COLÉGIO FAMÍLIA STELLA GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS...
Transcript of COLÉGIO FAMÍLIA STELLA GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS...
COLÉGIO FAMÍLIA STELLA
GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA
A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS
DE FÍSICA CLÁSSICA
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Noções de Função
Definição: se uma variável y depende de outra variável x, de tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x.
Exemplo
2xy Entrada x Saída yfunção
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
x y
0 0
1 1
4 2
-1 1
-2 4
2xy
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
EXEMPLOS:
xxyouxy cos)(cos
221
41
0)(
r
qqrE
221
221
)( attvxtx
ou
attvxx
oo
oo
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Seja a posição x de um móvel em MRUV em função do tempo t dada pela equação
22105)( tttx Então, a posição do móvel no instante t = 1,0 s é
mx
x
x
13)10(
0,20,105)0,1(
)0,1(2)0,1(105)0,1( 2
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Função Linear:
a
x
y
x0
y0
(x0,y0)
(x1,y0)y1
x1
x1-x0
y1-y0
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
01
01
xx
yymtg
)( 0101 xxmyy
)( 0101 xxmyy
mxay com a = y0 –
mx0
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
a
x
y
mxay
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
NOCÕES DE DERIVADA - Origens do Cálculo
-KEPLER, GALILEU,
SIMON STEVIN, PIÈRRE
DE FERMAT, RENÉ
DESCARTES, BLAISE
PASCAL ....
Gottfried Wilhelm Leibnz
(1646 – 1716)
CRIADOR DO CÁLCULO
Isaac Newton
(1642 – 1727)
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
O “PROBLEMA DOS MATEMÁTICOS”Como traçar a reta tangente a uma curva dada
num determinado ponto das curva?
tangente
Circunferência
raio
P
1 – A tangente em P é uma reta que passa por P, perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto.2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência neste ponto
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
OUTRAS CURVAS: PROBLEMAS!
P
Qual o raio?
P
Tangente?P
Tangente. Mas toca duas vezes a reta
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
x
y
y = f(x)
x
f(x+ x)-f(x)
Logo, a secante msec é dada por x
xfxxfm
)()(
sec
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
secante
P
Definindo a tangente em P:
x
f(x)
Q
x+x
f(x+x)
x
y = f(x)
P
Definindo a tangente em P:
x
f(x)
Q
x+x
f(x+x)
x
f(x+ x)-f(x)
Q1
secante
y
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
x
y
y = f(x)
P
Definindo a tangente em P:
x
f(x)
Q
x+x
f(x+x)
x
f(x+ x) - f(x)
Q1
secante
Q2
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
A tangente mtang é definida por
x
xfxxfm
xg
)()(lim
0tan
P
x
f(x)
Q
tangente em P
f(x+x)
x+x
secante
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
“PROBLEMA DOS FÍSICOS”:
Como calcular a velocidade instantânea?
Seja x(t) a posição de uma partícula em função do tempo t.
t
x(t)x(t)
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
t
x(t)x(t)
P
t0
x(t0)
x(t0) = posição da partícula no instante t0
t0+t
Qx(t0+t)
x(t0+t) = posição da partícula no instante t0
t
txttx
t
xvm
)()(
t
x
Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t?
t
x(t)
P
t0
x(t0) t
x
t0+t
Qx(t0+t)
Paradoxo do Zenão de Eléia
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
t
txttxtv
t
)()(lim)(
0
DEFINIÇÃO DE DERIVADA
A derivada de uma função f é a função f´ tal que o seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por
t
txttx
dx
dff
t
)()(lim
0
´
se este limite existir
Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em outro!!!!
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Duas Interpretações:
1- A derivada f´ de uma função é uma função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x.
2 – A derivada f´ é uma função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y com relação a x no ponto x.
Exemplos:
dt
dxtv )(
dt
dQtI )(
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
t
x(t))]([)( tx
dt
dtv
t0
v(t0)
v(t0) 0
t1
v(t1)v(t1)= 0
t2
v(t2)v(t2) 0
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função
f(x) = 3+x2
x
xfxxff
x
)()(lim´
0
x
xxxx
x
xxxxf
23)(3)(
222
xxxx
xxxf
xx2]2[lim]
2[lim´
0
2
0
xxdx
dxf
dx
d
dx
dff 2]3[)]([´ 2
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
Regra da Constante: para qualquer constante c
0)( cdx
d
x
y
cy = c
Inclinação = 0
Regra da Potência: para qualquer número real n
1)( nn nxxdx
d
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Regra da Multiplicação por uma Constante:se c é uma constante e f(x) é uma função derivável no ponto x, cf(x) também é uma função derivável e
)()]([ xcfxcfdx
d
Exemplo: seja 2)( cxxf
cxcxdx
d2)( 2
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Regra da Soma: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, a soma s(x) = f(x) + g(x) também é derivável.
)]([)]([)]()([ xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d
Exemplo: seja a função
25410)( tttx f(x) = 10 g(x) = 4t h(x) = -5t 2
ttttdx
d1041040)5410( 2
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Regra da Produto: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o produto P(x) = f(x) . g(x) também é derivável .
dx
dfxg
dx
dgxfxgxf
dx
d).().()]().([
´.´)´.( fgfggf
Exemplo: seja a função )13()( 2 xxxP
f(x) = x2 g(x) =3x+1
xxxxxxP 29)2).(13()3).(()´( 22 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Regra da Quociente: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o quociente P(x) = f(x) / g(x) também é derivável.
0´´.
)´(2
comg
fgfg
g
f
)(
).().(
)(
)(2 xg
dxdg
xfdxdf
xg
xg
xf
dx
d
Exemplo: seja a função
)3/()212( 2 xxxy
2
2
2
2
)3(
156
)3(
)]1.(212()22).(3()´(
x
xx
x
xxxxxQ
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
Regra da Cadeia: se g(x) for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e
)´()).(´())`(( xgxgfxgf
dx
du
du
dy
dx
dy
Exemplos:
a) Seja a função 12 xy21
)(12 uuyxu PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
12
1)1(
2
1)(
2
12
2 21
21
xxu
du
dy
1)2(
12
122
x
xx
xdx
dy
xdx
du2
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada
b) Seja a função geral do tipo nxfy )(
nuyexfu )(
)´(1 xfdx
dunu
du
dy n
)´(1 xfnudx
du
du
dy
dx
dy n
PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO
Site: www.fisicaparapoucos.wordpress.com
Noções de Função e Derivada