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Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmus

Tobias Haas

7. Januar 2010

Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 1 / 30

Ubersicht I

1 Einleitung

2 Theorie

3 Wolff-Algorithmus

4 Beispielimplementierung

5 Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme

6 Grenzen von Clusteralgorithmen

7 Fazit

Einleitung Motivation und Eigenschaften

Motivation und Eigenschaften

Weiterentwicklung von lokalen Monte-Carlo-Methoden (zuerst furGitter).

Schnellere Konvergenz bei manchen Systemen und Bedingungen (z.B.Ising in der Nahe eines kritischen Punktes).

Viele Clusteralgorithmen sind gut parallelisierbar.

Erweiterung auf andere Modelle (z.B. harte Kugel bzw. harteScheiben, kontinuierliche Modelle).

Einleitung Verschiedene Cluster Algorithmen

Verschiedene Cluster Algorithmen

Swendsen-Wang-Algorithmus [PRL 58, 86, 1987].

Wolff-Algorithmus [PRL 62, 361, 1989].

Invaded Cluster [PRL 75, 2792, 1995].

Probability-Change-Clusteralgorithmus [PRL 86, 572, 2001].

Clusteralgorithmen fur andere Modelle und Fragestellungen

Theorie Monte-Carlo-Methode

Monte-Carlo-Methode I

Satz (Gesetz der großen Zahlen)

Fur den statistischen Mittelwert einer Große B im Phasenraum Ω

〈B〉 =∑x∈Ω

Π(x)B(x) bzw. 〈B〉 =

∫x∈Ω

Π(x) B(x) dx

mit dem normierten statistischen Gewicht Π(x) (also z.B. derBoltzmannfaktor) gilt fur N hinreichend groß:

〈B〉 ≈ limN→∞

N∑k=1

mit einer geeigneten Folge (xk)k∈N, insbesondere sollte sie ergodisch sein.

Theorie Detailed balance (detailliertes Gleichgewicht)

Monte-Carlo-Methode: Detailed balance (detailliertesGleichgewicht)

Konzept des detaillierten Gleichgewichts:

Definition

π(a)P(a → b) = π(b)P(b → a)

π(x) der Wahrscheinlichkeit der Konfiguration x im Gleichgewicht.

P(x → y) der Ubergangswahrscheinlichkeit von der Konfiguration xzur Konfiguration y.

Fur ein Gleichgewicht im kanonischen Ensemble verwenden wir denBoltzmannfaktor als statistisches Gewicht, π(x) = e−βE(x).

Theorie a-priori-Wahrscheinlichkeit

Monte-Carlo-Methode: a-priori-WahrscheinlichkeitKonzept der a-priori-probability:

Definition

P(a → b) = A(a → b)P(a → b)

A(a → b) der Wahrscheinlichkeit den Ubergang zu betrachten.P(a → b) der Wahrscheinlichkeit den Ubergang zu akzeptieren.

Umformulierung des Konzeptes des detaillierten Gleichgewichts:

Definition

P(a → b)

P(b → a)=

A(b → a)

A(a → b)

Theorie a-priori-Wahrscheinlichkeit

Monte-Carlo-Methode: a-priori-WahrscheinlichkeitKonzept der a-priori-probability:

Definition

P(a → b) = A(a → b)P(a → b)

A(a → b) der Wahrscheinlichkeit den Ubergang zu betrachten.P(a → b) der Wahrscheinlichkeit den Ubergang zu akzeptieren.

Umformulierung des Konzeptes des detaillierten Gleichgewichts:

Definition

P(a → b)

P(b → a)=

A(b → a)

A(a → b)

Monte-Carlo-Methode (II)

Fur uns genugen folgende Bedingungen:

1 Algorithmus muss Ergodizitat gewahrleisten.

2 Algorithmus soll detailliertes Gleichgewicht gewahrleisten und mita-priory-probability arbeiten.

Zusatzlich fordern wir:

1 Die QuotientenA(b → a)

A(a → b)und

π(a)mussen berechenbar sein.

A(a → b)und

Theorie Metropolis-Algorithmus

Metropolis-Algorithmus

Metropolis schlug einen Algorithmus zur Berechnung einer Folge xk vor,die die zuvor gestellten Bedingungen (richtige Haufigkeit der verschiedenenxk) erfullt:

Definition

P(a → b) = min1,π(b)

oder umformuliert

P(a → b) = min1,A(b → a)

A(a → b)

Wolff-Algorithmus Ising-Modell

Ising-Modell (2D) ohne außeres Magnetfeld

Erinnerung (einfachste Variante):

Es werden von N2 Spins auf einem 2dimensionalen Gitter L mit Platzen (i , j)die Komponenten in einerausgezeichneten Richtung (o.B.d.Az-Richtung) betrachtet.

Die Wechselwirkungsenergie ist durch

H = −J∑(i ,j)

gegeben mit si ∈ −1, 1 ∼= +,− undder Summe uber alle nachsten Nachbarn(i , j).

+ + + +

- + - -

-+++++

Abbildung:Beispielkonfiguration mitN = 7

H = −J∑(i ,j)

+ + + +

- + - -

-+++++

H = −J∑(i ,j)

+ + + +

- + - -

-+++++

Der Wolff-Algorithmus.

Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell

Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell I

Startkonfiguration gegeben.

Suche Platz (α0, β0) zufallig aus(Beispiel (α0, β0) = (4, 3)).

Bilde ausgehend von (α0, β0)

”Verbindung“ zwischen zwei

benachbarten Platzen (wenn si = sj)mit Wahrscheinlichkeit p.

Flippe Cluster (wird fur bestimmtes pimmer akzeptiert, P = 1).

Wiederhole dies fur neu gewahltenStartplatz (α1, β1).

+ + - -

- + - -

--+---

Abbildung:Beispielkonfiguration mitN = 7.

+ + - -

- + - -

--+---

Abbildung: Auswahl von(α0, β0) = (4, 3).

+ + - -

- + - -

--+---

Abbildung: Clusterbildungum (4, 3) mitBindungswahrscheinlichkeitp.

+ + + +

- + - -

-+++++

Abbildung:”Geflippter“

Cluster.

+ + + +

- + - -

-+++++

Abbildung: Neu gewahlterStartplatz.

Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell IIWarum funktioniert der Algorithmus so (alle Zuge werden immerakzeptiert)?

Konfiguration a hat

A(a → b) = Ainnen · (1− p)ngleich

Ea = Einnen + Eaußen − ngleich · J + ndiff · J

πa = e−βEa

Konfiguration b hat

A(b → a) = Ainnen · (1− p)ndiff

Eb = Einnen + Eaußen + ngleich · J − ndiff · J

πb = e−βEb

+ + - -

- + - -

--+---

Abbildung:Konfiguration a.

+ + + +

- + - -

-+++++

Abbildung:Konfiguration b.

Konfiguration a hat

πa = e−βEa

Konfiguration b hat

πb = e−βEb

+ + - -

- + - -

--+---

+ + + +

- + - -

-+++++

Konfiguration a hat

πa = e−βEa

Konfiguration b hat

πb = e−βEb

+ + - -

- + - -

--+---

+ + + +

- + - -

-+++++

Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell IIIFolglich gilt nach Metropolis:

P(a → b) = min

Ainnen · (1− p)ndiff

Ainnen · (1− p)ngleich·e−β(Einnen+Eaußen+ngleich·J−ndiff ·J)

e−β(Einnen+Eaußen−ngleich·J+ndiff ·J)

(1− p)ndiff

(1− p)ngleich·e−2βngleichJ

e−2βndiff J

„(1− p)

e−2βJ

«ndiff

e−2βJ

(1− p)

«ngleich)

wenn p = 1− e−2βJ gewahlt wird. Jeder Zug immer akzeptiert!

+ + - -

- + - -

--+---

Abbildung: Konfiguration a.

+ + + +

- + - -

-+++++

Abbildung: Konfiguration b.

P(a → b) = min

(1− p)ndiff

e−2βndiff J

„(1− p)

e−2βJ

«ndiff

e−2βJ

(1− p)

«ngleich)

+ + - -

- + - -

--+---

+ + + +

- + - -

-+++++

P(a → b) = min

(1− p)ndiff

e−2βndiff J

„(1− p)

e−2βJ

«ndiff

e−2βJ

(1− p)

«ngleich)

+ + - -

- + - -

--+---

+ + + +

- + - -

-+++++

P(a → b) = min

(1− p)ndiff

e−2βndiff J

„(1− p)

e−2βJ

«ndiff

e−2βJ

(1− p)

«ngleich)

+ + - -

- + - -

--+---

+ + + +

- + - -

-+++++

Simulation.

Beispielimplementierung Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells

Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells I

Magnetisierung eines 2 dimensionalen Ising-Modells in der Nahe desPhasenubergangs:

= 0, 47

= 0, 1

= 0, 6

= 0, 3

= 0, 4

JkBT = 0

JkBT = 0, 47

JkBT = 0, 1

JkBT = 0, 6

JkBT = 0, 3

JkBT = 1

JkBT = 0, 4

JkBT = 5

Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells II

Konvergenz der Magnetisierung eines 2 dimensionalen Ising-Modells in derNahe des Phasenubergangs:

Vergleich derKonvergenzgeschwindigkeit eineslokalen Metropolis-Algorithmusmit der des Wolff-Algorithmus.

Phasenubergang des 2dimensionalen Ising-Modells.

Vergleich der Konvergenzgeschwindigkeit eines lokalenMetropolis-Algorithmus mit der des Wolff-Algorithmus.

Phasenubergang des 2 dimensionalen Ising-Modells.

Anderes Problem, anderer Algorithmus ...

Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Problem

Problem

Betrachte folgendesProblem:

Cluster gut findbar:A(a → b) ist groß.

Cluster nicht gut auffindbar:A(b → a) ist klein.

π(a) ≈ π(b), P sehr klein,Zug wird kaum akzeptiert,zufalliges Auswahlen undVerschieben sehr ineffektiv.

Losung: T = T−1 vermeidetdas Problem.

Abbildung: Konfiguration a

Problem

Betrachte folgendes Problem:

Cluster gut identifizierbar.

Problem

Cluster verschoben(Transformation T ).

Abbildung: Konfiguration b

Problem

Verschobener Cluster nichtmehr gut identifizierbar.

Problem

Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf harte Scheiben: Taschenalgorithmus

Der Taschenalgorithmus (pocket algorithm)

Wahle Spiegelpunkt aus(Punktspiegelung istselbstinvers).

Wahle erste Scheibe aus(und stecke sie in Tasche).

Ziehe aus der Tasche eineScheibe (erste) und spieglesie.

Alle von der gespiegeltenScheibe Getroffenen kommenin die Tasche.

Ziehe wieder aus Tasche undverfahre wie zuvor

(bisTasche leer ist).

Abbildung: Scheibe auswahlen.

Abbildung: Beruhrte Scheiben inTasche.

Ziehe wieder aus Tasche undverfahre wie zuvor.

Abbildung: Aus Tasche ziehen.

Ziehe wieder aus Tasche undverfahre wie zuvor (bisTasche leer ist).

Abbildung: Tasche leer.

Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Wo sind die Cluster?

Taschenalgorithmus: Wo sind die Cluster?

Betrachte Anfangs- undEndzustand.

Uberlagerung zeigtSubensembles, die unter Tunabhangig von einanderbleiben (Cluster), z.B.2, 3, 4, 7.

Abbildung: Uberlagerung von a undb.

Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung

Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen

Betrachte folgende Situation (harte Quadrate ohne Wechselwirkungen):

a) Die (großen) Quadrate sind weit voneinander entfernt, schwach effektiverepulsive

”Wechselwirkung“ bei

Annaherung

b) Die (großen) Quadrate sind weit voneinander entfernt, effektive attraktive

”Wechselwirkung“ bei Annaherung

(entropischer Effekt)

Annaherung

Pocket-Algorithmus:

Spiegelungspunkt auswahlen.

Startquadrat auswahlen.

Spiegeln.

Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.

Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.

Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).

Neue Endkonfiguration.

Abbildung: Konfiguration a,Spiegelungspunkt ausgewahlt.

Pocket-Algorithmus:

Spiegeln.

Abbildung: Konfiguration a,Spiegelungspunkt ausgewahlt.

Pocket-Algorithmus:

Spiegeln.

Abbildung: Startquadrat ausgehahlt.

Pocket-Algorithmus:

Spiegeln.

Abbildung: Gespiegelt.

Pocket-Algorithmus:

Spiegeln. Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.

Abbildung: Trafo der Uberdeckten.

Pocket-Algorithmus:

Abbildung: Rest in Tasche.

Pocket-Algorithmus:

Abbildung: Aus Tasche ziehen undspiegeln.

Pocket-Algorithmus:

Abbildung: Potentiell uberdeckte inTasche.

Pocket-Algorithmus:

Abbildung: Tasche leer.

Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf andere Modelle

Erweiterung auf andere Modelle

Erweiterungen des vorgestellten Wolff-Algorithmus

Erweiterung von Ising-Modell auf andere Spinmodelle (Wolff:O(n)-Modell).

Versuche externe Felder und andere Wechselwirkungen zu integrieren.

Erweiterung um Paarwechselwirkungen und kontinuierliche Modelle.

Erweiterungen des Pocket-Algorithmus

Erweiterung um Paarwechselwirkungen (generalized GeometricCluster Algorithm)

Vielteilchen-Terme konnen (sofern deren energetische Storung kleinist) als Storung mitgenommen werden.

Beispiele fur andere Modelle (Referenzen):

”GCA for fluid simulation“ (mit Yukawa-artigem bzw. Gauß-artigem

Potential) [PRE 71, 066701-1, 2005] bzw. [PRL 92, 035504-3, 2004].

”Cluster-MC simulations of the nematic-isotropic transition“ [PRE

63, 062702-1, 2001].

”Free energy and phase equilibria for the restricted primitive model of

ionic fluids from MC simulations“ [JCP 101, 1452, 2005].

63, 062702-1, 2001].

Grenzen von Clusteralgorithmen

Clusteralgorithmen sind haufig schneller als lokale Algorithmen imBereich von kritischen Punkten (d.h. nahe der Perkolationsgrenzebzw. den Phasenubergangen).

Entfernt von kritischen Punkten kann die Konvergenz (insGleichgewicht) sehr schlecht werden.

Problem: Algorithmus kann ganze Box in Cluster verwandeln.

Konkretes Beispiel eines Versagens: Onsagerproblem furFlussigkristalle (die ganze Testbox wird zu einem Cluster).

Konkreter Algorithmus kann fur bestimmte (Anfangs-) Bedingungenversagen (Beispiel: Harte Kugeln mit Paarwechselwirkung bei sehrgroßer Dichte).

Clusteralgorithmen sind haufig schneller im Bereich vonPhasenubergangen.

Clusteralgorithmen sind haufig gut parallelisierbar (skalieren gut mitAnzahl der Cores).

Problem wird verlagert: Man sucht Algorithmus, der einen odermehrere fur die Fragestellung moglichst gut geeignete(n) Clustermoglichst schnell aufbaut.

Clusteralgorithmen sind stark spezialisiert auf Modell undFragestellung. Teils nur schlecht verallgemeinerbar oder ubertragbar(Ubertrag von Ising auf kontinuierliches System z.B. teils langsamerals lokaler Algorithmus).

Clusteralgorithmen konnen aufgrund ihrer Spezialisierung auf einebestimmte Art von Systembedingung (z.B. auf die Nahe vonPhasenubergangen) ihre gute Konvergenz gegenuber lokalenMC-Methoden verlieren.

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