COEVOLUTIONARY ALGORITHMS FOR FACILITY LAYOUT...

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03-045

COEVOLUTIONARY ALGORITHMS FOR FACILITY LAYOUT DESIGN

Luque-Rodríguez, María(1); Arauzo-Azofra, Antonio(1); Gata-Moreno, Laura(1); García-

Hernández, Laura(1); Salas-Morera, Lorenzo(1)

(1)Universidad de Córdoba

Coevolutionary Algorithms are a kind of evolutionary techniques used to solve complex

problems, which can be split up. The unequal area facility layout problem (UA-FLP) is complex

because it has many possible solutions whose number grows exponentially with the number of

departments or zones to distribute. One widely studied layout structure for this problem is the

flexible bay structure. In this structure there are two clear parts: the bay structure (how many

and with how many departments in each of them) and the department order (which ones go in

each bay and how are they ordered in the bay). We propose to approach this automatic design

problem using these two parts to divide the problem and apply a coevolutionary cooperative

algorithm to search one of the best solutions in an effective way. The tests show that the results

are better with the coevolutionary algorithm than with the simple evolutionary version.

Keywords: Facility Layout; UA-FLP; Coevolutionary algorithms

ALGORITMOS COEVOLUTIVOS PARA EL DISEÑO DE DISTRIBUCIÓN EN PLANTA

Los algoritmos coevolutivos son una técnica de computación evolutiva que se utiliza para la

resolución de problemas complejos cuando el problema o la estructura de la solución se pueden

dividir en partes. El problema del diseño de distribución en planta con areas desiguales (UA-FLP)

es complejo porque tiene un número de soluciones posibles que crece exponencialmente en

relación al número de departamentos o zonas a distribuir. Uno de los tipos de distribución más

estudiados es el de asignación por bahías flexibles. En este tipo de distribución, se pueden

apreciar dos partes: la estructura de bahías (cuantas y con cuantos departamentos en cada una)

y el orden de los departamentos (cuales van a cada bahía y en qué orden). Proponemos abordar

el diseño utilizando estás dos partes para dividir el problema y aplicar algoritmos coevolutivos

cooperativos para buscar una de las mejores soluciones de manera efectiva. Las pruebas

realizadas demuestran que los resultados son mejores para el algoritmo coevolutivo frente a la

versión evolutiva simple.

Palabras clave: Distribución en planta; UA-FLP; Algoritmos coevolutivos

Correspondencia: Antonio Araúzo Azofra [email protected]

22nd International Congress on Project Management and EngineeringMadrid, 11th – 13th July 2018

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https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

1. IntroducciónEl diseño de distribución en planta (Drira et al. 2007) es un problema ampliamenteestudiado. Kusiak y Heragu (1987) resaltan la importancia de este diseño. Algunos de estosdiseños pueden abordarse partiendo de la solución de un problema de optimización definido.Con este objetivo, se define el problema de la asignación de areas desiguales paradistribución en planta UA-FLP (Unequal Area - Facility Layout Problem) (Armor y Buffa,1963).

Este problema tiene un elevado número de soluciones posibles que crecenexponencialmente con el número de áreas a asignar. De esta forma, la complejidadcomputacional de encontrar la solución óptima es al menos de la clase no polinomial (NP).Se puede demostrar fácilmente reduciendo el problema QAP (Quadratic AssignamentProblem) a UA-FLP y teniendo en cuenta que el problema QAP es NP-completo, segúndemuestran Sahni y Gonzalez (1976).

Por esta razón, UA-FLP es un problema de optimización abierto al que se siguen aplicandotécnicas novedosas con el fin de mejorar las técnicas para encontrar un diseño másadecuado para plantas cada vez más grandes. Una de las técnicas más aplicadas son losalgoritmos basados en metaheurísticas, como los conocidos algoritmos genéticos o losalgoritmos evolutivos en general.

Los algoritmos evolutivos (AE) con una sola población a menudo tienen un rendimientopobre cuando confrontan problemas que presentan una o más de las siguientescaracterísticas (Peña-Reyes y Sipper, 2001): i) el espacio de búsqueda es complejo; ii) elproblema o sus soluciones son claramente divisibles; iii) el genoma codifica diferentes tiposde valores; iv) existe una fuerte interdependencia entre los componentes de la solución.Estos algoritmos tienden a converger a óptimas locales o tienen un alto costecomputacional. Sin embargo, los algoritmos coevolutivos abordan efectivamente estosproblemas, ampliando el rango de aplicación de computación evolutiva.

Los algoritmos coevolutivos (CA) (Paredis, 1995) son un tipo de algoritmos evolutivosutilizados principalmente para resolver problemas complejos, que se pueden dividir. Cadaparte del problema está representada por una especie diferente que evoluciona porseparado (incluso con diferentes algoritmos, codificaciones y operadores). Sin embargo,todas las especies interactúan entre ellas para resolver el problema al usar una función deevaluación conjunta. Estos algoritmos descubren buenas soluciones para problemas con unespacio de búsqueda complejo.

Para descubrir una buena solución, las especies de los algoritmos coevolutivos puedencompetir (por ejemplo, para obtener exclusividad en un recurso limitado) o cooperar (porejemplo, para obtener acceso a algún recurso difícil de alcanzar). En los algoritmoscompetitivos (Rosin y Belew, 1996), la aptitud de un individuo se obtiene mediante lacompetencia con individuos de las otras especies. Mejorar la aptitud de una especie implicaempeorar la aptitud de las otras especies. Cada especie busca estrategias que le permitansobrevivir en la carrera por la mejor solución. Por otro lado, en los algoritmos cooperativos(Potter y De Jong, 2000), todas las especies cooperan para forma estructuras complejas,adecuadas para resolver un problema. La aptitud de un individuo depende de su capacidadpara colaborar con individuos de las otras especies.

Los algoritmos coevolutivos cooperativos (COCA) han sido utilizado en diferentes campospara mejorar el rendimiento alcanzado por algoritmos previos. En el campo de laoptimización, Liu et al. (2013) descomponen el espacio de búsqueda de las variables dedecisión y usan un COCA para evolucionar mejores soluciones; Wang et al. (2013)coevoluciona una familia de preferencias de gestión junto con una población de soluciones


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candidatas para optimización multi-objetivo; Deb et al. (2013) los aplica para resolver elproblema dual de Lagrange asociado con problemas de optimización. Por otra parte, hayuna conexión entre los juegos y coevolución (Samothrakis et al., 2013). Ballinger y Louis(2013a) y Ballinger y Louis (2013b) diseñan algoritmos coevolutivos para encontrarestrategias en juegos de tiempo real; Szubert et al. (2013) y Liskowski (2013) presentan susalgoritmos como un método para aprender a jugar el juego de Othello. Otros campos deaplicaciones son la biología (Komlen y Jakobovic, 2013), aeronáutica (Wang y Dong, 2013),programación (Su et al., 2013) o visión (Chaaraoui y Flórez-Revuelta, 2013; Rabil et al.,2013).

Los algoritmos coevolutivos también han sido aplicados al diseño de distribución en planta.Por ejemplo, Dunker et al. (2003) proponen un coevolutivo que trabaja con áreas dedimensiones dadas. Chang et al. (2002) abordan la versión dinámica de QAP. Furuholmenet al. (2010) utilizan los coevolutivos para el diseño de distribuciones en planta en tresdimensiones. Sin embargo, en nuestro mejor conocimiento, no se ha probado su aplicaciónen UA-FLP y eso es lo que proponemos en la presente contribución.

2. Problema de optimizaciónEl problema de distribución en planta con áreas desiguales (UA-FLP) fue formulado porinicialmente por Armour y Buffa (1963). Aborda la distribución de departamentos (d) condiferentes áreas requeridas (Ad) en una planta rectangular con dimensiones fijas (W x H).Como los departamentos no deben superponerse, la suma de las áreas de departamentodebe ser menor o igual que el área de la planta:

∑d=1

n

Ad≤W×H

Como objetivo a minimizar se puede considerar el coste del flujo de materiales entre losdiferentes departamentos:

∑i≠ j

n

F i , j⋅Di , j

siendo Fi,j el coste del flujo entre los departamentos i y j por unidad de distancia y Di,j ladistancia entre ambos departamentos en la distribución en planta a considerar. Según lainstancia concreta del problema a abordar, se utilizan diferentes funciones de distancia yformas de medir el coste. También pueden utilizarse otro tipo de funciones objetivo como lasque buscan optimizar la evaluación de la TRA (Tabla Relacional de Actividades).

Trabajamos con departamentos rectangulares que tendrán un lado mayor Ld y un ladomenor Md. Se considera también una restricción de aspecto ( 1≤Rd≤+∞ ) para cadadepartamento de forma que no se diseñen departamentos demasiado estirados que denlugar a áreas de trabajo impracticables.

∀d∈D :LdM d

≤Rd

3. Algoritmos coevolutivos cooperativosLos COCA se usan para resolver problemas que pueden descomponerse, el problemamismo o sus soluciones (Peña-Reyes y Sipper, 2001), en diferentes especies que cooperanpara descubrir buenas soluciones. Cada especie evoluciona por separado utilizando supropio algoritmo, pero interactúa con los demás a través de una aptitud conjunta (Figura 1)


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Figura 1: Cooperación coevolutiva

Para diseñar un algoritmo coevolutivo, es necesario especificar los algoritmos que cadaespecie utiliza para evolucionar (tipo, codificación, operadores) y, por otro lado, variosaspectos relacionados con la materia de la cooperación.

3.1 Algoritmo evolutivo individual

Cada especie puede usar un algoritmo independiente para evolucionar. Esto se puede elegirentre una amplia gama de algoritmos evolutivos, como por ejemplo:

Algoritmos genéticos

Programación genética

Estrategias evolutivas

Algoritmos meméticos

3.2 Interacción entre las especies

Se debe decidir la forma de elegir a los colaboradores de cada especie y cómo interactuaránentre ellos para evaluar a toda la población. Algunas características básicas de losalgoritmos coevolutivos (Wiegand, 2003):

Número de cooperadores. La cantidad de colaboradores de cada población que seusará para la evaluación de aptitud. Computacionalmente, la opción más obvia y máscostosa es que un individuo de una población interactúe con todos los individuos de lasotras poblaciones. En el otro extremo, la aptitud de un individuo solo depende de suinteracción con un único individuo de cada especie. Entre ambos, hay una gran variedadde posibilidades, dependiendo del número de colaboradores.

Presión de selección. El grado de parcialidad al elegir un colaborador en función de suevaluación. El conjunto de colaboradores de cada especie se puede elegir de varias


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maneras. Cuando todos los colaboradores se eligen entre los mejores individuos de lageneración anterior, tenemos una fuerte presión de selección. Sin embargo, si elconjunto de colaboradores se elige al azar, la presión de selección disminuye. Porsupuesto, hay otras posibilidades que modifican la presión de selección. Loscolaboradores se eligen usando varias combinaciones de tres mecanismos de selección:mejor, aleatorio y peor.

Asignación de crédito. El método de evaluar aptitud a un individuo, cuando depende demúltiples interacciones con los colaboradores. Existen diferentes métodos para obtenerun solo valor de aptitud cuando se llevan a cabo múltiples interacciones. Los métodosmás comunes son:

o Optimista: Este es el método más tradicional. Asigna, como crédito de aptitudindividual, el valor obtenido con el mejor colaborador.

o Promedio: El valor promedio de todas las colaboraciones.

o Pesimista: El valor con el peor colaborador.

3.3 Tiempo de actualización

Otro aspecto importante en un algoritmo coevolutivo es la frecuencia de interacción entreespecies. Vendrá dada por el tamaño de bloque, cada cuánto se actualizan las especies, ypor cómo se actualizan las especies durante el proceso de coevolución. Podemos identificardos tipos principales (Wiegand, 2003):

Secuencial. Cada población se procesa en un orden secuencial, eligiendo alcolaborador del estado actual de la otra población. Las poblaciones procesadas yactualizadas anteriormente pueden afectar el procesamiento de poblaciones procesadasposteriormente.

Paralelo. Todas las poblaciones se procesan en paralelo. El conjunto de colaboradoresse selecciona de la generación anterior de cada población.

Se puede consultar una descripción más detallada de las diferencias entre ambos enfoquesen (Jansen and Wiegand, 2003).

4. Propuesta coevolutiva para UA-FLPEl objetivo de esta contribución es el diseño de un COCA que nos ayude a encontrarsoluciones adecuadas a los problemas de distribución en planta. Para ello utilizaremos laampliamente conocida estructura de bahías flexibles, ya que este tipo de estructuraproporciona buenos resultados para gran parte de los problemas UA-FLP.

La estructura de bahías flexibles utiliza una serie de columnas (denominadas bahías) paracolocar los departamentos en orden. En esta estructura, el ancho de las columnas se adaptade forma flexible al área requerida por los departamentos que hay en ella. Esto se ilustra enla Figura 2.

A continuación, primero, definimos la división de nuestro problema en dos partes yestablecemos los valores para algunas características relacionadas con la cooperación.Luego, los algoritmos evolutivos, que cada especie utiliza para evolucionar, se describen endetalle.


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Figura 2: Estructura de bahías flexibles

4.1 Especies involucradas

El primer paso para aplicar COCA es dividir el problema de FL en varias partes que seancapaces de interactuar entre ellas. Hemos decidido dividir la solución del problema en dospartes independientes, por lo que nuestra COCA trabajará con dos especies:

Una especie representa el orden en que se establecerán los departamentos, que seenumeran de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba. Para la solución, que semuestra en la Figura 2, un individuo de esta especie almacenará la siguiente lista dedepartamentos: B, E, A, C, D.

La otra especie define los puntos de corte que delimitan las bahías y la orientación de lasmismas. Para el mismo ejemplo, un individuo almacenará que hay tres puntos de corte(entre los departamentos E y A, entre A y C, y entre C y D). Así como la orientación delas bahías, en este caso, vertical.

4.2 Características comunes

Ambas especies de nuestra propuesta usan el mismo tipo de algoritmo para evolucionar, unAlgoritmo Genético clásico (GA) (Mitchell, 1998). El tipo de algoritmo no es la únicacaracterística común. Ambas especies comparten la función de aptitud y el operador deselección.

A continuación, definimos estas características comunes, mientras que en las dossubsecciones siguientes, las características específicas para cada especie se definen endetalle.

La función de evaluación a minimizar es la siguiente:

Evaluación=∑i≠ j

n

F i , j⋅Di , j+Penalización

donde se añade al coste indicado en la sección 2 la Penalización, que es el factor depenalización de Tate and Smith (1995).

El operador de selección usado en el GA es el de torneo binario (Miller, 1995). Seseleccionan aleatoriamente dos individuos de la población actual y el mejor de ellos seincorpora a la nueva población. Así hasta llenar ésta. Hemos elegido un sólo individuo comotamaño de torneo porque es el más utilizado y, además, los tamaños de torneo más grandespueden provocar pérdida de diversidad (Blickle and Thiele, 1995; Whitley, 1989).


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En la sección 3.2, se describen varios aspectos relacionados con la interacción de lasespecies. Nuestra propuesta utiliza actualización en paralelo y los aspectos son definidospor parámetros cuyos valores se fijarán en la experimentación.

4.3 Algoritmo evolutivo para la especie 1: orden de los departamentos

Cada cromosoma es un vector entero de tamaño igual al número de departamentos en elproblema (n). El vector codifica el orden en que se configuran los departamentos,enumerados de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba. Internamente, hay una relaciónentre el nombre de los departamentos y los enteros en el rango {0.. (n-1)}.

La primera población se inicializa aleatoriamente, verificando que no haya departamentosduplicados y que se generen en el rango correcto, es decir, el departamento existe en elproblema.

Debido a la naturaleza del cromosoma, el operador de cruce elegido debe garantizar laausencia de repeticiones de los departamentos. El resultado del cruce debe ser unapermutación de la numeración de los departamentos. Por este motivo, hemos elegido elcruce PMX (Sivanandam, 2007).

En este operador, dos puntos de cruce se seleccionan al azar a lo largo de la longitud de loscromosomas. Ambos puntos proporcionan una selección coincidente, que se usa paraafectar una operación de intercambio de posición por posición.

Figura 3: Operador de cruce PMX

La parte izquierda de la figura 3 muestra los dos padres a cruzar (cada uno de ellos es unapermutación de los departamentos) y los puntos de cruce seleccionados al azar. Los genesentre ambos puntos se intercambian, es decir, el departamento E y el departamento C, eldepartamento A y el departamento D intercambian lugares. Después del PMX, ladescendencia generada se muestra en la parte derecha de la figura.

La descendencia resultante del operador de mutación debe ser un cromosoma válido, unapermutación de los departamentos. Por lo tanto, el operador de la mutación debe garantizarla ausencia de duplicados y valores fuera de rango. Para ello, hemos elegido una mutaciónbasada en orden (Syswerda, 1991). Se seleccionan dos puntos aleatorios en el genotipo yse intercambian los departamentos en ellos.

4.4 Algoritmo evolutivo para la especie 2: Estructura de las bahías

Los individuos que definen los puntos de corte bay están codificados como un vector binariode n valores. Los primeros n-1 bits se usan para definir puntos de corte, mientras que elúltimo bit representa la orientación del diseño. En la primera parte del cromosoma, 0significa que no hay una división entre departamentos, y ambos departamentos estánubicados en la misma bahía, y 1 significa que se crea una nueva bahía. En la segunda


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parte, si aparece 1, las bahías se llenan en el sentido horizontal, mientras que 0 indica unaorientación vertical.

Cada individuo de esta población se genera al azar, con valores binarios para cada gen.

Para esta población, no es necesario imponer ninguna restricción, por lo que el operador decruce puede ser más simple. Concretamente, hemos utilizado el operador de cruce clásicopropuesto por Holland (1975). Funciona como sigue. El corte de un punto se selecciona alazar, donde los cromosomas se dividen en partes separadas y luego las diferentes partes serecombinan. La mutación ha sido también el operador clásico flip binario (cambiar un valorde 0 a 1 o viceversa).

4.5 Múltiples poblaciones de cada especie

Las GA tradicionales evolucionan una sola población, que busca en todo el espacio debúsqueda. Esta búsqueda se puede mejorar usando más de una población (poblaciónmúltiple). Cada población exploraría un área de búsqueda diferente, explotaría una zonaprometedora o ambas tareas. Por lo tanto, en GA de poblaciones múltiples (Tsutsui, 1997),una población busca continuamente un nuevo óptimo, mientras que el resto de laspoblaciones intenta explotar las otras áreas prometedoras previamente detectadas.

Normalmente, los COCA usan una sola población para cada especie que evoluciona porseparado. Sin embargo, el concepto de población múltiple se puede incorporar a cadaespecie con el fin de mejorar la búsqueda de buenas soluciones en cada parte del problema.Nuestra propuesta utiliza más de una subpoblación para encontrar soluciones adecuadaspara cada especie. Estas subpoblaciones evolucionan independientemente, pero utilizandoel mismo algoritmo y proporcionando el mismo número de colaboradores al grupo. En lafase de evaluación, cada individuo se evalúa utilizando todos los colaboradores elegidos.

La idea es que cuanto más amplio sea el espacio de búsqueda, será necesario un mayornúmero de poblaciones para poder explorar todas las regiones. En nuestro problema, elespacio de búsqueda por orden de departamento (especie 1) es más amplio (n! = factorialdel número de departamentos) que el espacio de cortes (especie 2), que es de tamaño 2n,por lo que el número de poblaciones para la especie 1 será mayor que para la especie 2.

5. Estudio empíricoLos problemas utilizados en nuestra experimentación son públicos y han sido utilizados endiversos artículos. Entre estos, hemos utilizado los seleccionados por Komarudin y Wong(2010) junto con tres ejemplos con descripción real usados por García‐Hernández et. al.(2015).

Realizamos la comparación del uso del algoritmo coevolutivo cooperativo propuesto con unalgoritmo genético no coevolutivo con el mismo número de evaluaciones (para igualar elcoste computacional de su ejecución). Para ello, al elegir los parámetros el número degeneraciones se ha ajustado automáticamente para realizar un total de cien milevaluaciones, según el tamaño de las poblaciones utilizadas en cada lanzamiento.

Se han probado diferentes valores de los parámetros de ambos algoritmos hasta obteneraquellos que dan mejores resultados. Los valores probados para el algoritmo genético nocoevolutivo se muestran en la Tabla 1. Los valores que aparecen en negrita son los quemejores resultados han obtenido.


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Tabla 1. Parametros del algoritmo genético no coevolutivo (valores elegidos en negrita)

Parámetros Valores

Generaciones 100 … 2000

Tamaño de población 50, 100, 200, 500, 1000

Probabilidad de cruce 0.3, 0.5, 0.7, 0.9

Probabilidad de mutación 0.1, 0.2, 0.4, 0.6

En la Tabla 2 se muestran el ajuste de parámetros realizado para el algoritmo coevolutivo.En este caso, dada la imposibilidad de probar todas las combinaciones, se han ido fijandoen bloques, probando primero aquellos que por intuición creíamos que podían afectar más alos siguientes. Así, el orden seguido ha sido: probabilidades de cruce y mutación, tipo deagregación, tamaño de bloque, número de cooperadores, numero de poblaciones y sustamaños.

Tabla 2. Parámetros evaluados del algoritmo coevolutivo (valores elegidos en negrita)

Parámetros Valores

Generaciones {166 … 2000}

Número de poblaciones de orden 1,2,3

Tamaño de poblaciones de orden 50, 75, 100, 150, 200

Número de poblaciones de cortes 1,2,3

Tamaño de poblaciones de cortes 50, 75, 100, 150, 200

Probabilidad de cruce en poblaciones de orden 0.3, 0.5, 0.7, 0.9

Probabilidad de mutación en poblaciones de orden 0.1, 0.2, 0.4, 0.6

Probabilidad de cruce en poblaciones de cortes 0.3, 0.5, 0.7, 0.9

Probabilidad de mutación en poblaciones de cortes 0.1, 0.2, 0.4, 0.6

Número de cooperadores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Asignación de crédito mejor, promedio, peor

Tamaño de bloque 1, 2, 5, 10, 20, 50

En la Tabla 3 se muestran los resultado obtenidos. Para evitar efectos aleatorios nodeseados, se han repetido las ejecuciones 10 veces con una semilla diferente en elgenerador de números aleatorios. El resultado que se muestra es la media del mejorindividuo encontrado en cada una de estas 10 ejecuciones.


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Tabla 3. Comparativa del valor promedio del valor mínimo del coste del flujo de materialesobtenido en 10 ejecuciones de los algoritmos

Problema Coevolutivo No coevolutivo

Slaughterhouse 3357 5564

CartonPacks 48 75

ChoppedPlastic 23 33

O7 134 140

O8 245 261

O9 241 279

VC10 18818 27265

Ba12 8124 13052

Ba14 4732 10534

AB20 5363 -

SC30 3667 -

SC35 4036 -

6. ConclusionesEn esta contribución se ha presentado un nuevo algoritmo coevolutivo cooperativo basadoen múltiples poblaciones para la resolución de UA-FLP. Las ventajas que aporta estealgoritmo son su gran adaptabilidad al problema, centrando el esfuerzo de búsqueda en laparte del problema donde más se necesite (orden o cortes de bahías) y la posibilidad de suejecución distribuida.

Los resultados obtenidos demuestran que el algoritmo coevolutivo propuesto supera laspropuestas no coevolutivas y alcanza resultados similares a los de otras propuestas que nopueden ejecutarse de forma distribuida.

Creemos que esta propuesta abre el campo para futuros trabajos aplicando algoritmoscoevolutivos a los muy diversos tipos de problemas que se definen en el diseño dedistribución en planta.

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AgradecimientosEste trabajo ha sido financiado por un proyecto del Plan Propio de Investigación (2017) de la Universidad de Córdoba.

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