dos nociones absolutamente equivalentes.

Pero los conceptos de partición de un conjunto y relación de equivalencia que definimos y unificamos en un contexto formal, se encuentran de una manera menos restrictiva en la base misma de la forma en que pensamos, hablamos y construimos significado, pues toda generación de conceptos es en el fondo un proceso de abstracción de diferencia, de identificación a través de alguna forma de igualdad.

Pensemos por ejemplo en el concepto libro y en la inmensidad de ideas y objetos que alberga, reúne en sí a los Elementos de Euclides y su fundamental contribución, a los libros de arte del siglo XX con sus conceptuales y punzantes obras, a las Ficciones de Borges con la historia de Funes el memorioso entre sus páginas, aquel hombre que ``no sólo recordaba cada hoja de cada árbol, de cada monte, sino cada una de las veces que la había percibido o imaginado'', aquel que ``le molestaba que el perro de las tres y catorce (visto de perfil) tuviera el mismo nombre que el perro de las tres y cuarto (visto de frente)'', ese infinitamente discriminador hombre de quien el narrador sospechaba ``no era muy capaz de pensar''. ■

- ANÍBAL MEDINA

1 La idea de estudiar las estructuras algebraicas que dejan invariante a un objeto fue aplicada a la geometría con consecuencias de enorme importancia por Felix Klein en lo que fue conocido como Programa Erlangen. Él buscaba entregar una definición precisa de lo que es una geometría y explicar la pluralidad de geometrías no euclideanas que ya habían irrumpido en la segunda mitad del siglo XIX. Klein propuso que las distintas geometrías están caracterizadas por el tipo de transformaciones que preservan sus objetos, transformaciones que en el caso de la geometría euclideana son las isometrías: rotaciones, traslaciones y reflexiones, y que en cada caso forman una estructura algebraica. De esta manera Klein pudo entender la geometría en términos algebraicos lo que permitió una fundamentación precisa de ella.

2 Veremos como traspasar mediante el isomorfismo f las propiedades de ( ,·) a ( ,+), para ello consideremos un trío cualquier de celdas a,b,c2 , como f es sobreyectiva existen elementos x,y,z2 tales que f(x)=a, f(y)=b y f(z)=c. La conmutatividad sigue de: a+b = f(x)+f(y) = f(x·y) = f(y·x) = f(y)+f(x) = b+a. La asociatividad se puede obtener de similar manera: a+(b+c) = f(x)+(f(y)+f(z)) = f(x)+f(y·z) = f(x·(y·z)) = f((x·y)·z) = f(x·y)+f(z) = (f(x)f(y))+f(z) = (a+b)+c. Por otra parte, el neutro de ( ,+) es ●=f(1), ya que, para cualquier a2 con a = f(x) se cumple a+● f(x)+f(1) = f(x·1) = f(x) = a. Finalmente constatamos que para cualquier a2 con f(x) = a existe su inverso en ( ,+) que llamaremos -a, y que corresponde a la imagen por f de x-1, el inverso de x en ( ,·); pues a+-a = f(x)+f(x-1)=f(· x-1) = f(1) =●.

3 Queremos que un elemento ( ,*)2G cualquiera esté relacionado consigo mismo para que la relación sea refleja, y basta tomar 4 como la identidad id(x)=x para obtener una biyección que satisface id(x*y) = x*y = id(x)*id(y). Para comprobar la simetría suponemos que existe un isomorfismo 4:C1→ C2 y usamos el hecho que toda función biyectiva posee una inversa que es también una biyección, vemos que 4-1 es un isomorfismo pues 4-1(a*2b) = 4-1(4(x)*24(y)) = 4-1(4(x*1y))=x*1y=4-1(a)*14

-1(b). Para constatar la transitividad asumimos que existen dos isomorfismos 4: C1→ C2 y f: C2 → C3 y como la composición de biyecciones es una función biyectiva basta comprobar que ψ = f o 4: C1 → C3 satisface la condición adicional para ser un isomorfismo, ψ(x*1y) = f(4(x*1y)) = f(4(x)*24(y)) = f(4(x))*3f(4(y)) = ψ(x)*3ψ(y).

4 Podemos pensar que una estructura algebraica es un objeto que permanece invariante bajo la acción de un isomorfismo cualquiera, de esta manera es posible aplicar la idea de dualidad figura-fondo y definir más precisamente cuales propiedades, como la conmutatividad o la asociatividad, pueden ser usadas para definir una estructura algebraica. La afirmación que hacemos en este respecto es que una propiedad es algebraicamente significativa siempre y cuando sea preservada por isomorfismos.

5 El rol especial que juega el número 3 en esta definición se debe a que la partición original la construimos contando de a tres lugares, pero se pueden hacer particiones contando de una cantidad cualquiera n2N de lugares y obtener, al heredar la suma de Z al conjunto de celdas, estructuras algebraicas sobre conjuntos de unacantidad n de elementos.

Con motivo del Año Internacional de la Astronomía, el Proyecto Bling-Bling pretende ser un puente de conexión entre la información que el mundo científico ha recopilado del Universo y la forma en que estos

contenidos científicos son transferidos a los estudiantes de nuestro país.

La generación de jóvenes que estamos educando corresponde a una generación muy cercana a la tecnología: Encuestas como la INJUV han mostrado que el 30% de los estudiantes de nuestros establecimientos

considera que el equipamiento computacional en sus instituciones es un factor clave para recibir educación de calidad. Aún mas, proyectos como Enlaces (www.enlaces.cl) han logrado que el Internet pueda llegar a casi la totalidad de los establecimientos del país. Por otro lado, el desarrollo

en Matemáticas y Ciencias aún no parece cambiar: Según la prueba TIMMS (Estudio Internacional de Tendencia en Matemáticas y Ciencias,

2002), realizada a estudiantes de 8º básico posiciona a nuestro país en el lugar 38 de 46 en Matemáticas y 35 de 46 en ciencias (recordemos que

Chile se abstuvo en el año 2007 de rendir esta prueba). Citamos parte del diagnóstico de dicha evaluación:

“En Matemática, mas de la mitad de los alumnos chilenos (59%) no alcanzó el estándar de desempeño más bajo descrito por TIMSS. En Ciencias, este porcentaje

fue de 44%. En Matemática, los alumnos chilenos mostraron un dominio relativamente mejor en estadísticas y análisis de datos, y uno relativamente peor

en geometría. . . En Ciencias, nuestros alumnos mostraron un dominio relativamente mejor en medioambiente y uno peor en fíısica”

¿No es contradictorio que la peor área en ciencias sea Física, siendo que los alumnos muestran un mejor desempeño en el área de

Estadística y Análisis de Datos?

El Proyecto Bling-Bling pretende llevar la Astronomía a todos los colegios del país, entregándoles la oportunidad de aplicar sus puntos fuertes en matemática para reforzar sus debilidades en

ciencias a través de actividades experimentales: Conceptos como la definición de color en astronomía, su relación con la temperatura,

el descubrimiento y clasificación de galaxias y la expansión del universo son los principales, los que deberán ser investigados por

alumnos de todo el país: ¡Ellos serán los protagonistas del descubrimiento de las grandes teorías del siglo XX! ¿Cómo? Con la

ayuda del Sloan Digital Sky Survey (SDSS).

El SDSS es un proyecto que nace en el año 2000 con una finalidad muy ambiciosa: Busca medir el corrimiento al rojo (redshift) de todos los objetos astronómicos. Hasta ahora, el proyecto ha cubierto aproximadamente un cuarto del cielo en su exploración y es usado actualmente por

toda la comunidad científica como una base de datos elite en el rubro.Los datos del SDSS son de libre acceso a través de su servidor web, el SkyServer. Tanto las

imágenes como los espectros de los objetos están disponibles para ser descargados, siempre y cuando su uso sea no comercial.

El Proyecto Bling-Bling pretende enseñar a los alumnos a aprender a usar los datos del SDSS de una manera entretenida, con una interfaz web que los guiará en cada paso: Siempre dándoles la

libertad de poder indagar en el SkyServer, ¡Así, ellos mismos usarán los datos del SDSS para hacer los grandes descubrimientos del siglo XX!

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