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Coerência EspacialAula do curso de Ótica 2007/2
IF-UFRJ
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ResumoO que é coerência?Tipos de coerência espacialCoerência espacial entre duas fontes independentesTeorema de van Cittert-ZernikeInterferômetro de Handury Borwn-TwissEspectroscopia por transformada de Fourier
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O que é coerência (espacial)?Vimos na última aula que a intensidade em um ponto sobre o qual incidem dois campos é dada por
Isso nos levou a definir
como uma medida de coerência entre os dois campos, de forma que
onde
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Tipos de coerência espacialConsidere a fonte pontual, quase monocromática S
P1 e P3 estão na mesma direção da fonte, diferindo apenas na distância a S. E1 e E3 medem a coerência longitudinal do campo.
Se r13>>r0, haverá pouca ou nenhuma coerência espacial
P1 e P2 estão a mesma distância de S. E1 e E2 medem a coerência transversa do campo.
Para fonte pontual, E1 e E2 dependerão do tempo da mesma forma e portanto serão completamente coerentes.
Coerência parcial ocorrerá para fontes extensas.
S
P1
P2
P3
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Considere agora as fontes pontuais idênticas Sa e Sb, quase monocromáticas, cujas fases variam aleatoriamente e independentemente
Os campos em P1 e P2 são
O grau complexo de coerência é dado por
Coerência entre duas fontes independentes
Sa
P1
Sb
P2
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Coerência entre duas fontes independentes
Repetindo
Se escrevermos os campos como
SaP1
Sb
P2
Fase aleatóriaEvolução temporalAmplitude no momento da emissão
Considerando o tempo para propagação dos campos de suas respectivas fontes
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Coerência entre duas fontes independentes
A função pode ser escrita como
E cada termo da função de correlação de 1a ordem fica
Na aula passada calculamos essas médias. Agora o Tempo de atraso inclui a diferença de caminho.
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Coerência entre duas fontes independentes
Juntando estes resultados, podemos escrever o grau complexo de coerência como
onde é a função de auto-correlação,
e
Finalmente,
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Teorema de Van Cittert-ZernikeVamos agora calcular a função de correlação mútua e o grau complexo de coerência entre P1 e P2 iluminados por uma fonte extensa σ.
Por simplicidade faremos algumas aproximações- Fonte quase-monocromática- Fonte plana, paralela ao plano de observação- Meio homogêneo entre a fonte e a tela- As dimensões de σ são muito menores que a distânciaentre fonte e tela- Ângulos entre R e linhas típicas Ri pequenos
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Teorema de Van Cittert-ZernikeImagine a fonte dividida em elementos dσ1,dσ2,..., centrados em S1,S2,... Os sinais analíticos em P1 e P2 serão dados por:
e
A função de correlação mútua será:
Como os elementos dσm são mutuamente incoerentes (estatisticamente independentes)
Teremos então, correlação entre campos emitidos pelo mesmoelemento da fonte
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Teorema de Van Cittert-ZernikeO campo emitido na fonte dσm é caracterizado por uma amplitude |Am(t)| e fase arg|Am(t)|. Assim,
e
Então,
Lembrando que estamos considerando campos estacionários, podemos fazer uma mudança de variáveis de forma que
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Teorema de Van Cittert-ZernikeSe Rm2-Rm1 for pequeno comparado ao comprimento de coerência da luz, podemos descartar o termo de retardamento em Am*
Assim,
Perceba que estamos somando os termos de intensidade de cada elemento dσm, propagados até os
pontos P1 e P2.
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Teorema de Van Cittert-ZernikeAssumindo que o número de elementos da fonte é muito grande, podemos estender a equação acima para o contínuo.Definindo I(S) como a intensidade do campo por unidade de área da fonte,
A função de correlação mútua será
E o grau complexo de coerência mútua
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Teorema de Van Cittert-ZernikeDe acordo com a expressão que encontramos, o grau complexo de coerência mútua, que descreve a correlação entre excitações nos pontos P1 e P2, num plano iluminado por uma fonte extensa, quase monocromática É IGUAL Aamplitude complexa no ponto P1, dada por uma abertura de difração, de formato igual a fonte, na qual incide uma onda esférica proveniente de P2.
Teorema de Van Cittert-Zernike
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Interferômetro de Michelson para interferometria estelar
Fazendo interferência da luz proveniente de uma estrela, através de um arranjo tipo Michelson, vimos que podemos determinar o diâmetro angular da estrela.Pequenos diâmetros necessitam espaçamento muito grande entre os braços.Para tais espaçamentos diversos efeitos podem estragar a medida (i.e. movimento dos braços, turbulência atmosférica)
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Interferômetro Hanbury Brown-TwissDe acordo com o teorema de van Cittert-Zernike, o valor de μ(P1,P2) para pontos muito distantes é proporcional a transformada de Fourier da distribuição de intensidade na fonte.Então medindo μ(P1,P2) obtemos informação sobre o diâmetro angular da fonte.Em 1956, Brown e Twiss fizeram medidas de correlação de segunda ordem da estrela Siriuspara determinar seu diâmetro angular.
Neste arranjo, apenas as correntesinterferem, não os feixes incidentesEfeitos indesejáveis tem efeitomuito pequeno.
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Interferômetro Hanbury Brown-TwissComo exemplo, vamos agora utilizar o teorema de vanCittert-Zernike para estudar o efeito de Brown-Twiss.Lembrando,
Vamos considerar o limite assintótico em que kr1→ ∞ e kr2→ ∞, então
Na chamada zona distante,o teorema toma a forma
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Interferômetro Hanbury Brown-TwissComo no momento estamos interessados em interferometria estelar, podemos tomar a fonte como incoerente, quase monocromática, circular, de raio a, centrada na origem e de intensidade uniforme.Para maior simplicidade, P1 e P2 serão considerados a mesma distância da fonte e pertos da direção normal.Assim,
A integral no denominador é facilmente feita e valeA integral no numerador é conhecida da teoria de difração, no limite de Fraunhofer, para uma abertura circular. Temos,
onde
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Interferômetro Hanbury Brown-TwissO comportamento do grau complexo de coerência mútua, para este caso, é
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Espectroscopia por transf. de FourierVamos voltar ao interferômetro de Michelson para estudar o espectro de luz não monocromática.Considere uma fonte de luz, com composição espectral dada por G(k) (por conveniência vamos usar k e não ω).
A intensidade no detector, para luz monocromática é
onde
Para esta montagem, k1=k2 e adiferença de fase será dada peladiferença de caminho ótico.
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Espectroscopia por transf. de FourierAssim, a intensidade no detector será
No caso não monocromático, devemos fazer uma soma sobre o espectro completo G(k).
Reescrevendo
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Espectroscopia por transf. de FourierVamos agora analisar o segundo termo
Temos
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Espectroscopia por transf. de FourierVamos agora analisar o segundo termo
Finalmente
Definindo a função intensidade W(x)
Temos
G(k) e W(x) formam um par de transformadas de Fourier