cmat_12evf_diak-mf

MATEMATIKAIKOMPETENCIATERLETC

Ksztette: Kovcs Krolyn

Matematika12. vfolyam

TANULK KNYVE

A kiadvny KHF/456-7/2009. engedlyszmon 2009.05.21. idponttltanknyvi engedlyt kapott

Educatio Kht. Kompetenciafejleszt oktatsi program kerettanterv

A kiadvny a Nemzeti Fejlesztsi terv Humnerforrs-fejlesztsi Operatv Program 3.1.1. kzponti program (Pedaggusok s oktatsi szakrtk felksztse a kompetencia alap kpzs s oktats

feladataira) keretben kszlt, a suliNova oktatsi programcsomag rszeknt ltrejtt tanuli informcihordoz. A kiadvny sikeres hasznlathoz szksges a teljes oktatsi programcsomag

ismerete s hasznlata. A teljes programcsomag elrhet: www.educatio.hu cmen.

Szakmai vezet: Olh Vera

Alkotszerkeszt: Olh Judit

Lektor: Urbn Jnos

Felels szerkeszt: Teszr Edit

H-CMAT1201

Szerz:

Kovcs Krolyn

Educatio Kht. 2008.

A tanknyvv nyilvntsi eljrsban kzremkd szakrtk:Tantrgypedaggiai szakrt: Knya Istvn

Tudomnyos-szakmai szakrt: dr.Marosvry ErikaTechnolgiai szakrt: Csonka Vilmosn

tartalom

1. modul: Sorban, egyms utn .............................................................................................................. 5

2. modul: Telek s kerts ....................................................................................................................... 19

3. modul: A mi ternk ............................................................................................................................ 25

4. modul: Mg egyszer ............................................................................................................................ 35

5. modul: Ismtls a tuds anyja ............................................................................................................ 39

A matematikai kompetenciaterlet 12. vfolyamos C moduljai feladatmegoldsokon keresztl fejlesztik a tanulk kpessgeit. A Tanulk knyve tanrn kvli foglalkozsaihoz a tanr a Tanri tmutatt hasznlja. Ezek a foglalkozsok szorosan kapcsoldnak a tanrk tananyaghoz, kifejezetten a tanult tananyag elmlytst, a kzpszint rettsgire val felkszlst szolgljk.

A nehezebb feladatokat *-gal jelltk.

6 MATEMATIKA C 12. VFOLYAM TANULK KNYVE

I. KEZDLPSEK 1. Dntsd el, hogy az albbi fggvnyek kzl melyek szmsorozatok! A szmsorozatoknak

szmtsd ki a 11-edik s a 100-adik tagjt!

f fggvny: Ez a fggvny minden pozitv egsz szmhoz hozzrendeli a szm 6-tal val

osztsakor fellp maradkt.

g fggvny: Ez a fggvny minden Budapesten l emberhez hozzrendeli annak letko-

rt. (Az letkort vekben mrve, egsz szmra kerektve adjuk meg.)

h fggvny: Minden sokszghz hozzrendeli az tlinak szmt.

k fggvny: Minden sokszg oldalszmhoz hozzrendeli a sokszg tlinak szmt.

m fggvny: szmpratlan ha

szm pros ha,1,

+xx,x

x aRZ

2. Legyen egy sorozat els 5 tagja a 19 932 tjegy szmnak az t szmjegye, a sorozat to-

vbbi tagjainak mindegyike pedig legyen 1. Hny ilyen sorozat kpezhet?

3. Legyen onan sin60 = , ahol on az n fokos szget jelli, 2532 = nnb , )3(2100 = ncn s 6)1( 1 += nd nn .

a) Dntsd el, hogy a 30 tagja-e az )( na , )( nb , )( nc s )( nd sorozatok valamelyiknek!

Ha igen, hnyadik tagja?

b) Szmtsd ki a sorozatok 30-adik tagjt!

c) Van-e a )( nb sorozatnak 54-gyel oszthat tagja?

4. Egy 2 dm oldall tmr kockt hrom vgssal 8 egybevg kockra vgunk szt. A ka-

pott kockk mindegyikn megismteljk az eljrst. Majd jbl s jbl a kapott kis koc-

kk mindegyikbl 3 vgssal 8 egybevg kockt hozunk ltre.

a) Az tdik elvgsok utn sszesen hny kis kocknk lesz?

b) Mekkora a trfogata az tdik elvgskor kapott kis kockknak?

1. modul: SORBAN, EGYMS UTN 7

5. Egy irodban az v vgi prmiumokra fordthat teljes sszeg 1 milli forint. Az iroda ve-

zetje rangsort ksztett azokrl a munkatrsairl, akiknek prmiumot szeretne adni. gy

gondolta, hogy a rangsorban elsknt llnak Ft000100 -ot adna, a msodik helytl kezd-

ve pedig minden, a rangsorban szerepl dolgoz ugyanakkora sszeggel, Ft00010 -tal

kapna kevesebbet, mint a rangsorban eltte ll dolgoz.

a) Legfeljebb hny dolgoz neve szerepelhetett a rangsorban?

b) Ilyen mdon legfeljebb mekkora sszeget tudott sztosztani?

c) Mekkora sszeget adjon az els dolgoznak, hogy a teljes sszeg kioszthat legyen?

6. Egy kis bbut mozgatunk a koordintaskon. A bbu kezd helyzett megad pont koordi-

nti ( )0;1 . Innen, az els lpsben felfele (az y tengellyel prhuzamosan, pozitv irny-ban) mozgatjuk 1 egysggel, azutn jobbra (az x tengellyel prhuzamosan, pozitv irny-

ban) mozdtjuk el 2 egysggel. A harmadik lpsben felfele 3 egysggel, ezutn ismt

jobbra 4 egysggel, s gy tovbb, mindig vltakozva fel s jobbra, s minden lpsben az

elmozduls nagysga 1 egysggel hosszabb a megelz lpshez kpest.

a) Hatrozd meg, hogy a tizedik lpsben hov kerl a bbu!

b) Az els 10 elmozduls hossznak mekkora az sszege?

c)* Add meg kplettel, hogy az n-edik lps utn (n pozitv egsz szmot jell) hogyan

szmthat ki a bbu helyzett megad pont els koordintja!

d)* Add meg kplettel, hogy az n-edik lps utn (n pozitv egsz szmot jell) hogyan

szmthat ki a bbu helyzett megad pont msodik koordintja!

7. Egy csaldban ht gyermek van. A testvrek letkornak sszege 63. A csaldban a gyere-

kek 2 vente szlettek. Hny vesek a gyerekek?

8. Egy sorozat els t tagja ebben a sorrendben: 1, 2, 3, 4, 5. A sorozat periodikus, a peridus

hossza 5. Mennyi az els 203 tag sszege?

9. Egy vros egyik lakjval kzltnk egy hrt reggel 8 rakor, aki azonnal elmondta 3 em-

bernek. Ezt kveten flrnknt az jonnan megtudk mindegyike 3, a hrt mg nem is-

mervel kzli azt. Hny, a hrt mg nem ismer ember tudja meg a hrt 10-kor? Rajtunk

kvl hnyan tudjk sszesen a hrt 10 rakor?


10. Az albbi sorozatok kzl melyek monoton sorozatok? A monoton sorozatoknak milyen a

monotonitsa?

+= 13)(

nan ; ( )232)( = nnnb ; ( ))3(2100)( = ncn ; ( )1)1()( += nd nn .

11. Az albbi sorozatok mindegyike periodikus. Hatrozd meg a sorozatok peridushosszt!

=3

cos)( nan ; )3()( = kbn , ahol k az n szm 4-es maradka;

+= 22sin1)( on

cn , ahol on az n fokos szget jelli.


II. SZMTANI? 1. Egy bevsrlkzpontban a kristlycukor ra 200 Ft/kg. Ha viszont az ugyanolyan mins-

g cukrot 10 kg-os csomagolsban vesszk meg, akkor azrt 1900 Ft-ot kell fizetnnk.

A 10 kg-os csomagolsban rult cukor nem bonthat meg. Ttelezzk fel, hogy amikor

csak lehet, mindig lnk az olcsbb vsrls lehetsgvel.

a) Mennyibe kerl 13 kg cukor?

b) Hny kg cukrot tudunk vsrolni 9900 Ft-rt?

c) Mennyibe kerl n kg cukor, ha n 10-zel osztva 6 maradkot ad pozitv egsz szm?

d) Hny kg cukrot kapunk k Ft-rt, ha k 1900-zal osztva 1000 maradkot ad?

2. Szmtsd ki a kvetkez sorozatok els t elemt!

= 2

1)(n

an ; ( )nbn 2log)( = ; ( )nnnc 2)1()( = ; = 2)1sin()( ndn . Melyik sorozat monoton?

3. Az albbi sorozatok kzl vlaszd ki azokat, amelyek grafikonjnak minden pontja egyet-

len egyenesre illeszkedik! Add meg az egyenest egyenletvel!

( )nan 32)( = ;

+=

2102)(

2

nnnbn ; )2()( =nc ;

( )nnnd = )2()1()( ; ( )tgnen =)( ;

= +

1

1

5,05,05)( n

nnf ;

( )3)2(1)( += ngn .

4. Adj meg kpletvel olyan sorozatot, amelynek grafikonpontjai vltakozva az xy 3= s xy 3= egyenlet egyenesre illeszkednek!

5. Dntsd el, hogy az albbi sorozatok kzl melyek szmtani sorozatok! lltsodat indo-

kold!

( )nnan sin)38()( = ; ( )326)( = nbn ; ( ))13)(2(3)( 2 += nnncn ;

+= 232

42)(

nnndn ;

= 2

23 24)(n

nnen ;

= +

11

1

326)( nn

nnf .


6. Kpezznk az ( )2)( nan = sorozat tagjaibl a kvetkezkppen egy jabb )( nb sorozatot: Legyen 121 aab = , 232 aab = , s gy tovbb, teht nnn aab = +1 minden n pozitv egsz szm esetn. Igazold, hogy )( nb szmtani sorozat!

7. Kpezznk az ( )nna 23)( = sorozat tagjaibl egy jabb )( nc sorozatot gy, hogy )(log)( 2 nn ac = legyen. Igazold, hogy )( nc szmtani sorozat!

8. Egy szmtani sorozat els ht tagjnak sszege 84. Mekkora a sorozat negyedik tagja?

9. Egy derkszg hromszg oldalainak hossza egy szmtani sorozat hrom szomszdos

tagja. A hromszg kerlete 21 egysg. Mekkora a hromszg terlete s a krlrt kr-

nek sugara?

10. Egy hromszg oldalainak hossza egy szmtani sorozat hrom szomszdos tagja. A h-

romszg egyik szge o120 -os. Mekkork a hromszg hegyesszgei?

11.* Igazold, hogy a ngyzeten kvl nincs olyan derkszg trapz, amelyben az egymshoz

csatlakoz oldalak hossza egy szmtani sorozat egymst kvet tagjai!


III. LPJNK EGYET-KETTT! 1. Egy mozi hsz sora kzl a legelsn 15 frhely van, s minden kvetkez sorban eggyel

tbb, mint az eltte lvben.

a) Hny frhely van az utols sorban?

b) Hnyan lehetnek a moziban szombat este a telthzas elads alatt?

Az egyik dlutni eladsra 400 nz lt be a moziba. Az els sor kzepn 1 ember lt, a

msodik sorban valamennyivel tbb, s ez gy ment tovbb, minden sorban ugyanannyival

tbb ember foglalt helyet, mint az azt megelz sorban.

c) Hny ember lt a msodik sorban?

Az esti elads telthzas volt. Az els 5 sorban lv helyek jegyra egysgesen 600 Ft volt,

a 6. sortl a 15. sorig bezrlag minden jegy ra 800 Ft, mg az utols 5 sor brmelyik he-

lyre szl jegy 1000 Ft-ba kerlt.

d) Ezen az eladson mennyi volt a mozi fenntartjnak a bevtele a jegyek rbl?

2. Egy tteremben az egyik polcon dszt elemknt poharakat raktak ki a kvetkezkppen:

A legals sorban szorosan egyms mell helyeztk valamennyi poharat. A msodik sorban

gy raktk le a poharakat szorosan egyms mell egy sorban, hogy az als sor brmelyik

kt szomszdos pohara tartott egy msodik sorban lv poharat. gy folytattk tovbb a

poharak elrendezst, mg vgl a legfels sorba 1 pohr kerlt.

a) Hny poharat raktak a legals sorba, ha sszesen 18 sort alaktottak ki?

b) Mennyibe kerlt ez a dszt elem, ha egy pohr nagykereskedelmi ra 50 Ft volt?

3. Istvn elhatrozta, hogy minden reggel tornzik, mert szeretn a karizmait ersteni. Az

els napot 10 fekvtmasszal kezdte. Knnyen ment, gy elhatrozta, hogy a kvetkez

napon tbbet fog, st minden nap ugyanannyival tbbet, mint a megelz napon. Rgtn el

is meslte a hgnak a tervt, aki kinevette: Ide figyelj! Ha tnyleg minden nap ennyivel

tbb fekvtmaszt akarsz csinlni, akkor tudod, hogy a 30-adik napon mr 155 fekvt-

masszal kezdheted a napot? Nem lesz ez sok egy kicsit?

Mennyivel szerette volna nvelni Istvn naponta a fekvtmaszai szmt?


4. Hny pozitv tagja van az )8420()( 2 += nnan sorozatnak?

5. Egy szigoran cskken szmtani sorozat els 15 tagjnak az sszege megegyezik az els

16 tagjnak sszegvel. Hny pozitv tagja van a sorozatnak?

6. Egy nyolcszg legkisebb szge o5,5 -os. Ebbl a szgbl kiindulva a nyolcszg egymst

kvet bels szgeinek fokban mrt rtkei egy szmtani sorozat egymst kvet tagjai.

Mekkork a nyolcszg szgei? Rajzolj le egy ilyen nyolcszget!

7. Ha egy szmtani sorozat els t tagjt sszeadjuk, akkor 25-t kapunk. Ha viszont a sorozat

t egymst kvet tagjt a msodik tagjtl kezdve adjuk ssze, akkor 35-t kapunk. Sz-

mtsd ki a szmtani sorozat els hat tagjt!

8. 2000 cdulra egyenknt felrtuk az els 2000 pozitv egsz szmot. A cdulkat kt do-

bozba sztraktuk. sszeadtuk az egyik, illetve a msik dobozba kerlt szmokat. Melyik

llts igaz?

A: Lehet, hogy az egyik sszeg huszontszrse a msiknak.

B: Lehet, hogy az egyik sszeg nyolcszorosa a msiknak.

C: Lehet, hogy az egyik sszeg tzszerese a msiknak.

D: Lehet, hogy a kt sszeg azonos.

9. Egy trsasg egy j krtyajtkot jtszik. A jtkhoz 3 csomag magyar krtyra van szk-

sg. (Egy csomag magyar krtyban 32 lap van.) A lapok kiosztsa a kvetkezkppen tr-

tnik: Az oszt az els jtkosnak annyi krtyalapot oszt, ahny jtkos rszt vesz a jtk-

ban. A kvetkeznek 4-gyel tbbet, s sorban minden jtkosnak 4-gyel tbbet oszt ki,

mint az t megelznek. gy, amikor az utols jtkos, az oszt is megkapja a lapjait, min-

den lap kiosztsra kerl.

Hny jtkos vesz rszt a jtkban?


10. Az ( ))2)(4()3)(2()( ++= nnnnan sorozatnak az els tagtl kezdve legfeljebb hny tagjt adhatjuk ssze, hogy az sszeg 1 millinl kisebb legyen?

11. Egy szmtani sorozat els tagja 3, differencija 4. A sorozat els k tagjnak sszege h-

romjegy, az els 1+k tagjnak sszege pedig mr ngyjegy szm. Mekkora pozitv egsz szmot jell a k?

12. Dntsd el, hogy szmtani sorozat-e az a sorozat, amelyben az els n tag sszege az

nnSn 642 = kplettel szmthat ki!


IV. MRTANI? 1. Egy mrtani sorozat kt egymst kvet tagja a felsorols sorrendjben 8 s 12. Mekkora a

sorozat kvetkez tagja?

2. Egy mrtani sorozat els tagja 5, a negyedik s hatodik tagja egymssal egyenl. A nulla

nem tagja a sorozatnak. Hny ilyen sorozat van?

3. Egy mrtani sorozat els tagja negatv, a kilencedik tagja pedig pozitv. Hny ilyen sorozat

van?

4. Egy mrtani sorozat harmadik tagja )4( , az tdik pedig )1( . Mi lehet a sorozat negye-dik tagja?

5. Egy mrtani sorozat hetedik tagja nulltl klnbz, s 9-szerese a harmadik tagjnak.

A sorozat harmadik tagja hnyszorosa az els tagjnak?

6. Egy mrtani sorozat t egymst kvet tagjnak szorzata 103 . Mekkora kzlk a kzps

tag?

7. Az 000103

10003

1003

1031 ++++ sszeg s

34 kzl melyik a nagyobb?

8. Rajzoltam egy ngyzetet, majd az oldalait ktszeresre nagytottam. Ezutn jbl s jbl a

kapott ngyzet oldalait ktszeresre vltoztattam. Az tdik nagytssal kapott ngyzet te-

rlete hnyszorosa a kezdetben megrajzolt ngyzet terletnek?

9. Egy bolha a megfigyels kezdetekor 50 cm tvolsgra ugrott el. A kvetkez ugrsa mr

csak fele akkorra sikerlt, s minden tovbbi ugrsa ppen fele olyan hossz, mint az azt

megelz ugrs. Krlbell hny mm hosszra sikerlt a nyolcadik ugrsa?

10. Az elz feladatban szerepl bolha az els nyolc ugrst egy egyenes mentn hajtotta vg-

re, de minden ugrsa utn irnyt vltoztatott. Milyen tvolsgra kerlt a megfigyels kez-

deti helytl a nyolcadik ugrs utn?


11. Hrom szm egy szmtani sorozatnak, ngyzeteik ugyanebben a sorrendben egy mr-

tani sorozatnak egymst kvet tagjai. A hrom szm sszege 9. Melyek ezek a szmok?

12.* Egy egyenlszr hromszg szrnak, alapjnak, az alaphoz tartoz magassgnak s a

hromszg terletnek szmrtke a megadott sorrendben egy mrtani sorozat els ngy

tagja. Mekkork a hromszg oldalai?

13. Legalbb hny tagot kell sszeadni az els tagtl kezdve az )23()( nna = sorozatbl, hogy az sszeg 1 millinl nagyobb legyen?

14.* 1 milli forintot lektttem 5 vre, vi 8%-os kamatra. 5 v leteltvel kivettem 500 ezer

forintot, s a maradk pnzt lektttem egy vre, de ekkor a kamatlb mr vi 10% volt.

Az 1 v leteltvel ismt kivettem 500 ezer forintot, s ismt lektttem 1 vre a megma-

radt pnzt. Az ves kamatlb ekkor is 10% volt. 1 v mlva, a kamat jvrsa utn

mennyi pnzt vehettem volna ki?

15. Egy bankban 3 vre lektttnk 200 000 Ft-ot. Az els vben a bank vi 8,5%-os kamatot

szmolt el, a msodik vben a kamatlbat p %-kal, a harmadik vben jabb p %-kal csk-

kentette. Ily mdon a harmadik v vgn 10 498 Ft-tal kevesebb pnzt vehettnk fel, mint

amennyit a 8,5%-os kamatlb mellett remltnk.

Szmtsd ki p rtkt!

16. Ha tz ven t minden v elejn 100 000 Ft-ot tennnk a bankba vi 6,5%-os kamatra,

majd tz ven keresztl minden v elejn ugyanakkora sszeget vennnk le szmlnkrl,

s gy a 20. v elejn elfogyna a pnznk, akkor mekkora sszeget vegynk fel egy-egy

vben? (Ttelezzk fel, hogy a kamatlb a 20 v sorn nem vltozik.)

17. Az A zem termelse egy adott vben ktszerese a B zem termelsnek. B termelse

vente 18%-kal n, amg A termelsnek nvekedse mindssze vi 6%. Hny v mlva

lesz B termelse ktszerese A vi termelsnek?


18. Naponta nagyon sokfle hirdetst olvashatunk. Az egyik bank hirdetse gy szl:

Szksge van azonnal pnzre? Forduljon hozznk! Ha 500 000 Ft szemlyi klcsnt vesz fel,

csak 10 360 Ft-ot kell havonta visszafizetnie. Ragadja meg az alkalmat!

Rvid tjkozds utn kiderlt, hogy a futamid 72 hnap.

a) Vajon mennyi pnzt vehetnnk fel 72 hnap elteltvel, ha minden hnap elejn a havi

trleszt rszletet, a 10 360 Ft betennnk egy olyan bankba, amelyik havi 0,4%-os

kamatot gr?

b) Ha az a) krdsben megfogalmazottak szerint jrnnk el, hny hnap alatt gylne ssze

a szksges 500 ezer Ft?


V. TUDSPRBA 1893-ban jelent meg dr. Beke Man s Reif Jakab kzpiskolai tanrok szerkesztsben egy

olyan feladatgyjtemny, amelyben a szerzk a hazai rettsgi vizsglati feladvnyokat

gyjtttk ssze. Az elszban a szerzk az rsbeli rettsgi vizsga szereprl a kvetkezket

fogalmaztk meg1:

A kzpiskolai tanul mathematikai ismereteinek megtlsben az irsbeli vizsglatnak van a legfontosabb szerepe: mert ebben tnik ki leginkbb, hogy min mdon tudja mathemathikai schmba nteni a materilis problmt, melylyel dolga van s min m-don tudja erre a schemra alkalmazni mathematikai ismereteit s szmtsi gyessgt. A ksbbiekben arrl is rnak, hogy vlemnyk szerint milyennek kellene lenni az rs-beli rettsgi vizsga feladatainak: A feladott problmknak olyanoknak kell lennik, hogy alkalma legyen a tanulknak benne a mathematikai gondolkozs fbb elemeinek a bemutatsra. A mathematikai gon-dolkozs fbb elemei alatt rtjk, hogy 1) a feladott problmt pontosan rtse; 2) azt a szksges rszekre bontsa, vagyis analizlja; 3) a mellkkrdseket sorozza a szerint, a mint a fkrds megoldsra vezetnek; 4) a szksges problmkat megoldja, megjellve azon ltalnos problemkat vagy tteleket, melyek al az illet feladat sorozhat s 5) a nyert eredmnyekbl a feredmnyt kell mdon sszelltsa. ( Dr. Beke Man s Reif Jakab jogutdai)

gy hisszk, hogy a szerzk gondolatai a XXI. szzadban sem vesztettek rvnyessgkbl.

Az albbiakban ebbl a feladatgyjtemnybl vlasztottunk hrom, a tmakrnkbe tartoz

feladatot. A feladatok szvegt nmileg modernizltuk.

1. Egy fiatalember 17-edik ve beteltvel szivarozni kezd. Az v vgvel sszeszmtvn ki-

adsait, gy tallta, hogy hetenknt 1 forintot klttt szenvedlyre. Ekkor gy okoskodott:

ha n ez vi kltsgemet most s ezentl minden v vgvel takarkpnztrba tennm,

60 ves koromig vi 5%-val tetemes sszegre szaporodnk. Krds, mennyire?

(1 vben 52 httel szmoljunk.)

2. Kt tke, egyik 8000 Ft 5%-ra, a msik 12 000 forint 3%-ra kiadva, hny v mlva nvek-

szik kamatos kamatjval ugyanazon sszegre?

1 rettsgi vizsglati mathematikai feladatok gyjtemnye cmmel reprint kiadsban megjelentette az

INTEGRA-PROJEKT Kft. 1993-ban.


3.* Hrom mrtani sorozatban az els tagok egy olyan mrtani sorozat szomszdos tagjai,

amelynek a hnyadosa 2. A hrom mrtani sorozat hnyadosai (ugyanabban a sorrendben)

egy olyan szmtani sorozat egymst kvet tagjai, amelynek a differencija 1. A hrom

mrtani sorozat msodik tagjainak sszege 24. A harmadik mrtani sorozat els hrom

tagjnak sszege 84. Melyek ezek a mrtani sorozatok?


I. GY IS, GY IS LEHET 1. Egy 13 cm sugar krnek megrajzoltuk az AB tmrjt.

a) Szmtsd ki annak az ABC hromszgnek az oldalhosszait, amelynek a terlete 120 cm2,

s a hromszg krlrt kre az adott kr!

b) Van-e krnek olyan D pontja, amelyre az ABD hromszg terlete 180 cm2. Ha van,

szmtsd ki a hromszg oldalainak hosszt!

c) Szerkeszd meg azoknak az E pontoknak a halmazt a kr skjban, amelyekre az ABE

tompaszg hromszg terlete 195 cm2!

d) A kr negyed krvn keresd meg az sszes olyan P pontot, amely esetn az ABP h-

romszg AB oldalhoz tartoz magassgnak hossza cm-ben mrve egsz szm.

Ha vletlenszeren vlasztunk ezek kzl a P pontok kzl egyet, mekkora a valszn-

sge, hogy a kivlasztott P ponthoz tartoz ABP hromszg terlete legalbb 39 cm2 s

legfeljebb 2cm91 ?

e) Az a) krdsben meghatrozott ABC hromszg bert krnek mekkora a sugara?

2. A 2 cm oldalhosszsg szablyos hromszg mindhrom oldala fl olyan ngyzetet raj-

zolunk, amelyik nem tartalmazza a hromszget. A ngyzeteknek a hromszg cscstl

klnbz cscsai egy hatszget hatroznak meg.

a) Szmtsd ki ennek a hatszgnek a terlett!

b) A hatszg azon oldalain t, amelyeknek a hossza megegyezik a ngyzet oldalnak hosz-

szval, egyeneseket rajzolunk. A hrom egyenes meghatroz egy DEF hromszget.

Mekkora ennek a hromszgnek a terlete?

c) Ha a DEF hromszg minden oldala fl az elbbihez hasonlan ismt ngyzetet rajzol-

nnk, akkor a mr ismert mdon meghatrozott hatszgnek mekkora lenne a terlete?

3. Szerkessz egy 60-os szget, s annak szgtartomnyban egy olyan 2 cm sugar krt,

amely a szg mindkt szrt rinti! Jelld a szg szrait a-val, illetve b-vel! Szerkessz

olyan e egyenest, amely az a szgszrral 45-os szget zr be, s az egyenes rinti a 2 cm

sugar krt! Hny ilyen egyenes szerkeszthet?

Az a s b szgszrak s az e egyenes ltal meghatrozott lehet legnagyobb hromszgnek

hny cm2 a terlete?

2. modul: TELEK S KERTS 21

4. Az brn hromszg alap egyenes hasb alak ptkockkbl felptett vr oldallapja

lthat. (Az brn lthat szmok az ptkocka egy-egy lnek cm-ben mrt hosszt jel-

lik.)

a) Mekkora a vr oldallapjnak terlete?

b) Rajzold le, milyen ptkockkbl plhetett fel a vrnak ez a fala, ha tudjuk, hogy a vr

oldallapja 4 ptkockbl jtt ltre?

5. Egy mozaikkp hromfle olyan ngyszglapbl kszlt, amelyek mindegyiknek a he-

gyesszge 61-os. A hromfle lap a kvetkez: egy b oldalhosszsg rombusz; egy

olyan hrtrapz, amelynek szra b, a hosszabbik alapja b2 hossz; s olyan paralelog-

ramma, amelynek az egyik oldala b, a msik b3 hossz.

a) Mekkora a hrom elem terletnek arnya?

b) Mindhrom elem, s egyetlen b oldalhossz egyenl oldal hromszglap felhasznl-

sval rakj ki hzagmentesen egy b6 oldalhosszsg, szablyos hromszg alak k-

pet! (Mindhrom ngyszglapbl tetszleges mennyisg ll rendelkezsedre.) Kszts

vzlatos rajzot az elkszlt kprl!

6. Egy derkszg trapz minden oldala rint egy olyan krt, amelynek a sugara 2 cm hossz.

A trapz alapjhoz nem derkszgben hajl szrnak hossza 5 cm.

Mekkora a trapz kerlete?

7. Egy hrtrapzba kr rhat. A trapz alapjainak hossza 54 cm s 6 cm.

a) Hny cm hossz a trapz szra?

b) Mekkora a belerhat kr sugara?

3

12

4

5 5


II. SOKSZG, SOK SZG?

Ismtl krdsek sokszgekrl

1. Hny oldala van a sokszgnek, ha tlinak a szma a) 65; b) 29?

2. Hny cscsa van a szablyos sokszgnek, ha a szomszdos szimmetriatengelyeinek hajls-

szge 60?

3. Hny cscsa van a szablyos sokszgnek, ha a szomszdos szimmetriatengelyeinek a haj-

lsszge 7?

4. Hny oldala van annak a szablyos sokszgnek, amelyiknek egyik bels szge 165?

5. Hny oldal az a szablyos sokszg, amelyiknek egyik bels szge 17-szerese egyik kls

szgnek?

6. Egy szablyos sokszg egyik oldalnak hossza egysg, s egyik bels szge kisebb,

mint a kls szge. Mekkora a sokszg kerlete s terlete?

7. Egy szablyos sokszg egyik oldala: 32 , s egyik bels szge egyenl egyik kls szg-

vel. Hny terletegysg a sokszg terlete?

8. Egy konvex hatszg szemkzti oldalai prhuzamosak. Melyik llts igaz?

A: Oldalai egyenlk. B: Hrsokszg C: Szgei pronknt egyenlk.

D: Van olyan kr, amelyet a hatszg minden oldala rint.

Tovbbi feladatok

9. Egy 4 cm sugar kr K kzppontjtl 6,1 cm tvolsgra lv P pontbl meghztuk a kr

rintit. Mekkora annak a krcikknek a terlete, amelyet a kt rintsi pontot sszekt

rvidebb krv hatrol?

2. modul: TELEK S KERTS 23

10. Hat darab henger alak konzervdobozt (alapkrk tmrje 10 cm) hatfle mdon ktz-

tnk ssze nyjthatatlan madzaggal (az brk fellnzeti kpeket mutatnak). Melyik eset-

ben volt szksg a lehet legrvidebb madzagra, ha vesztesggel egyik esetben sem sz-

molunk?

11. Mark Twain hres knyvnek, a Tom Sawyer kalandjainak ismert jelenete a kertsfests.

Tomot megbzza Polly nni, hogy fesse le a kertsket. (Ez termszetesen Tom egy csny-

tevsnek volt a bntetse.) Tom gyesen kedvet csinl bartainak a festshez, s azok bol-

dogan nekiltnak helyette elvgezni a munkt.

Ehhez hasonl eset ma is megtrtnhet: Anna, szabadidejben, a zsebpnze kiegsztse

miatt munkt vllalt. Elre gyrtott emblmkat kellett befestenie kk, illetve mustrsrga

sznre, az brnak megfelelen.

Anna bartja, Jska kvncsian nzte az emblmkat. Te, ezek a

hosszabb vek, a ngyzet oldalai fl rajzolt flkrk, a kisebbek

pedig a ngyzet kzppontjbl fltlnyi sugrral rajzolt negyed

krvek! Gyorsabban vgeznl, ha n is festenk! Az veket hadd

fessem n, gy n mindig kisebb felletet festek be, mint te! Anna

megengedte.

Igaza volt Jsknak? Az emblmkon valban a kisebb terlet rsz festst vllalta el?

12. Egy 6 cm oldalhossz ABCDE szablyos tszgnek a D cscsbl meghztuk kt tljt.

Mekkora a terlete az ABD, illetve a BCD hromszgnek?


I. KOCKZS Az albbi feladatok megoldsa kzben hasznos, ha van eltted kt kocka. Az egyik legyen

lapok ltal hatrolt, a msik tltsz, csak az lei jelentsk meg a kockt.

1. llts ssze egy kockt a Polydron-kszlet elemeibl! Mrd le a kocka lnek hosszt mm

pontossggal, s szmtsd ki a kocka laptljnak, testtljnak a hosszt, a kocka felsznt

s trfogatt!

2. Hny tlskja van egy kocknak? (tlsknak neveznk minden olyan skot, amely tartal-

mazza a kocka ngy cscst, de a lapjt nem.) Az tlskokbl a kocka egy-egy skidomot

vg ki. Szmtsd ki ezeknek a skidomoknak a terlett!

3. Mekkora szget zr be egymssal a kocka egy cscsbl kiindul

a) kt laptlja; b) laptlja s testtlja; c) le s testtlja?

4. Vlassz ki a kocka cscsai kzl ngyet gy, hogy azok egy szablyos tetrader cscsai

legyenek! (Szablyos tetrader olyan gla, amelynek minden lapja egyenl oldal hrom-

szglap.) Szmtsd ki ennek a szablyos tetradernek a trfogatt, ha a kocka lnek hossza

6 cm!

5. Tegyl egy tmr kockt az asztallapra gy, hogy a kocka egyik lapja prhuzamos legyen

az asztallapra merleges fallal! Ebbl a helyzetbl kiindulva, forgasd a kockt a fallal pr-

huzamos forgstengelye krl! A forgats sorn a kocka oldallapja maradjon vgig az asz-

talon!

a) Ha a forgats kzben a falra merlegesen megvilgtannk a kockt egy prhuzamos

fnynyalbbal, milyen lenne a kocka rnyka a falon? Rajzold le az rnykot o45 -os,

o60 -os s o90 -os szgelforgatsnl! Mrd meg a kockd lnek hosszt, s ennek alap-

jn szmtsd ki az rnyk ltal meghatrozott skidom terlett mind a hrom szgelfor-

gats esetben!

b)* Az ilyen mdon forgatott s megvilgtott kocka rnyknak terlete adott l kocka

esetben csak az elforgats szgtl fgg. Legyen az elforgats szge a

2

;0 inter-

vallum eleme! Add meg kplettel, s brzold is ezt a fggvnyt! A kocka lnek hosz-

szt vlasszuk 1 egysgnek!

3. modul: A MI TERNK 27

6. Adott az brn lthat ABCDEFGH kocka hrom vek-

tora: a=KA , b=KB s p=KP . E hrom vektor s a vektormveletek felhasznls-

val rd fel a kvetkez vektorokat!

a) BC ; b) DE ; c) BH ;

d) HC ; e) DQ , ahol Q a CG l felezpontja.

7. Keress a kocka lapjain olyan pontokat, amelyek egyenl

tvolsgra vannak a kocka DF testtljnak kt vgpontj-

tl!

K

P H

F E

D

G

C

B A

Q

H

F E

D

G

C

B A


II. SZGLETES TESTEK

1. A 4 cm oldall kocka minden lapjra kifel olyan glt ptnk, amelynek az oldallei

szintn 4 cm hosszak. Mekkora az gy keletkez csillagalakzat trfogata?

2. Egy tglatest trfogata 225 cm3, tovbb hrom, kzs cscs oldallapjnak terletarnya

1:3:5. Hatrozd meg a tglatest leinek hosszt!

3. Panni 12. osztlyos tanul, s is most klnbz testek trfogatnak s felsznnek a ki-

szmtsi mdjt tanulja matematika rn. Kezbe kerlt egy japn nyelven rt matematika

tanknyv. Az egyik feladathoz az albbi bra tartozott:

Ez biztos egy ABC hromszg alap, egyenl oldall gla. Gondolom, hogy a felsznt

vagy a trfogt kell kiszmtani. gondolta Panni. Te hogyan rtelmeznd a ltottakat?

4. Egy hromoldal egyenes hasb alaplapja olyan ABC derkszg hromszg, amelyben a

derkszg a C cscsnl van, s cm20=AC , cm21=BC hossz. A hasbbl egy skkal lemetsznk egy ABC alaplap testet. Ez a sk az A, B s C cscsokbl indul oldalleket az

alaptl rendre 10 cm, 16 cm s 16 cm tvolsgra metszi. Mekkora trfogat testet vgtunk

le a hasbbl?

3

3 3

C

B A

D

ADB = BDC = CDA = 120o


5. Egy desszertes doboz szablyos hatszgalap egyenes hasb. A dobozba elhelyezett desz-

szertek szablyos hromszg alap egyenes hasb alakak. Mreteik: az alaplk 4 cm, a

magassguk 2 cm hossz. A desszerteket a dobozban szorosan egyms mell helyezik el,

s a desszertek s a doboz oldallapja kztti 0,5 cm-es hzagot paprral tltik ki. A desz-

szertek al s fl is paprt tesznek, amelyek magassga sszesen szintn 0,5 cm. Mekkora

trfogat rszt tltenek ki a desszertek, s mekkora a doboz trfogata, ha a doboz falvas-

tagsga elhanyagolhat?

6. Egy csonkagla oldallei egyenl hosszak, az alaplapjai 6 cm s 4 cm oldalhosszsg

ngyzetek. A csonkagla oldallapjainak terletsszege megegyezik az alaplapok terlet-

nek sszegvel. Szmtsd ki a csonkagla felsznt s trfogatt!


III. GMBLY TESTEK 1. Egy 2 m hossz vascs falvastagsga 12 mm, bels tmrje 40 mm. Mit gondolsz, egy

5 ves kisgyerek meg tudja-e emelni a csvet a kzepnl fogva?

(A vas srsge 3cmg86,7 .)

2. A forgshenger alak 3 dl-es vizespoharamat 10 cm magassgig tltttem meg vzzel. Va-

jon kifolyik-e belle a vz, ha beledobok egy 3 cm-es tmrj golyt, ami lemerl a pohr

aljra? (A vizespohr alaplapjnak tmrje 6 cm.)

3. Az brn lthat pohr kt, kzs alap krkpbl kszlt. A kpok cscsnak tvolsga

3,2 cm. Az egyik kp nylsszge o90 , a msik o60 . A kt kp palstja kztti rsz t-

mr veg. Mekkora ennek a rsznek a trfogata?

4. Mekkora tmeg terhet tud felemelni egy hliummal tlttt, 12 m sugar, gmb alak lg-

haj, ha az elhanyagolhat vastagsg burkolat ngyzetmtere 0,2 kg tmeg? (1 m3 leve-

g tmege kb. 1,29 kg, a lggmbt megtlt hlium kbmterenknt 0,268 kg.)

5. Egy egyenes csonkakp alap- s fedkrnek sugara R s r ( Rr < ), magassga 10 cm. A csonkakp alkotjnak s alaplapjnak hajlsszgre 2tg = teljesl. Az alapkrre emelt, ugyanakkora magassg henger trfogata 1,5-szerese a csonkakp trfogatnak.

Hny cm hossz R s r?


6. Charles Simonyi magyar szrmazs fejlesztmrnk volt az tdik rturista. 2007. prilis

7-n indult a Szojuz-TMA-10 rhajval 11 napos rutazsra, a Nemzetkzi rllomsra.

a) Vajon a Fld felsznnek hny szzalkt lthatta Charles Simonyi egy olyan pillanat-

ban, amikor az rhaj a Fldtl 200 km tvolsgban volt? (A Fld sugart vegyk

6370 km-nek.)

b) Mekkora ltszgben lthatta Charles Simonyi az a) krdsben ltott Fldrszlet kt leg-

tvolabbi pontjt sszekt szakaszt?

7. Az ABC hromszg kt oldalnak hossza dm3=a s dm4=b , tovbb e kt oldal ltal kzbezrt szg o120 . Megforgatjuk a hromszget elszr a b, majd a c oldalnak egyene-

se krl. Az egyik, illetve msik o360 -os forgats sorn mekkora trrszt hatrol a hrom-

szg?


IV. SKBAN, TRBEN 1. Az albbiakban megfogalmaztunk nhny skbeli problmt. Ezeknek az alakzatoknak mi

lehetne a trbeli megfelelje? Fogalmazd meg a skgeometriai feladattal analg trgeomet-

riai feladatot! Oldd meg az eredeti, s az gy kapott trgeometriai feladatot is!

a) Adott egy konvex szg. Keresd meg azon krk kzppontjainak halmazt az szg szgtartomnyban, amelyek rintik a szg mindkt szrt!

b) Milyen hossz a b oldalhosszsg ngyzet bert krnek sugara?

c) Egy tglalap kt szomszdos oldalnak hossza a s b. Mekkora sugar kr rhat a tgla-

lap kr?

d) Egy hromszg terlete t, kerlete k. Mekkora a hromszg bert krnek r sugara?

2. Egy egyenes henger alapkrnek sugara 3 dm hossz. A hengerbe bert lehet legnagyobb

trfogat egyenes krkp palstjnak terlete megegyezik a henger palstjnak terletvel.

Mekkora a henger magassga?

3. Egy egyenl oldall, ngyzet alap csonkagla magassga 8 cm, alap- s fedlapjnak

terlete rendre 36 cm2, illetve 25 cm2. A csonkaglba egy kockt helyeztnk el gy, hogy

annak egyik oldallapja a csonkagla alaplapjra illeszkedik, a tbbi cscsa pedig a

csonkagla alkotinak egy-egy pontja. Mekkora a kocka le?

4. Az egyik zletben 4 gumilabdt hromfle kiszerelsben rulnak. Az brkon a labdk el-

rendezse lthat a klnbz alak dobozokban.

Az 1. bra szerinti elrendezs esetben henger, a 2. esetben tglatest, a 3.-ban pedig egy

szablyos hromszg alap egyenes hasb alak dobozba helyezik el a labdkat. A labdk

tmrje 3 cm.

Szmtsd ki, hogy az egyes esetekben mennyi papr szksges az egyes dobozok elkszt-

shez, ha a lehet legkevesebb paprbl szeretnnk ellltani az egyes dobozokat!

(A vesztesgtl s az illesztshez szksges rhagysoktl eltekintnk.)


5. Egy egyenes fenyfatrzs magassga 12 m, a vastagabb vgnl az tmr 32 cm, a vko-

nyabb vgnl 20 cm hossz. Egy faeszterglyos a fatrzsbl a lehet legnagyobb trfoga-

t, tglalap alap egyenes hasb alak gerendt szeretne kszteni. Hogyan vlassza meg a

hasb mreteit? Mennyi lesz a vesztesg?

6. Egy sajtdarab alakja szablyos hatszgalap egyenes gla. Hnyflekppen s hol vghat

el egyetlen, a gla alapjra merleges, vagy vele prhuzamos egyenes vgssal kt egyenl

trfogat rszre?


Feladatok

1. Egy szigoran nv szmtani sorozat t egymst kvet tagjnak sszege 100. Lehet-e tagja

a )2( ? Indokold a dntsedet!

2. Egy szmtani sorozat els hat s els ht tagjnak sszege egyarnt 63. Mennyi a sorozat

negyedik s harmadik tagja?

3. Egy hromszg oldalhosszai rendre egy mrtani sorozat szomszdos tagjai. Az oldalhosszak

mrtkszma egsz szm, szorzatuk 27. A hromszg. Mekkora a hromszg kerlete?

4. Egy mrtani sorozat els ngy tagjnak sszege tzszerese az els kt tag sszegnek. A nul-

la nem tagja a sorozatnak. Mekkora lehet a sorozat hnyadosa?

5. Egy hromszg oldalainak harmadol pontjai hatszget hatroznak meg. A hromszg ter-

letnek hnyadrsze e hatszg terlete?

6. A (szablyos) hatszglet Kerek Erd kzepn ll Mikkamakka, s tle az erd legtvolab-

bi pontja 10 mterre van. Mekkora a Kerek Erd kerlete?

7. Egy r sugar flgmb hatrkrre mint alapkrre 2r magassg egyenes forgskpot illesz-

tnk. Mekkora az gy nyert Keljfeljancsi trfogata?

8. Egy sokszg bizonyos cscsait sszekt szakaszok hosszt a, b, c s d, az ltaluk bezrt

szgeket pedig , jelli. A sokszg terlett melyik kifejezs adhatja meg? A: sin

2+ dc

abba ; B: ( ) sinsin

21 ++ dacbcab ;

C: ( )adbcba ++ 22 ; D: cossin2222

+ dc

ba .

4. modul: MG EGYSZER! 37

9. Egy polider bizonyos cscsai kztti szakaszok hosszt a, b, c, d , s e, az ltaluk bezrt

szgeket pedig s jelli. A polider trfogatt melyik kifejezs adhatja meg? A: ( )( )( )( )( )( ) sin++

++++dbca

dccbdaba ; B: ( )22 dcdab + ; C: ( )( ) sincos2222 dcbadcba ++++++ ; D: sinsin + cdababcd .

10. Egy szigoran cskken szmtani sorozat els hrom tagjnak sszege 24. A sorozat m-

sodik tagja olyan mrtani sorozat els tagja, amelynek a hnyadosa megegyezik a szmtani

sorozat differencijval. A mrtani sorozat els hrom tagjnak sszege 104.

Szmtsd ki a sorozatok els tagjt s differencijt, illetve a hnyadost!

11. vi 8%-os kamatlbbal, negyedvente tkstve 1,5 v mlva Ft616112 lett a szmlnkon.

Ekkor kivettnk Ft00050 -ot, s a maradk pnzt kthavonta tkstve hrom ven t

kamatoztattuk, vltozatlan ves kamatlb mellett. Mennyi pnznk volt a szmln eredeti-

leg?

12. Egy derkszg hromszg tfogja 35 cm hossz. Az tfogt 3:4 arnyban oszt pont egy

olyan kr kzppontja, amely rinti a hromszg mindkt befogjt.

a) Mekkora ennek a krnek a sugara?

b) Mekkora a hromszg terlete?

13. Egy kocka leinek hossza dm10=b . A kockba egy lehet legnagyobb trfogat, kr ala-p egyenes hengert helyeznk el, majd abba belerakunk egy lehet legnagyobb trfogat

tglalap alap, egyenl oldall glt, s vgl ebbe belehelyeznk egy olyan egyenes

csonkakpot, amelynek az alapkre a gla alaplapjba bert kr, magassga 2b .

Szmtsd ki az egymsba skatulyzott testek trfogatt!


I. HALMAZOK 1. Hatrozd meg

a) az 1 224 555 htjegy szm szmjegyeinek halmazt!

b) a pozitv pros prmszmok halmazt!

c) az egyjegy ngyzetszmok halmazt!

d) a 15-tel oszthat ktjegy szmok halmazt!

e) a szm egy tizedes jegyre, 2 tizedes jegyre, 3, 4, illetve 5 tizedes jegyre kerektett r-tkeinek halmazt!

f) a { } 12;3 ;2 ;1 ;0;1;2;3 xx aZ fggvny rtkkszlett! g) a vals szmok lehet legbvebb rszhalmazt, amely megoldshalmaza a

0)4)(2( > xx egyenltlensgnek!

2. Az A s B halmazrl a kvetkezket tudjuk:

{ }4;3;1;0\ =BA { }8;7;6\ =AB BA az egyjegy termszetes szmok halmaza.

Add meg az A, a B, s az BA halmazokat elemeik felsorolsval!

3. Az A s a B halmaz is 4 elem, s minden elemk pozitv egsz szm. Az A B halmaz-nak 3 eleme van, s elemeinek szorzata 12. Az A halmaz elemeinek szorzata 60, a B hal-

maz elemeinek sszege 12. Hatrozd meg az A s a B halmazt!

4. Jelljk A-val a 630 prmosztinak halmazt, B-vel a 300 egyjegy pozitv osztinak hal-

mazt, s legyen { }4 s ,12 +== xxxyyC NZ . a) Add meg mind a hrom halmazt elemeik felsorolsval is!

b) Szemlltesd a hrom halmazt Venn-diagrammal! Mindhrom halmaz elemeit rd be a

halmazbrba!

c) Add meg elemeik felsorolsval az CA , CB , CBA s A\ )( CB halmazo-kat!

5. modul: ISMTLS A TUDS ANYJA 41

5. Egy kzpiskola tanulkzssgnek nhny nem res rszhalmaza a kvetkez:

A: a kitn tanulk halmaza;

B: kollgiumban lak tanulk halmaza;

C: a kzpiskola lenytanulinak halmaza.

Add meg az A, B, C halmazok s a halmazmveletek segtsgvel kt klnbz mdon is

a nem kitn, nem kollgista fitanulk halmazt!

6. Jellje D az 062


9. Legyen { }cbaA ;;= s { }edbaC ;;;= . Hny olyan B halmaz llthat el, amelynek az elemei szintn az bc beti, s CB , tovbb az BA halmaz ktelem?

10. Tegyk fel, hogy van olyan tv tulajdonos, akinek nincs rdija. Tovbb ttelezzk fel

azt is, hogy akinek van autja, de nincs rdija, annak nincs tvje sem.

Kvetkezik-e ebbl, hogy van olyan tv tulajdonos, akinek nincs autja?

11. Egy 35 fs osztly minden tanuljnak egy vzitra eltt hrom krdsre kellett vla-

szolnia. A krdsek a kvetkezk voltak:

1) Szereted-e a szilvsgombcot?

2) Este 11 rakor legyen-e a takarod?

3) Vgig tudsz-e szni egy 200 m-es tvot pihens nlkl?

A krdsekre az osztly minden tagja vlaszolt, igennel vagy nemmel.

A vlaszads utn kiderlt, hogy az 1. s 3. krdsre egyarnt 18-18 igen vlasz rkezett,

mg a 2. krdsre 12. Az 1. krdsre igennel vlaszolk kzl 12-en a 2., 8-an pedig a

3. krdsre feleltek nemmel. Igent mondott a 2. s 3. krdsre 6 tanul, de kzlk 2-en

az els krdsre nemmel vlaszoltak.

Legyen I = {az osztly tanuli}, I 1 = {az 1. krdsre igen-nel vlaszolk}, I 2 = {a 2. kr-dsre igen-nel vlaszolk}, I 3 = {a 3. krdsre igen-nel vlaszolk} halmaza. a) Milyen vlaszt adtak az 1. krdsre az 1\ II halmazba tartozk?

b) Hny eleme van az 21 \ II halmaznak?

c) Hny eleme van az I I I1 2 3 halmaznak? d) Szemlltesd a ngy halmazt Venn-diagrammal, s rd be mindegyik rszhalmazba an-

nak elemszmt!

e) Hnyan vlaszoltak mind a hrom krdsre nemmel?


II. SZMOK KLNBZ ALAKBAN

1. rd fel a 21 szmot

a) egy szm ngyzetgykeknt! b) egy szm ellentettjeknt!

c) egy szm ngyzeteknt! d) egy szm 20%-aknt!

e) egy szm abszoltrtkeknt! f) egy szm 5-dik hatvnyaknt!

g) a 4 hatvnyaknt! h) a 10 hatvnyaknt!

i) egy szm 8-as alap logaritmusaknt! j) egy vals szm szinuszaknt!

2. lltsd el a 12-t s a 37-et a 2 klnbz egsz kitevj hatvnyainak sszegeknt! rd fel

e kt szmot a 3 klnbz egsz kitevj hatvnyainak sszegeknt is!

3. lltsd el a 10-et

a) kt ngyzetszm sszegeknt! b) kt szm ngyzetnek sszegeknt!

4. Az albbi szmokat add meg egy-egy prmszm hatvnyaknt!

a) 625 ; b) 5 81 ; c) 10 4)16( ; d) 125log77 ; e) 324 2log .

5. Dntsd el, hogy az albbi alakban megadott szmok kzl melyek racionlis szmok! Dn-

tsedet indokold!

a) 8214 ; b) 112545802 + ; c)

215

353 ;

d) ( )

+ 22

37384821 ; e)

161

168127 43 +

; f) 246)2332( 2 + .

6. Melyik szm a 2 reciproka?

A: 2 ; B: 22 ; C: 2 ; D: Egyik eddigi vlasz sem helyes.


7. Melyik szm a 23 + reciproka? A: 32 ; B:

231

; C: 23 ; D: Egyik vlasz sem helyes.

8. Az albbi hatvnyok kztt vannak olyanok, amelyeket nem rtelmeznk. Vlaszd ki kz-

lk azokat, amelyek rtelmezve vannak! Dntsedet indokold!

3

2)1( ;

3

21

; 3)2( ; 3

1

21

; 3

1

21

; ( ) 32 ; 3

7sin)3(

; 3,0)3(sin ; )3sin()3(

9. Igazold, hogy az albbi alakban megadott szmok mindegyike racionlis szm! 2log

31

3 ; 43 31log ; 3log 225,0 ; 9log4 2)2( .

10. Vezessk be a kvetkez jellst: k=3log2 . Fejezd ki k-val az albbi kifejezseket! a) 144log4 ; b) 3log6log

22

22 ?

11. Kzelt rtkek hasznlata nlkl rendezd nvekv sorrendbe az albbi szmokat! llt-

sodat indokold!

sin 4; sin 4; tg ( 495); cos 28,5; cos 6,3 ; sin22 + cos22.


III. FGGVNYEK

Fggvnyek megadsa kplettel

1. Az albbi feladatokban szveggel megadott fggvnyek szerepelnek. Add meg kpletvel a

krdezett fggvnyt! (Az rtelmezsi tartomny megadsrl se feledkezz meg!)

a) Tekintsk azokat a tglatesteket, amelyeknek egy cscsbl kiindul lei egy 2=d dif-ferencij szmtani sorozat szomszdos tagjai. Jelljk x-szel a tglatest leghosszabb

lnek hosszt. Add meg e tglatestek trfogatt x fggvnyben! Hogyan fgg x-tl e

tglatestek felszne?

b) Hogyan fgg a sokszgek tlinak szma a sokszg oldalszmtl?

c) Hogyan fgg a kr t terlete a k kerlettl?

d)* Az res 50 literes kd lefolynylst lezrjuk, s kinyitjuk a csapot, amelybl egyenle-

tesen, percenknt 4 liter vz folyik a kdba. 2 perc utn kihzzuk a lefoly nylsbl a

dugt, de nem zrjuk el a csapot. A lefolyn t percenknt 1 liter vz folyik ki. Hogyan

fgg a kdban lv vz mennyisge a csap kinyitstl eltelt idtl?

Alapfggvnyek

2. Add meg a vals szmok halmaznak lehet legbvebb rszhalmazt, amelyen az albbi

kifejezsekkel fggvny adhat meg!

xxf =)( ; 2)( xxg = ; xxh =)( ; x

xk 1)( = ; xxm =)( ; xxn 3)( = ; xxp 2log)( = ; xxr sin)( = ; xxr cos)( = ; xxt tg)( = .

a) Vzold az gy rtelmezett fggvnyek grafikonjt egy-egy koordinta-rendszerben!

b) Ha 32


Fggvnyek brzolsa transzformcival

3. a) A vals szmok halmazn rtelmezett 2)( xxf = fggvny grafikonjbl kiindulva b-rzold fggvnytranszformcival a 3)2()( 2 += xxg fggvnyt, ahol Rx !

b) brzold fggvnytranszformcival a 14)( 2 ++= xxxh fggvnyt, ahol Rx !

c) brzold fggvnytranszformcival a 32

1)( += xxk fggvnyt, ahol { }2\R x ! d) brzold fggvnytranszformcival az )2(log)( 2 += xxm fggvnyt, ahol Rx s

x


IV. SZVEGES EGYENLETEK

Szveg lefordtsa az algebra nyelvre

A kvetkez feladatok szvegben rejl felttelek alapjn ngyfle egyenletet rtunk fel. K-

zlk pontosan egy felel meg a feltteleknek. Dntsd el, hogy melyik!

A helytelenl megadott egyenletek kzl vlassz egyet, s vltoztasd meg a szveget gy,

hogy a kivlasztott egyenlet jl rja le az j szvegben rejl sszefggseket!

1. (Ez a feladat mr Eukleidsz knyvben is megtallhat, persze nem pontosan ebben a

megfogalmazsban.)

Egy szvr s egy szamr terhet cipelve beszlgetett. A szamr gy szlt: Ha tvennk a

terhedbl 100 kg-ot, az enym ktszer olyan nehz lenne, mint a tid. Az szvr gy felelt:

Az m, de ha te adnl t nekem 100 kg-ot, akkor n hromszor annyi tmeget cipelnk,

mint te.

Jellje x a szamr s y az szvr terhnek tmegt kilogrammban. Melyik egyenlet rja le

helyesen a feladatot?

A:

=+=+

xyyx

31002100

; B: 100)100(31002100 =++ xx ;

C:

=+=+

)100(3100100)100(2

xyyx

; D: 100)100(31002100 +=+ xx .

2. Az osztlykirnduls egyik napjra egy 24 km-es trt tett meg az osztly. A lnyok s a

fik egyszerre indultak, s ugyanazon az tvonalon haladtak, de a fik rnknt 2 km-rel

tbbet tettek meg, mint a lnyok, s gy ppen egy rval hamarabb clba rtek.

Jellje v a lnyok sebessgt km/h-ban (illetve t azt az idt rban, amennyi id alatt a l-

nyok megtettk a 24 km-es utat). Melyik egyenlet rja le pontosan az elmondottakat?

A: vv

2412

24 =+ ; B:

==

24)1)(2(24

tvvt

;

C: 21

2424 += tt ; D: vv241

224 =++ .


3. Egy ktjegy szm szmjegyeinek sszege 5. Ha a kt szmjegy kz berunk egy 1-est, s

a kapott hromjegy szmot elosztjuk 8-cal, a hnyados az eredeti ktjegy szm lesz, a

maradk pedig 2. Jelljk x-szel a ktjegy szm utols szmjegyt. Melyik egyenlet rja

le helyesen a szmok kztti kapcsolatot?

A: [ ] 2)5(108110)5(100 ++=++ xxxx ; B: 2)5(8010)5(10 ++=++ xxxx ; C: [ ] 2)5(10810)5(100 ++=++ xxxx ; D: 2)5(10

810)5(100 ++=++ xxxx .

Egyenletek felrsa kis segtsggel

4. Balzs meslte, hogy 4 v mlva flannyi ids lesz, mint amennyi az apja 6 vvel ezeltt

volt, amikor harmadannyi ves volt, mint amennyi az apja most. Hny ves most az apa

s a fia?

Segtsg: Balzs Apja

6 ve

Most

4 v mlva 2x

5. Egy 12-edikes osztlyba jr barti trsasg minden tagja msolatokat ksztett a tablk-

prl, s a fnykpeiket klcsnsen kicserltk egymssal. Erre a clra sszesen 480 kp

kszlt, de a cserk utn kiderlt, hogy 100 kp felesleges maradt. Hny tagja volt a barti

trsasgnak?

(Segtsg: Ha a barti trsasgnak x tagja volt, akkor egy tanul hny kpet osztott szt?)

6. Egy cink-rz tvzetben 82% rz van. Ha az tvzetbe mg jabb 1,8 kg cinket tesznk,

akkor az tvzet rztartalma 70%-oss vlik. Hny kilogramm cinket s rezet tartalmazott

eredetileg az tvzet?

(Segtsg: Ha az tvzet tmege kezdetben x kg volt, akkor az j tvzetben hny kilogramm

rz lesz?)


Egyenletek felrsa segtsg nlkl

7. Egy osztly tanulinak 31 -a gyalog, 25%- kerkprral, a tbbi 10 dik pedig busszal jr

iskolba. Hny tanulja van az osztlynak?

8. Egy benzinkt 1800 literes tankjt egyszerre tltik fel kt tartlykocsibl. Az egyik tartly-

kocsibl percenknt 20 literrel kevesebb benzint lehet ttlteni, mint a msikbl. Egyszerre

kezdik el az res tank tltst, s 15 perc alatt a benzinkt tankja 75%-ig telik meg. Hny

liter benzin folyik t a benzinktba az egyik, illetve msik tartlykocsibl percenknt?

9. Egy ruhz raktrban piros s kk kelme van sszesen 160 000 Ft rtkben. A piros kelme

ra mterenknt 600 Ft, a kk kelm 500 Ft. Egyik nap eladtk a piros kelme 25%-t s a

kk kelme 20%-t sszesen 35 000 Ft rtkben. Mennyi piros s mennyi kk kelme maradt

a raktrban?

10. Egy hromtag csald (apa, anya s a lnyuk) tagjainak az letkora most sszesen 80 v.

Az apa hromszor annyi ids, mint a lnya. Kt ve az anya letkora volt hromszorosa a

leny akkori letkornak. Hny vesek most?

11. Egy keresked 50 kg szlt vett 8000 forintrt. A szlt sztvlogatta, s egyik rszt 15%-

os haszonnal, msik rszt 5%-os vesztesggel adta el, gy 1008 Ft haszonra tett szert.

Hny kilogramm szlt adott el nyeresggel s hny kg-ot vesztesggel?

12. Egy keresked nagyobb ttelben cukrot akart vsrolni. Halogatta a vsrlst, s mire sz-

bekapott, a cukor mzsjnak ra 2000 Ft-tal emelkedett. Szksge volt r, gy megvette a

szksges mennyisget, de ekkor ugyanannyi cukorrt 120 000 Ft-ot kellett fizetnie, mg

korbban ugyanennyi pnzrt 2 mzsval tbbet kaphatott volna. Hny mzsa cukrot vs-

rolt?

13. Egy ktjegy szm szmjegyeinek az sszege 13. Ha a szmot 12-vel osztjuk, akkor a

hnyados megegyezik a szm utols szmjegyvel, a maradk pedig ennl 2-vel kisebb.

Melyik ez a szm?


14.* Az apa letkora most 5 vvel tbb, mint a hrom fia letkornak az sszege. 10 v mlva

az apa ktszer olyan ids lesz, mint a legidsebb fia, 20 v mlva ktszer olyan ids lesz,

mint a kzps fia, 30 v mlva pedig ktszer olyan ids lesz, mint a legkisebb fia. Hny

ves most az apa? s a fik?


V. EGYENLETEK

Kt legyet tnk egy csapsra

1. Oldd meg a vals szmok halmazn a kvetkez egyenleteket!

a) xx 1034 = ; b) 32102 2 +=+ xx ; c) 110314 = xx ; d) xx sin103sin4 = ; e) xx lg103lg 4 = ; f)

xx1034 = .


a) 0)2)(1( =+ xx ; b) 02332 =+ xx ; c) 02 =+ xx ; d) 0)2)(log1(log 22 =+ xx ; e) 01sincos2 =+ xx .


a) 23 ctgtg =+ xx ; b) 3

21 =+

xx

; c) 211

=+ xx

xx .

Ha ez ennyi, akkor az mennyi?

4. Ha 0)5)(3( =+ xx , akkor mivel egyenl xx 22 + ?

5. Ha 23 =+x , akkor mivel egyenl 4)3( +x ?

6. Ha 3,0sin 2 =x , akkor mivel egyenl x2cos ?

7. Ha 6,0cos =x , akkor mivel egyenl xsin ?

8. Ha 2)36lg( =+x , akkor mivel egyenl x2log ?

9. Ha 212 2 =+x , akkor mivel egyenl x2log ?

10. Ha xyyx 494 22 +=+ , akkor mivel egyenl yx 2 ?


Az egyenletnek nincs megoldsa?

11. Igazold, hogy az albbi egyenleteknek, illetve egyenletrendszernek nincs vals gyke!

a) 5,0)2lg(lg =+ xx ; b) 523 =+ xx ;

c) ( )( ) 015,042 1 =++ xx ; d) 0cos

1sin =x

x ;

e)

=+=

1

222 yx

yx; f)* 8169 =+++ xxx .


VI. EGYENLTLENSGEK 1. Oldd meg a vals szmok halmazn a kvetkez egyenltlensgeket!

a) 22 )43(6)14( xxx

+xx ; c) xx 412 ;

d) 0572 2 + xx ; e) 0542 >+ xx ; f) 0123 > x *; g) 2loglog 2

41

41


7. Egy telek nevezzk A-nak derkszg trapz alak. Mretei: az alapok 12 m s 27 m

hosszak, a nem derkszg szr hossza 30 m. Ezen az utbbi oldalon csatlakozik a telek-

hez egy msik telek (B). A kt telek kzs hatrn mg nem ptettk meg a kertst.

A B telek tulajdonosa tesz egy ajnlatot a szomszd telek tulajdonosnak: Megptteti a ke-

rtst a kzs oldalon, ha tenged neki egy kis darabot a telkbl. gy gondolta a javaslatot

tev, hogy a kertsnek azt a vgt, amely a szomszd telek 27 m-es oldaln lenne, nhny

mterrel beljebb helyeznk el, gy egy hromszg alak telekrsz az v lenne. Mindkt

gazda tudja, hogy a kerts folymternek megpttetse 3000 Ft-ba kerl, tovbb azt is,

hogy ezen a vidken a telek m2-nek ra 20 000 Ft. Legfeljebb hny mterrel tegyk beljebb

a kerts vgt, hogy az A telek tulajdonosa jrjon jobban?

8. Adott a koordintask kt pontja: ( )2;1A s ( )0;3B . Hatrozd meg az 92 =+ yx egyenes-

nek azt a P pontjt, amelyre a 22 PBPA + minimlis!

A B


VII. SOROZATOK 1. A kvetkez sorozatok kzl vlaszd ki azokat, amelyek grafikonjnak minden pontja

egyetlen egyenesre illeszkedik!

)osztja pozitv legkisebb szm Az()( nan = ; )szmatlinak sokszgkonvex oldal 2 Az()( += nbn ;

=)( nc (Az n egysg oldalhossz szablyos hromszg hrom magassghossznak sszege); =)( nd (Az 2+n oldal szablyos sokszg szimmetriatengelyeinek szma); =)( ne (A nnk 2)( = sorozat els n tagjnak sszege).

2. A kvetkez sorozatok kzl vlaszd ki azokat, amelyek

a) szigoran nvekvk vagy szigoran cskkenk; b) korltosak;

c) periodikusak; d) szmtani sorozatok!

3)2(1 += nan ; )1lg()1lg()52( 2

++=

nnnbn ; ncn sin= ;

nnnd

= 2)1( ; 21

nen = ; 1

1

5,05,05 +

= n

nnf *;

ngn 3cos = ; nnnhn 7)2( 22 += .

3. Adj meg kplettel egy olyan sorozatot, amelyik

a) fellrl korltos, de alulrl nem korltos;

b) nem korltos;

c)* fellrl korltos, a legkisebb fels korltja 1, s szigoran nvekv!

4. a) Egy szmtani sorozat t egymst kvet tagjnak sszege 60. Tagja-e ennek a sorozat-

nak a 12?

b) Egy mrtani sorozat t egymst kvet tagjnak szorzata 1024. Tagja-e ennek a soro-

zatnak a 4?


5. Panni slat kt. Az els napon 4 cm hossz darabot kttt meg. Minden tovbbi napon

2 cm-rel tbbet, mint az azt megelz napon.

Milyen hossz lenne a sl 2 ht alatt?

6. gi is slat kt, de a msodik naptl kezdve minden nap ktszer akkora darabot kt, mint

az azt megelz napon. Az els hrom nap alatt a sl mr 21 cm hossz lett.

a) Mennyit kttt az els napon? b) Hnyadik napon lenne a sl 240 cm hossz?

7. Egy cskken szmtani sorozat els 15 tagjnak az sszege 0.

a) Hny pozitv tagja van a sorozatnak? Mely tagok ezek?

b) Ha mg azt is tudjuk, hogy az els tz tag sszege 50, mekkora az els hsz tag sszege?

8. Egy tglatest egy cscsban sszefut leinek hossza egy szmtani sorozat egymst kvet

tagjai, s e hrom l hossznak sszege 30 cm. Mdostsuk a tglatest leit: a legrvideb-

bet nem vltoztatjuk, a leghosszabb lek mindegyikt 10 cm-rel, mg a kzpsk mind-

egyikt 2 cm-rel megnveljk. Az gy ltrejtt tglatest egy cscsban sszefut leinek

hossza egy mrtani sorozat egymst kvet tagjai. Hny cm3 az j tglatest trfogata?

9. Egy erd fallomnya 3500 m3. A mindenkori llomny venknt 3%-kal gyarapodik.

a) Felttelezve, hogy 10 v alatt egyetlen fa sem pusztul el, s nem vgnak ki egyet sem,

hny m3 lesz a fallomny 10 v elteltvel?

b) Ha viszont minden v vgre az elz vi fallomny 1%-t kivgjk (a gyarapods

most is minden vben az elz vi fallomny 3%), akkor mekkora lenne a fallomny

10 v elteltvel?

c) A b) krdsben megfogalmazott felttelek esetn hny m3 ft vgtak volna ki sszesen

az els hrom vben?

10. Egy 8 egysg oldalhossz ngyzetet kt, egymsra merleges

egyenessel 4 egybevg ngyzetre bontunk. A kapott ngyzetek

kzl a bal felst kifestjk. A tbbi hrom ngyzet mindegyikt

ismt felosztjuk 4-4 egybevg ngyzetre, s ismt mindegyikben

a bal fels ngyzetet kifestjk. Az eljrst hasonl mdon folytat-

juk tovbb.


Jellje nt az n-edik (n tetszleges pozitv egsz szmot jell) alkalommal befestett ngyze-

tek terletnek sszegt.

a) rd fel a )( nt sorozat els t tagjt!

b) A tizedik alkalomkor hny terletegysg lenne befestve sszesen?

11. Az utbbi pr v mindegyikben 500 ezer Ft prmiumot kaptam, de sajnos rvid id alatt

el is kltttem. Takarkoskodjunk! gondoltam, s nyitottam egy szmlt, s lektttem

500 ezer Ft-ot vi 10%-os kamatra. ppen egy v mlva jbl kaptam 500 ezer Ft prmi-

umot, azt is rgtn beraktam a szmlmra. Takarkoskodsom kezdete ta sszesen egy-

ms utn 4 vben kaptam ugyanilyen sszeg prmiumot, melyet rgtn el is helyeztem a

szmlmra. Az tdik vben egy fillrt sem kaptam, mrgemben azonnal felvettem a szm-

lmrl 500 ezer Ft-ot. A kvetkez vben sem kaptam prmiumot, ekkor jbl kivettem a

szoksos 500 ezer Ft-ot. Ezt kvet kt vben ugyangy jrtam. Amikor a 4-edik alka-

lommal vettem fel 500 ezer Ft-ot, rmmel lttam, hogy mg maradt pnz a szmlmon.

Mennyi maradt?


VIII. HROMSZG NEVEZETES VONALAI, PONTJAI S

KREI 1. Dntsd el, hogy az albbi lltsok kzl melyik igaz, s melyik hamis. Dntsedet indo-

kold!

a) A hromszg brmelyik magassgvonala kt derkszg hromszgre bontja a hrom-

szget.

b) Minden hromszgnek van olyan magassgvonala, amely kt derkszg hromszgre

bontja a hromszget.

c) Van olyan hromszg, amelynek magassga egybeesik a hromszg egyik oldalval.

d) A hromszg bels szgnek szgfelezje kt, egyenl terlet rszre bontja a hrom-

szget.

e) A hromszgnek, ha van szimmetriatengelye, az csak a hromszg egyik magassgvo-

nala lehet.

f) Van olyan hromszg, amelyiknek pontosan 2 szimmetriatengelye van.

g) A hromszg kzpvonala kt, egyenl terlet rszre vgja a hromszget.

h) A hromszg skjban pontosan hrom olyan pont van, amelyik a hromszg mindh-

rom cscstl ugyanakkora tvolsgra van.

i) Van olyan hromszg, amelynl a krlrt krnek kzppontja a hromszg egyik ma-

gassgvonaln van.

j) A hromszg bert krnek kzppontja rajta van a hromszg egyik bels szgnek

szgfelezjn.

k) A hromszg slyvonala harmadolja a hromszg egyik oldalt.

l) A hromszg slypontjn tmen egyenes kt egyenl terlet rszre vgja a hromsz-

get.

m)* A hromszg egyik cscsbl indul bels szgfeleznek van olyan pontja, amelyik

egyenl tvolsgra van a hromszg msik kt cscstl.

2. Szerkeszd meg az brn lthat hromszg kt magassgvonalt!


3. Szerkessz tompaszg egyenlszr ABC hromszget, amelynek az alapja AB, majd szer-

keszd meg az AC szr Thalsz-krt! A kr az AB alapot a T pontban, a BC oldal egyenest

a Q pontban metszi.

a) Milyen arnyban osztja a T pont az AB alapot?

b) Az AQ s CT egyenesek metszspontjt jelljk P-vel. Milyen nevezetes pontja az ABC

hromszgnek ez a P pont?

4. Az brn lthat ABC hromszg A s B cscsbl indul magassgok talppontjt jellje

rendre aT s bT . Bizonytsd be, hogy az baTABT ngyszg kr kr rhat!

5. Vizsgld meg, hogy a 4. feladatban megfogalmazott llts igaz-e tompaszg hromszg

esetben is! Sejtsedet indokold!

6. Szerkessz egy hegyesszg, egy derkszg s egy tompaszg hromszget, majd szer-

keszd meg mindhrom hromszg krlrt krt!

7. Az brn a K pont az ABC hromszg krlrt krnek kzp-

pontja. Az AKC hromszg terlete 3 terletegysg. Hny ter-

letegysg az ABC hromszg terlete?


8. Jelld meg egy ABC hromszg bert krnek rintsi pontjait! Ez a hrom pont meghat-

roz egy PQT hromszget. Az ABC hromszg bels szgeinek szgfelezi milyen neve-

zetes vonalai a PQT hromszgnek? Sejtsedet indokold!

9. Az brn lthat ABC hromszg kzphromszge egy DEF hromszgnek (azaz, AB, BC

s AC egy-egy kzpvonala a DEF hromszgnek).

a) Szerkeszd meg a DEF hromszget!

b) Az ABC hromszg magassgvonalai milyen nevezetes vonalai a DEF hromszgnek?

Sejtsedet indokold!

10. Az ABC hromszg bert kre az AC oldalt a Q pontban, a BC oldalt pedig a T pontban

rinti. Igazold, hogy az ABTQ ngyszgnek van olyan oldala, amelynek hossza kt msik

oldal hossznak sszegvel egyenl!

11. Egy derkszg hromszg befoginak hossza: 5 cm s 12 cm. Mekkora a hromszg bert

krnek sugara?

12. Egy derkszg hromszg tfogja 5, kerlete 12 egysg. Hny egysg a hromszg bert

krnek sugara?

F

E

D

C

A


IX. HASONLSG

1. Egy o10 -os szget 3-szoros nagyts nagytn t nznk. Hny fokos a szg a nagytn t

nzve?

2. Az brn lthat ABC hromszg terlete 18 cm2.

a) Szerkessz a hromszg AC oldalnak harmadol

pontjain tmen, az AB oldallal prhuzamos

egyeneseket!

b) A megszerkesztett egyenesek mekkora

terlet rszekre vgjk

az ABC hromszget?

3. Egy 8 cm2-es diakpet a falon 0,32 m2-es kpnek ltjuk. Milyen magasnak ltszik az a bet,

amelyik a din 3 mm magas?

4. Egy parkban egy kr alak virggyat fehr rvcskkkal ltettek tele. A virggyat krbe-

ltettk lila rvcskkkal. A lila rvcskk virggya krgyr alak volt, amelynek terle-

te 8-szorosa volt a kr alak virggynak. Hnyszorosa a lila virgokkal beltetett krgy-

rt hatrol kls kr kerlete a belsnek?

5. Egy ptkezsre az egyik nap 2 tonna homokot hoztak. Leszrtk gy, hogy a homokdomb

kp alak lett. Msnap mg hoztak valamennyi homokot, s ugyanoda lentttk. Azt vet-

tem szre, hogy az gy kialakult kp hasonl a tegnap ltott kphoz, de a magassga kt-

szer akkora. Hny tonna homokot szlltottak msodik alkalommal?

6. Egy trapz prhuzamos oldalainak hossza: 3 cm s 9 cm. Mekkora a trapz tli ltal ltre-

hozott kt hasonl hromszg terletnek arnya?

7.* Tkrzd az brn lthat ABC hromszget a slypontjra! Az eredeti s a tkrkp h-

romszg oldalai pronknt metszik egymst. E hat metszspont, az eredeti hromszg s a

tkrkphromszg cscsai egy csillagalakzatot (12 oldal sokszget) hatroznak meg.

Mekkora a csillagalakzat terlete, ha az eredeti hromszg terlete 12 cm2?

C

B A


8. Az AB szakasz bels C pontjrl tudjuk, hogy AC:CB = 1:4. Az AC, CB s AB szakaszok

mint oldalak fl szablyos hromszgeket rajzolunk. Mi lesz a hrom hromszg terle-

tnek ABBCAC TTT :: arnya?

9. Egy tglalap alak telek oldalainak hossza 10 m s 24 m. A tulajdonos a telek egyik sark-

ban el szeretne kerteni egy ngyzet alak rszt konyhakertnek. Az brn a tulajdonos vz-

latrajza lthat. Mekkork a tervezett ngyzet oldalai?

10. Egy derkszg hromszg tfoghoz tartoz magassga az tfogt 7 cm s 9 cm hossz

szakaszokra bontja. Mekkora a hromszg hosszabbik befogja?

11. Egy derkszg hromszg befogi 8 cm s 15 cm hosszak.

a) Mekkora a hromszg krlrt krnek sugara?

b) Mekkora a hromszg tfoghoz tartoz magassga?

c) Mekkora a hromszg bert krnek sugara?

d) Milyen tvolsgra van a hromszg slypontja a hromszg krlrt krnek kzppont-

jtl?

12. Egy derkszg hromszg tfogjt a magassg kt olyan szakaszra bontja, amelyek

klnbsge 1 cm. A hromszg kisebbik befogja 1 cm-rel rvidebb az tfognl. Mekko-

ra az tfog?

10 m

24 m


13. Az ABC hromszg BC oldalnak C-n tli meghosszabbtsn lv D pontra az

ABC CAD = teljesl. Milyen kapcsolat van az AD, CD s BD oldalak kzl? Dntse-det indokold!

A: CD mrtani kzepe a msik kettnek; B: BD mrtani kzepe a msik kettnek;

C: AD szmtani kzepe a msik kettnek; D: AD mrtani kzepe a msik kettnek;

E: Az oldalak kztti kapcsolat nem felel meg sem az A, sem a B, sem a C, sem a D vla-

szoknak.

14. Az cm10=R sugar krt kvlrl rinti a 10 cm-nl kisebb r sugar kr. A kt kr kzs kls rintinek hajlsszge 60o-os. Hny cm hossz az r sugr?


X. TRIGONOMETRIA

1. Az i bzisvektor ( 200o )-os forgatsval ellltott vektor koordintit jellje );( 21 ee . A kvetkez szgek kzl melyikre igaz, hogy

a) koszinusza egyenl 1e -gyel?

b) szinusza 2e -vel egyenl?

c) koszinusza egyenl 1e -gyel, a szinusza pedig 2e -vel?

740o ; 20o ; 1280o ; 880o ; o160 .

2. Szerkeszd meg az albbi egysgvektorokat!

jie )2730(sin)2730(cos oo += ))450sin();450(cos( oo =k

jin )(sin)(cos += , ahol 1tg =

3. Szmtsd ki az ) ; 5,0( 2ee s )1 ; ( 1 gg egysgvektorok hinyz koordintjt!

4. Dntsd el az x rtknek kiszmtsa nlkl, hogy a kvetkez ngy llts kzl melyik

igaz! Dntsedet indokold! Ha cos cosx = 170o , akkor A) cos cosx = 10o ; B) o190coscos =x ; C) sin sin( )x = 10o ; D) cos cosx = 370o .

5. Oldd meg az egyenleteket a megadott alaphalmazon!

a) 2 1 0cos x = , ahol [ ]x 600 1000o o, b) 01sin2 =+x , ahol [ ]x 600 1000o o, c) ( cos )( sin )2 1 2 1 0x x + = , ahol [ ]x 4 4 , d) ( cos ) ( sin )2 1 2 1 0x x + + = , ahol [ ]x 4 4 , e) 2 1

2 10cos

sinxx

+ = , ahol [ ]x 4 4 ,


6. Egy zsebszmolgppel csak a szgek szinuszt lehet kiszmtani, a tbbi szgfggvnyt

nem. A gp mg tovbbi ngy mveletet kpes vgrehajtani. Az albbiakban megadtunk

nhny lehetsget a ngy mveletre.

Vlaszd ki a megadott lehetsgek kzl azt, amelyik esetben a ngy megadott mvelettel

biztosan ki tudjuk szmtani a gppel olyan tetszleges szm koszinuszt, tangenst s ko-

tangenst, amelyiknek mind a ngy szgfggvnye rtelmezve van!

A: sszeads, szorzs, kivons, reciprokkpzs

B: ngyzetgykvons, sszeads, kivons, reciprokkpzs

C: ngyzetgykvons, szorzs, kivons, reciprokkpzs

D: ngyzetgykvons, sszeads, szorzs, reciprokkpzs

E: Az eddig megadott ngy mvelettel nem lehet kiszmtani.

7. Oldd meg az egyenleteket a vals szmok halmazn!

a) o0cossin =x ; b) ( ) 050costg =+ ,xx ; c) 1cossin 22 = xx .

8. Egy 80 m hossz lejts t fels vgn lv templomot o7,3 -os szg alatt ltjuk az t elej-

rl. A lejt hajlsszge o3,21 . Milyen magas a templom?

9. Egy hz ablakbl, a talajtl 2 m magassgbl egy, a hztl 25 m tvolsgra lv fa cscsa

44 3, o -os emelkedsi szg alatt ltszik. A hz alapjt a fval sszekt egyenesen, a fa tl-

oldaln egy kisfi jtszik a homokban, ahonnan a fa 29 8, o szg alatt ltszik. Milyen tvol

van a kisfi a hztl?

10. Egy 40 m sugar, kr alak park egy kerek rt jelent meg. A 2 rt, az 5 rt s a 9 rt

jell (A, B s C) krpontokbl egy-egy egyenes t vezet a kr K kzppontjba, tovbb

e hrom pont kzl brmelyik kettt egyenes t kt ssze.

a) Milyen messze van az AC t a kr kzppontjtl?

b) Szmtsd ki mter pontossggal az CABCAB ++ tvonal hosszt!

11. Egy derkszg hromszg terlete 27 cm2 , tovbb ismerjk az hegyesszg kotan-genst:

32ctg = . Mekkork a hromszg befogi?


12. Oldd meg a kvetkez egyenletet a vals szmok halmazn!

( )[ ] 01tg

1)2sin(1cos2 2 =

xxx

13. Egy hromszg oldalai 2 cm, 3 cm s 4 cm hosszak. Mekkora a legnagyobb szgnek

koszinusza?

14. Egy hromszg egyik oldala 3-szorosa egy msik oldalnak, s e kt oldal ltal kzrefogott

szg o120 -os. A hromszg leghosszabb oldala hnyszorosa a legrvidebbnek?

15. Az ABC hromszg oldalai 5=a cm, 13=b cm s 15=c cm hosszak. Hatrozd meg a hromszg terlett, bels szgeit, s a legrvidebb oldalhoz tartoz slyvonalnak

hosszt!


XI. GEOMETRIAI SZMOLSI FELADATOK 1. Az A4-es papr mretei egszre kerektve: 30 cm21 cm. A lapot, az tlja mentn elvg-

juk, gy kt egybevg hromszglapot kapunk. Az albbi krdsek az egyik derkszg

hromszglapra vonatkoznak.

a) Hogyan vgjuk el ezt a hromszget, hogy kt egyenl terlet hromszglaphoz jus-

sunk?

b) Hogyan s hol vgjuk el a hromszget, hogy kt hasonl hromszglapot kapjunk?

Mekkora a kt keletkez hromszg hasonlsgnak arnya?

c) A rvidebb oldalval prhuzamosan gy szeretnnk elvgni a hromszglapot, hogy kt

egyenl terlet laphoz jussunk. Hol vgjuk el? Milyen hossz a metszsvonal?

d) A hromszglapbl levgunk egy hozz hasonl, 35 cm2 terlet hromszglapot. Ho-

gyan s hol vgjuk el az eredeti hromszglapot? Milyen hossz a metszsvonal?

e) A hromszglapbl kt vgssal vgjuk ki a lehet legnagyobb terlet ngyzetet. Mek-

kora ennek a ngyzetnek a terlete? f) A hromszglapbl kivgjuk a lehet legnagyobb terlet krt. Mekkora ennek a krnek

a sugara?

g) A hromszglapbl kivgunk egy olyan, lehet legnagyobb sugar negyed krlapot,

amelynek a kzppontja a derkszg cscsa. A kivgott lapot tekintsk egy kp palst-

jnak. Mekkora ennek a kpnak a trfogata?

2. Az ABC hromszg terlete 36 cm2, AB oldalnak hossza 6 cm. A hromszg az AB oldal

felezmerlegesbl 4 cm hossz szakaszt vg ki.

a) A C cscsbl hzott magassg talppontja hny cm-re van AB felezpontjtl?

b) Hny cm hossz a hromszg AB oldalhoz tartoz slyvonala?

c)* Milyen hossz az A cscsbl indul slyvonal?

d)* Mekkora a hromszg msik kt oldalnak hossza?


3. Lacika, els osztlyos kisiskols rajzolt egy szp

nagy A bett. A bet szrai 60-os szget zrnak be

egymssal, s a kls szrak hossza 6 cm, a bet

talpai 1 cm hosszak. A szrakat sszekt vona-

lak kzl az alst a rvidebb szr talphoz kzelebbi

negyedel pontjbl kiindulva hzta meg, s a kt

sszekt szakasz tvolsga 0,5 cm lett.

Lacika szeretn kifesteni az A betjt. Hny cm2 te-

rletet kell ehhez lefestenie?

4. Egy szablyos nyolcszg oldala 8 cm hossz. Hny cm hosszak a sokszg tli? (Az

eredmnyeket tizedre kerektve add meg!)

5. Prizsban a Louvre udvarn lthat vegpiramis kls mretei: magassga 21,67 m, az

alaplapjt alkot ngyzet oldala 35,40 m hossz. Hny m2 terlet a piramis fellete, ha el-

tekintnk a bejrat beszgellstl?

6. Dan Brown: A Da Vinci-kd cm knyve rszint a Louvre-ban jtszdik. A knyvben

szerepel egy mondat, amely a piramis vegtblira vonatkozik. a piramist, Mitterrand

elnk kifejezett kvnsgra, pontosan 666 vegtblbl ptettk klns kvnsg,

amelyet szltben-hosszban trgyaltak az sszeeskvs-elmletek kedveli, arra hivat-

kozva, hogy a 666 a Stn szma. (GABO Kiad, 2004, ford. Bori Erzsbet).

A Louvre-mzeum tjkoztatsa szerint a piramis sszesen 673 vegtblbl ll, 603 rom-

busz s 70 hromszg alak, amelyek 2,1 cm vastagok. I.M. Pei tervezirodja gy nyilat-

kozott, hogy a piramisban lv veglapok szma 698.


Az bra az vegpiramis egyik oldallapjnak lefedst mutatja be.

Az 5. feladat adatainak felhasznlsval vlaszold meg az albbi krdseket!

a) Mekkora a rombusz alak vegtbla hegyesszge?

b) Ha elfogadjuk a Louvre adatait, akkor az 5. feladat szmolsi eredmnyt felhasznlva

kb. hny m2-nek addik egy rombusz alak vegtbla terlete?

7. Egy 4 cm oldalhosszsg szablyos hatszget elforgatunk a szimmetriakzppontja krl

30-kal. Mekkora az oldalhossza s terlete az eredeti s az elforgatott hatszg egyests-

vel kapott csillagalakzatnak (huszonngy oldal konkv sokszgnek)?


XII. KOORDINTAGEOMETRIA 1. Add meg az 0523: =+ yxe egyenlet egyenes hrom pontjt s hrom normlvektort!

2. Add meg az 4

332 += xyx egyenlet egyenes kt pontjt, egy vektort, amely merleges

az egyenesre, s egy vele prhuzamos vektort! Hatrozd meg az egyenes irnytangenst!

Szmtsd ki a kivlasztott kt pont tvolsgt!

3. rd fel a )5;2( P ponton tmen, s az )1;3( AB vektorra merleges egyenes egyenle-tt!

4. rd fel az 43: = yxe egyenlet egyenessel prhuzamos, s az )0;4(F ponton thalad f egyenes egyenlett!

5. rd fel az )2;1(A s )4;3(B pontokon tmen g egyenes egyenlett, tovbb a )11;3(C ponton tmen, a g egyenesre merleges f egyenes egyenlett!.

a) Szmtsd ki a kt egyenes F metszspontjnak koordintit!

b) Milyen arnyban osztja az F pont az AB szakaszt?

c) Hatrozd meg annak a ponthalmaznak az egyenlett, amelynek brmelyik pontjbl az

AB szakasz derkszgben ltszik!

d) Mekkora terlet hromszget hatroz meg az x tengely, a g egyenes s az f egyenes?

6. Igazold, hogy a )3;8(P , )503;692(Q , )303;192(R s )203;492(S pontok egy parale-logramma cscspontjai!

7. Szmtsd ki az 0164622 =+ yxyx egyenlet kr x tengelyen lv A s B pontjnak koordintit!

a) Hatrozd meg az ABC hromszg M magassgpontjnak koordintit, ahol )7;1(C !

b) Hol metszi az AB szakasz Thalsz-kre az ABC hromszg BC oldalegyenest?

c) Az ABC hromszg krlrt kre a hromszg A cscsn tmen am magassgvonalt a

D pontban, a C cscsn tmen cm magassgvonalt pedig az E pontban metszi. Igazold


koordintageometriai eszkzkkel, hogy a D s E pontok egyenl tvolsgra vannak a

hromszg B cscstl!

d)* Szmtsd ki az ABC hromszg A cscsbl indul magassg aT talppontjnak, s a

B cscsbl indul magassg bT talppontjnak koordintit! Igazold, hogy a baTT sza-

kasz merleges a hromszg krlrt krnek kzppontjt a hromszg C cscsval

sszekt sugrra!

8. Az ABC hromszg C cscsa az y tengelynek pontja, s )3;2(A tovbb )3;0( B . A h-romszg krlrt krnek egyenlete 032822 =+++ yxyx . a) Hatrozd meg a hromszg oldalfelez merlegesei metszspontjnak koordintit!

b) Add meg a C cscs koordintit!

c) Szmtsd ki a hromszg slypontjnak koordintit!

d) Hny terletegysg a hromszg terlete?

e) Szmtsd ki a krlrt kr A s B pontjban megrajzolt rintk E metszspontjnak ko-

ordintit!

9. A ( )P 1 0, pontbl az x y x y2 2 10 2 10 0+ + + = egyenlet krhz milyen hossz rin-tszakasz hzhat?

10. Egy hromszg egyik cscsa )1;3( A . A C cscsbl indul cm magassgvonal egyenle-te 32 =+ yx , s az ugyanonnan indul cs slyvonal egyenlete 1= yx . Szmtsd ki a hinyz kt cscspont koordintit!

11. Egy derkszg hromszg tfogjnak vgpontjai: )2;2(A s )4;6(B . Az egyik befo-gt tartalmaz egyenes egyenlete 10=+ yx . Szmtsd ki az tfoghoz tartoz magassg hosszt!


XIII. STATISZTIKA (Az 1., 3., 4. s 6. feladatban a Kzponti Statisztikai Hivatal (www.ksh.hu) adatait tntettk

fel.)

1. Az albbi tblzatban Magyarorszg npessgre vonatkoz adatok olvashatk.

v A npessg szma Ebbl frfi

Ebbl n

A hzassgk-tsek szma

Az lveszletsek

szma 1949 9 204 799 4 423 420 4 781 379 107 820 190 398 1960 9 961 044 4 804 043 5 157 001 88 566 146 461 1970 10 322 099 5 003 651 5 318 448 96 612 151 819 1980 10 709 463 5 188 709 5 520 754 80 331 148 673 1990 10 374 823 4 984 904 5 389 919 66 405 125 679 2001 10 200 298 4 851 012 5 349 286 43 583 97 047 2002 10 174 853 4 836 980 5 337 873 46 008 96 804 2003 10 142 362 4 818 456 5 323 906 45 398 94 647 2004 10 116 742 4 804 113 5 312 629 43 791 95 137 2005 10 097 549 4 793 115 5 304 434 44 234 97 496 2006 10 076 581 4 784 579 5 292 002 44 500 99 850

a) A tblzatban feltntetett vek kzl melyikben volt a legnagyobb, illetve legkisebb a

npessg szma?

b) A XXI. szzad els hat vben vente tlag hny hzassgot ktttek, s tlag hny gye-

rek szletett lve?

c) A tblzatban feltntetett vek mindegyikben szmtsd ki, hogy a frfiak hny szzal-

ka kttt hzassgot! Melyik vben volt ez az arny a lehet legnagyobb?

d) Szmtsd ki a nk s frfiak szmarnynak tlagt!

e) Add meg ezresekre kerektve az lveszletsek szmt, s az gy kapott adatokat br-

zold oszlopdiagramon!


2. A tblzatban egy 12-edikes csoport matematika dolgozatnak eredmnyei lthatk.

A. Anna 4 H. Ildik 5 M. Vera 5 P. Katinka 2

A. Kristf 4 H. Jzsef 4 M. Andrea 2 P. Nra 5

B. Kata 5 K. Attila 2 N. Pter 3 S. Zsanett 2

D. Ferenc 1 K. Csilla 5 N. Lszl 1 S. Balzs 5

D. Andrs 5 K. Samu 2 N. Krisztina 1 T. Gergely 2

G. Csilla 2 K. Balzs 5 N. Vera 2 V. Dra 1

a) Szmtsd ki a kapott jegyek tlagt, mduszt, medinjt, szrst!

b) A lnyok vagy a fik voltak eredmnyesebbek?

c) A szaktanr az a) feladatban krt adatok kzl melyiket emelje ki, ha

az iskola igazgatjnak akar beszmolni a dolgozat eredmnyrl, s a csoport eredm-

nyes munkjt szeretn hangslyozni?

az osztlyfnknek szmol be az eredmnyekrl, s azt szeretn jelezni, hogy a cso-

portba tartoz gyerekek zme lusta, nem dolgozik eleget a matematika rn?

a szli rtekezleten a szlket szeretn meggyzni arrl, hogy milyen nehz a csopor-

tot matematikra tantani, mert annyira eltr a tanulk motivltsga, szorgalma, fel-

kszltsge? 3. Az albbi tblzatban a feltntetett ht vben az egy fre jut lelmiszerfogyaszts adatai

olvashatk.

Termk, tpanyag 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 Hsflk sszesen, kg 73,1 71,5 73,0 67,5 65,9 62,5 59,4 Hal, kg 2,7 2,6 2,9 3,0 3,1 2,7 2,5 Tej s tejtermkek, vaj nlkl, kg 169,7 167,4 159,1 144,2 140,0 132,1 136,4

Tojs, db 389 357 338 365 337 297 267 Zsradkok sszesen, kg 38,6 37,0 37,5 36,8 38,1 36,7 35,7 Ebbl:

vaj, vajkrm, kg 1,7 1,8 1,7 1,5 1,4 1,5 1,6 tolaj, margarin, kg 11,8 11,7 12,6 13,7 14,6 15,0 14,7

Liszt, kg 106,1 97,4 100,0 91,8 86,5 83,3 79,8 Rizs, kg 4,2 5,2 5,6 5,6 4,8 5,0 4,8 Burgonya, kg 61,0 55,3 56,0 59,3 58,2 60,3 66,2 Cukor, kg 38,2 35,0 39,5 35,8 34,2 37,3 39,8


31%

10%

10%9%

12%

15%

13%Kzp-Magyarorszg

Kzp-Dunntl

Nyugat-Dunntl

Dl-Dunntl

szak-Magyarorszg

szak-Alfld

Dl-Alfld

a) Szmtsd ki az elz feladat adatnak felhasznlsval, hogy 1990-ben sszesen hny

tonna halat fogyasztott el a lakossg!

b) Szmtsd ki, hogy egyik vrl a rkvetkez vre hny szzalkkal vltozott a tejterm-

kek (vaj nlkl) egy fre jut fogyasztsa!

c) Hasonltsd ssze venknt az egy fre jut sszes zsrfogyasztst az tolaj- s margarin-

fogyasztssal, s jellemezd az sszehasonltst venknt egy-egy szmadattal! A kt

adatsort (zsr-, illetve tolaj- s margarinfogyasztst) brzold oszlopdiagram segtsg-

vel!

d) llaptsd meg az egy fre jut rizsfogyaszts adatainak mduszt, medinjt s tlagt!

e) Szmtsd ki, hogy 1990-hez kpest hny szzalkkal vltozott az egyes lelmiszerfajtk

egy fre jut fogyasztsa 1996-ra!

4. Magyarorszgon a 2003/2004. tanvben a kzpiskolai osztlyok szma sszesen 15 910

volt. Szmtsd ki az albbi krdiagram alapjn, hogy ebben a tanvben, az egyes rgikban

hny kzpiskolai osztly volt!

5. A Matematika Hatrok Nlkl versenyre kzpiskolk kilencedik osztlyai jelentkezhet-

nek. A verseny idtartama msfl ra, s ezalatt az id alatt minden rszt vev osztly

ugyanazt a 13 feladatot oldja meg. Az albbi gyakorisgi tblzat a 2007. vi verseny leg-

eredmnyesebb 28 osztlynak eredmnyt tartalmazza:

Elrt pontszm: 83 80 75 73 71 69 67 66 65 64 61 60 59 58 57 56 55

Gyakorisg: 1 1 2 1 1 2 2 3 1 2 1 2 1 3 2 2 1

a) Eltr-e egymstl legalbb 1 ponttal a pontszmok tlaga a medintl?


b)* A verseny eltt a szervezk az indul osztlyokat kt kategriba soroltk attl fgg-

en, hogy mennyi az osztly heti matematika rinak a szma. A tblzatban szerepl

28 osztly kztt 6 osztly II. kategriba tartoz. Kzlk a legeredmnyesebb 66 pon-

tot rt el, a leggyengbb teljestmnyt nyjt osztly pedig 55 pontot. Hny pontot rt el

a II. kategriba tartoz tbbi ngy osztly, ha tudjuk, hogy e 6 osztly tlagpontszma

pontosan 61 pont, pontszmaik mdusza 66, s medinja 61 pont?

6. a) A tblzat adatainak felhasznlsval dntsd el, hogy a megadott vekben bemutatott j

filmek hny szzalka nem szerepel a felsoroltak kztt! (Az eredmnyt egy tizedes

jegyre kerektve add meg!)

b) Az sszes j bemutatott filmekhez kpest melyik vben volt a legrosszabb, illetve a leg-

jobb a magyar filmek arnya? A kapott kt vben bemutatott sszes film eloszlsrl

kszts egy-egy krdiagramot! Mindegyik esetben szmtsd ki, hogy az adatokhoz mek-

kora kzpponti szg tartozik! Az eredmnyt fokokban, egsz szmra kerektve add

meg!

Bemutatott j filmek szma

v 2001 2002 2003 2004 2005

sszesen 164 182 212 226 220

Ebbl

magyar 23 19 21 28 17

amerikai 93 108 109 112 103

angol 5 2 18 8 14

francia 21 20 30 23 22

nmet 5 5 5 6 6

olasz 1 - 4 5 4


XIV. KOMBINATORIKA S VALSZNSGSZMTS 1. A 0, 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6 szmkrtyk mindegyiknek felhasznlsval hny olyan nyolcjegy

szm llthat el, amelyik oszthat

a) 9-cel; b) 5-tel; c) 6-tal; d) 25-tel; e) 125-tel?

2. Hat fibl s ngy lnybl ll trsasg egy betelefonls jtkban 5 db, llhelyre szl

koncertjegyet nyert. gy hatroztak, hogy sorsolssal dntik el, ki legyen kzlk az

5 szerencss jegytulajdonos. Mindannyian felrtk a nevket egy-egy cdulra, s a tz c-

dulbl kihztak tt. Hnyflekppen alakulhat gy a sorsols eredmnye, hogy a kisor-

soltak kztt

a) pontosan egy lny van; b) legalbb egy lny van; c) tbb lny van, mint fi?

3. Kati jszaka azt lmodta, hogy a hten az ts lott sorsolsn a kihzott szmok nvekv

sorrendjben az els, a harmadik s az tdik szm a 8, a 17 s a 75 lesz. Hny szelvnyt

vegyen msnap Kati, hogy biztosan telitallata legyen, feltve, hogy az lma beteljesl?

(Az ts lott jtkban az 1, 2,, 89, 90 szmok kzl hznak ki tt.)

4. Egy 32 fs osztlyban 15 fi van, s 7 szemveges tanul. A fik 80%-a nem szemveges.

Az osztly tanuli kzl vletlenszeren kivlasztunk kt tanult. Mekkora a valszns-

ge, hogy mindkt kivlasztott tanul

a) szemveges, s az egyik fi, a msik pedig lny; b) nem szemveges lny?

5. Az ts lott sorsolsakor jellje A azt az esemnyt, hogy a kihzott szmok kztt van az

5, 12 s 27, a B esemny pedig azt, hogy a kihzott szmok kztt van a 12, 36 s 50.

Mekkora a valsznsge az

a) AB esemny bekvetkezsnek; b) BA + esemny bekvetkezsnek?

6. Janika ltalnos iskolba jr, els osztlyos tanul. A 24 lapos rsfzete betelt. A tant

nni minden oldalra egy-egy jelet rajzolt.

Azt jelentette, hogy nagyon elgedett a munkjval. Ez a jel pedig azt mutatta, hogy elgedett, de igyekezzen mg szebben rni.


desanyja tnzte a fzetet, s 30 oldalon tallt jelet. Az els 10 oldalon sszesen 6-szor fordult el, a msodik 10 oldalon mr 8-szor, a harmadik 10 oldalon 5-szr, a tbbi a htra-

lv oldalakon volt. Hnyfle mdon lehetne kitlteni a kt jellel egy ilyen 24 lapos fzetet

a megadott felttelek teljeslse esetn?

7. A kedvenc CD lemezemen 12 szm van, kzlk is van kett, amit nagyon szeretek. Vlet-

len sorrendben lejtszatva a szmokat, mekkora a valsznsge, hogy ha minden szmra

pontosan egyszer kerl sor, akkor a kt legkedvesebb szmom kzl az egyiket elsre, a

msikat utolsknt hallgathatom meg?

8. Egy dobozban 10 darab azonos mret goly van, mgpedig 6 piros s 4 fekete.

a) Ha brmelyik goly kihzsnak valsznsge ugyanakkora, mekkora a valsznsge,

hogy egy golyt kihzva, a kihzott goly fekete lesz?

b) Hny zld szn golyt tegynk mg a dobozba, hogy egy golyt kihzva ppen 0,25 le-

gyen annak a valsznsge, hogy a kihzott goly szne zld?

9. A 15 s 74 v kztti lakossg krben 2007 els negyedvben Kzp-Magyarorszgon a

munkanlklisgi rta (azaz a rgi megadott kor lakossgn bell a munkanlkliek ar-

nya) 4,9%, szak-Alfldn pedig 11,3% volt. Ha ebben az idszakban vletlenszeren ki-

vlasztottunk volna 10, a megadott korosztlyba tartoz, Kzp-Magyarorszgon lak s

20, szak-Alfldn lak embert, akkor melyik esemnynek nagyobb a valsznsge: an-

nak, hogy a 10 kivlasztott kzl pontosan 1 munkanlkli, vagy annak, hogy a 20 kiv-

lasztott kzl pontosan 3 munkanlkli?

matA_12_diak-eleje.pdfmatc_12_1_d.pdfmatc_12_2_d.pdfmatc_12_3_d.pdfmatc_12_4_d.pdfmatc_12_5_d.pdf

cmat_12evf_diak-mf

Documents

Transcript of cmat_12evf_diak-mf