日経225株価指数のモデル・フリー・インプライド...

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　（　　）29

日経225株価指数のモデル・フリー・インプライド・ボラティリティの計算方法に関して～ボラティリティ予測力の観点から～＊

山　　口　　圭　　子†

１　はじめに　オプションの理論価格の導出に用いられるブラック・ショールズ（BS）モデ

ルではボラティリティを満期まで一定であると仮定するので、ボラティリティが

変動する場合、BSモデルを用いて計算したインプライド・ボラティリティ

（BSIV）にはバイアスが生じる。そこで、より弱い仮定（stochastic volatility（SV）

diff usion model）の下で定義できるモデル・フリー・インプライド・ボラティリティ

（MFIV）が提案され（Britten-Jones and Neuberger（2000））、近年注目を集め

ている１）。実際、シカゴ・オプション取引所（Chicago Board Options Exchange）

のボラティリティ・インデックス（VIX）では、S&P500指数のMFIVが採用され

ている。このMFIVは理論的には以下の式で与えられる。

( )( , ) ( , )

exp rTK

P T KdK

KT K

dKC

2F

F2

02

0

0+

3

< F# # （1）

ただし、r は無リスク金利で一定と仮定し、K は権利行使価格、T は残存期間、P はプットオプション価格、C はコールオプション価格、S0 を時点0での原資産

価格、 ( )expF rT S0 0= は満期T をもつ時点0でのフォワード価格である。MFIV

＊　本論文の作成にあたり一橋大学経済研究所渡部敏明教授、同大学大学院経済学研究科田中勝人教授に多岐にわたりご指導していただいた。また、査読者には、丁寧な査読のうえに不備な点のご指摘と有益なご意見をいただいた。ここに記して謝意を表す。本論文は一橋大学経済研究所21世紀COEプログラム「社会科学の統計分析拠点構築」および文部科学省特別研究促進費「高頻度データを用いた日本の証券市場の計量分析」より助成を受けている。尚、本論文における責任は全て筆者に帰するものである。

†　一橋大学大学院経済学研究科博士課程１） Jiang and Tian（2005）はジャンプを加えているが、ここでは簡単化のため、ジャンプはないものとして説明する。

（　　）　一橋経済学　第３巻　第１号　2008 年７月

30

30

はプットもしくはコールのみでも計算できるが、いわゆる in-the-moneyでのオ

プションは流動性が低いので、通常、（1）式のようにout-of-the-moneyのプット

とコールを合わせて計算される（Nakamura and Shiratsuka（1999）を参照）。

なお、ここではプット・コール・パリティが仮定されており、（1）式は現在から

満期までのボラティリティに関するフォワード中立測度の下での期待値を表す。

　実際には、市場で取引されている権利行使価格の数は限られているので、（1）式

は近似して計算しなければならない。Jiang and Tian（2007）は、VIXの計算方法

では近似誤差が大きいことをシミュレーション実験により指摘し、Jiang and Tian

（2005，2007）でより正確に計算する方法を提案している。具体的には、市場で

観測されたオプション価格をBS公式に代入することによりインプライド・ボラ

ティリティ（IV）を逆算し、このIVをスプラインによって補間・外挿する。これ

ら補間・外挿されたIVの値を再びBS公式に戻し、実際には市場で観測されてい

ない権利行使価格に対応するオプション価格を求める。そうすることにより、（1）

式の被積分関数の近似誤差をより小さくし、より正確に計算するという方法である。

　MFIVの日本のデータへの適用例は少ないがNishina et al.（2006）、Maghrebi

（2007）が挙げられる。彼らは、日経225オプション価格からVIXの方法で

MFIVを求めている。しかし、S&P500指数に比べて利用できる権利行使価格の

数が少ないので、Jiang and Tian（2007）の指摘の意義はより大きいように思わ

れる２）。そこで、何らかの方法により、VIXの計算法によるインプライド・ボラ

ティリティ（IV-VIX）とJiang and Tian（2005，2007）の計算法によるインプ

ライド・ボラティリティ（IV-JT）を比較したい。

　ボラティリティの推定値としては、オプション価格から逆算されるインプライ

ド・ボラティリティ（IV）の他にも、日中リターンの２乗和で計算されるRealized

Volatility（RV）が知られている。Jiang and Tian（2005）では、S&P500指数に

おけるRVの予測に関して、MFIVがBSIVと比べて追加的な情報を含んでいる

ことを明らかにしている。そこで、本研究では、日経225オプション価格からIV-

２）後述の渡部（2007b）、山口（2007）では、Jiang and Tian（2005，2007）の方法で算出している。

山口圭子・日経 225株価指数のモデル・フリー・インプライド・ボラティリティの計算方法に関して～ボラティリティ予測力の観点から～　（　　）

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31

VIXとIV-JTをそれぞれ計算し、RVの予測力を比較した。具体的には、RVの長

期記憶性と非対称性を考慮したARFIMAXモデル（渡部・佐々木（2006）、渡部・

山口（2007）を参照）に外生変数としてIV-VIXとIV-JTを加えたモデルをそれ

ぞれ用いた。その結果、IV-JTはIV-VIXと比較して、１期先のRVに対してより

多くの追加的な情報を含んでいることが分かった。

　本論文は以下のような構成となっている。まず２節では、利用したデータにつ

いて述べ、IV-VIX、IV-JT、そしてRVの計算方法について説明する。次に３節

では、分析に使用するARFIMAXモデルについて説明し、データからモデルの

パラメータ推定を行い、予測パフォーマンスの比較を行った。最後に４節では、

本論文をまとめるとともに今後の課題を述べる。

２　ボラティリティの推定2.1　利用したデータ　RV、IVは日経225株価指数のティックデータと日経225株価指数オプション

のティックデータを用いて、年末・年始を除く1997年1月7日から2006年3月31

日まで（サンプルサイズは2255）の日次データで算出した。

　まず、IVの計算に利用したデータについて説明する。満期に関しては、翌月

が限月のものを用いた。日経225株価指数オプションの権利行使価格は500円ご

とである。bid-ask bounceを避けるために、約定価格ではなく、bidとask価格の

平均値を使用した。ティックデータは１分ごとに記入されている。MFIVを精密

に算出するには権利行使価格の数がたくさん必要であり、14：00から15：00 の

取引量が多いためこの時間帯のデータを取り出した。大阪証券取引所のオプショ

ン取引の終了時刻は15：10だが、東京証券取引所の現物取引の終了時刻は15：

00であるのに合わせて、15：00以降のデータは用いない。各権利行使価格ごとに、

同一時刻でbidとaskの両方揃っているものの中から、15：00に一番近いものを

使う。原資産の日経平均はオプションのデータと同一時刻のものを取り出した。

また、無リスク金利には１ヵ月物譲渡性預金（CD）を用いた。

　次にRVについてであるが、日経225株価指数の５分ごとのリターンを利用した。

データベースには３）9：01から前場の終わりまでと12：30から後場の終わりまで


32

32

の1分ごとの価格が記録されている。前場の終わりは11：00、後場の終わりは

15：00であるが、取引された時刻でなく日経225が計算され送信された時刻が記

録されているので11：00や15：00を超える時刻が記録されていることが多い。

ここでは11：00の価格には前場の終値を、15：00には後場の終値を用いた。そ

して、前場の9：01, 9：05, . . . , 11：00と後場の12：31, 12：35, . . . , 15：00

を５分ごとの価格として取り出し、その対数階差を100倍することにより５分ご

とのリターンを計算した。

2.2　VIXによる方法　2005年12月1日を例にして説明する。まず、フォワード価格（F0）の計算に用

いるat-the-money 権利行使価格（K0）を選択する。コールオプション価格とプッ

トオプション価格の差 ( , ) ( , )C T K P T K- の絶対値が最小になっているところを

at-the-money 権利行使価格とする。表１は、限月が翌月のもの（１ヵ月もの）の

オプションであり、15000円で ( , ) ( , )C T K P T K- の絶対値が最小になっている。

　フォワード価格は以下の式より算出する。

( ) ( ( , ) ( , ))expF K rT C T K P T K0 0 #= + - （2）

　次に、計算に用いるオプション価格Qを選択する。表２にあるように、 >K K 0

の場合はコールオプションを、 <K K 0の場合はプットオプションを用いる。K K 0=

のところでは、コールオプション価格とプットオプション価格の平均を用いる。

以下の式からVIXを求めることができる。

( )T K

Ke Q K

T KF2 1 1

i

i T

i

M

ir2

21 0

02

= - -v D

=

< F! （3）

ここで、権利行使価格はM個あるとし、

,,

,<K

K K

K K

ii M

i M

12i

K K

M M

2 1

2

1

i i1 1 #=

-

-

=

=

D -

-

+ -

Z

[

\

]]

]]（4）

３）日経NEEDSティックデータ


33

33

である。

2.3　Jiang and Tian（2005，2007）による方法　市場で取引されている権利行使価格の数は限られているので、（1）式の無限積

分の項は次式のように近似して計算しなければならない。

表１　At-the-money 権利行使価格（K0）権利行使価格 CALL価格( ( , ))C T K PUT価格( ( , ))T KP ( , ) ( , )C T K T KP-

12500 - 1.5 -13000 2030.0 2.5 2027.513500 1625.0 8.5 1616.514000 1080.0 27.5 1052.514500 690.0 92.5 597.515000 357.5 255.0 102.515500 147.5 572.5 －425.016000 52.5 - -16500 17.5 1440.0 －1422.5 17000 3.5 - -

表２　計算に用いるオプション権利行使価格（K）オプション価格（Q）

12500 PUT 1.5013000 PUT 2.5013500 PUT 8.5014000 PUT 27.5014500 PUT 92.5015000 PUTとCALLの平均 306.2515500 CALL 147.5016000 CALL 52.5016500 CALL 17.5017000 CALL 3.50


34

34

（5）( , ) ( , ) ( , ) ( , )K

P T KdK

KC T K

dKK

P T KdK

KC T K

dKF

F F

F

F

F

20

2 2 2L

U0

0

0

0.+ +

3

# # # #

ただし < , <F F0 L U 3である。図１は（5）式の被積分関数を図示したものである。

被積分関数は正であるので負のバイアスが生ずる。また、被積分関数は下に凸で

あるので、離散近似することにより過大評価される。さらに、VIXの場合は、図

１にあるようにF0 でなくK0 で平均をとっており、そのことからも誤差が出てく

る。Jiang and Tian（2007）は、VIXの計算方法はボラティリティが大きいとき

には切断誤差が大きく過小推定され、ボラティリティが小さいとき離散誤差が

大きく過大推定されることを、シミュレーション実験により明らかにした。

　Jiang and Tian（2005, 2007）はスプラインで外挿・補間することにより精密

に計算することを提案した。図２は権利行使価格ごとのBSIVとそのスプライン

補間を図示したものである。被積分関数よりもスマイル関数（ ( )IV f K= ）のほ

うが滑らかであるので、Jiang and Tian（2005, 2007）は一度BSIVを計算しスマ

イル関数を補間してからオプション価格に戻している。以下では、その方法を順

に説明する。いま、権利行使価格の異なるオプションがN個利用できるとし、昇

図１　非積分関数


35

35

順に ,...,K K N1 とする。

　まず、補間方法についてである。BS公式を使って ( )K iv 、 ,...,i N1= を計算し、

natural cubic spline で補間して、IVの関数 ( )f K を求める。 ( )f K は滑らかなので

３次関数で十分である。

　次に外挿方法についてである。外挿方法としては２通り提案されている。Jiang and

Tian（2005）では定数で近似、つまり、 <K K 0のところは ( ) ( )f K K 0/ v 、 <K KN

のところは ( ) ( )f K K N/ v としている。それに対して、Jiang and Tian（2007）

では端においてスプラインに接するような１次関数を用いている。１次関数の傾

きは一般には不明であり、ボラティリティが負になる可能性もあるので、ここで

は定数で近似した。また、Jiang and Tian（2005、2007）ではシミュレーション

実験により、離散和の範囲を SDF 30 ! とれば十分であると示しているので、こ

こでもそれに従い >( )3SDK F0 0- 、 ( )< 3SDFK N 0+ の場合は外挿を行う。ただし、

SDは原資産の標準偏差である。真のSDはわからないので、at-the-moneyのBSIV

で代用した。

　最後に、積分を離散和で近似する。まずKを分割する。簡単化のため、hを正

の整数とする。 , ,K F K K0 0 1 1= -t t t はF0 に近いhで割り切れるものとする。それ以

図１　非積分関数


36

36

外は以下のようにした。

, , , . . .

, , , . . .3

K F j j

K F j j

2 3

2

j

j

1

1

= + =

= + =- -

h

h-

t

t

　hを小さくとることにより、積分のところの誤差を小さくできる。ここでは 50=h

とした。また、 ( , )C T KEXj

t と ( , )T KP jEX t をそれぞれK j

t でのコールとプットのオ

プション価格とする。MFIVは以下の式より得られる。

( )( , ) ( , )

( , ) ( , )

exp rTK

K

P T K

K

P T K

K

K

C T K

K

C T K

2 2

2 >

j

j

EXj

j

EXj

j

j

j

EXj

j

EXj

j

21

2

1

0

21

2

1

0

+

+ +

D

D

# -

-

-

-

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

R

T

SSS

R

T

SSS

V

X

WWW

V

X

WWW

*

4

!

!

ここで、

K K Kj j j 1= -D -t t t

とする。

2.4　Realized Volatility　第 t日の日中のn個のリターンデータ( , ,..., )r r r/ ( )/t t n t n n1 1+ + - が与えられたとき、

それらをすべて２乗して足し合わせた

RV r /t t i ni

n2

0

1

= +

=

-

! （6）

を第 t日の Realized Volatility（RV）という。資産価格の対数値 ( )ln S t が

( ) ( ) ( ) ( )lnd S t t dt t dW t= +n v （7）

に従っているとする。ここで、W（t）はウイナー過程である。すると、第 t日の

真のボラティリティは

( )s dstt

t2 2

1

=v v+

# （8）


37

37

で定義される。

　（6）式で定義されるRVは、n " 3とすると、 t2v に確率収束するので、nが十

分大きいなら、RVtは真のボラティリティ t2v の精度の高い推定量となる。ただし、

nを大きくするとRVに含まれるマイクロストラクチャーノイズ（非同時取引、

bid-ask bounce、無取引など）の影響が大きくなることが知られている。そこで、

先行研究では5分ごとの価格を使ってRVを計算しているものが多い。ここでも、

５分ごとのリターンを用いた。

　次に、夜間や昼休みの取り扱いについて説明を加える。第t日のボラティリティ

を t 1- 日の終値から t日の終値までのボラティリティと定義すると、 t 1- 日の

終値から t日の始値までの間も考慮に入れなければならないが、その間は取引が

ないので、5分ごとのリターンを計算することができない。日本の株式市場では

昼休みがあるので、その間も同様である。こうした夜間や昼休みのリターンは時

間間隔が長いので、それらをそのまま2乗して加えるのは望ましくない。しかし、

それらを無視すると、ボラティリティを過小評価してしまう。そこで、Hansen

and Lunde（2005）は、夜間や昼休みのリターンの2乗を除いてRV を計算し（そ

れをRV ( )toと表す）、それに日次リターン ,...,R RT1" ,の標本分散とRV ( )

toの標本平均

との比率( )

cRV

R R( )to

t

T

tt

T

1

1

2

=-

=

=

r

!!

（9）

を掛けるという方法を提案しており、この方法を採用する。ここで、Rrは日次リ

ターン ,...,R RT1" ,の標本平均を表す。日次リターンは日経225株価指数の日次変

化率（%）であり、終値の対数階差を100倍して求めた。

３　パラメータ推定と予測3.1　モデル　株式市場では株価が下がった日の翌日の方が株価が上がった日の翌日と比べて

ボラティリティがより上昇する傾向があり、また、前節で導入したRVはある種

の長期記憶過程に従っていることが知られている。これら２つの現象と整合的な

モデルとしては、ARFIMAX（Autoregressive Fractionally Integrated Moving


38

38

Average with exogenous variable）モデルがある。ここでは外生変数として Rt 1-

を用いることにより、

( ) ( ) ( )lnL RV R D R L1 1dt t t t t0 1 1 2 1 1- - - - = +n n n i f- -

--# - （10）

と定式化することができる４）。ここで、 , ,0 1 2n n n も未知パラメータである。L

はラグ・オペレータであり、反転可能性 < 1i の制約をおく。また、D t 1-- は

R 0t 1 $- であれば0、 <R 0t 1- であれば１となるダミー変数である。そこで、( )ln RVt のRt 1- を条件とする期待値は、

( )( ) <

,,

lnE RV RR R

R R0

0t t

t t

t t1

0 1 1 1

0 1 2 1 1

$=

+

+ +

n nn n n

-- -

- -

7 A * （11）

となる。そこで、 > 02n であれば、価格が上がった日の翌日よりも価格が下がっ

た日の翌日の方がよりRV が上昇する。渡部・佐々木（2006）は、将来のボラティ

リティを予測する上で、このモデルのパフォーマンスが高いことを示している。

　また（10）式に ( )ln IV t 1- を外生変数に加えた

( ) ( ) ( )

( )

ln lnL RV R D R IV

L

1

1

dt t t t t

t

0 1 1 2 1 1 1- - - - -

= +

n n n o

i f

- --

- -# - （12）

というモデルも考える。ここで、IVとしては、Jiang and Tian（2005，2007）の

方法（以下、JT）によるものとVIXの２つの場合を考える。それぞれ、

ARFIMAX-JT、ARFIMAX-VIXと表す。

3.2　推定結果　サンプル期間は大発会・大納会を除く、1997年1月7日から2006年3月31日ま

でである（リターンとIVは0期目としてその前営業日から用いた）。（9）式のcの

値は1.757であった。

４）最初の1200期の標本を使って、SIC によってARFIMAX（ , ,p d q）モデルの次数選択を行った結果、 ,p q0 1= = が選択された。


39

39

表３から表５は、最初の1200期のデータによる推定結果である。いずれの場合も、dは有意に0より大きく、長期記憶性があることがわかる。また、有意に0.5より

小さいとはいえないので、定常とも非定常とも言えない。表３では ,1 2n n いずれ

も有意に正であり、価格が上がった日の翌日よりも価格が下がった日の翌日の方

がよりRV が上昇することがわかる。それに対して、表４、表５では、いずれも,1 2n n は有意ではない。さらに、表４ではoも有意でない。

3.3　予測　１期先のRVの予測値は次のように計算した。まず、１期から1200期までの標

本を使ってパラメータをBeran（1995）の近似最尤法（approximate maximum

likelihood method）によって推定し，その下で1201期のRVの予測値 RV 1201% を計

算する。次に、2期から1201期のまでの標本を使って同様にパラメータを推定し、

その下で1202期のRV の予測値 RV 1202% を計算する。以上を繰り返すことにより、

各モデルについて1055個のRVの１期先予測値 ,...,RV RV1201 1205$ .% % を計算した。

表３　ARFIMAX（0, d, 1）d i n 1n 2n

推定値 0.4982 －0.2213 0.9209 0.0326 0.0679標準誤差 0.0604 0.0769 0.2216 0.0178 0.0169

表４　ARFIMAX（0, d, 1）+ JTd i n 1n 2n o

推定値 0.4620 －0.1378 0.9037 0.0057 0.0043 0.1246標準誤差 0.0578 0.0783 0.2364 0.0143 0.0163 0.0933

表５　ARFIMAX（0, d, 1）+ VIXd i n 1n 2n o

推定値 0.4627 －0.1405 0.8482 0.0050 0.0047 0.1926標準誤差 0.0580 0.0788 0.2371 0.0142 0.0159 0.0931


40

40

　Giot and Laurent（2003）、Koopman et al.（2005）、渡部・佐々木（2006）等

の先行研究に従い、正規分布を仮定する。 t 1- 期における t期のRVの予測値

RV%

t t 1- は対数正規分布の性質より以下のとおりである５）。

( ( ) ) ( ( ) )I Iexp ln lnRV E RV Var RV21

t tt t t t

11 1= +

-- -< F

% （13）

ここで、 ( ( ) I ), ( ( ) )Iln lnE RV Var RVt t t t1 1- - はそれぞれ t 1- 期における ( )ln RV

の期待値と分散を表す。

　ボラティリティの真の値は観測できないので、これまで代理変数としてリター

ンの２乗を用いることが多かった（渡部（2000）2.3.3 節参照）。しかし、RVは

ボラティリティの精度の高い推定量であるため、Andersen and Bollerslev（1998）

以降、ボラティリティの予測精度を比較する場合には、ボラティリティの真の値

の代理変数にもRVを使うようになってきており、ここでもそれに従った。

　ボラティリティ予測のパフォーマンスを測る指標には、先行研究に従い、以下

のRMSE（root mean squared error）、RMSPE（root mean squared parcentage

error）、MAE（mean absolute error）、MAPE（mean absolute parcentage

error）を用いる。

RMSE ( )

P

MAE

MAPE

RV

RMS ERV

RV

RV

RVRV

10551

10551

10551

10551

t t tt

t

t t t

t

t t tt

t

t t t

t

12 2

1201

2255

12 2

1201

2255

12

1201

2255

12

1201

2255

= -

=-

= -

=-

v

v

v

v

-=

-

=

-=

-

=

t

t

t

t

d n

!

!

!

!

　表６に計算結果をまとめた。渡部・山口（2006）では、RVのARFIMAXモデ

ルに説明変数としてBSIV を加えると、むしろ予測精度が低下するという結果が

示されているが、ここでは逆で、指標に関わらずIVを入れたほうが予測パフォー

５）対数正規分布には再生性がないので、先行研究でも簡単化のため１期先予測のみ行われている。


41

41

マンスが改善するという結果が得られた。また、すべての指標で、JTはVIXよ

りも予測パフォーマンスが上回っており、１期先のRVに対してより多くの追加

的な情報を含んでいることが分かった。

４　まとめ　本稿では、日経225株価指数RVをARFIMAXモデルでモデル化し、それに外

生変数としてVIXの方法によるIVとJiang and Tian（2005，2007）の方法によ

るIVを加えて、予測パフォーマンスを比較した。その結果、Jiang and Tian（2005，

2007）の方法によるIVはVIXの方法によるIVと比較して、１期先のRVに対し

てより多くの追加的な情報を含んでいることが分かった。このことは、Jiang

and Tian（2007）がVIXの計算方法では近似誤差が大きいと指摘したことと整

合的である。

　RVの計算方法に関しては、マイクロストラクチャー・ノイズによるバイアス

を修正法がいろいろと研究されている。例えば、Zhang et al.（2005）、Zhang

（2006）の方法は、異なる時間間隔のリターンを用いてRVを計算し、それらの

加重平均をとるというものである。RVの計算方法の違いに対して、予測比較の

結果がロバストかどうか確かめることは今後の課題である。

［参考文献］

Andersen, T. G., and T. Bollerslev（1998）“Answering the Skeptics: Yes, Standard

Volatility Models Do Provide Accurate Forecasts,” International Economic

Review, 39, pp.885-905.

Beran, J.（1995）“Maximum Likelihood Estimation of the Diff erencing Parameter for

表６　予測RMSE RMSPE MAE MAPE

ARFIMAX（0,d,1） 0.8604 0.5946 0.5771 0.4322ARFIMAX（0,d,1）+ JT 0.8382 0.5881 0.5596 0.4226ARFIMAX（0,d,1）+ VIX 0.8472 0.5936 0.5670 0.4281


42

42

Invertible Short and Long Memory Autoregressive Integrated Moving Average

Models,” Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 57, pp.659-672.

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