8/14/2019 CM BDT Schur

http://slidepdf.com/reader/full/cm-bdt-schur 1/2

1

Cao Văn Dũ ng

SV: L p K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Ph m – ĐHQGHN

Nhi u Cách Đ Ch ng Minh Cho B t Đ ng Th c Schur

B t đ ng th c Schur là m t b t đ ng th c ch t và đ p m t có nhi u ng d ng đ  gi i toán, như ng khi áp d ng nó th ì ph i ch ng minh nó xong r i m i đư c áp d ng.

Bài vi t này xin nêu ra m t s cách đ ch ng minh, mong b n đ c có them nhi ucách hay khác n a đóng góp đ cho bài vi t t r nên phong phú hơ n.

Ta có bài toán b t đ ng th c Schur: V i các s th c không âm a,b,c ta luôn có b t

đ ng th c sau: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0≥−−+−−+−− bcaccabcbbcabaa .

CM:Cách 1: (Đ t n ph )

Do vai trò c a a,b,c là như nhau nên ta có th gi s   cba ≥≥ .

Đ t 0;0 ≥−=≥−= cb yba x nên b t đ ng th c đư c vi t l i thành:

( ) ( ) ( ) ( ) .0≥+++++−+ y x x y xc xy yc y y xc  

( ) ( ) 02222 ≥++++⇔ y x x y xy xc luôn đúng do x,y,c là các s không âm.

D u “=” x y ra khi cba == ho c 0; == cba ho c các hoán v c a nó.

Cách 2:

Do vai trò c a a,b,c là như nhau nên ta có th gi s   cba ≥≥ .

TH: 2 trong 3 s a,b,c b ng nhau th ì b t đ ng th c hi n nhiên đúng.

TH: cba >> ta chia v trái b t đ ng th c cho ( )( )( ) 0>−−− cacbba nên b t đ ng th c

tư ơ ng đư ơ ng: 0>−

+−

−− ba

c

ca

b

cb

ab t đ ng th c trên luôn đúng do

.0

0

ca

b

cb

a

cacb

ba

−>

−

⇒−<−<

>> 

Cách 3: (Kh o sát hàm)Do vai trò c a a,b,c là như nhau nên ta có th gi s   cba ≥≥ .

B t đ ng th c trên đư c vi t l i:

( ) ( ) ( ) .03333 ≥+−+−+−+++ accacbbcbaababccba .

Ta xét hàm s sau: ( ) ( ) ( )accacbbcbaababccbaa f  +−+−+−+++= 3)( 333  

8/14/2019 CM BDT Schur

http://slidepdf.com/reader/full/cm-bdt-schur 2/2

2

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 02222

22222233)( 2222222'

≥−+−++−=−+−−−++−=−+−+−+−=−−−−+=

cbccababacbcbacbaababa

cbcacbcababacacbabbca x f 

Nên )( x f  đ ng bi n

Nên ( ) ( ) ( ) ( ) .023

223

≥−=+−+=≥ caccaaccacb f a f   V y b t đ ng th c đư c ch ng minh xong.

Cách 4: (Đánh giá)

Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta gi s   cba ≥≥ .

Khi đó ta có: ( )( ) 0≥−− bcacc .

Ta xét: ( ) ( ) ( )( ) 022 ≥−+−=+−−=−−− cbababcbacacbbcaa .

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 00 ≥−−+−−⇔≥−−−−−⇒ abcbbcabaabacbbcabaa .

V y c ng 2 b t đ ng th c trên ta đư c đi u ph i ch ng minh .

Cách 5: (D

n bin)Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta gi s   .cba ≤≤  

Ta xét hàm s : ( ) ( ) ( ) ( )accacbbcbaababccbacba f  +−+−+−+++= 3,, 333  

Ta có

( ) ( ) ( ) .2

,2

,,,04

5

2,

2,,,

2    

   ++

≥⇒≥−   

   −+= 

  

   ++

−cbcb

a f cba f cbacbcbcb

a f cba f   

Như v y đ ch ng minh b t đ ng th c trên ta ch c n ch ng minh ( ) 0,, ≥bba f   

Mà ( ) ( ) .02,,2223 ≥−=−+= baabaababba f   

V y b t đ ng th c trên đư c ch ng minh xong.

Tài li u tham kh o.

[1]. Ph m Kim Hùng, 2006, Sáng t o b t đ ng th c, NXB Tri Th c.

[2]. Cao Văn Dũ ng, Nhi u cách đ ch ng minh cho b t đ ng th c Schur, T p chí toánh c tu i thơ 2 tháng 7/ 2008, NXB GD.