CM2 - Conversion Anlogique Numérique
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Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 49
Novembre 2011.
Traitement Numérique du SignalCM2 : Conversion
Analogique-Numérique
Université du Havre, IUT du Havre
Département GEII
Mise en œuvre du TNS Page 2 sur 49
PPN 2008: MC-II3
Traitement du signal
Applications en GEII
Mise en œuvre
Test
DSP
CAN/CNATF, compression, codage
Mise en œuvre du TNS Page 3 sur 49
Conversion Analogique-Numérique
Principe
Echantillonnage
Quantification
Traitement Numérique du Signal
Conclusion
Plan
Mise en œuvre du TNS Page 4 sur 49
1. Numérisation
Mise en œuvre du TNS Page 5 sur 49
Oreille :
Acoustique audible
f
Sensibilité
20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz
Sons audibles UltrasonsInfrasons
MP3 :
Téléphonie fixe :
CD :f
22 kHz0
f
22 kHz0
f
3,4 kHz0 300 Hz
Bande passante
Mise en œuvre du TNS Page 6 sur 49
Acoustique audible
f (Hz)
20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz
0
50
100
150
Voix
Musique
Audible
Seuilde perception
Seuil de douleur
pa (dB)
Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet
Seuils de perception et de douleur
Dépendance en fréquence
Mise en œuvre du TNS Page 7 sur 49
Effet de masquage: "psycho-acoustique"
Exploité par le format MP3
Acoustique audible
f (Hz)
20 Hz 200 Hz 2 kHz 20 kHz
0
50
100
150
Seuilde perception
normal
pa (dB)
Bruit
Modification du seuil
de perception
Son intense
Sensibilité de l’âge et de l’audition du sujet
Mise en œuvre du TNS Page 8 sur 49
Signal analogique/numérique
Numérisation d’un signal : x(t) → xn(tn)
Nécessaire pour le stockage et/ou le transport
Echantillonnage : fréquence d ’échantillonnage fe
Transducteuracoustique
électrique
Transducteurélectrique
acoustique
USignal
acoustiqueSignal
acoustiqueSignal
électrique
Quantification : nombre de bits Nbitst
∆t
∆x
Pas de temps :
Pas de quantification :
1
e
tf
∆ =
max( ) min( )
2 1bitsN
x xx
−∆ =−
x(t)
xn(tn)
Acquisition d’un signal analogique :
Mise en œuvre du TNS Page 9 sur 49
Signal analogique/numérique
Fréquences d'échantillonnage et quantification: Applications
Acquisition d’un signal analogique :
f200 Hz 4 kHz
A
feSpectreDomaine Quantification Débit
f40 Hz 15 kHz
A
t64 µs
A
Téléphonienumérique
Audionumérique
HiFi
Vidéonumérique
Source: "Analyse et traitement des signaux – Méthodes et application au son et à l'image", Ed. Dunod, p.52.
8 kHz
44,1 kHz
13 MHz
8 bits
16 bits (/canal)
8 bits (N&B)
24 bits (coul.)
64kbits/s
705kbits/s
100 à 300 Mbits/s
Mise en œuvre du TNS Page 10 sur 49
2. Echantillonnage
Mise en œuvre du TNS Page 11 sur 49
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
0
1
2
3
4
5
6
Une tendance linéaire se dégage.
Ajustement de points expérimentaux
Echantillonnage
La distribution de points expérimentaux est la suivante : Points (xk, yk) expérimentaux : k est un entier ∈ [1; 21]
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L’erreur absolue commise vaut 1, mais l’erreur relative atteint 80 % pour le deuxième point.
Ajustement de points expérimentaux
Echantillonnage
La distribution de points expérimentaux est la suivante : Régression linéaire: Soit x∈[0;5] et ylinéaire = a.x+b
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
0
1
2
3
4
5
6
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
0
1
2
3
4
5
6
Ajustement de points expérimentaux
Echantillonnage
La distribution de points expérimentaux est la suivante : Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + sin(2π x)
Ce modèle défini sur [0; 5] décrit bien l’évolution des points expérimentaux.
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
0
1
2
3
4
5
6
La distribution de points expérimentaux est la suivante : Ajustement: Soit x∈[0;5] et y = x + triangle(2π x)
Ce modèle défini sur [0; 5] convient tout autant que le précédent. Seul un sur-échantillonnage permettrait de déterminer le meilleur des deux.
Ajustement de points expérimentaux
Echantillonnage
Mise en œuvre du TNS Page 15 sur 49
minmax
. 2epoints e
fN f T
f= = ≥
Npoints = 20 points/période
0 10 20 30 40-2
0
2
4
6
8
t (ms)
x(t)
0 10 20 30 40-2
0
2
4
6
8
t (ms)x(
t)
Npoints = 4 points/période
Condition de Shannon : fe ≥ 2.fmax
Echantillonnage minimum :
Echantillonnage
Echantillonnage : Discrétisation en temps
Mise en œuvre du TNS Page 16 sur 49
Signal numérique
CD :
WAV :
Echantillonnage : fe = 44,1 kHz
Quantification : Nbits = 16 bits
Nombre de voies :Nvoies = 2 voies
Débit :D = fe.Nbits.Nvoies= 1411 kbits/s
Echantillonnage : fe = 8, 11, 22, 44 ou 48 kHz
Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits
Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies
Débits :D = 64 à 1536 kbits/s
MP3, WMA, OGG... : Echantillonnage : fe = 8 à 48 kHz
Quantification : Nbits = 8 ou 16 bits
Nombre de voies :Nvoies = 1 ou 2 voies
Débits :D = 32 à 320 kbits/s (MP3)D = 48 à 500 kbits/s (OGG)
Téléphone mobile : Débit : D = 6,5 ou 13 kbits/s
Débit associé à un format
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3. Quantification
Mise en œuvre du TNS Page 18 sur 49
Quantification
max( ) min( )
q
U UU
N
−∆ =
Pas de quantification :
2U
Uε ∆= ±
Erreur de quantification :
Pas de valeur discrète pour U = 0.
Erreur relative importante pour les faibles valeurs de U. Quantification uniforme sur 10 niveaux.
Quantification : Discrétisation en amplitude
2
q
UN
∆ =soit : si U ∈[−1; +1].
Mise en œuvre du TNS Page 19 sur 49
Quantification
Quantification uniforme sur Nq = 16 niveaux.
Calées sur le max ou le min et val. 0 :
max
11;q q
q
U N
U N
− ∈ − + ÷
max
1; 1q q
q
U N
U N
− ∈ − + ÷
Calées sur le max et le min et val. 0 :
[ ]max
1; 1qU
U
∈ − + ÷
! Nq = 17 !
En pratique, il existe de nombreuses possibilités de quantification uniforme :
Quantification : Discrétisation en amplitude
Mise en œuvre du TNS Page 20 sur 49
Quantification
En pratique, il existe de nombreuses possibilités de quantification uniforme :
Centrée sur 0 et erreur min :
max
1 1;q q q
q q
U N N
U N N
− − ∈ − + ÷
[ ]max
1; 1qU
U
∈ − + ÷
Centrée sur 0 et val. max et min :
Quantification uniforme sur Nq = 16 niveaux.
Quantification : Discrétisation en amplitude
C’est la quantification de référence.
Mise en œuvre du TNS Page 21 sur 49
Quantification
Erreur de quantification uniforme centrée sur 0 pour Nq = 16.
Si U ∈ [ −Umax; +Umax ] :
max2
q
UU
N∆ =
L’erreur de quantification q est aléatoire et uniformément distribuée:
Evaluation du bruit de quantification en fonction de Umax et Nq :
Quantification : Discrétisation en amplitude
1( )p q
U=
∆ 2 2
U Uq
∆ ∆− ≤ ≤ +si
0 sinon
Mise en œuvre du TNS Page 22 sur 49
Dans le cas d'une quantification, on distingue le signal quantifié xout etl'erreur de quantification ε . L'erreur de quantification est bornée :
L'erreur de quantification s'écrit :
max 2
Uε ∆= +
xin
+∆U/2
−∆U/2
( )inx t at=
min 2
Uε ∆= −et
pour ;2 2
U Ut
a a
∆ ∆ ∈ − + La valeur RMS est donnée par :
/22
/2
( ) .12
U a
RMS
U a
a Uat dt
Uε
+∆
−∆
∆= =∆ ∫
ε
xout
Quantification : Erreur de quantification
Quantification
Mise en œuvre du TNS Page 23 sur 49
Dans le cas d'une quantification d'un signal sinusoïdal, on écrit : L'amplitude du signal sinusoïdal :
L'amplitude du signal d'entrée s'écrit :
t2
2
N UA
∆=
La valeur RMS du signal d'entrée s'écrit :
,
2 2
2 2
N
in RMS
Ux
∆=
xin(t)
Quantification
( ) sin(2 )inx t A ftπ=
Quantification : Rapport Signal sur Bruit
Le rapport signal sur bruit s'écrit :
, 2 2 12 3. 2
2 2 2
Nin RMS N
RMS
x USNR
Uε∆= = =
∆
+A
−A
2N∆U
Mise en œuvre du TNS Page 24 sur 49
2
22 2
max max
3212 2
2
NNin in
inRMS
P PSNR P
U Uε
= = = ÷
Quantification
Rapport signal sur bruit SNR (dB)
en fonction du nombre de bits de quantification N, pour Umax = 1 V et Pin = 1 W.
La variance de l’erreur est :
22 ( )
12RMS
Uε ∆=
Dans le cas d‘une quantification binaire sur N bits, on a :
Le rapport signal sur bruit est lié à la variance de l’erreur :
Quantification : Rapport Signal sur Bruit
2NqN =2
2 max21
12RMSq
U
Nε
= ÷ ÷
Le rapport signal sur bruit est :
et
Mise en œuvre du TNS Page 25 sur 49
Quantification
Le signal est beaucoup mieux quantifié pour les petites valeurs.
La quantification sur une échelle logarithmique permet de minimiser l ’erreur sur les petites valeurs de xin.
La loi de quantification est fixée par des normes et protocoles. Par exemple, la loi A (ITU-T G711) loi A, donne :
En pratique, la quantification linéaire n’est pas satisfaisante :
Quantification : Discrétisation en amplitude
( )c x =
maxmax
1 ln( / )sgn( )
1 ln( )
A x xx x
A
++
sgn( )1 ln( )
A xx
A+si
sinon.
Dans l ’exemple, on a Nq/2 pas de quantification entre -0,1 et +0,1.
max
1x
x A<
Mise en œuvre du TNS Page 26 sur 49
Quantification
Avec la loi A, le SNR est amélioré jusqu’à Pin = −15 dB.
La loi de quantification appelée loi A (ITU-T G711), avec A = 87,6 donne :
Quantification : Discrétisation en amplitude
( )c x =
maxmax
7, 453 ln( / )sgn( )
7,453
x xx x
+
11,75 sgn( )x xmax
1x
x A<si
La loi qe quantification appelée loi µ (ITU-T G711), avec µ = 255, donne :
maxmax
ln(1 / )( ) sgn( )
ln(1 )
µ x xc x x x
µ
+=
+
Mise en œuvre du TNS Page 27 sur 49
Quantification
Quantification : Discrétisation en amplitude
Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.
On a vu la loi de quantification dite loi A :
( )c x =
maxmax
1 ln( / )sgn( )
1 ln( )
A x xx x
A
++
sgn( )1 ln( )
A xx
A+si
sinon.
max
1x
x A<
On associe à la loi A une fonction réciproque :
1( )c y− =
(1 ln( )) 1sgn( )
y Aey
A
+ −
si
sinon.
1
1 ln( )y
A<
+1 ln( )
sgn( )A y
yA
+
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Quantification
Quantification : Discrétisation en amplitude
Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711. On a vu la loi de quantification dite loi µ :
On associe à la loi µ une fonction réciproque :
ln(1 )1 1( ) sgn( )
y µec x y
µ
+− −=
maxmax
ln(1 / )( ) sgn( )
ln(1 )
µ x xc x x x
µ
+=
+
Mise en œuvre du TNS Page 29 sur 49
Quantification
Quantification : Discrétisation en amplitude
Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.
(dB) 6,02 bitsSNR N=
Mise en œuvre du TNS Page 30 sur 49
Quantification
Les lois de quantification ont été standardisées par ITU-T G711.
Quantification : Discrétisation en amplitude
Le G.711 est une norme de compression audio de l'UIT-T, basée sur les lois de quantification A (Europe, Afrique) ou µ (Amérique du Nord, Japon). Échantillonnage : 8 kHz pour une bande passante entre 300 et 3400 Hz Bande passante : 64 ou 56 kbit/s Type de codage : MIC (Modulation d'impulsion codée, PCM en anglais)
Son principe repose sur une grille de quantification non linéaire, permettant de diminuer le rapport signal-sur-bruit de l'erreur de quantification pour les sons de faible amplitude. Une quantification sur 8 bits en G.711 correspond à une quantification sur 12 bits en PCM en ce qui concerne l'erreur de quantification.
La norme G.711 a été révisée en 2000. Elle est la base de transport de la voix sur le réseau téléphonique commuté (RTC, PSTN en anglais) ou sur le RNIS (ISDN en anglais) et est également utilisée pour le transport de la voix avec peu de compression dans les réseaux IP (100 % des offres ADSL correspondantes en France).
Mise en œuvre du TNS Page 31 sur 49
Quantification
Companding (Compress Expand) :
Quantification : Discrétisation en amplitude
COmpresser DECompresser
b = 8 bit
SNR
Quantifier
)( enTx ][xQy = )( eb nTy )( eDEC nTx
piano_c3 Α 8 bit Α-1
8 bitbitB 16=
)( enTx)( enTy )(8 enTy
)( erec nTx1/8
)(8 enTx
bitB 8=
bitB 8=
Amélioration :
Mise en œuvre du TNS Page 32 sur 49
4. Traitement Numérique du Signal
Mise en œuvre du TNS Page 33 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Chaîne d'acquisition, traitement, action
Mise en œuvre du TNS Page 34 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Description d’un système analogique
Un système analogique peut être caractérisé dans différents domaines: Dans le domaine temporel, par une équation différentielle de la forme:
0 0
( ) ( )k kk d k n
k kk kk k
d s t d e ta b
dt dt
= =
= =
=∑ ∑ Dans le domaine de Fourier:
0
0
( )( )
( )( )
( )
k nk
kkF
F k dkF
kk
b jS
TE
a j
ωωωω ω
=
==
=
= =∑
∑ Par exemple, pour a = [1, τ], b = [K] et e(t) = E (entrée indicielle), on obtient:
( )( ) .
ds ts t K E
dtτ + =
.( )
1F
K ET
jω
ωτ=
+⇔
0
0
( )( )
( )
k nk
kkL
L k dkL
kk
b pS
TE
a p
ωωω
=
==
=
= =∑
∑
Dans le domaine de Laplace:
⇔ .( )
1L
K ET
pω
τ=
+
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Traitement Numérique du Signal
Description d’un système numérique
10 1
1 21 2
( )1z
b b zT z
a z a z
−
− −
+=
+ +
Un système numérique peut être caractérisé dans différents domaines:
Dans le domaine de la transformée en z, par une fonction de transfert:
0
0
( )
nk
kk
z dk
kk
b zT z
a z
−
=
−
=
=∑
∑
Dans le domaine temporel, par une équation de récurrence:
0 0
( ) ( )d n
k kk k
a s N k b e N k= =
− = −∑ ∑
0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N+ − + − = + − ⇔
Par exemple, pour a0 = 1, d = 2 et n = 1, on obtient:
Mise en œuvre du TNS Page 36 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Transformée en z
La transformée en z est un outil mathématique de traitement du signal. Elle est l'équivalent discret de la transformée de Laplace.
Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.
La transformée de Fourier discrète est un cas particulier de la transformée en z.
Mise en œuvre du TNS Page 37 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Transformée en z
La transformée en z est la transformée de Fourier d’un signal échantillonné. La transformée en Z est la généralisation de la Transformée de Fourier discrète (TFD). La TFD XF(ω) peut être trouvée en évaluant Xz(z) en z = ejω, (en d'autres termes sur le cercle unité):
0
( ) ( ) kz
k
X z x k z+∞
−
=
= ∑0
( ) ( ) j kF
k
X x k e ωω+∞
−
=
= ∑
C’est un outil incontournable pour l’étude des signaux numérisés. En pratique, on utilise une table de transformées de Laplace.
0
( ) ( ) pTkL
k
X p x k e+∞
−
=
= ∑
La transformée de Laplace XL(p) est obtenue en évaluant Xz(z) en z = epT:
0
( ) ( ) kz
k
X z x k z+∞
−
=
= ∑ ⇔
⇔
Mise en œuvre du TNS Page 38 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Opérations de base du TNS
Le filtrage permet de sélectionner la partie utile du spectre:
Les filtres IIR (Infinite Impulse Response) qui sont obtenus à partir des fonctions analogiques (passage de s à z):
Les filtres FIR (Finite Impulse Response) sont simples à mettre en oeuvre et ont une phase linéaire. Ils sont obtenus en échantillonnant la réponse impulsionnelle du filtre voulu:
1
0
( )n
kz k
k
H z b z−
−
=
= ∑
1
01
1
( )1
nk
kk
z dk
kk
b zH z
a z
−−
=−
−
=
=+
∑
∑ Les filtres adaptatifs ont des coefficients mis à jour régulièrement en minimisant un critère (moindres carrés). Ils peuvent être de type FIR ou IIR.
Mise en œuvre du TNS Page 39 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Opérations de base du TNS
Les filtres adaptatifs permettent d’optimiser le filtrage de x(k) pour obtenir y(k) par minimisation d ’un critère d’erreur e(k):
Wiener, gradient, gradient stochastique, ... :
Mise en œuvre du TNS Page 40 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Opérations de base du TNS
Le vecteur w(k) est mis à jour en minimisant le carré du signal d'erreur entre le signal désiré d(k), et la sortie y(k): e(k) = d(k) - y(k). En général, on distingue quatre types d'architectures de filtres adaptatifs:
Mise en œuvre du TNS Page 41 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Transformée de Fourier discrète
La transformée de Fourier discrète DFT (Discrete Fourier Transform) est déterminée pour un nombre N fini de points du signal x(1) à x(N). En pratique cette somme est calculée en utilisant des de type FFT (Fast Fourier Transform): [Cooley&Tukey, 1965]
21
0
( ) ( )knN jN
Fk
X n x k eπ− −
=
= ∑0 1k N≤ ≤ −avec
Le nombre d’opérations et temps de calcul sont proportionnels à:
N2 pour la DFT2N.log2(N) pour la FFT
Mise en œuvre du TNS Page 42 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Corrélation
La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux. La fonction d’intercorrélation traduit la similitude d’un signal temporel par rapport à un autre signal décalé dans le temps. Pour deux signaux x(t) et y(t) de durée infinie, on a:
Cette fonction quantifie dans quelle mesure on a :
L’autocorrélation est l'intercorrélation d'un signal avec lui-même:
( ) ( ) ( )xyC t x y t dτ τ τ+∞
−∞= −∫
( ) ( ) ( )xxC t x x t dτ τ τ+∞
−∞= −∫
( ) . ( )x t a y t bτ= − +
Mise en œuvre du TNS Page 43 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Corrélation
La corrélation exprime la notion de similitude entre deux signaux. L’intercorrélation:
1
( ) ( ) ( )N n
xyk
r n x k y k n−
=
= +∑
L’autocorrélation:
1
( ) ( ) ( )N n
xxk
r n x k x k n−
=
= +∑
Mise en œuvre du TNS Page 44 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Distribution
Les signaux suivent une loi de distribution. Loi de distribution:
Mise en œuvre du TNS Page 45 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Signaux aléatoires
Les signaux suivent une loi de distribution. Loi uniforme:
1pour ( , )
( )0 sinon
X
x a bp x b a
∈= −
Mise en œuvre du TNS Page 46 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Signaux aléatoires
Les signaux suivent une loi de distribution. Loi gaussienne:
( )
−−=2
2
2exp
2
1)(
σπσmx
xpX
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Traitement Numérique du Signal
Signaux aléatoires
Les signaux suivent une loi de distribution. Loi de Rayleigh:
02
exp)(2
2
2≥
−= xxx
xpX σσ
Mise en œuvre du TNS Page 48 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Rapport Signal sur Bruit
Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante utile et une composante perturbatrice: le bruit. Le RSB (Rapport Signal sur Bruit) ou SNR (Signal to Noise Ratio)
10
( )( ) 10log
( )utile
dBbruit
P fSNR f
P f
= ÷
10
( )( ) 20 log
( )utile
dBbruit
U fSNR f
U f
= ÷
2UP
R= La puissance P s ’exprime en fonction de la tension U:
Mise en œuvre du TNS Page 49 sur 49
Traitement Numérique du Signal
Rapport Signal sur Bruit
Les signaux acquis sont bruités et se décomposent en une composante utile et une composante perturbatrice: le bruit. Le SNR (Signal to Noise Ratio) est donné en dB:
( )dBSNR f
( )
( )utile
bruit
U f
U f10 100 1000 1000010
+20
+40
+60
+80