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RESOLUÇÕES

COLEÇÃODARLANMOUTINHO

VOL. 04

e

voce

com

RESOLUÇÃO

Me taGEOMETRIA

ESPACIAL

Me ta

1 [C]As medidas das arestas do prisma são, em centímetros, x, 2x e 4x. Daí, como sua área total é 28cm2,

2.(4x2 + 2x2 + 8x2) = 28x2 = 1x = 1

Logo, as arestas do prisma tem medidas iguais a 1cm, 2cm e 4cm, logo a medida (d) de sua diagonal é:

d = √12 + 22 + 42

d = √21cm5 [C]

Do enunciado e da figura, temos:

No triângulo ABC,(BC)2 = 12 + 12

BC = √2GF = BC = √2

A distância (d) percorrida pela partícula é:d = 1 + √2 + 1 + 1 + 1 + √2 + 1d = 5 + 2√2

2 [D]

Calculando a área total do paralelepípedo, obtemos:AT = 2.(4.4 + 4.16 + 4.16)AT = 2.(16 + 64 + 64)AT = 288cm2

3 [C]

Vprisma = ((6.4)/2).3 = 3 = 36cm2

Vpirâmide = (1/3).b2.4 = 36 → b2 = 27 = 3√3cm

4 [D]

O volume V do bloco será dado por:V = 80.60.40V = 192000cm3

V = 192L

6 [D]Se a é a medida da resta do cubo, então:a3 = 8000 ↔ a = 3√8000 ↔ a = 20dm

Portanto, sbendo que o prisma e o cubo têm a mesma capacidade e a mesma altura, temos:

Me ta

((3ℓ2√3)/2).20 = 8000ℓ2 = 800/(3√3)ℓ2 = (800√3)/9ℓ = (204√12)/3ℓ = 12,4dm

A resposta é 6.(12,4/10) = 7,44 metros.

7 [C]

Em consequência, a resposta é:6.(1/2).10.5√39 = 150√39m2

9Calculando:

Área lateral de baixo = Slateral = 6.2.1 = 12m2

Triângulo VMO’: h2 = (√3)2 + 22 → h = √7Área do telhado = Stelhado = 6.((2.√7)/2) = 6√7 15,6m2

Arestas = 6.2 + 6.1 + 6.2 + 6.1 + 6.2√2 = 48 + 12√2 52,8mCusto = ((12 + 15,6).2 + 64,8.4).1,3 = 408,72 reais

[B]

Se o perímetro da base quadrada é 28cm, cada lado desta base medirá 7cm. Portanto, as dimensões do paralelepípedo reto retângulo são a = 7cm, b = 7cm e c = 22cm. Calculando a área total, temos:AT = 2.(a.b + a.c + b.c)AT = 2.(7.7 + 7.22 + 7.22)AT = 714cm2

8 [B]Sejam ℓ, a e m, respectivamente, a medida da aresta da base, a medida do apótema da base e a medida do apótema da pirâmide. Logo, sabendo que a aresta da base da pirâmide tem a mesma medida do raio da circunferência circunscrita, temos:

m2 = h2 + (ℓ√3/2)2 → m2 = 302 + (10√3/2)2 → m = 5√39m

10 [A]

Calculando:

VEFGH = ABCD → razão semelhança → k = EF/BA = 4/12 = 1/3Altura → (15 - h)/15 = 1/3 → 45 - 3h = 15 → h = 10Vpeça = (1/3).122.15 - 4.4.10 = 560cm3

11 [C]Sejam r, ℓ3 e ℓ6, respectivamente, o raio do círculo circunscrito à base do prisma, a medida da aresta da base da pirâmide e a medida da aresta da base do prisma. Portanto, sabendo que r = ℓ6 = (ℓ3√3)/3 e os volumes são iguais, temos:

((3ℓ62√3)/2).ℓ6 = (1/3).((ℓ3

2√3)/4).12 ↔ 3ℓ63/2 = (ℓ6√3)2 → ℓ6 = 2cm

12 [E]V1: volume do sólido 1V2: volume do sólido 2

V1 = πR2.(a/2) + (1/2).πR2.(a/2)V1 = (3/4)πR2a

V2 = πR2.(a/2) + (1/3)πR2.(a/2)V2 = (2/3)πR2a

Sendo h a medida da altura do cilindro reto de raio R e volume V1 + V2, temos:

πR2h = (3/4)πR2a + (2/3)πR2aπR2h = (17/12)πR2ah = (17/12)a

Me ta

14 [E]

Seja r a medida do raio da base do cilindro. Desde que o comprimento da circunferência da base mede 31cm, temos:

31 = 2π.r → r = 31/(2.3,1) → r = 5cm

Portanto, a resposta é 3,1.52.20 = 1550cm3

Desde que o volume da coroa é 4,25cm3, temos:π(R2 - r2).4 = 4,25π ↔ R2 - r2 = 1,0625

Portanto, a resposta é:2.π(R2 - r2) + 2π.4(R + r) = 2π.1,0625 + 8π.4,25 = 36,125πcm2

15 [E]A resposta é dada por:

π.32.7 = 3,14.63 = 198cm3

13 [A]Considerando r o raio da base do cilindro, h a altura do cilindro e que a área lateral do cilindro é 64π, temos:2.π.r.h = 64.π → π.h = 32 (Equação 1)

Considerando, agora, que 2r é o raio da base do cone, h - 2 sua altura e o volume é 128cm3, podemos escrever que:(1/3).π.(2r)2.(h - 2) = 128.π → r2.(h - 2) = 96 (Equação 2)

Das equações 1 e 2, temos:r2.(h - 2) = 96r.r.h - 2.r2 = 9632r - 2r2 = 96r2 - 16r + 48 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos r = 12 ou r = 4.r = 12 → h = 32/12 (não inteiro)r = 4 → h = 32/4 = 8 (inteiro)

Calculando, agora, a geratriz do cone:g2 = (2r)2 + (h - 2)2 → g2 = 82 + 62 → g = 10cm

Logo sua área lateral será dada por:AL = π.2r.g = π.8.10 = 80πcm2

16 [B]

Me ta

18 [A]Considere a seguinte planificação da superfície lateral do cilindro:

A área da faixa corresponde, aproximadamente, à área de um paralelogramo de base 3,14cm e altura 80cm. Daí, segue que a resposta é dada por:((3,14.80)/(20π.80)).100% = 5%

19 [B]Considerando o tubo de ensaio um cilindro e R o raio deste tubo após o aquecimento, podemos considerar que:Vcil = π.R2.h2 = π.R2.0,3R2 = 2/0,942R2 = 2,12R = 1,5

Ou seja, o diâmetro mede aproximadamente 2.1,5 = 3cm.

Do enunciado, temos:

V: volume total de água que cabe no tanqueπ.22.(1/4) = (5/100)VV = 20πm3

V = 63m3

Me ta

20 [E]

Considerando que é possível aproveitar apenas 80% da água, o volume de água que será aproveitado é dado por:V = 0,80.((π.12.2,5)/4) = 0,20.3,14.2,5 = 1,57m3 = 1570L

17 [C]

22 [C]Basta calcularmos o volume do cone admitindo sua altura igual a 5 metros. Logo:

23 [A]Seja r a medida do raio da esfera obtida após a fundição de três esferas idênticas maciças de diâmetro 2cm. Daí:(4/3)πr3 = 3.(4/3)π.13

r3 = 3r = 3√3cm

Observação: Tanto o enunciado quanto as alternativas não garantem que a medida do raio da nova esfera é dado em cm.

24 [D]O volume de solvente deslocado corresponde ao volume do cilindro de raio rcm e altura igual a 2.3 - (16/3) = (2/3)cm. Logo, temos:

π.r2.(2/3) = (4/3).π.33 → r = 3√6cm

25 [E]Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo volumeé 500mm3. Temos então:500 = (4/3).π.r3

r3 = 375/πr3 = (3.53)/πr = 5.3√3/πmm

Sendo t o tempo em segundos que o balão leva para atingir o volume 500mm3 nas condições dadas:0,5mm/1s = (5.3√3/πmm)/tt = 10.(3√3/πmm)s

Calculando:h = 2mR = 2m

Sbase = 2π.22 = 8πSlateral = 2π.2.2 = 8π

S = 16πm2

Me ta

A = = =(Área da base) x Altura3

πr2.53

3,14.42.53 = 83733,33ℓ

21 [C]

27 [C]Sabendo que 1m3 = 1000L, podemos concluir que a resposta é:50.25.3.1000 = 3750000L

28 [B]V = a.b.c

ab = 2bc = 3ac = 4

ab.bc.ac = a2.b2.c2 = 2.3.4 → (a.b.c)2 = 24V = √24 = 2√6cm3

29 [B]Para que em cada face desse cubo exista pelo menos uma aresta pintada de verde é preciso que no mínimo 3 arestas estejam pintadas de verde. Como o cubo possui 12 arestas, o número máximo de arestas desse cubo pintadas de amarelo será igual a 9.

Calculando a área A do teto do reservatório, temos:A = (4.π.42)/2 = 32.π → 32.3,1 = 99,2m2

Portanto, o valor pedido para a construção deste teto será:valor = 99,2.R$ 300 = R$ 29760,00

Me ta

26 [E]

31 [D]Sejam a, b e c, respectivamente, a medida do lado da primeira, a medida do lado da segunda e a altura das caixas d’água. Desse modo, vem a2.c = 16000 e b2.c = 25000 e, portanto, dividindo ordenadamente essas equações, encontramos:

(a2.c)/(b2.c) = 16000/25000 → a/b = √16/25 → a/b = 0,8

32 [C]O hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência de raio 2, logo seus lados serão iguais a 2. Assim, calcula-se:

ℓ = 2h = 2ℓ = 2.2 → h = 4V = (6.(ℓ2√3)/4).h = (6.(22√3/4).4 → V =24√3

33 [C]Calculando:Vcaixa = 7.10.6 = 420cm3

Vpelícula = Vcaixaπ.R2.0,2 = 420 → R2 = 2100/π → R = 10(√21/π)cm

34 [B]

O raio da esfera será a metade da diagonal do cubo:R = (2a.√3)/2 = a.√3A probabilidade será dada pela razão entre ovolume do cubo e o volume da esfera:

Portanto, sendo AA’ = 12 e A’E = 5, pelo Teorema de Pitágoras, vem:AE2 = AA’2 + A’E2 → AE2 = 122 + 52 → AE = 13

Considere a planificação da superfície lateral do paralelepípedo, na qual está indicado o comprimento mínimo, AE, da corda.

Me ta

(2.a)3

4 .π.R3P = = =

3

2a3

π.a3.√3= 2

π.√3= 2.√3

3.π8.a3

4 .π.(a√3)3

3

30 [B]

36 [A]Do enunciado, a3 = 24

Sendo V o volume de um cubode aresta a/3,V = (a/3)3

V = a3/33

V = a3/27

Como a3 = 24 e V = a3/27,V = 24/27V = 8/9

37 [B]Medida da aresta do cubo maior: x + 4Medida da aresta do cubo menor: xComo a diferença entre os volumes é de 208cm3, podemos escrever que:

(x + 4)3 - x3 = 208x3 + 12x2 + 48x + 64 - x3 = 20812x2 + 48x - 144 = 0x2 + 4x - 12 = 0

Resolvendo a equação, temos:x = -6 ou x = 2

Portanto, a aresta do cubo maior será 6cm.

Considerando a área lateral da figura igual a área lateral do cubo, temos: AL = 4.62 = 144cm2

38 [E] [ANULADA]Seja A’C’D’E’ a face oposta à face ACDE. Considerando o triângulo isósceles A’E’F, pela Lei dos Cossenos, vem:E’F2 = A’E2 + A’F2 - 2.A’E’.A’F.cosEAF↔ E’F2 = x2 + x2 - 2.x.x.cos150O ↔ E’F2 = x2(2 + √3)

Portanto, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triânguloFE’E, temos:FE2 = E’F2 + E’E2 ↔ FE2 = x2(2 + √3) + (2x)2

↔ FE2 = x2(6 + √3) ↔ FE = x√6 + √3

O número total de faces pintadas das 8 peças éigual a 4.6 = 24. Destas, 2.3 = 6 são cúbicas. Logo, temos 12 - 6 = 6 faces cúbicas não pintadas.Ademais, cada peça do tipo 2.2.3 apresenta uma face 2.2 e duas faces 2.3 não pintadas. Logo, as faces não pintadas deste tipo totalizam 3.2.2 + 3.2.2.3 = 48m2.

Cada peça do tipo 3.3.2 apresenta uma face 3.3 e duas faces 2.3 não pintadas. Assim, as faces não pintadas deste tipo totalizam 3.3.3 + 3.2.2.3 = 63m2.

As peças não cúbicas totalizam 6.6 = 36 faces. Portanto, como foram pintadas 2.3.3 = 18 faces destas peças, segue que o número de faces não pintadas é 36 - 18 = 18.

Me ta

35 [D]

Sendo a área do triângulo At = (b.h)/2 onde b é base e h é altura do triângulo equilátero, pode-se obter a altura aplicando-se o teorema de Pitágoras em metade do triângulo:

hip2 = cat2 + cat2

22 = h2 + 12

h2 = 4 - 1h = √3m

Assim sendo a área do triângulo será dada por:At = (b.h)/2 = (2.√3)/2 = √3m2.

A área da base da pirâmide será dada por:Ab = 6.√3m2.

Parte 2:Sendo que o volume dado pelo produto da área da base pela altura da pirâmide (hp), teremos:Volume = (Ab.hp)/3 = (6.√3.3)/3 = 6.√3m3

Logo, área da base = 6.√3m2 e volume = 6.√3m3

Devemos resolver esse problema em duas partes: A parte 1 que será o cálculo da área da base e a parte 2 que será o cálculo do volume da pirâmide.

Parte 1: Área da base.Sendo que a base da pirâmide é um hexágono regular, este hexágono pode ser divido em seis triângulos equiláteros de lado e sua área (área da base) será a soma das áreas destes triângulos (ver figura abaixo). Para se obter a área da base, basta calcular a área de um dos triângulos e multiplicá-la por seis.

Sendo assim, analisando apenas um triângulo temos:

Me ta

39 [A]

41 [E]Se o tronco possui 12 vértices, portanto a pirâmide tem base hexagonal regular. Sendo ℓ o lado da base menor (topo) e L o lado da base maior, pode-se escrever:

(L + ℓ)2 = 62 → L2 + 2.L.ℓ + ℓ2 = 36 → 2.L.ℓ = 16 → L.ℓ = 8

6.(L + ℓ) = 363(√3/2).(L2 + ℓ2) = 30√3

L + ℓ = 6L2 + ℓ2 = 20

42 [B]O volume do tetraedro será a diferença entre o volume do paralelepípedo e os volumes dos quatro tetraedros trirretângulos, como segue:

V = Vparalelepípedo - V(EHFA) - V(GHFC)- V(DAHC)

43 [A]

No triângulo BCD,(2a)2 = x2 + x2 → 4a2 = 2x2 → a2 = (2x2)/4

No triângulo VOB,x2 = h2 + a2 → x2 = h2 + (2x2)/4h2 = x2 - (2x2)/4 → h2 = (2x2)/4 → h = (x√2)/2

Assim, sendo V o volume da pirâmide,V = (1/3).x2.h → V = (1/3).x2.((x√2).2) → V = (√2.x3)/6

Calculando:102 = R2 + R2 → 100 = 2R2 → R = ℓbase = 5√2cmSbase = 6.((5√2)2.√3)/4 = 75√3cm2

h = R = 5√2V = (1/3).Sbase.h = (1/3).75√3.5√2 = 125√6cm3

Me ta

4.3.22

V = 4.3.2

V = 24 - 16 = 8

Do enunciado, temos:

.- 13

4.3.22

.- 13

4.3.22

.- 13

4.3.22

.- 13

h3

V =

V = 30√3 + √432 → V = 42√3cm3

30√3 + 6. .6..(B + B’ + √B.B’) = .33

ℓ2.√34

L2.√34

40 [A]

{

( )√= 30√3 + 3.36.(L.ℓ)2

16√

{ →

45 [B]

46 [D]

Desde que a medida da altura de um triângulo retângulo isósceles corresponde à metade da medida da hipotenusa, segue que o resultado é:

(1/3).(1/2).6.3.10 = 30m3

Do enunciado e da figura, temos:

G é ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD, pois EABCD é uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento de R é dado por AG + GF, pois AG é a projeção perpendicular de AE sobre ABCD e GF é a projeção perpendicular de EF sobre ABCD.Note que AG = (1/2)AC e GF = (1/2)AD.

No triângulo ACD,(AC)2 = 402 + 402

(2AG)2 = 2.402

4(AG)2 = 2.402

Como AD = 40cm,GF = (1/2).40GF = 20cm

Assim,AG + GF = (20√2 + 20)cmAG + GF = 20(1 + √2)cm

Como AG > 0,√4.√(AG)2 = √2.√402

2AG = 40√2AG = 20√2cm

47 [A]De acordo com os dados do enunciado, podemos concluir que:DB = DA = 7 e BA = BC = 5. Construindo o tetraedro, temos:

Portanto, a soma das arestas será dada por:3 + 5 + 6 + 7 + 7 + 5 = 33

Sendo 1m a medida do apótema da base e p a medida do apótema da pirâmide, pelo Teorema de Pitágoras, segue que:p2 = 32 + 12 → p = √10m = 320

Portanto, tem-se que o resultado pedido é dado por:

Me ta

6. = 320(1/2).200.320202

44 [C]

49 [E]Para obter a relação entre VA e VB deve-se calcular ambos os volumes. Sabendo que o volume de um cilindro é dado pelo produto entre a área de sua base (área do círculo) e sua altura. Logo,

VA = (π.r2)x20 = (3.r2)x20 = 60.r2

VB = (π.r2)x30 = (3.r2)x30 = 90.r2

Porém, o valor do raio (r) é desconhecido e deve-se obtê-lo utilizando o comprimento da circunferência do cilindro, ou seja, sabendo que a possibilidade A possui 30cm de altura, logo, possuirá uma circunferência (CA) de 30cm. Já a possibilidade B possui 30cm de altura, logo, possuirá uma circunferência (CB) de 20cm. Desta maneira:

CA = 2.π.r → 30 = 2.3.r → r = 5cmCB = 2.π.r → 20 = 2.3.r → r = 10/3cm

Calculando os volumes, temos:

VA = 60.r2

VA = 60.(5)2

VA = 1600cm3

VB = 90.r2VB = 90.(10/3)2

VB = 1000cm3

50 [ANULADA]Questão anulada no gabarito oficial.

Sejam r e h, respsctivamente, o raio e a altura do cilindro original. Assim, temos:

π.(r + h)2.h = π.r2.(h + x) r2h = 2rhx + x2h = r2h + r2x

x = (r(r - 2h))/h

Daí, sabendo que x, r e h são reais positivos, temos r > 2h. Porém, nada mais pode se afirmar sobre x, a não ser que é um número real.

Como os cilindros possuem a mesma área lateral podemos escrever que:2.π.6.H = 2.π.r.h → 6 = (h/H).r → 6 = 1,2.r → r = 5cm(h/H) = 1,2 → h = 1,2.H

O volume do cilindro B é 240πcm3, logo:π.52.h = 240.π → h = 9,6cm e H = 8cm

Portanto, a diferença entre os volumes será dada por:VA - VB = π.62.8 - 240.π = 48.π.cm3

Me ta

48 [D]

52 [C]A base do cilindro foi dividida em 7 partes pelos planos perpendiculares a elas, dividindo assim o cilindro em sete sólidos. Considerando o plano paralelo às bases cada um destes 7 sólidos foi dividido em duas partes. Portanto o valor de N será:2.7 = 14.

53 [E]Calculando o volume (produto entre área da base e altura) do cilindro, temos:V = π.r2.10 → V = 3,1.52.10 = 775m3 → V = 775000 litros

54 [D]Sabendo que o volume de um cilindro é dado pelo produto entre a área da base e sua altura, temos:V = (πr2).25V = 3,14.102.25V = 7850cm3 = 7850ml

55 [A][A] A haste cabe neste modelo, pois sua diagonal mede:√52 + 62 + 72 = √110 > √100 = 10cmAdemais, seu espaço interno mede 5.6.7 = 210cm3

[B] A haste não cabe neste modelo, pois a maior distância entre dois pontos das bases inferior e superior mede:√72 + 72 = √98 < √100 = 10cm

[C] A haste não cabe neste modelo, pois a medida de sua diagonal é:√42 + 42 + 82 = √96 < √100 = 10cm

[D] A haste cabe neste modelo, pois a maior distância entre dois pontos das bases inferior e superior é igual a:√62 + 82 = √100 = 10cmPorém, seu espaço interno corresponde a, aproximadamente:3,14.42.6 = 301cm3 > 210cm3

[E] A haste cabe neste modelo, pois a maior distância entre dois pontos das bases inferior e superior é igual a:√82 + 62 = √100 = 10cmContudo, seu espaço interno corresponde a, aproimadamente:3,14.32.8 = 226cm3 > 210cm3

O volume do tonel será dado por:V = (30/100).π.R2.h, onde r é a medida do raio do tonel e h a medida de sua altura.

V = (30/100).π.302.(600/π) = 162000cm3 = 162L

Me ta

51 [C]

57 [D]Note que se o garoto juntou as partes menores, temos um retângulo com altura de 21cm e o comprimento da base de 30cm e assim, calculando o raio da base temos:

C = 2πr → 30 = 2.3.r → r = 5

Calculando o volume (produto entre área da base e altura) temos:A = Abase.altura = πr2.30 = 3.52.21 = 1575cm3

58 [C]

59 [A]Do enunciado e da figura, temos:

60 [C]

A diferença entre os volumes será dada por:Vcubo - Vcone = 83 - (1/3).π.42.8 = 512 - (1/3).3.128 = 384cm3

2v/v = (H/1)3

2 = H3

H = 3√2

Questão anulada no gabarito oficial.

Justificativa: A banca equivocou-se ao apresentar nos gráficos o volume como função do tempo e não altura como função do tempo.

Calculando:

OM = OP = Re = 2cmOA = 8 - 2 = 6cm(OA)2 = (OP)2 + (AP)2 → 36 = 4 + (AP)2 → AP = 4√2RC = MC∆AMC = ∆APO(AM/AP = MC/PO → 8/4√2 = MC/2 → MC = RC = 2√2

Me ta

56 [ANULADA]

Ve = (4/3).π.(2)3.8 → Ve = 32π/3Vc - (1/3).π.(2√2)2.8 → Vc = 64π/3Ve/Vc = (32π/3)/(64π/3) = 32/64 = 1/2