五点共圆问题 与Clifford 链定理

北京师范大学 张英伯，叶彩娟

2007年4月

一、引子在世纪之交的2000年5月，当时的国家主席江泽民视察澳门濠江中学，兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题。

江泽民先生随后给数学家和数学教育家张景中院士打电话征询答案，并亲函濠江中学参考。与此同时，濠江中学的四位数学老师也各自独立地作出了解答，他们的数学功底令人敬佩。

这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是：给出一个不规则的五角星，做所得五个小三角形的外接圆，每相邻的两个小三角形的外接圆交于两个点，其中之一是所得五边形的顶点。在五边形五顶点外的交点共有五个，证明这五点共圆。

2003年春天，我去德国访问。有一天我的老板，代数学家 Claus Ringel 问我，你知道“江问题”吗？正当我在脑子里紧张地搜索江姓数学家的名单时，老板得意地笑了，“哎呀呀，你们的国家主席呀！”

那天Claus 刚从伦敦开会回来，他说在伦敦的会议上，数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问题，觉得国家主席关注几何学非常有趣。Claus 随手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。

2006 年底，澳门的一个研讨班邀请我去做报告，报告刚好在濠江中学举行。濠江中学校方与我们会面时介绍了当年江泽民主席的视察。我一下子想起三年前与 Claus 的对话，就临时改变报告题目，凭记忆谈了推广的五点共圆问题。报告之后，研讨班的组织者力主并多次敦促将这一问题的证明写成文章。

回到学校，正赶上本科生准备毕业论文，一个保送研究生的女孩儿希望读代数方向的硕士，来我这里要题目，我说你试着找找五点共圆问题的推广吧。

感谢今天的互联网，把这个世界所有的信息摆在了每一个人的面前。

经过一个礼拜的搜索，女孩子终于找到了一位日本数学家冈洁的传记，在传记的 后一页的 后一个脚注中，提到 Clifford 定理将五点共圆问题推广到了任意的正整数。

有了这个名字，事情便简单多了。女孩马上去搜索 Clifford 所有文章的目录，找到了他关于这个问题的文章：On Miquel’s Theorem. 遗憾的是年代过于久远，我们的北京图书馆，中科院图书文献中心都没有收藏。

再一次感谢互联网，北图很快通知我们文章在大英图书馆找到了，付钱之后就可以扫描过来。还是由于年代过于久远，大英图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了回来，原文的扫描和复印件都不能提供，原因无可奉告。

William Kingdon Clifford（1845-79），英国的几何代数学家，34岁辞世。

他建立了Clifford代数，这是一种交换环上的有限维结合代数，可以看作是复数域和 Hamilton四元数除环的推广，他将这种代数应用于运动几何。他还研究了非欧氏空间中的运动，引入了平行线的定义，并对微分几何做出贡献，创建了Klein-Clifford 空间。

直到今天，Clifford代数仍然是数学物理、几何、分析领域中的热门话题。

在十九世纪下半叶和二十世纪初，许多欧美大数学家致力于建立欧几里得几何的公理化体系。希尔伯特用了三十年的时间，先后出版七稿，写成了《几何基础》一书。当《几何基础》引起广泛讨论的时候，许多古老的几何问题，比如与三角形、直线和圆相关的点等问题被重新发现并研究。

1838年，Miquel证明了关于四圆共点的一个定理。在这个定理的基础上，Clifford于1871年建立了Clifford链定理，这是数学史上非常著名的一个有趣而又奇妙的定理。

那个年代的许多欧美数学家都研究并论证过这个定理，一方面寻找它的多种证明方法，另一方面研究这些点圆和其它一些著名的点圆之间的关系，还有人积极探索它的扩展，例如向高维情况的引伸。在当时的数学杂志上，不断地发表与Clifford链定理相关的研究成果。

我国正处于清朝末年，尚未进入近代数学的研究领域，因此对当时的一些研究都比较陌生。

由于没有见到Clifford的原文，本文所讲的证明，是基于英国几何学家 F. Morley于1900年发表在美国数学会 Transaction上的一篇文章“On the metric geometry of the plane n-line”。

二、Clifford 链定理的表述

n=3n=2

任选平面内两两相交，且不共点的三条直线，则其中每两条为一组可以确定一个点，共有三个点，那么这三个点确定一个圆。

任选平面内两条相交直线，则这两条直线确定一个点。

n=4 n=4

任选平面内两两相交，

且任意三条直线都不共点的四条直线，

则其中每三条为一组可以确定一个圆，共有四个这样的圆，

则这四个圆共点。

此点被称为 Wallace 点。

n=5

任取平面内两两相交，

且任意三条直线都不共点的五条直线，

则其中每四条作为一组可确定如上所述

的一个 Wallace 点，共有五个这样的点，

那么这五个点共圆，

此圆被称为 Miquel 圆（即五点共圆问题）。

n=6

任取平面上两两相交的六条直线，且任意三条直线都不共点，

则其中每五条为一组可以确定一个Miquel 圆，共有六个这样的圆，

则这六个圆共点。

n=7

任取平面内两两相交，

且任意三条直线都不共点的七条直线，

则其中每六条作为一组可确定如上所述

的一个点，共有七个这样的点，

那么这七个点共圆。

一般地，

任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的2n条直线，则其中每2n-1条直线可确定一个圆，共确定 2n 个圆，那么这2n 个圆交于一点，称为 2n 条直线的Clifford 点；

任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的 2n+1条直线，则其中每 2n 条直线可确定一个 Clifford 点，共确定 2n+1个点，那么这 2n+1 个点共圆，称为 2n+1 条直线的 Clifford 圆。

三、直线方程

用平面几何的方法归纳地证明 Clifford 定理几乎是不可能的，我们已经看到 n=7 的情况

图形有多么复杂，实际上五点共圆问题已经够复杂了。那么用平面解析几何呢？用复平面呢？这样就可以充分借助现代数学的工具。让我们来试一试。

现在考虑复平面 C, 建立原点，实轴和虚轴。

用 分别表示两个确定的复数，其中的模为1，也就是说， 在单位圆上。其次，用 分别表示两个复变量，其中

的模为1，也就是说 在单位圆上运动。

考察公式

当 在单位圆周上运动时， 跑过原点 0 和点

连线的垂直平分线。

1 1

1

x txt t

=−

事实上， 而

因为 和 的模都是1，故

另一方面，当 趋近于 时， 的模趋近于无穷大；并且 是 的连续函数。所以我们

得到了一条直线。

|||0| 1xxx −=−

从上述分析可以看出，直线与 的幅角的取值无

关。我们不妨取

事实上，利用单位圆周上的点 t 作参数，根据复函数中的分式线性函数理论，

表示一条直线。

1 1

1

x txt t

=−

1

1111 , x

ytxy ==

四、特征常数

如果我们有两条直线： ，

则 . 两式相减，得到两条直

线的交点： . 再设

. 称 为n=2时的特征常数。

ttx

−=

1

11txtt

x−

=2

22

21,aa

tx

12

2

21

12 tt

xtt

xa−

+−

=

12

22

21

111 tt

txtt

txa−

+−

=

如果我们有三条直线： 令

上面的式子中，求和号表示对数组 (1 2 3) 进行轮换，分别取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2).

叫做 n=3 时的特征常数。321 ,, aaa

建立一个圆方程，圆心在 ，半径为

：

当 时，

当 时，

当 时，

所以我们的圆经过三条直线中每两条的交点，这就是三点共圆。

1 2x a a t= −1a

|| 2a

定义 4.1. 关于 n 条直线 的特征常数 定义为：

其中求和号表示对 (12- - -n) 进行轮换。

引理4.2.

nn

nn aaa ,,,, 21 LLnxxx ,,,, 21 LL

)())(( 13121

1

n

inni tttttt

txa−−−

=−

∑LL

nni

ni

ni taaa 1

1+

− −=

1

证明：

引理证毕。

∑∑

∑∑

−

+−

−

+−

−

−−

−

−

−−=

−−−

−=

−−−−

−−−

)()())(()()(

))(()())(()(

1121

111

11121

11

11

11121

111

11121

111

1

n

in

nn

nin

nn

nin

nn

n

tttttx

tttttttttx

ttttttttx

tttttttx

LLLL

LLLL

特征常数有如下的共轭性质。取定正整数 n，令

将 的复共轭记作 ，令 ，则

引理4.3.

1 1

1 2 1( ) ( )

n

n

x tat t t t

α

α

−

=− −∑

L

1 1

1 2 1

21 1 1 1 1

1 21 2 1

11 2 1

1 1 1 1( ) ( )

( 1)( ) ( )

( 1)

n

n

n nn

nn

nn n

y tb

t t t t

x t t tt t tt t t t

t t t a

α

α

α

α

−

− −−

−+ −

=− −

⋅ ⋅= −

− −

= − ⋅

∑

∑

L

LL

L

1 2n ns t t t= L

as nn

n

α−+

−−= 1

1)1(

n,....,2,1=α

αa αb

αα −+−−= 11)1( nn

n asb

引理4.4. 设 是 n 个变元的初等对称多项式，记 的共轭元为 。如果 n 个变元均取模为 1 的复数，则

证明：设 ，

则

引理证毕。

nuuu ,,,, 21 LL

iuiu

inni uuu −=

ii vvvu LL21∑= .1,1 nivi ≤≤=

innii

niini uvv

vvvvvv

uu −++∑ ∑ === L

L

LL1

1

11

五、n=4 和 n=5 时的证明

设我们有四条直线

根据第四节的讨论，三条直线确定的圆方程为：

或

其中 是一个变元的初等对称多项式。根据引理4.2, 去掉四条直线中的第 条后的圆方程

是：

1 2x a a t= −

α

121 saax −=

1s

13221 )()( staataax αα −−−=

根据引理4.3,方程 是自共轭的，即它的共轭方程 与自身相等， 我们有：

即 在单位圆上。又因为 的任意性，方程等价于：

其中 是 n= 4 时的特征常数。消去 ,

即

是四条直线的 Clifford 点。

321 ,, aaa

αt

taa 320 −=taa 230 −=

1=ttt

132

121

0 saasaax

−=−=

3

22

1 aaax −=0

32

21 =−−

aaaax

1s

当 n=5 时，我们有五条直线：

去掉其中的任意一条，所得到的四条直线确定一个 Cliford 点。

根据引理4.2，我们可以从n=5 时的特征常数得到n=4 时的特征常数，比如去掉第 条直线，得方

程：

.5,4,3,2,1=i

α

14332

13221

)()(0)()(staataastaataax

αα

αα

−+−=−−−=

因为 是一个变元的初等对称多项式，

分别导出了两个变元的初等对称多项式 和

上述方程变为：

根据引理4.3，第二个方程是自共轭的，保证了 t 在单位圆上。

1sαα tsts 11 ,+

1s

2s

241320 sasaa +−=23121 sasaax +−=

从方程组中消去 ，并用 t 代替 ，或考察以 和 （以 t 代之）为未知数的线性方程组，Cramer 法则给出 x 和 t 应该满足的关系：

或

这就是五条直线的 Clifford 圆。

t

tt +1 tt1

1 2 2 3

2 3 3 4

a x a a at

a a a a−

=

tt +1 tt1

六、Clifford 链定理定理6.1. 2p 条直线的 Clifford 点由下述行列式给

出：

而 2p+1 条直线的 Clifford 圆由下述方程确定：

1 2

2 3 1

1 2 1

0

p

p

p p p

a x a aa a a

a a a

+

+ −

−

=

L

L

M M M M

L

1 2 2 3 1

2 3 1 3 4 2

1 2 1 1 2 2

p p

p p

p p p p p p

a x a a a a aa a a a a a

t

a a a a a a

+

+ +

+ − + +

−

=

L L

L L

M M M M M M M M

L L

证明： 设 p=1 在2x1 时得到两条直线的交点：

设 P=2 ， 是一个变元的初等对称多项式。在2x2-1 时得到三条直线的 Clifford 圆满足的方程：

在2x2 的情况得到四条直线的 Clifford 点满足的方

程

设p=3, 是两个变元的初等对称多项式。在2x3-1 时得到五条直线的 Clifford 圆方程：

1ax =

24132

23121

0 sasaasasaax

+−=+−=

121 saax −=

132

121

0 saasaax

−=−=

1s 2s

1s

现在设 2p-1条直线的 Clifford 圆满足的方程

是：

其中 是 p-1个变元的初等对称多项式。则该假设当 p=2，p=3 时都是正确的。我们来计算 2p 条直线的情况。

1221

11

111

132

11

121

)1(0

)1(0

)1(

−−−

−

−+−

−−

−++−=

−++−=

−++−=

ppp

pp

ppp

ppp

sasaa

sasaa

sasaax

LL

LLLLLL

LL

LL

121 ,,, −psss LL

根据引理4.2, 关于 2p-1 条直线的特征常数可以用关于 2p 条直线的特征常数去掉某条直线，例如第 条表示出来：α

112221

111

1211

14332

111

13221

)()1()()(0

)()1()()(0

)()1()()(

−−−−

+−

−++−

−+−

−−++−−−=

−−++−−−=

−−++−−−=

pppp

pppp

pppp

pppp

staastaataa

staastaataa

staastaataax

ααα

ααα

ααα

LL

LLLLLL

LL

LL

由于 的任意性，考察下述 p 个方程：

其中第 1+i 与第 p-i+1 个方程是共轭的。为方便起见，我们仅验证第 2 与第 p 个方程的共轭性。

αt

1121

11

1221

11

111

132

11

121

)1(0

)1(0

)1(0

)1(

−−−

+

−−−

−

−+−

−−

−++−=

−++−=

−++−=

−++−=

ppp

pp

ppp

pp

ppp

ppp

sasaa

sasaa

sasaa

sasaax

LL

LL

LLLLLL

LL

LL

记 是关于模为 1 的复数

的初等对称多项式。则

根据引理 4.3, 第二个方程的共轭方程为

将两端同乘以 ，根据引理 4.4 得：

221 ,,,, −puuu LL

221 ,,,, −pttt LL

tuus iii 1−+=

)()1()()1()(

)1()1(0

21

3212

12212

11

212

12212

tuatuuatuaa

sasasaa

ppp

pppp

pp

ppp

ppp

pp

−−

−−+−

−−

−−

−+−

−−

−++−++−=

−+−++−=

L

L

2−pu

将第 p 个方程的两端同乘以 ，并颠倒次

序，我们有方程：

易见这两个方程共轭， 故 ， 在单位圆

上。

在关于 2p 的 p 个方程中消去 ，即得所求公式，定理的第一部分证毕。

tatuatuuaua pp

pp

ppppp1

112

2322212 )1()1()1()(0 −+

−−−−−− −++−++−= L

1)1( −− p

pp

pp

ppppp atuatuuatua 111

23222212 )1()()1()(0 −

+−

−−−−− −++−++−= L

1=tt t121 ,,, −psss LL

我们来考察 2p+1 的情况。根据引理 4.2, 2p 条直线的特征常数可以通过 2p+1 条直线的特征常数表示出来。故 2p 条直线的 Clifford 点满足的方程诱导出下述 p 个方程：

12121

1211

112221

111

1211

14332

111

13221

)()1()()(0

)()1()()(0

)()1()()(0

)()1()()(

−−−

+++

−−−−

+−

−++−

−+−

−−++−−−=

−−++−−−=

−−++−−−=

−−++−−−=

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

staastaataa

staastaataa

staastaataa

staastaataax

ααα

ααα

ααα

ααα

LL

LL

LLLLLL

LL

LL

关于 p-1 个变元的初等对称多项式

与 诱导出 p 个变元的初等对称多项式

原方程变为：

121 ,,, −psss LL

αt

pp ssss ,,,, 121 −LL

ppp

ppp

pp

ppp

ppp

pp

ppp

ppp

ppp

ppp

sasasaa

sasasaa

sasasaa

sasasaax

21121

11

121221

11

2111

132

111

121

)1()1(0

)1()1(0

)1()1(0

)1()1(

−+−++−=

−+−++−=

−+−++−=

−+−++−=

−−−

+

−−−−

−

+−+−

+−−

LL

LL

LLLLLL

LL

LL

运用引理 4.3，与 2p 的情况类似可验，方程组中的第 i+1 个方程与第 p-i+1 个方程是共轭的， t 在单位圆上。

在关于 2p+1 的 p 个方程中消去 ，

即得所求公式。定理的第二部分证毕。

Clifford 定理的正确性从数学归纳法得到。

121 ,,, −psss LL

当然，特征常数 a 需要满足一定的条件，使得直

线两两相交，且没有三条直线交于一点。下面列出

的第二篇参考文献就专门讨论了这个问题。

我教过多年的线性代数，从来没有想到用矩阵、行

列式和对称多项式能够如此巧妙地解决这样复杂的

平面几何问题。伟大的数学家高斯曾经说过：“数

学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从

事实中归纳出来，但证明却隐藏得极深。”当我读

到这篇文献时，不由地惊叹数学家的智慧，数学的

深刻与优美。

参考文献

F.Morley, On the metric geometry of the plane n-line, Trans.Am.Math.Soc.7,1900.W.B.Carver, The failure of the Clifford chain，American J.Math. Vol.42,No.3, 1920, 137-167.

就讲到这里，谢谢大家