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安徽省中小学教师教育网

2017-2018 年高中数学简报

（优秀教案选登）

第一期

1

目录

高中数学学科教学设计目录

正态分布 2

双曲线及其标准方程 颍上二中 吴永剑 5

幂函数 宿州学院附属实验中学 罗风云 11

等比数列（第一课时）教案安徽省 滁州中学 王健 20

高二立体几何“二面角”教学设计 24

2

高中数学学科教学设计

教学主题 2．4 正态分布

一、教材分析

正态分布是高中数学新增内容之一，是统计中的重要内容．一方面，它是在学生学习了总体分

3

布后给出的自然界最常见的一种分布，它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，因

此它起着承上启下的桥梁作用；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态

分布来近似描述．因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．

二、学生分析

学生之前已学习了古典概型,几何概型和频率分布直方图.有一定的基础, 有一定的分析问题，

解决问题的能力.三、教学目标

知识与技能

掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．归纳

正态曲线的性质．

过程与方法

能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高

分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法．

情感、态度与价值观

通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科

学精神．

四、教学环境

□简易多媒体教学环境

五、信息技术应用思路

因为本节课容量太大, 制作了 ppt 课件,提高课堂效率。增强学生的学习兴趣,在其中插入了视

屏动画和几何画板。,在引入环节使用视屏动画演示高尔顿板实验, 能激发学生的学习热情，能让

学生感受小球的分布规律，通过高尔顿板实验引入正态曲线，让学生比较容易接受。几何画板演示

参数对正态曲线的影响。固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，通过几何画板动态演示，

让学生深刻体会到参数对图象的影响，并充分体会到数形结合的思想。

六、教学流程设计

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

视屏动画高尔顿板实验 教师：演示高尔顿板实验

学生：同学认真观看。

能激发学生的学习热情，能让

学生感受小球的分布规律，通

过高尔顿板实验引入正态曲

线，让学生比较容易接受。

引

出

课

题

正态曲线

正态曲线密度函数的解析

式

教师：给出小球分布的频

率分布直方图。

学生：分组讨论，共同回

忆有关频率分布直方图

的知识。

教师：总结学生回答的有

关频率分布直方图的知

识，并动态演示组距减

小，组数增多，频率分布

直方图的外形就越来越

趋向与一条光滑的曲线。

因为本节课的内容是建立在

频率分布直方图的知识的基

础上，所以让学生感受温故知

新。分组讨论，能激发学生去

探讨问题思考问题的潜能，并

培养合作交流的能力。动态演

示，能让学生体会到极限的思

想，最关键的是得到这节课要

学习的正态曲线，从而引出课

题。

建

构

概

念

探究：正态曲线对应区间的

概率

去掉高尔顿板底边的球槽，

并沿其底部建立一条水平

坐标轴，用 x 表示小球下落

时第一次与高尔顿板接触

时的坐标。

教师提出问题：

1. X 是不是随机变量？

2. X 在区间(a,b]上的概

率怎么来求？

学生：分组讨论.

通过设疑，引起学生对问题的

深入思考，通过巩固原有知

识，以确保新内容的引入，同

时加深了对定积分几何意义

的理解。

4

正态分布的定义：

经验表明，一个随机变量如

果是众多的、互不相干的、

不分主次的偶然因素作用

结果之和，它就服从或近似

服从正态分布。

教师：总结定义，并强调

正态分布的写法，明确正

态分布中两个参数的意

义。

学生：记忆正态分布的概

念、写法、参数的意义

虽然概念较抽象，但通过上述

问题串的形式来处理，使学生

不会觉得太突然，更使学生在

已有知识的基础上，螺旋上

升、逐步提高，接受正态分布

的定义。

列

举

实

例

列举现实生活中的实例 教师：分析现实生活中的

服从正态分布的实例。

学生：结合自己对正态分

布的理解，分组讨论，并

寻找现实生活中服从正

态分布的例子。

教师引导学生分析某地区同

龄人群的身高服从正态分布。

再通过列举更多的实例来加

强学生对正态分布的理解。让

学生在讨论中，感受现实生活

中存在这大量的例子，让学生

体会数学来源与生活。

探

究

特

点

探究：正态分布的特点 教师：提示学生根据图

象，解析式和概率的性质

来探究正态曲线的特点。

学生：分组讨论，认真观

察图象，解析式并结合概

率的性质来探究正态曲

线的特点。讨论完之后并

让学生上台讲述小组的

讨论结果。

教师：及时的给予评价和

鼓励，更能激发其他同学

的参与热情。

让学生的思维在相互讨论中

碰撞、在相互学习中完善，最

后达成统一，总结出正态曲线

的前 4条性质，培养学生发现

问题，解决问题的能力，充分

体现合作力量的强大，并让学

生从中感受到成功的喜悦。

让学生上台展示，不仅可以激

励学生用心的去观察，而且可

以培养学生较好的心理素质

和语言表达能力。

探究：正态分布的特点

参数对正态曲线的影响

教师：演示几何画板

学生：观察，并总结参数

对正态曲线的影响

教师展示六个特点：

解析式中含有两个参数，学生

较难独立分析参数对曲线的

影响，

固定一个参数，讨论另一个参

数对图象的影响，通过几何画

板动态演示，

让学生深刻体会到参数对图

象的影响，并充分体会到数形

结合的思想。

练习题 教师：给出习题

学生：独立完

通过该题的设置，深化学生对

正态分布密度曲线的特点的

理解。

5

回

归

生

活

3 原则： 教师：给出三个区间上的

概率，并讲解 3 原则在

工业生产中的应用。

学生：认真听老师讲解，

并感受 3 原则在工业生

产中的应用。

3 原则主要应用工业生产，

让学生体会到数学来源于生

活又服务于生活的学科魅力。

学

以

致

用

例题： 教师：给出题目，师生共

同完成此题，教师并向学

生展示完整的解题步骤。

通过一个贴近生活的实例，利

用数学知识来解决，使学生感

到数学就在身边，培养学生应

用所学知识解决实际问题的

能力，激发学习热情。在解决

问题中，让学生体会到，转化

化归，数形结合的数学思想。

课

堂

小

结

归纳总结本节课所学知识：

一、正态曲线

二、正态分布的定义

三、正态曲线的六个特点

四、3 原则

本节课涉及到的数学思想：

极限思想、数形结合思想、

转化化归的的思想。

教师：引导学习小组讨

论、总结本节课的内容

学生：组内展开讨论，共

同总结。并大声朗读

正态分布形似钟，

概率计算积分型。

均值变化左右动，

高矮胖瘦方差控。

胖大瘦小有规律，

面积始终都是一。

用口诀的形式总结本节课的

内容，加深学生对知识的记忆

和理解。

作业布置 课后习题 学生课后完成 巩固加深学生所学；

七、教学特色

通过本节课的教学设计,要让同学们学会自主学习,自己去发现探索知识, 小组讨论并在交流

讨论中进一步深化学习,使抽象的数学知识具体化,提高了课堂效率.ppt 课件能增加课堂容量,弥补

课上得时间的不足.形象直观的展示正态曲线的变化,有助于学生理解掌握本节课的重点和难点，在

教学设计中也创设情境为学生个性化学习创造了学习的空间，促进了学生自主学习相互交流的学习

环境。对学生解决问题能力的培养，课堂上应用的多媒体起了一定积极的作用。

6

教

学

课

题

3.1 双曲线及其标准方程

颍上二中 吴永剑

一、教材分析

本章研究的是圆锥曲线，是必修阶段“平面解析几何初步”学习的继续。学

生通过必修阶段“平面解析几何初步”学习，体验了建立简单方程解决几何问题

的过程，对解析几何的思想方法有了初步的理解。但是在必修阶段“平面解析几

何初步”的学习中，研究的几何图形是学生熟悉的直线和圆，而对于椭圆、抛物

线、双曲线缺乏了解，因此在本章的学习中学生采用代数的方法研究这些陌生的

图形，更进一步突出了解析几何的思想方法。

二、学生分析

学生已经学习了椭圆、抛物线相关知识，掌握了采用代数的方法研究这些陌

生图形的建系、列方程、化简整理得出曲线方程的方法，这为学习双曲线打下良

好基础，有利于学生自主探究双曲线方程，培养学生解析几何思想。

三、教学目标

1.知识与技能

了解双曲线的定义和标准方程。

2.过程与方法

在推导双曲线标准方程的研究过程中，进一步掌握解析几何的基本思想。

3.情感、态度与价值观

了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作

用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的应用。

重点：双曲线的定义及其标准方程．

难点：双曲线标准方程的推导．

四、教学环境

交互式多媒体教学环境，网络多媒体环境教学环境

五、信息技术应用思路

主要有以下三点

1、双曲线的画法，借助信息技术采用动画演示，首先让学生动手画，然后

演示让学生建立直观图像印象，突出定义，突出双曲线特征；

2、在焦点在 y轴上标准方程的探究中，让学生先自主探究，然后借助信息

技术展示结果，然学生看看他人的探究成果，看看正确结果。通过展示，发现学

生探究中的问题，及时给与指导和帮助，提高学生类比学习能力等。

3、在课时小结时，利用信息技术展示椭圆和双曲线相同点和不同点，通过

对于发现二者联系与区别，巩固解析几何思想与方法。

六、教学流程设计

教学

环节教师活动 学生活动

信息技术支持

7

情景

导入

展示

目标：

复习提问，平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数 2a 时，形成的轨

迹？

双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的

方程是怎样的呢？（展示双曲线型实

物图片）

学生口答：

(1)平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭

圆．

(2)到两定点 F1、F2的距离

的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段.(3)常数 2a |F1F2|时,无轨

迹.学生思考、看图讨论、归

纳。

课件展示结果，

让每个学生回顾

一次。

利用网络链接展

示生活中双曲线

图形实物图，激

发学生求知欲。

合作

探究

精讲

点拨：

观察如图 2-23，定点 1F , 2F

是两个按钉，MN 是一个细套管，两条

细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M

移动时， | 1MF | - | 2MF | 是常数，

这样就画出一条曲线；

由 | 2MF | - | 1MF | 是同一常数，

可以画出另一支．

双曲线的定义：平面内与两定点

1F , 2F 的距离的差的绝对值等于常

数(小于| 21FF |)的点的轨迹叫做双

曲线。

现在来研究双曲线的方程．我们可以

类似求椭圆的方程的方法来求双曲线

的方程．这时设问：求椭圆的方程的

一般步骤方法是什么？不要求学生回

答，主要引起学生思考，随即引导学

生给出双曲线的方程的推导．

学生动手画图

归纳描述图形得出双曲

线的定义

教师动画演示

幻灯片展示学生

画的图形。

利用几何画板，

教师演示双曲线

画法,让学生动

态感知双曲线的

图形特征

(1)建系设点

取过焦点 F1、F2的直线为 x轴，线段

F1F2的垂直平分线为 y轴(如图 2-24)

8

标

准

方

程

的

推

导

建立直角坐标系．

设 M(x，y)为双曲线上任意一点，双

曲线的焦距是 2c(c＞0)，那么 F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点

M与 F1、F2的距离的差的绝对值等于

常数．

(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代数方程

(4)化简方程

将这个方程移项，两边平方得：

两边再平方，整理得：

(以上推导完全可以仿照椭圆方程的

推导．)由双曲线定义，2c＞2a 即 c＞a，所

以2 2 0c a

设2 2 2c a b (b＞0)，代入上式得：

这就是双曲线的标准方程．

类比椭圆学习方法，教师

引导学生合作探究双曲

线标准方程

（组织学生合作探究）类比椭圆，同

学们想想如何求出焦点在 y轴上的双

曲线标准方程呢？

学生按照焦点在 x轴上的

双曲线标准方程的推导

方法，积极推导焦点在 y轴上的双曲线标准方程。

教师利用幻灯片及

时展示同学们的探

究成果，启发、引导

其他学生探究，让人

人有收获。

2 2 2 2 2 2 2 2(c a )x a y a (c a )

9

两

种

标

准

方

程

的

比

较

引导学生归纳：

教师指出：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但 a不一定大于 b；(2)如果 x2项的系数是正的，那么焦点

在 x轴上；如果 y2项的系数是正的，

那么焦点在 y 轴上．注意有别于椭圆

通过比较分母的大小来判定焦点在哪

一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中 a、b、c的关系

是 c2=a2+b2 ，不同于椭圆方程中

c2=a2-b2．

例

题

精

讲

当堂

检测

例 1 若一个动点 P(x，y)到两个

定点 A(－1，0)、A′(1，0)的距离差

的绝对值为定值 a，求点 P的轨迹方

程，并说明轨迹的形状．

解：∵｜AA′｜＝2，∴(1)当 a＝2 时，轨迹方程是 y

＝0(x≥1 或 x≤－1)，轨迹是两条射

线．

(2)当 a＝0时，轨迹是线段 AA′的垂直平分线 x＝0．(3)当 0＜ a＜ 2 时，轨迹方程是

41

4

2

2

2

2

ay

ax

＝1，轨迹是双曲线．

点评：注意定值的取值范围不同，

所得轨迹方程不同．

例 2 一炮弹在某处爆炸，在 F1(－5000，0)处听到爆炸声的时间比在

F2(5000，0)处晚17300

秒，已知坐标轴

的单位长度为 1 米，声速为 340 米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求

爆炸点所在的曲线方程．

变式训练 1

方 程k

yk

x

510

22

＝1 表示双曲线，则 k∈( )

解：∵方程k

yk

x

510

22

＝1表示双曲线，

∴(10－k)(5－k)＜0，∴5＜k＜10．

变式训练 2

F1、F2为双曲线4

2x

－y2＝－1 的两个焦点，

点 P 在双曲线上，且∠

F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )

PPT 展示变式训练

题目，让学生及时巩

固。

针对学生探究成果

和存在的问题，通过

幻灯片展示出来，让

大家互相学习，互相

启发。

通过 PPT 给出一种

或多种不同解决方

案。

10

点评：在 F1 处听到爆炸声比 F2处晚

17300

秒，相当于爆炸点离 F1的距离比

F2远 6000 米，这是解应用题的第一关

——审题关；根据审题结合数学知识

知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是

解应用题的第二关——文化关(用数

学文化反映实际问题)．借助双曲线的

标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解

决应用题的第三关——数学关(用数

学知识解决第二关提出的问题)．

解：双曲线4

2x－y2＝－1

的两个焦点是 F1(0，－

5 )、F2(0， 5 )，

∵∠F1PF2＝90°，

∴｜PF1｜ 2＋｜PF2｜ 2

＝｜F1F2｜2．

即 ｜ PF1 ｜ 2 ＋ ｜

PF2｜2＝20 ①

∵ ｜ PF1 ｜ － ｜

PF2｜＝±2，∴｜ PF1 ｜ 2 － 2｜

PF2 ｜ · ｜ PF1 ｜ ＋ ｜

PF2｜2＝4 ②

①－②得 2｜PF1｜·｜

PF2｜＝16，∴21PFFS ＝

21｜PF1｜·｜PF2｜＝4．

反思

总结

1.双曲线定义中需要注意的条

件： 2 2c a2.双曲线方程的特点（注意与椭

圆对比、区分）： 2x 、 2y 的系数

符号相反，若 2x 的系数为正，则

焦点在 x轴上，反之则在 y轴上。

3.求双曲线方程关健是确定 2a 、

2b ，常见的方法是待定系数法或

直接由定义确定。

学生通过PPT上设置的不同问

题，在教师的引导下，回顾本

节知识和方法。

PPT 上设置不同问

题引导学生总结双

曲线的定义，符号表

示，标准方程，以及

与椭圆的联系和区

别。

布置

作业

教材课后习题 1、2、3

布置预习下一节课。

七、教学特色

1、本节课为了培养学生直观感知双曲线图形特征，利用网络资源搜集了几幅双

曲线实物图片，达到了预期设置情景效果，激发学生画双曲线兴趣。

2、利用动画演示媒介，动态演示双曲线画法，直观形象，避免文字的枯燥无味，

11

调动了学生的注意力，给学生留下深刻印象。

3、变式训练的探究，通过幻灯片有选择地及时展示学生的研究成功，激发了学

生的积极性和表现欲，有利于启发、引导思维受阻学生，实现突破，收获成功，

促进互助学习。

高中数学学科教学设计

宿州学院附属实验中学 罗风云

教学主题 高中数学人教 A版教材必修 1课本§2.3 幂函数

一、教材分析

幂函数作为基本初等函数之一，之前学生已经系统的学习了函数的基本概

念、性质，研究了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究

函数已经有了清晰的思路和方法．从教材的整体编排来看，环环紧扣，非常紧凑，

充分体现了知识的发生、发展过程，编者想通过幂函数的教学主要是使学生进一

步较系统的掌握幂函数的图象性质和研究函数的一般方法，为今后学习三角函数

等其他函数打下一个良好的基础．

教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三：第一，幂函

数中有一特殊函数 ，学生在没有学习分数指数幂之前，不能从根本上理解

此式；第二，学生在初中已经学习了 三个简单的幂函数，在

第一章中也通过信息技术应用知晓了函数 ，对它们的图象和性质已经有了

一定的直观认知，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成系统的知识结构；

第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数

函数的研究方法，渗透分类讨论、数形结合的数学思想，达到培养学生归纳、概

括的能力的目的，使学生熟练的利用它们解决一些实际问题，体会从特殊到一般

的研究过程，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未

知函数的意识，以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这

个角度看，本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测，是

12

对之前研究函数的一个升华.

二、学生分析

之前学生已经系统的学习了函数的基本概念、性质，研究了三个特殊函数：

二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法.

三、教学目标

1.知识与技能目标

了 解 幂 函 数 的 概 念 , 会 画 五 个 简 单 的 幂 函 数

的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性

质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题；

2.过程与方法目标

引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和

抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在

研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；

3.情感、态度与价值观目标

通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象

的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体

会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也

会激发学生的求知欲望.

重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律．

难点：幂函数的图象与性质的简单应用

重、难点突破措施：

1.以情感人，以理醒人

创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝

丝入扣.

2.数形结合

现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重

难点.

四、教学环境

13

√简易多媒体教学环境 √交互式多媒体教学环境

□网络多媒体环境教学环境 □移动学习 □其他

五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术？在哪些教学环节如何使

用这些技术？使用这些技术的预期效果是？）200 字

围绕本节课的教学重点，教学过程中以“问题串” 的形式展开教学，逐步

引导学生观察、思考、归纳、总结。

首先，在教学过程中深入挖掘课本资源，通过从问题情境中抽象出具体函数

，引导学生总结出幂函数的概念，针对学生容

易将幂函数和指数函数混淆的情况，在得到幂函数的概念之后，组织学生对这两

类函数的解析式进行辨析。

其次，由于学生对抽象的幂函数及其图象缺乏感性的认识，因此对于幂函数

的图象与性质的探讨，采用从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先

重点研究常见的幂函数 的图象和性质，然后通

过观察图象总结幂函数的一些共性，之后使用几何画板软件动态演示幂函数的图

象（主要是在第一象限，其他象限内的情况，可结合奇偶性得到）随幂指数连续

变化的情况，让学生总结出幂函数随幂指数改变的变化规律，最后再通过例题应

用得出的研究成果，让学生预测将要出现什么样的图象，现场电脑检测成果的有

效性，让学生享受成功带来的乐趣。在这个过程中，让学生体验利用信息技术来

探索函数图象及性质的优势。

六、教学流程设计（自行修改）

1. 情境创设

问题 1：请写出下列函数的解析式：

①如果某人购买了每千克 1 元的蔬菜 千克，那么他需要付的钱数 （元）关于购买的

蔬菜量 （千克）的函数解析式为_____.

②如果正方形的边长为 ，那么正方形的面积 关于 的函数解析式为_____.

③如果正方体的边长为 ，那么正方体的体积 关于 的函数解析式为_____.

④如果正方形的面积为 ，那么正方形的边长 关于 的函数解析式为_____.

⑤如果某人 s 内骑车行进了 1 km，那么他骑车的速度 （km/s）关于 的函数解析式为

_____.

14

生 1：函数的解析式分别是： （即 ） （即

）.

问题 2：如果将上述函数解析式左侧的因变量改成 ，右侧自变量改成 ，请仔细观察得

到的函数解析式，它们具有什么共同特征？ 是指数函数吗？

生 2：新得到的函数的解析式分别是：

其共同特征是：

1.幂的形式且系数为 1；2.幂的底数是自变量 ；3.幂的指数是常数.

它们都不是指数函数.

【设计意图】从特殊到一般，将实际问题转化为数学问题，同时，统一自变量与因变量

之后，让学生更能直观感知幂函数解析式的共同特征，达到锻炼学生的观察能力与概括能力

的目的.

2.概念引入

师：经过以上的分析，我们把形如 的函数叫做幂函数，其中 是自变量，

是常数.

问题3：你能说出幂函数 与指数函数 有什么区别吗？

生 3：很明显，这两个函数的自变量的位置与常数的位置是颠倒过来的.

【设计意图】针对学生容易将幂函数和指数函数混淆的情况，组织学生对两类函数的解

析式进行对比，从而达到强化记忆的目的.

随堂练习：若幂函数过点 ，求此幂函数的解析式.

生 4：设幂函数的解析式为 ，将 代入解析式得 ，解得

，因此所求幂函数的解析式为 .

【设计意图】通过此题，让学生进一步了解幂函数的概念，掌握待定系数法.

3.新知探究

问题 4：研究函数一般从哪些方面着手？类比之前研究指数函数、对数函数的方法你准备

怎样研究幂函数？

15

生 5：研究函数一般从其定义域、值域、奇偶性与单调性等方面着手，考虑借助幂函数的

图象研究幂函数的性质.

【设计意图】引导学生类比之前研究指数函数与对数函数的思路，去研究幂函数的图象

与性质.

师：按照从特殊到一般的原则，我们首先研究五个具有代表意义的幂函数.请在同一平面

直角坐标系中作出下列函数 的图象. 在作图之前请大

家思考，如何画图更加准确快捷.

生 6：之前的学习中，已经知晓了 函数的图象.对于未知函

数 的图象采用描点法作图，容易看出该函数的定义域为[0，+∞），而后描点作图.（作

图略）

【设计意图】首先引导学生归纳未知函数的作图思路与具体操作方法，其次将五个幂函

数的图象放在同一个直角坐标系中，有利于对比总结出幂函数的一些共性.

问题 5：根据上述图象的特征，填写下面的表格（生 7 回答，教师板书）

定义域 R R R [0，+∞）

值域 R [0，+∞） R [0，+∞）

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数

单调性 R上增（-∞，0）减

R上增 [0，+∞）增（-∞，0）减

（0，+∞）增 （0，+∞）减

【设计意图】由形到数，发现 5 个具体幂

函数的性质，为探寻幂函数的共性做好铺垫.

师：从以上可以看出，幂函数随着幂指数

的取值不同，它们的图象和性质存在着较大的

差异，下面就请同学们通过观察上述函数的图

象来探寻幂函数的一些共性，我们来看以下 5

个问题：

问题 6：幂函数图象过定点及象限的情况.

生 8：观察图 1可知：

16

幂函数过定点 ，不一定过 ；

幂函数图象过第一象限，不过第四象限.

师：你能利用幂函数的解析式 解释其中的原因吗？

生 9： ，因此幂函数过定点 ； ，因此.幂

函数图象过第一象限.

问题 7：幂函数在区间 上的单调性如何？

生 10：观察图 2 可知：

时，幂函数 在 上是增函数；

时，幂函数 在 上是减函数.

师：你能通过解析式说明以上结论为何成立吗？

生 11： ，根据复合函数的单调性，由 和 的递增性可以得到

上述结论.

师： 呢？另外，通过幂函数在区间 上的单调性，你能判断幂函数在区间

上的单调性吗？

生 12： 时，幂函数变为 ，此时无单调性. 判断幂函数在区间

上的单调性借助函数的奇偶性判断即可.

问题 8： 时，幂函数 在 上的图象的高低与指数的变化有何关系？

生 13：观察图 3 可知：

17

当 时， ；

当 时， .

(与指数函数的单调性不谋而合)

问题 9：幂函数 ， 与 的图象有何不同？

生 14：观察图 3 可知：当 时，幂函数 的图象向下凸出；当 时，幂

函数 的图象向上凸出. （教师借助几何画板动态检验，如图 4）

问题 10：减函数在 的图象特征又如何呢？

生 15：观察图 5 可知：

18

时，幂函数 在第一象限的图象向上与 轴无限接近，向右与 轴无限接近.

【设计意图】设计问题串，利用学生的自主探究完成幂函数图象与性质的梳理，一方面

提高学生对教学的参与度，另一方面引导学生学会如何透过图象研究函数性质的方法.

4.例题精析

例 1.已知幂函数 ，请画出该函数的草图.

（学生自行解决，之后教师利用 DrawTools 软件进行作图，验证草图的正确与否）

【设计意图】首先利用此题强化了幂函数的概念，其次使学生明白为了得到函数草图就必

须要去研究函数的一般性质：定义域、值域、单调性、奇偶性，让学生体验得到函数图象的

过程，体现学生的主体地位，让学生享受成功带来的乐趣的同时，也为高考中一种常见题型

（以未知函数解析式找寻图象的选择题）提供了解决思路.

例 2.比较下列各组数大小：

拓展延伸：

（2010 高考安徽卷文科第 7题）比较 的大小.

（学生自行解决，教师引导学生总结思路和方法）

【设计意图】引导学生利用之前学过的构造函数法比较大小，此法究其本质而言是利用函

数的单调性判断大小，通过例 2 使学生在构造函数时要注意考虑定义域，通过拓展延伸使学

生关注两点：一是幂指数相同时构造成幂函数,底数相同时构造成指数函数；二是对指数函数

与幂函数的单调性进行辨析.

七、教学特色

19

布鲁纳说过：探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展.目前以自主、合作、

探究为主的教学方式已成为课堂教学中一道亮丽的“景致”，学生开展自主探究是以问题为

载体，唤醒学生自主探究，在探究活动中充分发挥学生的自主性和能动性，让学生经历感悟、

体验、反思和矫正的过程，从而实现学生自主学习能力的提高．本节课笔者采用学生自主探

究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创

新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维价值. 教学

过程中笔者以“问题串” 的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结.为了设

计好本节课，笔者作了如下的思考：

一个成功的新课导入能为课堂教学创设良好的开端，可以明确学生的思维方向和学习目

标，可以拉近学生与学习材料之间的距离，降低理解学习材料的难度，同时能集中学生的注

意力，激发强烈的学习兴趣和探究欲望. 对于新课的导入，教师需要创设合适的问题情境，

最为重要的是切中主题,应该坚持启发性、目的性、关联性和简短性等原则，要凸显“数学

味”.为此，笔者深入挖掘课本资源，设计了一个问题串，通过从问题情境中抽象出具体函

数，将得到的五个函数解析式左侧的因变量改成 ，右侧自变量改成 ，使函数的解析式

变成统一格式，使学生通过观察迅速概括出幂函数解析式的共同特征，这样做有效地降低了

学习难度，“唤醒”了学生的“食欲”.

在新知探究的过程中，笔者仍然通过“问题串”的形式组织教学.对于课堂提问，笔者

认为不宜过多放在学生的“已知区”与“未知区”，也就是说问题不能过易或过难.经验丰富

的教师经常润物细无声，课堂提问的起点虽然不高，但是通过一系列问题串的引导，却总能

激发学生学习的热情.这些教师比较善于在学生的“最近发展区” 与“已知区”两者的结合

处（即在知识的“增长点”上）设计问题，这样处理对利用学生的已有知识对新知识进行同

化非常有利，有助于学生形成、巩固和完善新的认知结构，促使学生的认知能力与思维能力

迅速提高，从而实现将学生认知结构中的“未知区”转化为“已知区”的目的.[1]本节课之

前学生已经系统的学习了函数的基本概念、性质，研究了三个特殊函数：二次函数、指数函

数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法，因此，本节课笔者考虑放手让

学生自己进行合作探究学习.在本节课新知探究的过程中，笔者引导学生首先总结研究函数

的思路和方法，考虑到学生对抽象的幂函数及其图象缺乏感性的认识，于是，笔者采用从特

殊到一般、再从一般到特殊的方式安排教学，根据学习目标所涉及的相关知识都设计了问题

串.通过这样的问题串，与学生已有的知识结构相衔接，学生对未知的情况就有了极大的兴

趣，同时学生对归纳幂函数的图象特征与性质有了明确的目标与方向，在一步一步的“自我

20

唤醒”中，完成了对幂函数图象与性质的建构.

高考试题“源于教材，高于教材”，很多试题是对课本的基础知识与例习题进行“深加

工”后的成果，因此，笔者认为课堂教学要用教材教，而不仅仅是教教材，在具体的实践中

绝不能照搬教材，得根据学情创新教学内容，精心设置例习题，强调知识间的综合应用能力，

“唤醒”学生利用所学知识急于解决问题的欲望.在设计例题时，笔者考虑到学生已经对幂

函数的图象与性质有了一个初步的了解，笔者并没有安排教材中的例题，而是另辟蹊径，安

排例 1 让学生根据所学知识绘制未知函数 的草图，之后利用信息技术软件进行

现场作图，检测结果正确与否，让学生体会到学习数学是有用的、有价值的，同时针对学生

容易将幂函数和指数函数混淆的情况，安排例 2利用构造函数法比较大小，组织学生对这两

类函数的解析式与单调性进行辨析，找出新旧知识的衔接点，从另一个层面进行复习巩

固.

等比数列（第一课时）教案

安徽省滁州中学 王健

一、教材分析

1．等比数列是全日制普通高中课本第三章数列的第四节内容，本章的主要内容是数

列的有关概念，等差数列、等比数列的概念与有关公式，这两部分内容互相联系，数列的

有关概念是研究等差数列、等比数列的基础，等差数列、等比数列的学习，又可以加深对

数列有关概念的理解。

2．本节教学重点是等比数列的概念及等比数列的通项公式，难点是通项 an≠0及 q

≠0的解决方法。本节在讲授等比数列的概念及等比数列的通项公式时，可对比等差数列

来讲解，关键是讲清等比数列“等比”的特点，同时需要培养学生理论与实践相结合的能

力，用不完全归纳法发现并解决问题的能力。

二、教学目的

1．掌握等比数列的定义和通项公式，会用通项公式求有关元素：an、n、q、a1等并

能解决某些实际问题。

2．培养学生用不完全归纳法发现并解决问题的能力（即归纳、猜想）理论与实践相

21

结合的能力。

三、教学过程设计

教学过程 设计说明

创设

问题

情景

实例引入：

⑴细胞分裂

⑵一尺之棰，日取其半，万世

不竭

（3）银行支付利息的方式

师：上述例题各包涵一个数学

问题。

从实例出发，设

置问题，有利于激发

学生的好奇心，从而

调动学生的积极性。

思考

探索

辨析

研究

让学生充分的自主思考，进而

把握概念的实质，大多数学生会得

出正确结论：

⑴包涵一个数列：

学生 1：1，2，4，8……

⑵也包涵一个数列：

学生 2： 1 1 11 , ,2 4 8

， ……

学生 3：

教师要引导学

生在实际问题中发

现新问题，启发学生

从问题出发，紧扣有

关知识得出结论。

创设

问题

情景

师：以上三个数列有何特点？ 从学生熟悉的

现实出发设置问题，

符合学生认知规律。

自主

探索

与研

学生积极思考，老师不时穿插

引导，从而很快得出结论：

学生 4：从第 2项起，每一项与

教学中引导学生学

会归纳概括是十分

必要的，因为归纳概

10000 1.0198 ，

210000 1.0198 ， 310000 1.0198 ，

22

究 它的前一项的比是常数。

师：以上三个数列都符合学生 4

所说的规律，它们都是等比数列，

那么如何给等比数列下定义呢？

生：一般的，如果一个数列从

第 2 项起，每一项与它的前一项的

比是常数，这个数列就叫等比数列。

常数 q叫做等比数列的公比。

括本身就是一种创

造能力。

创设

问题

情景

师：数列⑴，⑵和（3）的公比

分别是什麽？

生：数列⑴的公比是 2，数列⑵

的公比是12，数列（3）

师：公比 q 是任意常数，能否

为零呢？

再次设置问题，

让学生充分发挥自

己的思维去讨论。

自主

探索

与研

究

学生积极思考和解答

生 1：不能，若 q = 0，则 a2 = a1q

= 0，这样 3

2

aa

就没有意义，∴q ≠ 0

生 2：等比数列的任意一项都不

能是零。

教师给予适当

的点拨或引导。

创设

问题

情景

师：已知等比数列的 a1和 q，

能否表示通项呢？

再次提出问题

辨析

与研

究

教师启发引导，板书如下：

∵a2 =a1 q

a3 =a2 q=（a1q）q =a1q2

a4 =a3 q=（a1q2）=a1q3

………

∴an = a1q n-1

教师与学生在

研讨中想清道理，形

成归纳。

1.0198，

23

师：由不完全归纳法得到 an =

a1q n-1

说明：举例讲解当 q＞0时，各

项同号，当 q＜0时各项正负相间。

例题

讲解

例 1． 在等比数列 na 中，

例 2．一个等比数列的第 3项与

第 4项分别是 12与 18，求它的第 1

项与第 2项。

例题由学生自

己解决，让学生体验

定义的实质，限于篇

幅原因，解题过程

略，但教师需关注学

生解题与数学语言

表达能力的培养。

练习 课后练习 通过练习，加深

理解

反思

与评

价

1.等比数列的定义

2.等比数列通项公式

3.等比数列的设法及应用

通过总结，再认

识，再提高。

作业 习题 3．4 第 1，2，7，9题 巩固本节知识

四、课堂教学设计说明

1．本节课的整体设计是按照一般研究数列的规律设计的．由实例引入定义，根据定义导

出通项公式，通过例题加以理解．

2．本节为了提高效率，吸引学生，采用了现代化教学手段，利用投影仪或电脑，讲课

时一定要注意体现过程教学．例题的解答也要让学生去分析，发现解法．这样有利于学生在

观察、发现、解决问题的过程中，建立起学好数列、学好数学的信心．

4 7(1) 27, 3, ;a q a 求

2 4 1(2) 18, 8,a a a q 若 求 与

24

——高二立体几何“二面角”教学设计

【教材分析】

课题：二面角 课型：新授课

教材：1、教育部新编《全日制普通高级中学数学教学大纲》；

2、《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学》第二册（下 A）。我将这一单元的学习目标定位于：引导学生掌握运用已有的知识进行交流，并能将实际问题抽象为数学问

题，建立数学模型，从而形成比较完全的数学知识。

【教学目标】

1.知识目标

（1）使学生初步了解二面角及二面角的平面角概念；

（2）使学生能求二面角的平面角大小。

2.能力目标

（1）培养学生的空间想象能力；

（2）培养学生提出问题能力、自主学习能力、协作学习能力和自我评价能力；

（3）提高对信息的处理能力，锻炼学生的实践能力。

3.发展目标

（1）激发学生学习积极性；

（2）培养思维的变通性和严密性，培养学生的探索精神和创新个性。

【教学重点、难点】

1.重点：二面角的概念及其平面角的探索

2.难点：求作二面角的平面角

【教学模式】

基于网络环境下的高中数学自主探究式教学模式：创设情境--提出问题--自主探索--网上协作--网上测试--课堂小结。

【教学媒体】

1、 高中数学虚拟实验室（配有思科交换机、浪潮服务器、长城客户机、千兆主干 100M到桌面等的校园

网）；数学辅助教学软件——“几何画板——21世纪动态几何”Windows3.5版本。[来源:学§科§网]

2、 附纸模具图。

【教学过程】[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

1、第一环节——“创设情境”的设计

⑴学生进入教室之前放一段轻音乐，营造一个轻松的学习氛围。

⑵待学生进入教室后，将轻音乐切换成一个带有二面角的旋转的立方体环境中，从而将学生的思想引入正

题。

2、第二环节——“提出问题”的教学设计

教师利用投影仪将立方体图形切换成展示平台中的三视图。

学生很自然地会提出下述问题：

问题 1：这是什么图形？

问题 2：平面 AD被直线 FG分成几个部分？它们是否为平面？为什么？

问题 3：它们分别是什么？怎样由上图获得？

25

3、第三环节——“自主探索”的教学设计

让学生沿着提出问题的思路去寻找、去探索，得出各问题的结论，教师适时引入半平面与二面角的概念。

（1）、教师可展示课件，初始界面如图：

教师双击“观动画演示”按钮，并问学生：你们现在看到了什么现象（这时屏暮上的二面角的大小在连续

变化）？

问题：怎样度量二面角的大小呢？我们过去只学过如何度量两条相交直线所成的角，度量直线与平面所成

的角要归结为两条相交直线所成的角，那么，如何度量二面角的大小呢？

（1）、由学生独立思考，利用上述课件进行自主探索，得到从二面角的棱上一点出发的且在二面角的面上

的两射线的动态图形，单击鼠标左键，动画停止。学生看到在二面角固定的情况下，从二面角棱上一点出

发的在二面角两个面上的两条直线所成的角是不确定的。那么，怎样来度量二面角的大小呢？

教师可拿一本张开的硬皮书，让学生从不同角度去观察，进一步启发学生。

（2）、选中“清屏”按钮，可清掉以上两条射线。待学生思考后，双击“平面角”按钮，屏幕显示二面角

的平面角。如下图：

26

教师启发学生，并组织学生讨论，由学生给出二面角的平面角的定义。

经过教师的适时引导与学生的自主探索，学生自己得出结论：二面角的平面角是指在二面角的棱上

任意一点分别在二面角的两个面内引棱的垂线，它们所成的角即为二面角的平面角。二面角的大小是用二

面角的平面角来度量的。

4、第四环节——“网上协作”的教学设计

通过网络，教师展示课件 2，初始界面如图 10：一条山路 PG和山脚 AB成 45度角。已知山坡和水平面成 60度角，问沿山路前进 100米实际升高了多少

米？

（1）、双击“动画”按钮，显示M点沿 PG以及MN变化的情况。教师结合屏幕提问：此题已知和所求分

别是什么？此题关键是什么？

（2）、在解题回顾中，教师可用鼠标选中 B点，调整二面角的大小（微调），也可用鼠标选中 G点调整 PG

27

的位置，提出如下问题：

已知二面角的大小，山路与水平面的角，和山路与山脚所成的角（∠GPQ）中的两个，如何求第三

个？

由学生在个人自主探索的 基础上开展 小组讨论、协商，教师帮助学生共同完成以上问题，并加以整理，

然后教师启发性地回答解决学生的问题。这样一来，可以进一步完善 和深化对主题——“二面角的概念

及其平面角的求法”的意义建构，并通过不同观点的交锋，补充、修正、加深每个学生对当前问题的理解。

5、第五环节——“网上测试”的教学设计

通过网络，教师将教师机中预先准备的问题切换于学生机，并由学生根据具体自身的实际情况做答。

5．1、达标级试题：

（1）已知,P是二面角α-l-β内的一点,PA⊥α,PB⊥β,求证:PA与 PB所成的角与二面角的平面角互补.（2）在正四面体 ABCD中，E为 AD中点，试找出：

（2-1）A到平面 BCD距离； （2-2）异面直线 AC、BD的距离；（2-3）AD与平面 BCD所成的角；（2-4）二面角 A-BC-D的平面角；（2-5）CE与平面 BCD所成的角；（2-6）二面角 E-BC-A的平面角。

5．2、提高级试题：

（3）在二面角的一个面内有一直线与另一个面成 30°角,这直线与棱成 45°角,则二面角为_______.（4）正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 a，点 A'到平面 AD'B'的距离是___________；平面 AD'B'与平面 ABCD所成的二面角大小为_________；平面 AB'D'与平面 BDC'的距离是___________.5．3、提高级试题：

（5）如图，求二面角 C'-DB-C 的平面角 ；求二面角 A-DD'-B的平面角。

5．4、欣赏级试题：

设计思想：为了使低分数段的学生有成功感，高分段的学生有激励作用，将考试题分为四个层次; 第一层

次为达标级，按教学大纲的要求设计; 第二层次为提高级，在达标级基础上增加了分析层面的学习和变式

练习;第三层次为优胜级，增加了新旧知识联系的综合层次的学习与练习; 第四层次为欣赏级，提供了与二

面角有关的高考试题和数学竞赛试题分析与解答。 通过网络，教师将教师机中预先准备的问题切换于学

生机，并由学生做答。

“网上测试和评估”以学生的自我评价（它具有自我诊断功能、自我反馈功能、自我激励功能）为主，它

是对数学学习效果评价最主要、也是最重要的评价方式。同时辅之以学习小组评价方式（依据一定的评价

标准，在教师指导下，对个人的学习作出分析、判断，并促使学生进行调节。）或教师进行评价方式（教

师依据一定评价标准，对学生学习作出分析、判断，并进行调节。）。

6、第六环节——“课堂小结”的教学设计

（1）、先由学生进行小结，再由教师进行归纳，本节课主要内容如下：

①半平面。②平面。③二面角。④二面角表示法。

⑤直二面角。⑥二面角的平面角及计算。

（2）、教师通过网络展示课件 3，初始界面如图：

如图，ABCD 是正方形,E是 AD的中点，若将三角形 BAE和三角形 CDE分别沿 BE ,CE 折起，使 AE与

DE重合,A,D重合后的点设为 P，求面 PBC 与面 BCE 所成的二面角的大小。[来源:学。科。网]

（3）、由学生结合试题（6）、试题（7）与本课件，独立进行归纳，总结解决折叠问题的方法和规律，并

利用《几何画板》制作有关折叠问题的课件，写出有关折叠问题的小论文。（“小论文”课后完成）

（4）、课后作业：P45 ，习题：9.6 2，3，4（5）、新课结束。

设计思想：培养学生的数学创新精神和实践能力是数学素质教育的核心内容,我们认为“课堂小结”是实现

这一目标的有效途径。

28

“课堂小结”可采取多种方式，或由学生做或教师做或师生共同做，或由学生写成小论文的形式来完成。

§1.5.2 正弦函数的性质

阜阳五中 王长胜

使用说明：1.课前认真阅读并思考课本 P28-30 页内容，然后根据自身能力完成学案所设计的问题，并

在不明白的问题前用红笔做出标记.

2.限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑.并对每个问题做出点评，反思.

学习目标：

1.能根据正弦函数的图像观察得出正弦函数的定义域、值域、最大（小）值、周期性、单调性、奇偶性、

29

对称性

等基本性质.

2.会应用正弦函数的性质来研究讨论函数 )0(sin abxay 的性质，特别是其最值问题.

3.在探究正弦函数基本性质和图像的过程中，体会数形结合的思想方法的应用，进一步培养发现问题、提

出问题、

解决问题的能力，并养成良好的数学学习的习惯.

重点难点

学习重点:正弦函数的主要性质(包括定义域、值域或最值、周期性、单调性、奇偶性);深入研究函数性质

的思想方法.

学习难点:正弦函数图像的对称性，以及含有 xsin 的函数的性质.

一、问题导学

1.回忆并画出正弦函数的简图 ，你是如何作出正弦函数的图像？

2.回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质？

3.仔细观察正弦函数的图像，你能观察出正弦函数的哪些性质？

正弦函数的性质：

1．定义域： ．

2．值域： ．

① 当且仅当 x 时，函数取得最大值 ．

② 当且仅当 x 时，函数取得最小值 ．

3．周期性:正弦函数是周期函数，最小正周期是 .

4．单调性：正弦函数在每一个区间 上是增加的，其值从 增加到 .

在每一个区间 上是减少的，其值从 减小到 .

想一想：正弦函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？

5．奇偶性：

正弦函数图像关于 对称，因此正弦函数 )(,sin Rxxy 为 函数．

议一议：1.正弦函数 )(,sin Rxxy 的图像有对称轴吗？有对称中心吗？为什么？

2.你能利用正弦 函数图像总结得出诱导 公式 Zkk ,sin)2sin( sin)sin(, ，

30

sin)sin( 和 sin)sin( 吗？

二、导学自测

1.观察正弦曲线，写出满足 0sin x 的区间.

2.函数 siny x ， )6,

65(

x 的值域是 .

3.函数 3siny x ，当 ,x 时，在区间 上是增加的，在区间 上是减少的；

当

x =_______时， y取最大值_____；当 x =_______时， y取最小值_____．

三、合作探究

1.利用五点法画出函数 1sin xy 的简图，并根据图像讨论它的性质.

想一想：函数 1sin xy 与正弦函数有何异同？

变式训练：已知函数 bxay sin 的最大值是 1，最小值是 3 ，试确定该函数的单调区间.

2.利用函数的单调性,比较下列各组数的大小:

(1)59sin

与623sin

； (2) )43sin(sin

与 )35sin(sin

.

31

小结：比较两数大小的常见方法有哪些？

3.请画出函数 |sin|sin xxy 的图像，你从图中发现此函数具有哪些性质？

四、课堂小结

1.本节中你学到了哪些知识内容？ 2.你还有哪些不明白的内容？

五、巩固测评

1.求函数 lg(2sin 1)y x 的定义域．

2.求函数sin 2sin 1xyx

的值域.

32

3．求方程 lg sinx x 实根的个数．

4.函数 )(xfy 的定义域为 R，周期为 2，且当 11 x 时， || xy ，请你画出该函数的图像并探

讨其性质.

六、课后反思与数学笔记