Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación

Instituto Universitario Politécnico “Santiago MariñoSede Barcelona

Estado Anzoátegui

Correlación de Pearson y de Sperman

Profesor: Bachiller. Pedro Beltrán Yendry Montaño

C.I: 25.844.454Sección” CV”

El coeficiente de correlación de Pearson es una medida de la relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.

Son números que varían entre los límites +1 y -1. Su magnitud indica el grado de asociación entre las variables; el valor r = 0 indica que no existe relación entre las variables; los valores ( 1 son indicadores de una correlación perfecta positiva (al crecer o decrecer X, crece o decrece Y) o negativa (Al crecer o decrecer X, decrece o crece Y).

De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.

Correlación de Pearson

Correlación de Pearson En el caso de que se esté estudiando dos variables aleatorias X

y Y sobre una población; el coeficiente de correlación de Pearson se simboliza con la letra Ρx,y, siendo la expresión que nos permite calcularlo:

Donde:

De manera análoga podemos calcular este coeficiente sobre n estadístico muestral, denotado como a:

Correlación de Pearson El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-

1,1]:

Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción constante.

Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva.

Si r = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente implica que las variables son independientes: pueden existir todavía relaciones no lineales entre las dos variables.

Si -1 < r < 0, existe una correlación negativa.

Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en proporción constante

Correlación de Pearson

Valor Significado

-1 Correlación negativa grande y perfecta

-0,9 a -0,99 Correlación negativa muy alta-0,7 a -0,89 Correlación negativa alta-0,4 a -0,69 Correlación negativa moderada-0,2 a -0,39 Correlación negativa baja

-0,01 a -0,19 Correlación negativa muy baja0 Correlación nula

0,01 a 0,19 Correlación positiva muy baja0,2 a 0,39 Correlación positiva baja0,4 a 0,69 Correlación positiva moderada0,7 a 0,89 Correlación positiva alta0,9 a 0,99 Correlación positiva muy alta

1 Correlación positiva grande y perfecta

Para interpretar el coeficiente de correlación utilizamos la siguiente escala:

Correlación de Pearson a)Para datos no agrupados se calcula aplicando la

siguiente ecuación:

r:Coeficiente producto-momento de correlación lineal

Correlación de Pearson Ejemplo ilustrativo:

Con los datos sobre las temperaturas en dos días diferentes en una ciudad, determinar el tipo de correlación que existe entre ellas mediante el coeficiente de PEARSON.

X 18

17

15

16

14

12 9 15 1

6 14 16 18 SX =180

Y 13

15

14

13 9 1

0 8 13 12 13 10 8 SY= 138

Solución: a) Se calcula la media aritmética.

b) Se llena la tabla

c) Se aplica la formula :

Correlación de Pearson b) Para datos agrupados, el coeficiente de

Correlación de Pearson se calcula aplicando la siguiente fórmula:

Donde:n = número de datos.f = frecuencia de celda.fx = frecuencia de la variable X.fy = frecuencia de la variable Y.dx = valores codificados o cambiados para los intervalos de la variable X, procurando que al intervalo central le corresponda dx = 0, para que se hagan más fáciles los cálculos.dy = valores codificados o cambiados para los intervalos de la variable X, procurando que al intervalo central le corresponda dy = 0, para que se hagan más fáciles los cálculos.

Usos de correlación de Spearman

Permite predecir el valor de una variable dado un valor determinado de la otra variable.

Se trata de valorar la asociación entre dos variables cuantitativas estudiando el método conocido como correlación.

Dicho calculo es el primer paso para determinar la relación entre las variables.

Consiste en la posibilidad de calcular su distribución muestral y asi poder determinar su error típico de estimación.

Reporta un valor de correlación cercano a 0 como un indicador de que no hay relación lineal entre 2 variables.

Ventajas y Desventajas de Correlación de Pearson

El valor del coeficiente de correlación es independiente de cualquier unidad usada para medir variables.

Mientras mas grande sea la muestra mas exacta será la estimación.

Requiere supuestos acerca de la naturaleza o formas de las poblaciones afectadas.

Requiere que las dos variables hayan sido medidas hasta un nivel cuantitativo continuo y que la distribución de ambas sea semejante a la de la curva normal-

Correlación de Spearman

El coeficiente de correlación de Spearman, ρ (rho) es una medida de la correlación (la asociación o interdependencia) entre dos variables aleatorias continuas. Para calcular ρ, los datos son ordenados y reemplazados por su respectivo orden.

El estadístico ρ viene dado por la expresión:

donde D es la diferencia entre los correspondientes estadísticos de orden de x - y. N es el número de parejas.

Este coeficiente se emplea cuando una o ambas escalas de medidas de las vaiables son ordinales, es decir, cuando una o ambas escalas de medida son posiciones.

Ejemplo: Orden de llegada en una carrera y peso de los atletas.

Correlación de Spearman

Para muestras mayores de 20 observaciones, podemos utilizar la siguiente aproximación a la distribución t de Student.

La interpretación de coeficiente de Spearman es igual que la del coeficiente de correlación de Pearson. Oscila ente -1 y +1, indicándonos asociaciones negativas o positivas respectivamente, “0” cero, significa no correlación pero no independencia.

Usos de correlación de Spearman

Se requiere que al menos las variables estén medidas en al menos escala ordinal es decir de forma que las puntaciones que la representan puedan ser colocadas en dos series ordenadas.

Una generalización del coeficiente de sepearman es útil en la situación en la cual hay tres o mas condiciones, varios individuos son observados en cada uno de ellas predecimos que las observaciones tendrán un orden en particular.

Para aplicar el coeficiente de correlación de Spearman se requiere que las variables estén medidas al menos en escala ordinal, es decir, de forma que las puntuaciones que las representan pueden ser colocadas en dos series ordenadas.

Ventajas y Desventajas de Correlación de Pearson

No esta afectada por los cambios en las unidades de medida.

Al ser una técnica no parámetra, es libre de distribución probabilística.

Las variables se correlacionan de acuerdo al rango de valores generados en cada distribución.

Es recomendable usarlo cuando los datos presentan valores extremos, ya que dichos valores afectan mucho el coeficiente de correlación de Pearson, o ante distribuciones no normales.

r no debe ser utilizado para decir algo sobre la relación entre causa y efecto.

Es difícil estimar el coeficiente de correlación entre dos distribuciones de formas diferentes. El mismo coeficiente de correlación puede resultar en diferentes gráficos de puntos para diferentes distribuciones correlacionadas.

Correlación de SpearmanLa siguiente tabla muestra las calificaciones de 8 estudiantes

universitarios en las asignaturas de Matemática y Estadística. Calcular el coeficiente de correlación por rangos de Spearman y realizar el diagrama de dispersión

N° Estudiante Matemática

Estadística

1 Dyana 10 82 Elizabeth 9 63 Mario 8 104 Orlando 7 95 Mathías 7 86 Josué 6 77 Anita 6 68 Lucía 4 9

Correlación de SpearmanEn la asignatura de Matemática se observa:

- Dyana tiene la más alta calificación, ocupando el primer puesto, por lo que su rango es 1

- Elizabeth ocupa el segundo puesto, por lo que su rango es 2

- Mario se encuentra ubicado en el tercer lugar, por lo que su rango es 3

- Orlando y Mathías ocupan el cuarto y quinto puesto, por lo que su rango es la media aritmética de 4 y 5 que da por resultado 4,5

- Josué y Anita ocupan el sexto y séptimo lugar, por lo que su rango es la media aritmética de 6 y 7 que da por resultado 6,5

Correlación de Spearman- Lucía se encuentra ubicada en el octavo lugar, por lo que su rango es

8

En la asignatura de Estadística se observa:

- Mario tiene la más alta calificación, ocupando el primer puesto, por lo que su rango es 1

- Orlando y Lucía ocupan el segundo y tercer puesto, por lo que su rango es la media aritmética de 2 y 3 que da por resultado 2,5

- Dyana y Mathías ocupan el cuarto y quinto puesto, por lo que su rango es la media aritmética de 4 y 5 que da por resultado 4,5

- Josué se encuentra ubicado en el sexto lugar, por lo que su rango es 6

- Elizabeth y Anita ocupan el séptimo y octavo lugar, por lo que su rango es la media aritmética de 7 y 8 que da por resultado 7,5

N° Estudiante Matemática

Estadística

X Y

1 Dyana 10 8 1 4,52 Elizabeth 9 6 2 7,53 Mario 8 10 3 14 Orlando 7 9 4,5 2,55 Mathías 7 8 4,5 4,56 Josué 6 7 6,5 67 Anita 6 6 6,5 7,58 Lucía 4 9 8 2,5

Correlación de Spearman

Calculando d, , y , se obtiene los siguientes resultados :

Correlación de Spearman

Aplicando la formula se obtiene :

https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_correlaci%C3%B3n_de_Pearson

http://www.monografias.com/trabajos85/coeficiente-correlacion-karl-pearson/coeficiente-correlacion-karl-pearson.shtml

http://www.monografias.com/trabajos85/coeficiente-correlacion-rangos-spearman/coeficiente-correlacion-rangos-spearman.shtml

https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_correlaci%C3%B3n_de_Spearman

Bibliografía