Câmp de probabilitate II - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Camp...
Transcript of Câmp de probabilitate II - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Camp...
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Câmp de probabilitate – II
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Câmp de probabilitate – II
1 Sistem complet de evenimente
2 Scheme clasice de probabilitateSchema lui PoissonSchema lui Bernoulli (a bilei revenite)Schema hipergeometrica (a bilei neîntoarsa)
3 Câmp infinit de probabilitate
4 Probabilitati geometrice
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Sistem complet de evenimente
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Definitia 1.1
O familie de evenimente {Ai , i = 1,2, . . . ,n } formeaza unsistem complet de evenimente daca au loc proprietatile:(i) P(Ai) > 0, ∀i ∈ {1,2, . . . ,n};(ii) Ai ∩ Aj = ∅, i , j ;
(iii) E =n⋃
i=1
Ai .
Daca E = {e1, · · · ,en} este finita, atunci multimeaevenimentelor elementare {ei}, i = 1,2, . . . ,n formeaza unsistem complet de evenimente.
Daca A este un eveniment, atunci A si A formeaza un sistemcomplet de evenimente.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Definitia 1.1
O familie de evenimente {Ai , i = 1,2, . . . ,n } formeaza unsistem complet de evenimente daca au loc proprietatile:(i) P(Ai) > 0, ∀i ∈ {1,2, . . . ,n};(ii) Ai ∩ Aj = ∅, i , j ;
(iii) E =n⋃
i=1
Ai .
Daca E = {e1, · · · ,en} este finita, atunci multimeaevenimentelor elementare {ei}, i = 1,2, . . . ,n formeaza unsistem complet de evenimente.
Daca A este un eveniment, atunci A si A formeaza un sistemcomplet de evenimente.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Definitia 1.1
O familie de evenimente {Ai , i = 1,2, . . . ,n } formeaza unsistem complet de evenimente daca au loc proprietatile:(i) P(Ai) > 0, ∀i ∈ {1,2, . . . ,n};(ii) Ai ∩ Aj = ∅, i , j ;
(iii) E =n⋃
i=1
Ai .
Daca E = {e1, · · · ,en} este finita, atunci multimeaevenimentelor elementare {ei}, i = 1,2, . . . ,n formeaza unsistem complet de evenimente.
Daca A este un eveniment, atunci A si A formeaza un sistemcomplet de evenimente.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Formula probabilitatii totale
Teorema 1.1
Daca {Ai , i = 1,2, . . . ,n } este un sistem complet deevenimente si X ∈ K este un eveniment arbitrar, atunci
P(X ) =n∑
i=1
P(Ai) · P(X |Ai). (1.1)
Demonstratie.
X = X∩E = X∩(n⋃
i=1
Ai) =n⋃
i=1
(X∩Ai), (X∩Ai)∩(X∩Aj) = ∅, i , j
P(X ) =n∑
i=1
P(X ∩ Ai) =n∑
i=1
P(Ai) · P(X |Ai).
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Formula probabilitatii totale
Teorema 1.1
Daca {Ai , i = 1,2, . . . ,n } este un sistem complet deevenimente si X ∈ K este un eveniment arbitrar, atunci
P(X ) =n∑
i=1
P(Ai) · P(X |Ai). (1.1)
Demonstratie.
X = X∩E = X∩(n⋃
i=1
Ai) =n⋃
i=1
(X∩Ai), (X∩Ai)∩(X∩Aj) = ∅, i , j
P(X ) =n∑
i=1
P(X ∩ Ai) =n∑
i=1
P(Ai) · P(X |Ai).
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Formula lui Bayes
Teorema 1.2
Daca {Ai , i = 1,2, . . . ,n} este un sistem complet deevenimente si X ∈ K este un eveniment arbitrar, atunci pentruorice i = 1,2, . . . ,n are loc
P(Ai |X ) =P(Ai) · P(X |Ai)
n∑j=1
P(Aj) · P(X |Aj)
. (1.2)
Demonstratie.
P(Ai |X ) =P(X ∩ Ai)
P(X )=
P(Ai) · P(X |Ai)n∑
j=1
P(Aj) · P(X |Aj)
.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Formula lui Bayes
Teorema 1.2
Daca {Ai , i = 1,2, . . . ,n} este un sistem complet deevenimente si X ∈ K este un eveniment arbitrar, atunci pentruorice i = 1,2, . . . ,n are loc
P(Ai |X ) =P(Ai) · P(X |Ai)
n∑j=1
P(Aj) · P(X |Aj)
. (1.2)
Demonstratie.
P(Ai |X ) =P(X ∩ Ai)
P(X )=
P(Ai) · P(X |Ai)n∑
j=1
P(Aj) · P(X |Aj)
.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Într-un canal de comunicatii se transmite 0 sau 1 cuprobabilitatile p si respectiv q = 1− p. Receptionerul face eroride decizie cu probabilitatea ε. Sa se determine cu ceprobabilitate se receptioneaza 1. Daca semnalul receptionateste 1, cu ce probabilitate a fost transmis 0?
A0 ="s-a transmis 0"; A1 ="s-a transmis 1"{A0,A1} formeaza un sistem complet de evenimente.A ="s-a receptionat 1".
P(A) = P(A0) ·P(A|A0)+P(A1) ·P(A|A1) = p ·ε+(1−p) ·(1−ε).
P(A0|A) =P(A0) · P(A|A0)
P(A).
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Într-un canal de comunicatii se transmite 0 sau 1 cuprobabilitatile p si respectiv q = 1− p. Receptionerul face eroride decizie cu probabilitatea ε. Sa se determine cu ceprobabilitate se receptioneaza 1. Daca semnalul receptionateste 1, cu ce probabilitate a fost transmis 0?
A0 ="s-a transmis 0"; A1 ="s-a transmis 1"{A0,A1} formeaza un sistem complet de evenimente.A ="s-a receptionat 1".
P(A) = P(A0) ·P(A|A0)+P(A1) ·P(A|A1) = p ·ε+(1−p) ·(1−ε).
P(A0|A) =P(A0) · P(A|A0)
P(A).
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Scheme clasice de probabilitate
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Schema lui Poisson
Se dau n urne U1,U2, . . . ,Un care contin bile albe si bile negreîn proportii date. Din fiecare urna Ui , i = 1,n se extrage câte obila.
Ui →
pi = prob. ca bila extrasa sa fie alba
qi = prob. ca bila extrasa sa fie neagra, pi + qi = 1.
A = "se obtin k bile albe (si evident n − k bile negre)".
AtunciP(A) = coeficientul lui xk din polinomul
n∏i=1
(pix + qi) = (p1x + q1) · (p2x + q2) . . . · (pnx + qn) (2.1)
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Schema lui Poisson
Se dau n urne U1,U2, . . . ,Un care contin bile albe si bile negreîn proportii date. Din fiecare urna Ui , i = 1,n se extrage câte obila.
Ui →
pi = prob. ca bila extrasa sa fie alba
qi = prob. ca bila extrasa sa fie neagra, pi + qi = 1.
A = "se obtin k bile albe (si evident n − k bile negre)".
AtunciP(A) = coeficientul lui xk din polinomul
n∏i=1
(pix + qi) = (p1x + q1) · (p2x + q2) . . . · (pnx + qn) (2.1)
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Conditii ale unui experiment Poisson:1. Exista n efectuari în conditii diferite ale unui experiment.2. Fiecare experiment are exact doua rezultate posibile.3. Probabilitatile celor doua rezultate sunt diferite pe parcursulrepetarilor.4. Repetarile sunt independente una de cealalta.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Trei semnale sunt receptionate corect cu probabilitatile 0,8; 0,7si respectiv 0,9. Sa se determine cu ce probabilitate douasemnale sunt receptionate corect.
coeficientul lui x2 din polinomul
(0,8 x + 0,2) · (0,7 x + 0,3) · (0,9 x + 0,1).
P(A) = 0,398.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Trei semnale sunt receptionate corect cu probabilitatile 0,8; 0,7si respectiv 0,9. Sa se determine cu ce probabilitate douasemnale sunt receptionate corect.
coeficientul lui x2 din polinomul
(0,8 x + 0,2) · (0,7 x + 0,3) · (0,9 x + 0,1).
P(A) = 0,398.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Schema lui Bernoulli (a bilei revenite)
Dintr-o urna cu a bile albe si b bile negre, extragem curepunere n bile, n ≤ a + b.
A = "se obtin k bile albe (si evident n − k bile negre)".
Atunci
P(A) = Ckn pkqn−k , (2.2)
p =a
a + b, q =
ba + b
; 0 ≤ k ≤ a.
"schema binomiala"
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Schema lui Bernoulli (a bilei revenite)
Dintr-o urna cu a bile albe si b bile negre, extragem curepunere n bile, n ≤ a + b.
A = "se obtin k bile albe (si evident n − k bile negre)".
Atunci
P(A) = Ckn pkqn−k , (2.2)
p =a
a + b, q =
ba + b
; 0 ≤ k ≤ a.
"schema binomiala"
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Conditii ale unui experiment binomial (cu întoarcere):1. Exista n repetari identice ale unui experiment.2. Fiecare repetare are exact doua rezultate posibile.3. Probabilitatile celor doua rezultate ramân constante peparcursul repetarilor.4. Repetarile sunt independente una de cealalta.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Se arunca doua zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea ca de4 ori sa apara suma 7?
p =6
36=
16, q =
56, n = 10, k = 4
P(A) = C410 ·
(16
)4·(
56
)6.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Se arunca doua zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea ca de4 ori sa apara suma 7?
p =6
36=
16, q =
56, n = 10, k = 4
P(A) = C410 ·
(16
)4·(
56
)6.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Schema lui Bernoulli cu mai multe stari
Dintr-o urna cu bile de s ∈ N culori, extragem cu repunere nbile.Probabilitatea de a extrage ki bile de culoare i , i = 1,2, . . . , s,k1 + · · ·+ ks = n este
pn;k1,k2,...,ks =n!
k1! · k2! . . . · ks!pk1
1 · pk22 . . . · pks
s , (2.3)
pi este probabilitatea de a extrage o bila de culoare i ,p1 + p2 + . . .+ ps = 1.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Se arunca un zar de 10 ori. Care este probabilitatea ca exactde 2 ori sa apara fata cu un punct si exact de 3 ori sa apara fatacu doua puncte?
Avem:
n = 10, k1 = 2, k2 = 3, k3 = 5, p1 =16, p2 =
16, p3 =
46=
23,
iar probabilitatea ceruta este:
10!2! · 3! · 5!
·(
16
)2·(
16
)3·(
23
)5.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Se arunca un zar de 10 ori. Care este probabilitatea ca exactde 2 ori sa apara fata cu un punct si exact de 3 ori sa apara fatacu doua puncte?
Avem:
n = 10, k1 = 2, k2 = 3, k3 = 5, p1 =16, p2 =
16, p3 =
46=
23,
iar probabilitatea ceruta este:
10!2! · 3! · 5!
·(
16
)2·(
16
)3·(
23
)5.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Schema hipergeometrica (a bilei neîntoarsa)
Dintr-o urna cu a bile albe si b bile negre, extragem fararepunere n bile, n ≤ a + b.
A = "se obtin k bile albe (si evident n − k bile negre)".
Atunci
P(A) =Ck
a · Cn−kb
Cna+b
. (2.4)
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Schema hipergeometrica (a bilei neîntoarsa)
Dintr-o urna cu a bile albe si b bile negre, extragem fararepunere n bile, n ≤ a + b.
A = "se obtin k bile albe (si evident n − k bile negre)".
Atunci
P(A) =Ck
a · Cn−kb
Cna+b
. (2.4)
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Schema hipergeometrica cu mai multe stari
Într-o urna sunt bile de s ∈ N culori, ai bile au culoarea i ,i = 1,2, . . . , s. Extragem fara repunere n bile.Probabilitatea de e extrage ki bile de culoarea i ,k1 + k2 + . . .+ ks = n este
pk1,k2...ksa1,a2...,as =
Ck1a1 · C
k2a2 . . . · C
ksas
Ck1+k2+...+ksa1+a2+...+as
(2.5)
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Intr-un lot de 100 de articole se afla 80 corespunzatoare, 15 cudefectiuni remediabile si 5 rebuturi. Alegem 6 articole. Cu ceprobabilitate 3 articole sunt bune, 2 cu defectiuni remediabile si1 articol este rebut?
1) extragerile se fac cu repunere:–cazul schemei Bernoulli generalizata
P(A) =6!
3! · 2! · 1!·(
80100
)3·(
15100
)2·(
5100
)1.
2) extragerile se fac fara repunere:–cazul schemei hipergeometrice generalizata
P(A) =C3
80 · C215 · C1
5
C6100
.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Intr-un lot de 100 de articole se afla 80 corespunzatoare, 15 cudefectiuni remediabile si 5 rebuturi. Alegem 6 articole. Cu ceprobabilitate 3 articole sunt bune, 2 cu defectiuni remediabile si1 articol este rebut?
1) extragerile se fac cu repunere:–cazul schemei Bernoulli generalizata
P(A) =6!
3! · 2! · 1!·(
80100
)3·(
15100
)2·(
5100
)1.
2) extragerile se fac fara repunere:–cazul schemei hipergeometrice generalizata
P(A) =C3
80 · C215 · C1
5
C6100
.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Câmp infinit de probabilitate
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
σ-algebra
Definitia 3.1
Fie E o multime oarecare nevida si fie K ⊆ P(E), K , ∅.Multimea de parti K se numeste σ-algebra daca satisfaceurmatoarele conditii:(i) ∀ A ∈ K ⇒ A ∈ K;(ii) ∀ An ∈ K, n ∈ N avem ⋃
n∈NAn ∈ K.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Proprietati1. E , ∅ ∈ K.
K , ∅ ⇒ ∃ A ∈ K ⇒ A ∈ K ⇒
A ∪ A = E ∈ K
∅ = E ∈ K
2. ∀ An ∈ K, n ∈ N avem⋂
n∈NAn ∈ K.
An ∈ K ⇒ An ∈ K ⇒⋃
n∈NAn =
⋂n∈N
An ∈ K ⇒⋂
n∈NAn ∈ K.
3. ∀ A,B ∈ K ⇒ A \ B ∈ K.
A \ B = A ∩ B ∈ K.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Proprietati1. E , ∅ ∈ K.
K , ∅ ⇒ ∃ A ∈ K ⇒ A ∈ K ⇒
A ∪ A = E ∈ K
∅ = E ∈ K
2. ∀ An ∈ K, n ∈ N avem⋂
n∈NAn ∈ K.
An ∈ K ⇒ An ∈ K ⇒⋃
n∈NAn =
⋂n∈N
An ∈ K ⇒⋂
n∈NAn ∈ K.
3. ∀ A,B ∈ K ⇒ A \ B ∈ K.
A \ B = A ∩ B ∈ K.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Proprietati1. E , ∅ ∈ K.
K , ∅ ⇒ ∃ A ∈ K ⇒ A ∈ K ⇒
A ∪ A = E ∈ K
∅ = E ∈ K
2. ∀ An ∈ K, n ∈ N avem⋂
n∈NAn ∈ K.
An ∈ K ⇒ An ∈ K ⇒⋃
n∈NAn =
⋂n∈N
An ∈ K ⇒⋂
n∈NAn ∈ K.
3. ∀ A,B ∈ K ⇒ A \ B ∈ K.
A \ B = A ∩ B ∈ K.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Proprietati1. E , ∅ ∈ K.
K , ∅ ⇒ ∃ A ∈ K ⇒ A ∈ K ⇒
A ∪ A = E ∈ K
∅ = E ∈ K
2. ∀ An ∈ K, n ∈ N avem⋂
n∈NAn ∈ K.
An ∈ K ⇒ An ∈ K ⇒⋃
n∈NAn =
⋂n∈N
An ∈ K ⇒⋂
n∈NAn ∈ K.
3. ∀ A,B ∈ K ⇒ A \ B ∈ K.
A \ B = A ∩ B ∈ K.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Proprietati1. E , ∅ ∈ K.
K , ∅ ⇒ ∃ A ∈ K ⇒ A ∈ K ⇒
A ∪ A = E ∈ K
∅ = E ∈ K
2. ∀ An ∈ K, n ∈ N avem⋂
n∈NAn ∈ K.
An ∈ K ⇒ An ∈ K ⇒⋃
n∈NAn =
⋂n∈N
An ∈ K ⇒⋂
n∈NAn ∈ K.
3. ∀ A,B ∈ K ⇒ A \ B ∈ K.
A \ B = A ∩ B ∈ K.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Proprietati1. E , ∅ ∈ K.
K , ∅ ⇒ ∃ A ∈ K ⇒ A ∈ K ⇒
A ∪ A = E ∈ K
∅ = E ∈ K
2. ∀ An ∈ K, n ∈ N avem⋂
n∈NAn ∈ K.
An ∈ K ⇒ An ∈ K ⇒⋃
n∈NAn =
⋂n∈N
An ∈ K ⇒⋂
n∈NAn ∈ K.
3. ∀ A,B ∈ K ⇒ A \ B ∈ K.
A \ B = A ∩ B ∈ K.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Def. functia de probabilitate; Kolmogorov
Definitia 3.2
Fie E o multime si fie K o σ-algebra de parti ale lui E. O functieP : K → [0,1 ] care satisface urmatoarele proprietati:(i) P(E) = 1;(ii) ∀ (An)n ∈ K, An ∩ Am = ∅, ∀ n , m avem
P
(⋃n∈N
An
)=∑n∈N
P(An),
se numeste probabilitate.(E ,K,P) se numeste câmp infinit de probabilitate.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Probabilitati geometrice
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Având cunoscuta masura unui domeniu din R, R2 sau R3 vomavea în vedere în cele ce urmeaza probleme ce implicaprobabilitati geometrice în care factorul aleator depinde demasura domeniului considerat.Presupunem ca un "punct aleator" se afla într-un domeniuposibil E ⊂ Rn, n = 1,2,3 iar probabilitatea ca acesta sa seafle într-un anumit domeniu, depinde de marimea µ (masura)acestui domeniu; marimea este o lungime (n = 1), o arie(n = 2) sau respectiv un volum (n = 3). Probabilitatea ca"punctul aleator" sa se afle într-un domeniu favorabil D ⊂ Eeste
P(D) =µ(D)
µ(E). (4.1)
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Pe cadranul unui osciloscop, care este un patrat cu latura a > 0apare aleator un semnal luminos. Cu ce probabilitate acestaapare la o distanta d ≤ a
2fata de centrul ecranului?
Domeniul posibil este interiorul patratului cu aria a2. Domeniulfavorabil este interiorul cercului cu centrul 0 si raza a
2 , al caruicentru coincide cu centrul patratului. Deci
P =π
(a2
)2
a2 =π
4.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Pe cadranul unui osciloscop, care este un patrat cu latura a > 0apare aleator un semnal luminos. Cu ce probabilitate acestaapare la o distanta d ≤ a
2fata de centrul ecranului?
Domeniul posibil este interiorul patratului cu aria a2. Domeniulfavorabil este interiorul cercului cu centrul 0 si raza a
2 , al caruicentru coincide cu centrul patratului. Deci
P =π
(a2
)2
a2 =π
4.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
O banda magnetica are lungimea de 200 m si contine douamesaje înregistrate pe doua piste; pe prima pista se afla unmesaj de 30 m, iar pe a doua de 50 m, ale caror pozitii pebanda nu se cunosc precis. Din cauza unei defectiuni, dupaprimii 80 m trebuie îndepartati 10 m de banda. Gasitiprobabilitatile evenimentelor:A "nici o înregistrare nu este afectata";B "prima înregistrare este afectata si a doua nu";C "a doua înregistrare este afectata si prima nu";D "ambele înregistrari sunt afectate".
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Fie x , y coordonata la care poate începe prima respectiv adoua înregistrare; x ∈ [0,170], y ∈ [0,150].
–pentru ca prima înregistrare sa nu fie afectata, trebuie cax ∈ [0,50] ∪ [90,170],
–pentru cea de-a doua trebuie ca y ∈ [0,30] ∪ [90,150].Pentru fiecare eveniment considerat probabilitatea secalculeaza ca raportul ariei domeniului marcat corespunzatordin figura si aria domeniului total posibil (vezi figura (1)).
Figure:
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Exemplu
Doua semnale de lungime t < 12 sunt transmise în intervalul de
timp [0,1]; fiecare poate sa înceapa în orice moment alintervalului [0,1− t ]. Daca semnalele se suprapun, chiar sipartial, se distorsioneaza si nu pot fi receptate. Gasitiprobabilitatea ca semnalele sa fie receptionate faradistorsionari.
Câmp de probabilitate – II
Sistem complet de evenimenteScheme clasice de probabilitate
Câmp infinit de probabilitateProbabilitati geometrice
Fie x momentul la care poate sa înceapa primul semnal si ymomentul începerii celui de-al doilea. Domeniul posibil este unpatrat de latura 1− t .
Pentru a nu se distorsiona transmiterea este necesar cadistanta dintre momentele de începere ale semnalelor sa fiemai mare decât lungimea unui semnal, deci iar domeniulfavorabil este
A = { (x , y); |x − y | > t }.
Probabilitatea ceruta este(1− 2t)2
(1− t)2 .
Figure:
Câmp de probabilitate – II