第二章 

二次曲線 

圓方程式 

圓與直線 

拋物線的圖形與標準式 

橢圓 

雙曲線 

圓方程式 

 

圓心( , 半徑 r , P , r  

例  :  求圓心為(7,‐2),半徑為 5的圓方程式 

 

Sol :  7 2 25  

例：以Ｏ(2,‐3)為圓心,且過點 A(‐2,0)的圓方程式為何? 

SOL:r A0 √16 9 5 2 3 25 

 

例：以 A(‐1,2), B(3,‐4)為直徑兩端點的圓方程式為何? 

圓心(1,‐1)        2 4 9 13r           x 1 y 1 13    

 

設 A , , B , 為坐標平面上兩點 ,以AB為直徑的圓方程式為 0此式我們稱為圓的直徑式. 

 

1  

圓的一般式  : 

dx ey f 0   x y d e 4f  圓的判別式  :  d e 4f (1) 當d e 4f 0 .方程式 dx ey f 0 表一圓 

圓心 , ,半徑 r √d e 4f (2) 當d e 4f 0 ,方程式 dx ey f 0 表一點 

此點為 , ) (3) 當d e 4f 0 ,則原式無圖形 

例：求圓x ＋y 6x 8y 11 0 的圓心及半徑  

Sol:  x 3 y 4 11 9 16         x 3 y 4 36         圓心=(3,‐4) r=6 

 

隨堂：x y 2x 4y 4 0 之圓心_________,半徑________  

Sol:圓心 , 1, 2  

              r √6 16 16 6 3  

例：設 為實數,若方程式 2 2 6 0 的圖形為一點, 請問 值為何? Sol: 2 4 2 6 0       4 8 24 0  8 20 0       10 2 0       10 or 2   

圓的參數方程式 

圓x y r 之參數式為 x r cos θy r sin θ  , 0 θ 2π  ,  θ 為參數 

圓 x y r 的參數式為 x r cos θy r sin θ 其中0 θ 2π , θ 為參數 .  

例  :  將下列圓方程式化為參數式  :   

(1) x 3 y 5 4 (2) x y 6x 4y 3 0  

Sol : (1)   x 3 2 cos θ

y 5 2 sin θ 0 θ 2π  2 x 3 y 2 3 9 4 16 4                 

x 3 4 cos θy 2 4 sin θ 0 θ 2π 

例  :  設圓的參數式為x 3 cos θ

y 2 3 sin θ  ,  0 θ 2π  , 則圓心與半徑各為何  ?   

 

Sol:          圓心  : (0,‐2) 

                半徑  = 3 

 

習題  :  圓的參數式為x 3 5 cos θy 7 5 sin θ , 0 θ 2π ,則 

其圓心為________  半徑________. 

 

Sol:  圓心  : (‐3,7) ,  半徑=5 

圓與直線  :   

 (1)d(O,L) r 

 

 

例  :  直線 L:2x‐y+2=0  與  圓 C: x 2 y 1 4 的關係為何? Sol :      圓心 P:(2,‐1) , r=2 

              d(P,C) =| |

√ √5 2                  ∴圓 P與 L不相交 

練習  :  若 L:2x+y‐k=0  與  圓  x y 9 相切,則 k=________ Sol :      d(圓,L)=3 

              圓心(0,0)                 | |

√ 3 k 3√5 

例：直線 L：3x‐4y‐10=0  與圓  C:X Y 16 交於點 A,B 則AB ?  

SOL:  圓心：(0,0),R = 4 

d:| |√ = 2 

AB 2√16 4 2√12 4√3  

例：設Ｐ為圓Ｃ： X 1 Y 2 9 上之一點, 則 P 點至 L:X‐Y=5 之最小距離為何? 

 

SOL: (‐1,2) R=3 

D:| |

√ √ 4√2 3 d‐r=4√3(個上點到直線之最小距離) 

圓的切線方程式： 

１.圓 C： X h y r r   上一點 P(x0,y0),則過 P點之切線方程式 L：y‐y0=m(x‐x0) 

 

m 1y rx0 h

L 與CP垂直 

 

2.設圓 C：x y dx ey f 0 上一點 P（x0, y0  則過 p點之切線方程式 L為： 

x0x y0y d x x02 ey y0

2 f 0  

例:過點 p(‐1,4)且與圓 c：x y 5 相切的直線方程式為何? sol:   

圓心 0:(00)    m=  

y‐4= x+1)   

 

例：過點Ｐ（２，５）且與圓ｘ２

＋ｙ２

６ｘ １７＝０相切的直線方程式？ 

 

ＳＯＬ：２ｘ＋５ｙ－６（ｘ＋２２

）－１７＝０ 

２ｘ＋５ｙ－３ｘ－６－１７＝０ 

－ｘ＋５ｙ－２３＝０ 

ｘ－５ｙ＋２３＝０ 

 

ＥＸ： 

圓Ｃ：ｘ２＋ｙ２＝２５，則過圓上一點Ｐ（３，－４）且與圓相切之直線方程式： 

ＳＯＬ：３－４＝２５ 

 

ＥＸ： 

過Ｐ（１，－１）且與圓Ｃ：ｘ２＋ｙ２＋４ｘ－６ｙ－１２＝０相切之直線方程

式為： 

ＳＯＬ：１＋１＋４＋６－１２＝０ ∴Ｐ在圓Ｃ上

∴切線：ｘ－ｙ＋４（ｘ－１

２）－６（

ｙ－１

２）－１２＝０

２ｘ－４ｙ＝ｎ 

先檢查Ｐ是否在圓上 

例：過點 P(5,3)且與圓(x‐1)2+(y‐1)2=4  相切的直線方程式為何？ 

seL:P(5,3)帶入圓方程式  16+4‐4=16>0 

※P在圓外,固有兩條切線 

令切線 L為 y‐3=m(x‐5)→mx‐y+(3‐5m)=0,則圓心(1,1) 

到 L距離 d= =2 

│4m‐2│=2  

│2m‐1│=1+  

3 ‐4m=0 

m(3m‐4)=0→m=0 or   

 

※L1:y=3 

    L2:y=3+ (x+5) 

    3y=9+4x‐20 

    4x‐3y‐11=0 

2‐3  拋物線的圖形與標準式 f(x)=ax2+bx+c=0 (a≠0)之圖形為拋物線  

定義： 

平面上給一定直線 L及一定點 F(F不在 L上)，則與直線 L及定點 F等距之所有點

P所成的圖形，稱為拋物線。此定直線 L稱為拋物線的準線，而定點 F稱為此拋

物線的焦點。 

對稱軸 L0：過焦點 F且與準線 L垂直的直線。 

頂點 V：對秤軸 L0和拋物線的交點。 

焦距 C：焦點 F到頂點 V的距離(即 FV) 

焦弦：過焦點連接拋物線上任兩相異點的線段。 

正焦弦：與對稱軸 L0垂直的焦弦。 

 

 

例： 在平面上與直線Ｋ：ｙ＝３，且與點Ｆ（－８，０）等距之所有點所成的

圖形方程式為何？ 

ＳＯＬ： Ｐ（ｘ，ｙ）為圓形上的點  

（ｘ＋８）２

＋ｙ２

＝｜ｙ ３｜

１ 

ｘ２＋１６ｘ＋６４＋ｙ２＝（ｙ－３）２＝ｙ２－６ｙ＋９  

ｘ２＋１６ｘ＋６ｙ＋５５＝０ 

（ｙ＝１

６（ｘ２－１６ｘ＋５５）＝

１

６ｘ２－

８

３ｘ＋

５５

６） 

拋物線的標準式 

頂點在原點 

拋物線方程式y 4cx  (1)  若 C > 0 ,  則拋物線開口向右, 

                                                         V(0,0) 

焦距  = |C| 

正焦弦長  = 4|C| 

(2) 

      若 C 

拋物線方程式Ｘ２＝４ＣＹ 

（１）ｃ＞０  （２）ｃ＜０ 

   

例：拋物線之方程式ｙ２＝８ｘ，則其頂點座標，焦點座標，準線方程式、對稱

軸方程式、證焦弦長各為何？ 

ＳＯＬ： 

４Ｃ＝８ ＝＞ Ｃ＝２ 

頂點：（０，０）焦點：（２，０）準線：＝－２ 

對稱軸：ｙ＝０ 正焦弦長＝４｜Ｃ｜＝８ 

 

例：拋物線ｘ２＋６ｙ＝０ ｘ２＝－６ｙ 

ＳＯＬ：Ｖ：（０，０） 

４Ｃ＝－６，Ｃ＝３

２ ，Ｆ：（０，

３

２）Ｌ：ｙ＝

３

２ 

對稱軸：Ｘ＝０， 正焦弦長＝４｜ｃ｜＝４ｘ３

２＝６ 

頂點在(h,k) 

y k 4c x h            c>0                                                                                            c

(x‐h)2=4c(y‐k) 

(1)C>0 

 

 

 

(2)C

橢圓的圖形與標準式 

                平面上 

定義：到兩相異點之距離和為一固定常數之所有點所成集合即為一橢圓 

            此兩相異點稱為橢圓之兩焦點，此固定常數即為其長軸長。 

 

中心在原點之橢圓方程式： 

                        1                                          1 

 

長軸長  = 2a                                                             

短軸長  = 2b 

b a c  a > b > o 

正焦弦長  =   

例  :  橢圓中心在原點，兩焦點為

√6, 0 ，長軸長為 8則其方程式為何  ?   

sol :      1 a=4 

c=√6            b √16 6√10 

中心在(h,R)之橢圓方程式 

R 1                                  R 1 

 

例：橢圓形 =1 

中心:(‐2‐1) 

a=5,b=3,c=4                                                        長軸長=2a=10 

F1:(‐2,3),F2:(‐2,‐5)                                                短軸長=2b=6 

正焦弦長=  

雙曲線 

 

定義  :  設F , F 為平面上相異兩點；a為一定數 a > o  且  F F 2 ，則平面上到兩定點F , F 距離差為定數 2a的點 P所成之集合，稱為雙曲線。若 P 為雙曲線上任一點，則|PF , PF | 2a  

xa

yb 1 ,

ya

xb 1 

x ha

y kb 1 ,

y ka

x hb 1 

c  b c a  

數學14數學15數學16數學17數學18數學19數學20數學21數學22數學23數學24數學25數學26數學27數學28數學29數學30數學31數學32數學33