CLM Medicina & Chirurgia pari Programma 2018/2019

Matteo Ceccarelli Dipartimento di Fisica 1 Piano (C20) - 0706754933matteo.ceccarelli@dsf.unica.it mceccare@katamail.com

1.  Introduzione2.  Meccanica3.  Biomeccanica (leve e articolazioni)4.  Liquidi (sistema cardiocircolatorio)5.  Termodinamica

SCRITTO in itinere (meccanica-liquidi-termodinamica)6.  Fenomeni elettrici e magnetici7.  Onde e suono8.  Radiazioni (EM, Raggi X e decadimenti)

SCRITTO in itinere (circuiti-elettrostatica-ottica-lenti)

Ricevimento su appuntamento (e-mail)

AVVISO

PRESENTAZIONE CORSO DI LAUREAPROF. ANDREA FIGUS

COORDINATORE

17 Ottobre

CLM Medicina & Chirurgia pari

Orari & Esami 2018/2019 Lezioni: vedere settimanalmente calendario LU-ME-VE 9-11

Inizio: 12 Ottobre Fine: 21 DicembreTutoraggio: da definire

Esame: scritto+oraleItinere: scritto diviso in 2 parti

ATTENZIONE esami Gennaio 7-12 gennaioDa quest’anno all’appello di Gennaio potranno partecipare sia chi è

risultato positivo agli scritti in itinere sia chi in quello del 7 Gennaio

Appelli:Gennaio-Marzo-Giugno-Luglio-Settembre-Dicembre

Lezioni OBBLIGATORIETutoraggi CALDAMENTE INVITATI

Obiettivi formativi Descrittori di Dublino• Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding);Il Corso si propone di fornire la conoscenza delle leggi fondamentali della Fisica di base e la capacità di comprenderle nella spiegazione dei principali fenomeni di interesse biologico e medico, per acquisire gli strumenti necessari a spiegare il funzionamento dell’organismo umano e le cause dei suoi comportamenti patologici. Fornisce le basi per comprendere la strumentazione e i metodi di indagine usati in medicina.

ORALE

• Conoscenza e capacità di comprensione applicate (applying knowledge and understanding);Saper usare le leggi della fisica in problemi elementari di fisica. Saper analizzare e spiegare i principali processi dell’organismo umano attraverso l’uso delle leggi della fisica di base (articolazioni, sistema cardiocircolatorio, embolia, respirazione, scambi energetici, assorbimento radiazioni).

SCRITTO

Obiettivi formativi •  Autonomia di giudizio (making judgements);Sviluppo della capacità di autonomia attraverso l’abitudine ad applicare i concetti e le tecniche della fisica di base a problemi di natura biologica e biomedica. Saper valutare i principi fisici che stanno alla base di certi meccanismi fisiologici e la loro rilevanza ai fini diagnostici. Acquisire capacità di valutare criticamente i modelli fisici utilizzati, individuandone i limiti descrittivi e i vantaggi operativi.ORALE E SCRITTO•  Abilità comunicative (communication skills);Capacità di descrivere correttamente i principi fisici alla base di un fenomeno di natura biomedica e biologica, presentando in modo chiaro e rigoroso il modello ipotizzato, il procedimento matematico utilizzato e i risultati ottenuti. Saper comunicare gli argomenti con un linguaggio scientifico moderno.ORALE E SCRITTO

•  Capacità di apprendere (learning skills); FORMAZIONE CONTINUACapacità di approfondire, non in forma nozionistica ma con approccio critico e quantitativamente fondato, i concetti esposti durante il corso, anche tramite lo studio su testi diversi.PREPARAZIONE

Programma ed esame corso Gli argomenti del programma ministeriale vengono dati per acquisiti. Questi argomenti sono quelli su cui vi siete preparati per il test d’ingresso. Su questi argomenti verteranno i test scritti obbligatori.Il programma e i test degli anni precedenti li potete scaricare dalla pagina web people.unica.it/matteoceccarelli o per quelli più vecchi www.dsf.unica.it/~casulaUn pomeriggio a settimana un tutore (io o altra persona) proporrà esercizi da svolgere simili a quelli del compito (Giovedi pomeriggio).

L’orale invece verterà sugli argomenti trattati a lezione.

Le difficoltà maggiori di solito sono quelle di capire gli esercizi, cioè la loro interpretazione e successiva impostazione (CAPACITA APPLICATIVA)

Per l’orale si richiede anche una padronanza di linguaggio (scientifico) nell’esporre gli argomenti.

Corso Riallineamentohttp://elearning.unica.it/corsi-di-riallineamento/

Esame Metodo di accertamento solo modulo di Fisica

Voto complessivo sugli argomenti di Fisica e di Informatica espresso in 30mi in base ai risultati delle prove d’esame, che tiene conto del livello di conoscenza delle discipline e del peso dei 2 moduli in termini di CFU.- 1 test scritto d’esame obbligatorio sugli argomenti di Fisica di base che non impedisce la partecipazione alla successiva prova orale;- 2 prove scritte in itinere sugli argomenti di Fisica di base alternative al test d’esame di cui al punto precedente;- 1 prova orale obbligatoria sugli argomenti di Fisica svolti a lezione a completamento della parte scritta.

L’esame di fisica prevede 6 CFU che si sommano ai 2 CFU di informatica (media pesata!!!).L’esame da 8 CFU sarà registrato SOLO dopo che i due moduli verranno sostenuti. Per la registrazione occorre iscriversi all’appello online e PRESENTARSI durante l’appello per la firma dal coordinatore del Corso Integrato, il sottoscritto.

Prima dell’esame Seguire le lezione

Studiare

Seguire tutoraggi

Chiedere spiegazioni al docente

Compilare giudizio docente per:Iscriversi all’esame

Anche per chi non segue il modulo di fisica

Valutazione corso e docente

Testi consigliati Le slides si possono scaricare dalla pagina docente. Di volta in volta vengono corrette quelle dell’anno precedente

Le slides sono da usare come traccia, necessario avere un libro dove gli argomenti sono spiegati in maniera più esaustiva.

Fisica Biomedica, Edises, D. Scannicchio (prima era Borsa, Scannicchio)

Fisica con Fisica Moderna, D. Giancoli

Fondamenti di Fisica, Zanichelli, D. Halliday, R. Resnick, J. Walker

Fondamenti di Fisica, Pearson, James S. Walker

Provenienza CFUriconosciuti

Convalidaper Dasostenere1aparte

Dasostenere2aparte

Dasostenere2aparte

Dasostenere2aparte

BiologiaScienzeNaturaliTossicologia

4Fisica

Scritto;Meccanica/FluidiTermodinamica

Onde/Ottica Fenomenielettrici

Radiazioniionizzanti

BiotecnologieIndustriali

4FisicaChimicaFis

Scritto;Meccanica/FluidiTermodinamica

Onde/Ottica Fenomenielettrici

Radiazioniionizzanti

FarmaciaCTF

6Fisica

TUTTO

TutteIngegnerieChimicaFisicaMatematica

6CFU(Fis1+Fis2)o4(Fis-1)

TUTTOovveroScrittoe1aparte

ScienzeMotorie 2 Scritto;Meccanica/Fluidi

Termodinamica Onde/Ottica Fenomenielettrici

Radiazioniionizzanti

TRMIR 4 ScrittoMeccanicaFenomenielettriciRadiazioniionizzanti

FluidiTermodinamica

Onde/Ottica

Odontoiatria 4 Scritto;Meccanica/FluidiTermodinamica

Onde/Ottica Fenomenielettrici

Radiazioniionizzanti

CPO 0 Scritto;Meccanica/Fluidi

Termodinamica Onde/Ottica Fenomenielettrici

Radiazioniionizzanti

Altrelaureesanitarie

1o2Fisica

MeccanicaeFluidiNOCONVALIDASCRITTO

TermodinamicaFenomenitrasporto

Onde/Ottica Fenomenielettrici

Radiazioniionizzanti

Criteri di massima della Commissione incaricata di convalidare i corsi di Fisica sostenuti presso CdL diversi da quello di Medicina (provenienza Cagliari)

Sommario (1)

•  Le Grandezze

•  Concetto di Misura

•  Sistema Internazionale e Unità derivate

•  Multipli e Sottomultipli

•  Vettori e loro operazioni

•  Limiti, derivate ed integrali con esempi

•  Esercizi

Lezione (1) 15/10/18

Introduzione alla Fisica

Descrizione matematicaquantitativa dei fenomeni

Leggi della Fisica

Osservazionedei fenomeni

Relazioni quantitative tra grandezze fisiche indotte dall’osservazione

F=ma

Scienza sperimentale

Perché la fisica

Fisica

STRUMENTIMatematica: numeri vettori operazioni metodi

PROBLEMIDiscipline varie: chimica-biologia-medicina economia-geologia

STRUMENTAZIONE MODERNAComprensione dei principi di funzionamento:RMN-TC-Xray-Ultrasuoni-Laser-Microonde

La fisica cerca di rispondere alla domanda:Perché e come accade ciò che vediamo?

Svela i meccanismi dei fenomeni

Perché la fisica Estratto dal verbale del Consiglio della Facoltà di Scienze dell’Università di Cagliari del 27 Febbraio 1924

“… In Italia esistono corsi di fisica per medici; non esistono né potrebbero esistere corsi di fisica medica perché si esige dai fisici la conoscenza delle matematiche e non quella del corpo umano, che pure offrirebbe un largo ed importante campo di studi fisici….”

La fisica si insegna ai medici da sempre, fisica di base!!

Enrico Fermi senza i fondi dell’Istituto di Sanità non avrebbe potuto svolgere le sue ricerche sulle radiazioni!!

Nel nostro corsoVengono presentati argomenti con una trattazione matematica minima!

Grandezze e loro misura Grandezze fisiche: osservabili che si possono misurare

Cosa vuol dire Misurare? quantificare una grandezza prendendo il rapporto tra la quantità in esame ed un campione omogeneoscelto come unità

Ogni misura è soggetta ad errore1.  Errori di scala facilmente eliminabili2.  Errori sistematici difficilmente eliminabili (neutrino)3.  Errori casuali o accidentali non eliminabili ma trattabili

Misura:: numero l = 8.8 [cm]

Misura Unità

Sistema Internazionale Sistema Internazionale - S.I.Grandezza Unità SimboloLunghezza Metro mTempo Secondo sMassa Kilogrammo KgCorrente Ampère A

Primo sistema unità di misura (accademia francese delle scienze)Metro unità campione a Parigi= 1 decimilionesimo della distanza tra l’equatore terrestre e i poliOggi: Lunghezza percorsa dalla luce in 1/299792458 di secondo

Secondo 1 giorno=86400 secondiOggi: Tempo di 9192631770 periodi della radiazione del cesio 133

kg unità campione a Parigi=cilindro di platino-iridio1 protone mp=1.6726485 10-27 kg mel=mp/1836

Metro campione Platino vs Ottone

Chilogrammo campione: Le Grand Kilo

Cilindro retto circolare di 39 mm di base e diametro, lega di platino-iridioTenuto in una teca di vetro con 3 separatori per evitare che reazioni chimiche ne modifichino la massa, errore di 2 microgrammi

Da notare: non è stata ridefinita l’unità kg, perché?

Il nuovo Chilogrammo campione: Perché è così necessario essere più precisi del microgrammo?

Ce lo richiedono le nuove tecnologie.

Il 30 giugno 2017 si è proposta una ridefinizione della massa che dipende da una costante fisica, la costante di Planck h (NIST, National Institute Standards and Technology), utilizzando una bilancia di Watt.

Questa costante è stata misurata con una precisione di 20pp/miliardo

Per la massa si ha una precisione di 50pp/miliardo

103 g*50/109=50*10-6g= 50 microgrammi, più della precisione del kg campione: che però sta cambiando (reazioni chimiche)!!!

Sulle Misure Uno dei problemi principali nella misura delle grandezze è la ripetibilità di una misura: messi nelle stesse condizioni e con degli strumenti analoghi dobbiamo essere in grado di ripetere una misura già fatta. La differenza nelle diverse misure è l’errore casuale.

Il processo di misura non dovrebbe in alcun modo modificare la misura stessa. Poiché questo è impossibile, bisogna prestare attenzione e limitare più che si può di perturbare la misura con il processo di misura (vedremo esempio temperatura). La differenza tra la misura e il valore reale è l’errore sistematico.

Per alcuni tipi di grandezze esistono due tipi di metodi di misura1.  Invasivo o distruttivo2.  Non invasivoSono sempre da preferire quelli non invasivi.

Valore medio Gli errori casuali o accidentali si valutano calcolando il valor medio di una serie di N misure indipendenti:

€

lmin ≤ l ≤ lmax

€

l =li

i=1

N

∑N

Valor medio: valore più attendibile di una misura, è sempre compreso tra il valore massimo e minimo della serie di misure:

€

l = l ±σLa probabilità che la misura vera sia compresa tra il valor medio e la varianza σ è del 68 % (vedi anche statistica)

Errore sul valor medio

€

l =li

i=1

N

∑N

Varianza: valor medio degli scarti quadratici

l = l ± σ 2

La probabilità che una nuova misura cada nell’intervallo del valor medio più o meno la varianza σ è del 68 % (vedi anche statistica)

σ 2 =(li − l )

2

i=1

N

∑N

Perché non si usa la media degli scarti?Non saremmo obbligati a estrarre la radice… σ ' =

(li − l )i=1

N

∑N

Multipli e sottomultipli

mm millimetro sottomultiplo m metro km kilometro multiplo

10-18 atto am diametro elettrone 10-22

10-15 femto fm neutrone o protone 10-15

10-12 pico pm Atomo 10-10

10-9 nano nm Molecole 10-8

10-6 micro µm Cellule-Virus 10-7

10-3 milli mm Foglio di carta 10-4

---------------------------------------------------------------------10+3 kilo km Campo calcio 10+2

10+6 Mega Mm Monte Everest 10+4

10+9 Giga Gm Raggio terra 10+7

10+12 Tera Tm Terra-sole 10+11

10+15 Peta Pm Stella più vicina 10+16

10+18 Exa Em 10+21 Zetta Zm Galassia più vicina 10+22

Per ragioni storico-geografiche in paesi diversi possono esistere unità diverseMiglio-kilometro Gallone-Litro Scala Farheneit-Celsius

Velocità=

€

[L][T]

=ms

Densità=[M ][L]3

=kgm3

Volume=

€

L[ ]3 = m3

C.G.S. Centimetro-Grammo-Secondo, lo useremo con i fluidi!

Sistemi Pratici unità pratiche: Angstrom, quintale, minuto

Altri Sistemi e Unità derivate

Altri Sistemi e Unità derivate 1.  Conversione tra unità di misura: conoscere la loro relazione!!!1 miglio = 1609 m =1.609 km => 1 km = 1 miglio/1.6092.  Operare la conversione della misura operando sull’unità120 km = 120 *1 miglio/1.609 = 74.58 miglia

35 mi/h = 35*1.609 km/h= 56.315 km/h = 56.315*10+3 m/(3.6*10+3 s) = 15.64 m/s

1 m/s > 1 km/h 1 m/s = 3.6 km/h

1 m3 = (10 dm)3 = 1000 dm3=1000 litri 1000 dm3=1000 (10 cm)3 = 106 cm3

RICORDA: a unità piccola corrisponde misura grande e viceversa

Velocità=

€

[L][T]

=ms

Densità=[M ][L]3

=kgm3

Volume=

€

L[ ]3 = m3

Analisi Dimensionale

Rendere esplicite le dimensioni delle grandezze nelle equazioni ci permette di verificare la correttezza delle equazioni e la loro consistenza. Questa operazione si chiama analisi dimensionale!

x=x0+vt è la ben nota equazione oraria per un moto a velocità costante

Poiché a sinistra abbiamo una lunghezza, anche a destra tutti i termini devono essere delle lunghezze[L] = [L] + [L]/[T]*[T] = [L] + [L] OK

Questo controllo andrebbe fatto nell’impostare il problema e sempre prima di inserire i valori numerici delle variabili (x0, v e t)

A=αR

Da radianti a gradi e viceversa2π<=>360ο x/60o=2π/360o x/(π/3)=360o/2π

αRO

A è sempre proporzionale al raggio R della circonferenzaAngolo giro A=2πR => α=2π radianti

A=αRαR

A’=αR’R’

Angolo α=parte di spazio compresotra due rette uscenti da O che disegnano un’arco A sulla circonferenza

Angoli

Per essere una buona definizione non deve dipendere da R

α =AR

L’angolo solido viene definito in maniera analoga come rapporto tra la superficie sottesa e il quadrato del raggio: max 4πR2/R2=4π

Lezione (2) 17/10/18

Cinematica, derivate ed integrali

Trigonometria

sin(α)=co/icos(α)=ca/itg(α)=sin(α)/cos(α)=co/ca

α

i

ca

co

co=i*sin(α)ca=i*cos(α)co=ca*tg(α)

Triangoli Rettangoli:

i=ipotenusaca=cateto adiacenteco=cateto opposto

Scalari e Vettori Velocità=

€

[L][T]

=ms

Lunghezza e tempo => scalariVelocità => vettore

Grandezza Scalare => NumeroGrandezza Vettoriale => Modulo + Direzione + Verso

€

r v

€

r v Rappresentazione grafica e matematica dei vettori

vx

vy

€

r v α

€

vx =r v cos(α)

vy =r v sin(α)

Componente di v lungo x e y

€

r v = vx

2 + vy2

Operazioni tra Vettori

+ =

- =

Prodotto scalare

€

r F ⋅r S =r S r F cos(α)

α

€

r s

€

r F

€

r F cos(α)

Somma

Differenza

Def: Prodotto tra il primo vettore e il secondoproiettato sul primo= è uno scalare

a

b

a+b

a

b

a+(-b)a

-b

a

b

Operazioni tra Vettori Prodotto vettore

ra×rb = rc

Def: Prodotto tra il primo vettore e il secondo vettore è ancora un vettore

Per individuare direzione e vero del vettore c si usa la regola della mano destra nelle sue varie forme!

Il modulo di c vale:rc = ra ⋅

rb ⋅sinθ

Vettori in cinematica

Somma di Spostamenti Somma di Velocità

Cinematica: descrizione dei moti

Spostamento s=[L] spazio percorsovelocità v=[L]/[T] Δs/Δtaccelerazione a=v/[T]=[L]/[T]2 Δv/ΔtLa velocità non è altro che l’incremento dello spazio percorso nell’unità di tempo, e l’accelerazione l’incremento della velocità sempre nell’unità di tempo

La Meccanica è divisa in 3 filoni:1.  Cinematica2.  Dinamica3.  Statica

La cinematica studia i moti dei corpi a prescindere dalle cause che hanno provocato il moto. Queste saranno oggetto della dinamica.Quali sono le grandezze che caratterizzano lo spostamento di un corpo?

Moti elementari Moto rettilineo uniforme, v=costante

Moto rettilineo uniformemente accelerato, a=costante

Equazione orarias(t)= v t

t

sv1

v2

t

sa1

a2Equazioni orariev(t)= v0 + a ts(t)= v0 t + 0.5 a t2

Misure istantanee e medie

Velocità istantanea e

velocità media

La velocità istantanea rappresenta la velocità a un dato istante: si misura con uno strumento che misura velocità, il tachimetro nelle auto.

La velocità media invece si misura attraverso la definizione stessa di velocità, cioè come rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato. Di solito si misura per tempi lunghi (ore, ad esempio un viaggio tra Cagliari e Sassari).

Misure istantanee e derivate Anche la velocità istantanea si può misurare come rapporto tra spazio e tempo, in questo caso si usa un intervallo molto piccolo (secondi, in questo caso è piccolo raffrontato alle ore di un viaggio):si parla di limite del rapporto incrementale!

v = ΔsΔt

v = limΔt→ 0

ΔsΔt

=dsdt

Funzioni Come abbiamo detto, le leggi della fisica sono relazioni quantitative tra grandezze fisiche indotte dall’osservazione, quali

F=ma

Le funzioni sono le relazioni matematiche tra grandezze:

y=mx

La funzione “retta” è la relazione matematica che esprime, nel caso specifico per la seconda legge della dinamica, la proporzionalità diretta tra forza applicata e accelerazione, secondo un parametro “m” costante

Tipi di Funzioni Le funzioni semplici più usate nella fisica sono le seguenti:

y =mx; y = mx

y = ax2; y = ax2

y = sin x; y = arcsin xy = ex; y = e−x; y = ln x

Da notare che le funzioni trigonometriche, esponenziale e logaritmo devono obbligatoriamente avere argomenti adimensionali

Limite di Funzioni Non tutte le funzioni sono definite per tutti i valori di x, occorre pertanto introdurre il concetto di limite di una funzione:

l = limx→ p

f (x)

Limite finito: l limite di f(x) per x->pPer ogni numero ε>0 anche piccolo esiste un intervallo δ>0 per cui per i valori di x compresi tra p-δ < x < p+δ si ha che:

l-ε < f(x)< l+εGRAFICO

Limite infinito di f(x) per x->pPer ogni numero Μ>0 anche grande esiste un intervallo δ>0 per cui per i valori di x compresi tra p-δ < x < p+δ si ha che:

f(x)> MGRAFICO

limx→ p

f (x) = ±∞

Una funzione si dice continua in un punto se esiste finito il suo limite

Uso del limite nella definizione di derivata La derivata di una funzione è il rapporto incrementale della funzione per l’incremento che tende a zero, e indica come varia la funzione al variare di x:

dfdx

= Δx→ 0 f (x +Δx)− f (x)Δx

Possiamo calcolare il rapporto sopra quando l’incremento è 0? No perché se Δx=0 il rapporto NON è definito, abbiamo 0/0.

Sono obbligato a introdurre l’uso del limite di un funzione!

Derivata La derivata di una funzione è il limite del rapporto incrementale della funzione per l’incremento che tende a zero:

dfdx

= limΔx→ 0

f (x +Δx)− f (x)Δx

Cosa significa? Se prendiamo come esempio lo spostamento s in funzione della variabile tempo, questa è la definizione di velocità ISTANTANEA:

dsdt= lim

Δt→ 0s(t +Δt)− s(t)

Δt

Ma s potrebbe anche essere il numero di abitanti in Italia e la derivata rappresenta la velocita di crescità della popolazione.

Ma in questo caso l’incremento è veramente tendente a zero? Si può ancora parlare di derivata?

Significato Geometrico s(t2 )− s(t1)t2 − t1

=i ⋅sinϑ 0

i ⋅cosϑ 0

= tgϑ 0 =m

Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per quei due punti. È anche detta la velocità media, o l’incremento medio su quell’intervallo di tempo

Se invece l’incremento tende a zero allora la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto dato: Rappresenta una stima di crescita della funzione a breve tempo!!!

Esempio numerico s(t) = t2

1 secondo s=1 m2 secondi s=4 m3 secondi s=9 m..10 secondi s=100 m

Il rapporto incrementale dopo 2 secondi si calcola cosi:

s(t2 )− s(t1)t2 − t1

=s(2.1)− s(2)2.1− 2

=4.41− 40.1

= 4.1

La funzione s(t) mi dice quanto spazio percorro in metri in funzione del tempo.

Per un incremento di 0.1 s

s(t2 )− s(t1)t2 − t1

=s(2.01)− s(2)2.01− 2

=4.0401− 40.01

= 4.01Per un incremento di 0.01 s

La derivata tende a 4 m/s: vuol dire che nel prossimo secondo si dovrebbero percorrere 4 m? Perché tra 2 e 3 secondi se ne percorrono 5?

Derivate di funzioni elementari s = t2 s(t2 )− s(t1)

t2 − t1=(t1 +Δt)

2 − t12

Δt=t12 + 2t1Δt +Δt

2 − t12

Δt

limΔt→ 0

2t1 +Δt = 2t1 = 4

Siccome è valido per tutti i t1, allora si ha che:dsdt= 2t

Attraverso la definizione del limite del rapporto incrementale abbiamo trovato la formula analitica per calcolare la derivata di s=t2

Questo è il valore numerico stimato poco fa!

Provare per la funzione sin(x)!

Derivate di funzioni elementari

sin x => cos xcos x => −sin xex => ex

e−nx = −ne−nx

ln x =>1/ x

s = t2 => 2ts = t3 => 3t2

s = atn => n ⋅a ⋅ tn−1

s = 1t= t−1 => − 1

t2

Integrali

L’integrale serve invece a misurare percorsi, aree e volumi per mezzo del calcolo infinitesimale (perimetro di una curva, superficie e volume di un solido). È legato all’idea di una somma di qualcosa irregolare.

A oggi non è banale calcolare quanto sale viene estratto dalle saline, ovvero quanto si è scavato per estrarre un certo numero di tonnellate di sale (nelle saline il sale è mischiato con l’acqua, quindi anche conoscendo la densità del sale non sappiamo determinare quanto volume è stato scavato).

Nelle applicazioni mediche si possono stimare i volume di certi organi con l’imaging.

Definizione Data f(x) una funzione continua, almeno su un dato intervallo di x, si chiama integrale definito in [a,b]:

f (x)dxa

b

∫

il limite dell’area del trapezoide inscritto o circoscritto al tendere degli intervalli a infinito.

ANCORA NOZIONE DI LIMITE!!!

a b

Rappresentazione geometrica Alla luce della definizione dell’integrale definito, questo, graficamente, quando il numero di intervalli è molto grande, rappresenta l’area sottesa dalla curva f(x) nell’intervallo [a,b].

f (x)dxa

b

∫

Proprietà integrali La proprietà additiva ci dice che la somma di due integrali con un punto di contatto è uguale all’integrale sull’intervallo esteso. Ricordarsi che l’integrale è dopotutto una somma!!! Vale anche l’opposto, si può dividere l’intervallo in più intervalli contigui.

f (x)dxa

b

∫ + f (x)dxb

c

∫ = f (x)dxa

c

∫

f (x)dxa

b

∫ = − f (x)dxb

a

∫

L’altra proprietà degli integrali dice che se scambiamo i due limiti dell’intervallo di integrazione l’integrale cambia segno. L’integrale di funzioni può anche avere valori negativi!!! Cosa significa un’area negativa?

Teorema della media Teorema fondamentale per gli integrali: una spiegazione geometrica molto semplice. Se posso calcolare l’integrale di f(x) nell’intervallo [a,b], allora posso scrivere:

f (x)dxa

b

∫ = (b− a) ⋅ f (x1)

Cosa significa? Se ritorniamo all’idea dell’integrale come area, l’espressione dice che l’area è uguale alla base per un valore della funzione nell’intervallo [a,b], cioè si approssima l’area sottesa a f(x) come quella di un rettangolo di opportuna altezza f(x1). Questo è detto il valore medio della funzione in quell’intervallo!

Integrale indefinito Possiamo introdurre l’integrale indefinito come una funzione F(x) dove x rappresenta il limite superiore di integrazione :

Integrale indefinito: F(x) = f (t)dta

x

∫

e usando la definizione di derivata e il teorema della media dimostrare che vale la relazione

F’(x)=f(x)

Con qualche passaggio si dimostra che se conosciamo F(x), cioè quella funzione la cui derivata è f(x), allora:

f (t)dt = F(b)−F(a)a

b

∫Questa è la regola per risolvere gli integrali: trovare una funzione la cui derivata sia la funzione da integrare (non sempre facile) !!!

Lezione (3) 19/10/18

Dimostrazioni F(x +Δx)−F(x)

Δx=

f (t)dta

x+Δx

∫ − f (t)dta

x

∫Δx

=f (t)dt

a

x

∫ + f (t)dtx

x+Δx

∫ − f (t)dta

x

∫Δx

F(x +Δx)−F(x)Δx

=f (t)dt

x

x+Δx

∫Δx

=f (x ')ΔxΔx

Se Δx molto piccolo allora per il teorema del punto medio x’=x e si ha F’(x)=f(x) come volevasi dimostrare

F(x) = f (t)dta

x∫

G(x) = F(x)+ costan te ==>G(x) = f (t)dt + ka

x

∫

G(a) = f (t)dt +a

a

∫ k = k ==>G(x) = f (t)dt +G(a)a

x

∫

G(x)−G(a) = f (t)dta

x

∫

Se F(x) e G(x) sono funzioni la cui derivata è f(x) [G’(x)=F’(x)=f(x)], allora differiscono solo per una costante e deve valere:

Esempio Se consideriamo la funzione e-x possiamo calcolare agevolmente l’integrale, in quanto la sua derivata è la funzione stessa cambiata di segno:

S = e−x dx0

2

∫ = − e−2 − e−0#$ %&= e0 − e−2 =1− 0.135335283= 0.864664716

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5

exp(-x)

Integrale numerico

0.864664716

Lo possiamo calcolare anche numericamente come la somma dei rettangoli, prendendo il trapezoide inferiore e quello superiore al variare della base che tende a zero (calcolo eseguito con un semplice programma in basic/fortran/c):

dx Sup Inf Media=(Sup+Inf)/2 0.1 0.90861838646845738 0.82215191479211869 0.86538515063028809 0.01 0.86899524587450083 0.86034859870686697 0.86467192229068390 0.001 0.86509712117716098 0.86423245646039748 0.86466478881877928 0.0001 0.86470795071978412 0.86462148424810781 0.86466471748394591 0.00001 0.86466904009417678 0.86466039344700907 0.86466471677059298

STIAMO FACENDO UN LIMITE!!!

Derivate e integrali: la cinematica Data la posizione s(t) di un oggetto in funzione del tempo, sono state definite le funzioni velocità e accelerazione attraverso le definizioni:

s(t)

v = dsdt

a = dvdt

Ma per le proprietà degli integrali allora deve valere:

v ' = a => v(t) = a(τ )dτ + v00

t

∫

s ' = v => s(t) = v(τ )dτ + s00

t

∫

Derivate e integrali: la cinematica Se consideriamo il caso di accelerazione=costante, abbiamo:

v(t) = adτ0

t

∫ + v0 = a dτ + v0 = a ⋅ t + v00

t

∫

Invece per la distanza s(t) percorsa:

s(t) = vdτ0

t

∫ + s0 = (aτ + v0 )dτ + s0 = a τ dτ + v0t + s00

t

∫0

t

∫

v(t) = v0s(t) = v0t + s0

Verificare che la derivata di t2/2 è t

s(t) = a t2

2+ v0t + s0

Se a=0 ritroviamo le leggi orarie del moto rettilineo uniforme:

Legge oraria Le leggi orarie sono le funzioni che definiscono a(t), v(t) e s(t). Per il caso di accelerazione costante (moto rettilineo uniformemente accelerato) abbiamo trovato che:

a(t) = costan tev(t) = a ⋅ t + v0

s(t) = 12a ⋅ t2 + v0 ⋅ t + s0

Nel caso di velocità costante (moto rettilineo uniforme):a(t) = 0v(t) = v0s(t) = v0 ⋅ t + s0

La giusta combinazione di queste equazioni viene usata per calcolare lo spazio di frenata di un’automobile, l’altezza a cui arriva un corpo lanciato verso l’alto e la gittata dei proiettili (esercizio)

Dinamica: Le Forze Cosa è una forza?

Possiamo dire che una forza è una sollecitazione

Meglio domandarsi cosa provoca una forza:1.  Effetto statico: Una deformazione di un corpo2.  Effetto dinamico: Un cambiamento del moto di un corpo

Con un martello posso, a seconda di come lo rivolgo a un corpo:1.  Rompere il corpo2.  Muovere il corpo

Le forze sono vettori, quello che conta è la RISULTANTE delle forze

Dinamica La dinamica studia le forze applicate agli oggetti. Le forze sono delle grandezze vettoriali.

Esistono 3 principi fondamentali della dinamica.

1.  Se la risultante delle forze applicate è nulla, il primo principio, o principio di inerzia, dice che un corpo procede nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

F=0 => v=costante

Per F si intende somma vettoriale di tutte le forze

Quindi solo le forze sono capaci di modificare lo stato di quiete di un corpo o modificarne la velocità. Se la risultante delle forze non è nulla allora interviene il secondo principio:

Dinamica 2.  Una forza produce su un oggetto non vincolato di massa m

un’accelerazione quantificabile dalla legge F=ma.

3.  Principio di azione e reazione: A ogni azione prodotta da un corpo 1 su un corpo 2 tramite una F12 corrisponde una reazione uguale e contraria del corpo 2 sul corpo 1, -F21. Attenzione: le due forze sono sì opposte MA agiscono su corpi diversi!

Le forze possono anche cambiare la forma di un corpo, quando siamo in presenza di fenomeni non elastici.

Esistono delle forze dette apparenti, dovute alla presenza di sistemi di riferimento NON inerziali, come ad esempio la forza centrifuga. Un esempio è dato anche dal caso della macchina che accelera o frena. Cosa sentiamo in questi casi?Le forze si misurano in Newton: forza per produrre un’accelerazione di 1 m/s2 a un corpo di massa 1 kg.

Forza peso La forza peso è una forza che ci accompagna tutti i giorni. Noi siamo evoluti in presenza di una forza attrattiva verso il basso che attrae tutte le masse (vedremo caso delle ossa).

La particolarità della forza peso è che dipende dalla massa del corpo. Questa sua dipendenza viene fuori dalla legge di Newton di attrazione tra due masse:

€

F =G m1m2

r2=G MT

RT2 m = mg

g=9.8 m/s2 ragionevolmente quasi dappertutto sulla terra

Quali conseguenze ha la dipendenza della forza dalla massa?

Forza peso

Cosa significano queste figure?Quali figure sono corrette?

Massa La massa è l’unità di misura della quantità di materia. Molto spesso viene confusa con il peso, che invece è una forza!

Siccome la materia è costituita da atomi e molecole, la massa è la misura del numero di atomi o molecole, ed è legata al numero di Avogadro (massa molare).

È improprio dire: il mio peso è 70 kg, perché usiamo un’unità di misura della massa per esprimere una forza, il peso è una forza

Corretto:La mia massa è 70 kgIl mio peso è F=mg=70kg*9.8 m/s2 ~ 700 Newton

Energia Energia di un corpo: capacità di un corpo a compiere lavoroEsistono varie forme di energia:1.  Energia cinetica2.  Energia potenziale3.  Energia interna4.  Calore

L’energia si misura in Joule, definita come l’energia che si forniscea un corpo applicando una forza di 1 N per 1 metroL=[Joule]=[L2][M]/[T2]=1N 1m

Principio di conservazione dell’energia:L’energia si può trasformare da una forma all’altra ma l’energia

totale di un sistema si conserva

Non è dimostrabile ma al momento non ci sono casi in cui l’energia non si sia conservata

Energia e Lavoro Il lavoro e l’energia si misurano entrambi in joule (j) perché esprimono lo stesso concetto.

1 joule è il lavoro fatto da una forza di 1 Newton che sposta un oggetto per 1 metro lungo la sua direzione: L = f*Δs

L’energia è vista come la capacità che ha un corpo di compiere lavoro.

Quantità adimensionali Esistono delle quantità adimensionali, cioè che non hanno unità di misura. Sono numeri puri, come il numero di Avogadro, il numero di moli o ancora il rapporto tra quantità dimensionali, come la costante dielettrica relativa o l’indice di rifrazione

Lavoro Definiamo matematicamente il lavoro fatto da una forza come il prodotto scalare della forza per lo spostamento

Una forza compie lavoro quando il punto di applicazione della forza si sposta!!!Si fa lavoro SOLO quando si sposta il punto di applicazione della forza!!!

Nel caso in cui si trasporta qualcosa il lavoro fatto risulta nullo perché laforza applicata è perpendicolare allo spostamento, θ=90o => cos90o=0

L=F d cos θ= Fd d

È la componente della forza lungo lo spostamento quella che conta!

€

L =r F ⋅r d = Fdcosθ

Potenza Potenza= velocità con cui viene fornita/consumata energia

Watt=E/Δt=1J/1s

Un atleta di 60 Kg sale una rampo di scale alta 4.5 m in 4.0 s

Quanto è il lavoro e la potenzaL=mgh=60 Kg*9.8 m/s2*4.5 m=2646 J W=L/Δt=2646 J / 4 s = 661.5 W

Cavallo vapore= potenza per sollevare 75 kg per 1 metro in 1 secondo

1 cavallo-vapore=mgh/s=75*9.8 J/s=735 W= 0.735 kW=735WIn Inghilterra 746 W!

Teorema dell’energia cinetica Quando applichiamo una forza a un corpo questo accelera e acquista velocità. Nel caso la forza sia costante:

Il lavoro fatto si è trasformato in variazione di energia cinetica del corpo.

L = F ⋅dS∫ =ma ⋅S

v = v0 + at => a =v− v0t

S = v0t +12at2 = 1

2t(2v0 + at) =

12t(2v0 + v− v0 ) =

12t(v+ v0 )

L =m v− v0t

12t(v+ v0 ) =

12m(v− v0 )(v+ v0 )

L = 12m(v2 − v0

2 ) =Variazione_Energia_Cinetica

L=ΔK

Teorema dell’energia cinetica (integrali, più elegante e generale)

L = F ⋅ds =t1

t2

∫ ma ⋅ds =t1

t2

∫ m dvdt⋅ds

t1

t2

∫

L = m dsdtdv =

t1

t2

∫ mv ⋅dv =t1

t2

∫ m vdv =t1

t2

∫

L =m G(t2 )−G(t1)[ ] =m v2

2 t1

t2

=12m v2

2 − v12⎡⎣ ⎤⎦

Quando applichiamo una forza a un corpo questo accelera e acquista velocità:

Il lavoro fatto si è trasformato in variazione di energia cinetica del corpo.

G=primitiva della funzione v, ovvero la funzione la cui derivata è v

Energia potenziale Se solleviamo un oggetto a una quota h dobbiamo compiere lavoro.Ma il corpo non aumenta la sua energia cinetica. Dove va il lavoro fatto? In presenza di campi di forze conservative (la gravità) possiamo introdurre il concetto di energia potenziale associata alla configurazione del sistema e dire che modifichiamo l’energia potenziale dell’oggetto. La relazione tra lavoro fatto dalla forza conservativa ed energia potenziale risulta la seguente:

L=Ui-Uf=-ΔUL’energia potenziale per il campo gravitazionale, a una distanza non troppo elevata dalla superficie terrestre, vale

U(h)=F*S=mghVedremo ancora il concetto di energia potenziale con l’elettrostatica.

Concetto Forza Conservativa L=Ui-Uf=-ΔU

Il lavoro si può scrivere come differenza tra due termini di energia (potenziale) che dipendono solo dalla posizione (locale) della particella, la sua coordinata, e non da come la particella sia arrivata in quel punto. In questo caso la forza deve essere conservativa. Esistono delle condizioni sulla forma analitica dell’espressione della forza che ci dicono quando una forza è conservativa (come dipendenza da 1/r2).

Se facciamo lavoro positivo con una forza conservativa, spingiamo una particella lungo una retta, allora l’energia potenziale DEVE diminuire (caduta di un grave). Ma stiamo anche variando l’energia cinetica, che DEVE aumentare, il lavoro è positivo!!!

Conservazione energia Se utilizziamo il teorema dell’energia cinetica e la definizione di energia potenziale tra il punto iniziale 1 e il punto finale 2:

L=ΔKU1-U2=K2-K1

Ricaviamo che la somma di energia potenziale + energia cinetica è costante in tutti i punti, cioè l’energia meccanica si conserva!

U1+K1=U2+K2

Da questa formula si ricava la ben nota formula della velocità di fuga:

V=√(2gh)

Esercizi

Esercizi •  Rterra Equatoriale= 6378 [km] =>….. [m] 1 [km] = 103 [m] R=6.38 Mm•  1 m3 = 1000 litri 1 litro = ? dm3

•  1 cellula = 1 µm3 Numero cellule in 1 cm3

•  100 km/h = ? m/s•  1 m/s=? km/h•  30o = ? Radianti•  π/3 =? Gradi•  Trasformare nel SI: d=1 g/cm3; d=1 g/dm3; d=10000 g/m3

•  Trasformare nel SI: A=100 cm2

•  Distanza Mi-Ca 45o,48N 9o,18E- 39o,22 N 9o,12E usare A=αR•  vx= 2 m/s vy= 3 m/s |v|=•  v=10 m/s α=30o, 60o, 90o vx= ? vy= ?

Lezione (4) 22/10/18

Volumi 1 m3 = ? dm3

1 m3 = ? cm3

1 m3 = ? mm3

Per definizione 1 litro = 10-3 m3

Litro = ? dm3

Litro = ? cm3

Litro = ? mm3

1 cl = ? cm3

1 ml = ? cm3

1 cc = ?????

Esercizi Quanto spazio percorro muovendomi a 20 m/s per due ore?

Percorro 100 km alla velocità di 85 km/h, poi mi fermo 30 minuti e riprendo percorrendo 150 km alla velocità di 120 km/h. Quale è la velocità media?

Un corridore percorre 100 metri in 9.58 s (2009, Usain Bolt). Quale è la sua velocità media (km/h)? Supponendo che raggiunge la velocità massima dopo 50 m calcolare questa velocità e l’accelerazione (in realtà la velocità di picco è di 44,72 km/h tra 60-80 metri e quella media nei secondi 50 metri di 41 km/h)Suggerimento: 0.5 v*t1=v*t2Infatti partendo da fermi ho che:S=0.5a*t1*t1e siccome v=a*t1 => S=0.5vt1

Le Forze

Forze = vettori modulodirezioneverso

Con le due forze in figura, quanto vale la componente lungo y della forza totale?Lungo quale direzione si sposta il motoscafo, se questo non ha alcun vincolo? Quale è il lavoro fatto dalla forza totale su un percorso di 10 m parallelo al canale? E dalle singole forze?Come bisogna modificare la forza di B perché il motoscafo si sposti solo lungo X? In questo caso quanto vale il lavoro fatto dalle due persone?

Lavoro

L=F d cos θ Ma dcosθ=hNon importa il percorso che facciamo ma solo il dislivello!

m=15 Kgh=10 mθ1=π/3 d1=20 m h=20*cos(π/3) m = 10 mθ2=π/6 d2=11.55 m h=11.55*cos(π/6) m = 10 m

FE=mg=15*9.8 N = 147 NL=147N*10 m=1.47 103J

Quando si trasporta qualcosa ad un’altezza h si deve compiere lavoro contro la forza di gravità:

L=Fh=mghθ2=π/6θ1=π/3

Questo perche le forze sono conservative, l’energia non dipende dal percorso!!!

Vincoli e attriti Quale è la figura giustaper un disco da hockey che scivola sul ghiaccio senza attrito?

Conviene spingere o tirareuna slitta?

Attrito: forza non conservativa Se nel problema precedente ci fosse una forza d’attrito costante (che non dipende dall’angolo), dove sarebbe maggiore il lavoro per arrivare a un’altezza h?

θ1=π/3 S1= 20 mθ2=π/6 S2= 11,5 m

Il lavoro fatto DIPENDE dal cammino scelto, non dall’altezza raggiunta, abbiamo a che fare con una forza NON CONSERVATIVA, l’attrito.Non possiamo più scrivere:

L=-ΔU

La = −!Fa ⋅!S

Sulla conservazione dell’energia: Esercizio Saltatore con l’asta

h=6 m (record mondiale di salto con l’asta)m=70 KgDeterminare la velocità di arrivo alla battuta

U=mgh=70 Kg*9.8 m/s2*6 m = 4116 JPrincipio di conservazione dell’energiaK= U = 4116 J=0.5 m v2 =>

€

v =4116 × 270

m /s v=10.8 m/s=39 km/h

Cosa succede se consideroun atleta di 50 Kg? velocità più grande o piccola?

La stessa!

€

v =mgh × 2m

= 2gh

La tensione come forza Una corda tirata da entrambi gli estremi ha una tensione T.Se immaginiamo di tagliare in due la corda, la tensione è uguale a quella forza che dovremmo applicare per tenere le due estremità unite

rT

rT

rT

rT

Ancora sull’importanza dei vettori •  Esercizio del filo da stendere Una massa di 2 kg è appesa a un filo nel suo punto medio e provoca un’inclinazione del filo rispetto alla linea orizzontale di θ =2,7°. Trovare la tensione nel filo. Comparare questa tensione con la forza peso dell’oggetto (2*9.8N).

2 kg

T T θθ

Convenzione sugli angoli

X

X

θ=+30o

θ=-30o

Gittata e scomposizione moti

a(t) = costan tev(t) = a ⋅ t + v0

s(t) = 12a ⋅ t2 + v0 ⋅ t + s0

a(t) = 0v(t) = v0s(t) = v0 ⋅ t + s0

Viene lanciato un proiettile con una velocita iniziale di 30 m/s e un’inclinazione di 30 gradi sopra un terreno piano. Quanto spazio percorre prima di toccare terra?

Siamo in presenza di due moti indipendenti, quello verticale con accelerazione costante e quello orizzontale con velocità costante!Usiamo le equazioni orarie per risolverlo anziché le formule esistenti.

La tensione all’equilibrio Quando siamo all’equilibrio la tensione di una fune uguaglia la forza applicata (qui la forza peso):

Esercizio: a quale angolo θ si ha equilibrio se m2=2 kg e m1=5 kg? (m1 scorre senza attrito)Quanto vale la tensione? (23°, 20N)

Se invece non c’è equilibrio, cioè le forze sono diverse (qui intese come forze peso), i corpi accelerano e la tensione può anche essere maggiore delle forze in gioco. Perché la tensione in una fune è sempre la stessa!!!

Esercizio: se θ= 45°, m2=2 kg e m1=5 kg, con quale accelerazione si muove m1? (m1 scorre senza attrito). Quanto vale la tensione?La tensione del cavo è maggiore quando si sale o si scende in un ascensore? (2,1m/s2; 24,2N)