Cálculo Estocástico - IME-USPdreifus/CEF/CEF.pdf · 2010-12-16 · Mikosch T., Elementary...
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Cálculo Estocástico
H. Dreifus1
1Departamento de Matemática AplicadaUniversidade de São Paulo
Caixa Econômica Federal/2010
H. Dreifus Cálculo Estocástico
Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Cálculo Estocástico I
Mikosch T., Elementary Stochastic Calculus With Finance in View
1 Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
H. Dreifus Cálculo Estocástico
Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
Cálculo Estocástico II3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)
Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade
Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade
Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade
Variáveis AleatóriasVetores AleatóriosIndependência e dependência
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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Variáveis Aleatórias
Espaço de Eventos
Ω = cara, coroa
Variáveis Aleatórias
X : Ω→ R
Exemplo:X (cara) = 1
X (coroa) = −1
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Variáveis Aleatórias
Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?
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Variáveis Aleatórias
Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?
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Variáveis Aleatórias
Quais os valores mais prováveis de X (ω)?Onde estão concentrados ?Como estão distribuídos ?
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
σ-álgebra
F - Coleção de subconjuntos de Ω,Ω ∈ F∅ ∈ FF é fechado por uniões e intersecções enumeráveis
A ∈ F ;B ∈ F ⇒
A ∪ B ∈ F e A ∩ B ∈ F
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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Probabilidade, Distribuição e Funções de distribuição
ProbabilidadePara cada evento A ∈ F associamos um valor P(A) ∈ [0,1]
Função Distribuição
FX (x) = P(ω : X (ω) ≤ x)
Distribuição de X
PX (B) = P(X ∈ B) = P(ω : X (ω) ∈ B)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Propriedades da Medida de Probabilidade
Para eventos A,B ∈ F
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
e, se A e B são disjuntos,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Além disto,
P(Ac) = 1− P(A), P(Ω) = 1 e P(∅) = 0
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Exemplos de Distribuições
Binomial
P(X = k) =
(nk
)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.
Normal
fX (x) =1√2πσ
exp−(x − µ)2
2σ2
, x ∈ R
Fx =
∫ x
−∞fX (y)dy
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Exemplos de Distribuições
Binomial
P(X = k) =
(nk
)pk (1− p)n−k , k = 0,1,2, ...n.
Normal
fX (x) =1√2πσ
exp−(x − µ)2
2σ2
, x ∈ R
Fx =
∫ x
−∞fX (y)dy
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Variância e Momentos
EsperançaVariânciaMomentosEsperança de Funções
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Estimativas Úteis
P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)
Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95
onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)
P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Estimativas Úteis
P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)
Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95
onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)
P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Estimativas Úteis
P(µ−1,96σ ≤ X ≤ µ+1.96σ) = Φ(µ+1.96σ)−Φ(µ−1.96σ)
Φ(µ+ 1.96σ)− Φ(µ− 1.96σ) = 0,95
onde X é uma variável aleatória N(µ, σ2)
P(|X − µX | > x) ≤ x−2σ2X , x > 0
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Vetores Aleatórios
X = (X1,X2, ...,Xn)
é um vetor aleatório n-dimensional se os seus componentesX1,X − 2, ...,Xn são variáveis aleatórias unidimensionais avalores reais.
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Probabilidade, Distribuição e Função de distribuição
Probabilidade Considera-se uma σ-álgebra, F , na qualdefinimos a medida de probabilidade. Isto é, para cadaA ∈ F nós atribuimos um valor P(A) ∈ [0,1]Distribuição A coleção de probabilidades
PX (B) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B)para conjuntos B ⊂ Rn, é a distribuição de XFunção de distribuiçãoDado um vetor aleatório X = (X1, ...,Xn), a coleção deprobabilidades
FX (x) = P(ω : X1(ω) ≤ x1...Xn(ω) ≤ xn),x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, é a função distribuição de X
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Exemplos:
FX1(x1) =
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
fX (x)dx2dx3
fX (x) =1
(2π)n/2(detΣ)1/2 exp−1
2(x − µ)t Σ−1(x − µ)
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
H. Dreifus Cálculo Estocástico
Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Esperança, Covariância
EsperançaµX = EX = (EX1, ...,EXn)
Matriz de Covariância
[ΣX ]i,j = cov(Xi ,Xj) = E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
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Correlação
corr(X1,X2) =cov(X1,X2)
σX1σX2
=E(Xi − µXi )(Xj − µXj )
σX1σX2
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Independência e dependência
Dois eventos A1 e A2 são independentes se
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se
P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)
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Independência e dependência
Dois eventos A1 e A2 são independentes se
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2)
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se
P(X1 ∈ B1,X2 ∈ B2) = P(X1 ∈ B1)P(X2 ∈ B2)
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Independência e dependência
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R
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Independência e dependência
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
FX1X2(x1, x2) = FX1(x1)FX2(x2), x1, x2 ∈ R
Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se esomente se:
fX1X2(x1, x2) = fX1(x1)fX2(x2), x1, x2 ∈ R
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Se X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes,
EF (X1)G(X2) = EX1F (X1)EX2G(X2)
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Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.
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Variáveis aleatórias independentes são nãocorrelacionadas.Variáveis não correlacionadas não são necessáriamenteindependentes.
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Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.
Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.
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Uma coleção de variáveis aleatórias, Xt , t ∈ T éindependente se para toda escolha de índices t1, ..., tn ∈ T ,com n > 1, se as variáveis aleatórias Xt1, ...,Xtn foremindependentes.
Se uma coleção de variáveis aleatorias Xt , t ∈ T for tal queXt tem a mesma distribuição então nós dizemos que a coleçãoé i.i.d, independente identicamente distribuídas.
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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Processos Estocásticos.
DefiniçãoPasseio Aleatório
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Processos Estocásticos.
DefiniçãoPasseio Aleatório
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Definição
Um processo estocástico X é uma coleção de variáveisaleatórias
Xt , t ∈ T = Xt (ω), t ∈ T , ω ∈ Ω
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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Um processo aleatório é uma função de 2 varáveis:Para um t ∈ T fixado,
Xt (ω) : Ω→ R
é uma variável aleatória.Para um resultado aleatório fixo ω ∈ Ω,
Xt (ω) : t ∈ T → R
é uma função do tempo t
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Distribuição
As distribuições de dimensão finita (disfi) de um processoestocástico X são as distribuições dos vetores de dimensãofinita.
(Xt1 ...Xtn ), t1...tn2 ∈ T ,
para todas as escolhas possíveis dos instantes t1...tn ∈ T epara todo n ≥ 1.
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Exemplo
Processo Gaussiano
P(Xt1 ≤ x1, ...,Xtn ≤ xn) = P(Xt1 ≤ x1)...P(Xtn ≤ xn) =
= Φ(x1)...Φ(xn)
0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ T , (x1...xn) ∈ Rn.
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Esperança, Covariância e Variância
A função esperança de X é dada por
µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T
A função de covariância de X é dada por
cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .
A função de variância é dada por
σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .
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Esperança, Covariância e Variância
A função esperança de X é dada por
µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T
A função de covariância de X é dada por
cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .
A função de variância é dada por
σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .
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Esperança, Covariância e Variância
A função esperança de X é dada por
µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T
A função de covariância de X é dada por
cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .
A função de variância é dada por
σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .
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Esperança, Covariância e Variância
A função esperança de X é dada por
µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T
A função de covariância de X é dada por
cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .
A função de variância é dada por
σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .
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Esperança, Covariância e Variância
A função esperança de X é dada por
µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T
A função de covariância de X é dada por
cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .
A função de variância é dada por
σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .
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Esperança, Covariância e Variância
A função esperança de X é dada por
µX (t) = µXt = EXt , t ∈ T
A função de covariância de X é dada por
cX (t , s) = cov(Xt ,Xs) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t , s ∈ T .
A função de variância é dada por
σ2X (t) = cX (t , t) = var(Xt ), t ∈ T .
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Estrutura de Dependência
Processos Estacionários
Um processo estocástico é dito ser estacionário se os difi’s sãoinvariantes por translações em t .
(Xt1 ...Xtn )d= (Xt1+δ...Xtn+δ)
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Estrutura de Dependência
Processos com Incrementos EstacionáriosSeja X = (Xt , t ∈ T ) um processo estocástico e T ⊂ R umintervalo. Dizemos que X possui incrementos estacionários se
Xt − Xsd= Xt+δ − Xs+δ
para todo t , s ∈ T e δ, com t + δ, s + δ ∈ T X é dito possuirincrementos independentes se para cada escolha de ti ∈ Tcom t1 < ... < tn e n ≥ 1,
Xt2 − Xt1 ...Xtn − Xtn−1
são variáveis aleatórias independentes.
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Passeio Aleatório
Tempo Discreto: 0 = t0 < t1... < tn = t , tm+1 − tm = δ
Em cada instante tm, uma moeda é lançada:Se o resultado for Cara é dado um passo para a esquerda.Se o resultado for Coroa é dado um passo para a direita
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Distribuição de probabilidade no instante t
pk (t) = PXt (ω) = k; k ∈ Z
Matriz de TransiçãoKjk (t) = PXt+δ(ω) = j |Xt (ω) = k
Kjk (t) =
12 |j − k | = 10 |j − k | 6= 1
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Dinâmica do Passeio Aleatório
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
Considerando uma coleção de eventos independentesBk ;∪k∈ZBk = Ω,
P(A|Bk )P(Bk ) = P(A ∩ Bk )∑k∈Z
P(A|Bk )P(B) = P(A)
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos
pj(t + δ) =∑k∈Z
Kjkpk (t)
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Dinâmica do Passeio Aleatório
Considerando A = Xt+δ(ω) = j, temos
pj(t + δ) =∑k∈Z
Kjkpk (t)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2K =
..
.0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
..
.
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
pj(t + δ) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)
pj(t + δ)− pj(t) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)− pj(t)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
pj(t + δ) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)
pj(t + δ)− pj(t) =12
pj+1(t) +12
pj−1(t)− pj(t)
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆
px (t + δ)− px (t) =12
px+∆(t) +12
px−∆(t)− px (t)
px (t + δ)− px (t) =12
[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
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Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆
px (t + δ)− px (t) =12
px+∆(t) +12
px−∆(t)− px (t)
px (t + δ)− px (t) =12
[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
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Considerando em lugar de passos de magnitude 1, passos demagnitude ∆, de forma que em lugar das posições possíveisXt (ω) = k , temos Xt (ω) = k∆
px (t + δ)− px (t) =12
px+∆(t) +12
px−∆(t)− px (t)
px (t + δ)− px (t) =12
[px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
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Considerando σ2δ = ∆2
px (t + δ)− px (t)δ
= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
2∆2
de forma que no limite δ → 0
∂p∂t
(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)
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Considerando σ2δ = ∆2
px (t + δ)− px (t)δ
= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
2∆2
de forma que no limite δ → 0
∂p∂t
(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)
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Considerando σ2δ = ∆2
px (t + δ)− px (t)δ
= σ2 [px+∆(t) + px−∆(t)− 2px (t)]
2∆2
de forma que no limite δ → 0
∂p∂t
(t , x) = σ2 ∂2p∂x2 (t , x)
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p(t , x) =1
σ√
4πt
∫ ∞−∞
e−(x−y)2
4tσ2 p(0, y)dy
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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Movimento Browniano.
Propriedades da definiçãoProcessos derivados do movimento brownianoSimulações de caminhos amostrais brownianos
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Movimento Browniano.
Propriedades da definiçãoProcessos derivados do movimento brownianoSimulações de caminhos amostrais brownianos
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Movimento Browniano.
Propriedades da definiçãoProcessos derivados do movimento brownianoSimulações de caminhos amostrais brownianos
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Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;possui incrementos independentes e estacionários;para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);possui caminhos amostrais contínuos.
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Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;possui incrementos independentes e estacionários;para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);possui caminhos amostrais contínuos.
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Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;possui incrementos independentes e estacionários;para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);possui caminhos amostrais contínuos.
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Movimento Browniano
Um processo estocástico B = (Bt , t ∈ [0,1)) é chamado demovimento browniano (padrão) ou um processo de Wiener seas seguintes condições estiverem verificadas:
ele começa no zero: B0 = 0;possui incrementos independentes e estacionários;para todo t > 0,Bt possui uma distribuição normal N(0, t);possui caminhos amostrais contínuos.
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Movimento Browniano
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Movimento Browniano
As variáveis aleatórias Bt − Bs e Bt−s possuem umadistrobuição N(0, t − s) para s < t .
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Movimento Browniano
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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µB(t) = EBt = 0, t ≥ 0
σ2B(t) = EB2
t = t
cB(t , s) = E(B(t)B(s)) =
E [(B(t)− B(s) + B(s))B(s)] =
E [(B(t)− B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] = 0 + s = s; 0 ≤ s < t
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O movimento Browniano é um processo estocástico gaussianocaracterizado por:
µB(t) = 0
cB(s, t) = min(s, t)
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Auto-similaridade
Um processo estocástico (Xt , t ∈ [0,1)) é dito H-auto similarpara um dado H > 0 se os seus disfi’s satisfizerem à condiçãodada por
(T HBt1 ...THBtn )
d= (BTt1 ...BTtn )
para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1.
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Não diferenciabilidade
O movimento browniano é 0.5-auto-similar, i.e.,
(T 1/2Bt1 ...T1/2Btn )
d= (BTt1 ...BTtn )
para todo T > 0 e qualquer escolha dos ti ≥ 0, i = 1...n, en ≥ 1. Portanto, os caminhos amostrais não são diferenciáveisem parte alguma.
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Variação ilimitada
Os caminhos amostrais brownianos não possuem variaçãolimitada em nenhum intervalo finito [0,T ]. Isto significa que
supτ
n∑1
|Bti (ω)− Bti−1(ω)| =∞
onde o supremo é tomado sobre todas as partições possíveisτ : 0 = t0 < ... < tn = T do intervalo [0,T ].
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Processos Derivados do movimento Browniano
Movimento Browniano com drift
Xt = µt + σBt
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Movimento Browniano Geométrico
Xt = eµt+σBt
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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Esperança Condicional.
Esperança condicional sob a condição discretaSobre σ-álgebrasA esperança condicional geralRegras para o cálculo da esperança condicionalA propriedade da projeção de esperanças condicionais
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Preliminares
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B) = P(A) se A e B forem independentes.
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Preliminares
Probabilidade Condicional
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)
P(A|B) = P(A) se A e B forem independentes.
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Preliminares
Função de distribuição condicional de uma variável aleatória Xdado B
FX (x |B) =P(X ≤ x |B)
P(B)
Esperança condicional de X dado B
E(X |B) =E(XIB)
P(B)
onde IB denota a função caracteristica do evento B.
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Preliminares
Função de distribuição condicional de uma variável aleatória Xdado B
FX (x |B) =P(X ≤ x |B)
P(B)
Esperança condicional de X dado B
E(X |B) =E(XIB)
P(B)
onde IB denota a função caracteristica do evento B.
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Preliminares
Função de distribuição condicional de uma variável aleatória Xdado B
FX (x |B) =P(X ≤ x |B)
P(B)
Esperança condicional de X dado B
E(X |B) =E(XIB)
P(B)
onde IB denota a função caracteristica do evento B.
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Preliminares
Função de distribuição condicional de uma variável aleatória Xdado B
FX (x |B) =P(X ≤ x |B)
P(B)
Esperança condicional de X dado B
E(X |B) =E(XIB)
P(B)
onde IB denota a função caracteristica do evento B.
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Esperança condicional sob a condição discreta
Considere uma variável aleatória Y que assume valoresdistintos yi
Ai = ω ∈ Ω|Y (ω) = yi
Para uma variável aleatória X com E(|X |) <∞ nós definimos aesperança condicional de X dado Y como a variável aletóriadiscreta
E(X |Y )(ω) = E(X |Ai) = E(X |Y = yi) para ω ∈ Ai , i = 1,2,3...
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Propriedades da Esperança Condicional
A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,
E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )
As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas
E(X ) = E(E(X |Y ))
Se X e Y são independentes,
E(X |Y ) = E(X )
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Propriedades da Esperança Condicional
A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,
E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )
As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas
E(X ) = E(E(X |Y ))
Se X e Y são independentes,
E(X |Y ) = E(X )
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
Propriedades da Esperança Condicional
A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,
E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )
As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas
E(X ) = E(E(X |Y ))
Se X e Y são independentes,
E(X |Y ) = E(X )
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Propriedades da Esperança Condicional
A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,
E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )
As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas
E(X ) = E(E(X |Y ))
Se X e Y são independentes,
E(X |Y ) = E(X )
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Propriedades da Esperança Condicional
A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,
E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )
As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas
E(X ) = E(E(X |Y ))
Se X e Y são independentes,
E(X |Y ) = E(X )
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Propriedades da Esperança Condicional
A esperança condicional é linear no sentido de que paravariáveis aleatórias X1 e X2,
E(c1X1 + c2X2|Y ) = c1E(X1|Y ) + c2E(X2|Y )
As esperanças de X e E(X |Y ) são as mesmas
E(X ) = E(E(X |Y ))
Se X e Y são independentes,
E(X |Y ) = E(X )
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σ - álgebras
Uma σ álgebra F sobre Ω é uma coleção de subconjuntos de Ωsatisfazendo
∅ ∈ F e Ω ∈ F
Se A ∈ F então Ac ∈ F
Se A1,A2, ... ∈ F então ∪∞i=1Ai ∈ F e ∩∞i=1Ai ∈ F
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σ - álgebras
Uma σ álgebra F sobre Ω é uma coleção de subconjuntos de Ωsatisfazendo
∅ ∈ F e Ω ∈ F
Se A ∈ F então Ac ∈ F
Se A1,A2, ... ∈ F então ∪∞i=1Ai ∈ F e ∩∞i=1Ai ∈ F
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σ - álgebras
Uma σ álgebra F sobre Ω é uma coleção de subconjuntos de Ωsatisfazendo
∅ ∈ F e Ω ∈ F
Se A ∈ F então Ac ∈ F
Se A1,A2, ... ∈ F então ∪∞i=1Ai ∈ F e ∩∞i=1Ai ∈ F
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
σ álgebra associada ao movimento browniano
Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere
subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].
A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:
At1,t2,...,tn (C) =
ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn
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σ álgebra associada ao movimento browniano
Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere
subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].
A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:
At1,t2,...,tn (C) =
ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn
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σ álgebra associada ao movimento browniano
Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere
subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].
A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:
At1,t2,...,tn (C) =
ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn
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σ álgebra associada ao movimento browniano
Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere
subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].
A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:
At1,t2,...,tn (C) =
ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn
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σ álgebra associada ao movimento browniano
Considere um movimento browniano Bt (ω) : [0,T ]× Ω→ R.Para cada n ∈ N considere
subconjuntos de Rn da forma C = (C1, ..., Cn), com Cj umintervalo aberto de Rescolhas de t1, t2, ..., tn; tj ∈ [0,T ].
A σ-álgebra, FT , associada ao movimento browniano é amenor σ-álgebra gerada pelas uniões e intersecçõesenumeráveis de subconjuntos de Ω da forma:
At1,t2,...,tn (C) =
ω ∈ Ω|Bt1(ω) ∈ C1, ...,Btn (ω) ∈ Cn
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Esperança Condicional sob uma σ-álgebra F
Uma variável aleatória Z é denominada a esperançacondicional de X dada a σ-álgebra F se
Z não contém mais informação do que a contida em F:σ(Z ) ⊂ F
Z satisfaz a relação
E(ZIA) = E(XIA)
para todo A ∈ F
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Esperança Condicional sob uma σ-álgebra F
Uma variável aleatória Z é denominada a esperançacondicional de X dada a σ-álgebra F se
Z não contém mais informação do que a contida em F:σ(Z ) ⊂ F
Z satisfaz a relação
E(ZIA) = E(XIA)
para todo A ∈ F
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Esperança Condicional sob uma σ-álgebra F
Uma variável aleatória Z é denominada a esperançacondicional de X dada a σ-álgebra F se
Z não contém mais informação do que a contida em F:σ(Z ) ⊂ F
Z satisfaz a relação
E(ZIA) = E(XIA)
para todo A ∈ F
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Esperança condicional de X dada uma variávelaleatória Y
Seja Y uma variável aleatória e σ(Y ) a sigma álgebra geradapor Y .A esperança condicional da variável aleatória X dado Y édefinida por
E(X |Y ) = E(X |σ(Y ))
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Esperança condicional de X dada uma variávelaleatória Y
Seja Y uma variável aleatória e σ(Y ) a sigma álgebra geradapor Y .A esperança condicional da variável aleatória X dado Y édefinida por
E(X |Y ) = E(X |σ(Y ))
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Propriedade de projeção da esperança condicional
Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que
E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)
E [(X − Z )2]
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Propriedade de projeção da esperança condicional
Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que
E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)
E [(X − Z )2]
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Propriedade de projeção da esperança condicional
Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que
E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)
E [(X − Z )2]
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Propriedade de projeção da esperança condicional
Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que
E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)
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Propriedade de projeção da esperança condicional
Seja X é uma váriável aleatória tal que E(X 2) <∞.A esperança condicional de X dado F, E(X |F), é a variávelaleatória em L2(F) que está mais próxima de X no sentindo doquadrado da média.Isto significa que
E [(X − E(X |F))2] = minZ∈L2(F)
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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Martingais.
Propriedades definidorasExemplosA interpretação de um martingal como um jogo não viciado
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Filtração
Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se
Fs ⊂ Ft ; s < t
Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.
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Filtração
Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se
Fs ⊂ Ft ; s < t
Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.
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Filtração
Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se
Fs ⊂ Ft ; s < t
Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.
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Filtração
Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se
Fs ⊂ Ft ; s < t
Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.
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Filtração
Uma coleção Ft , t ≥ 0 de σ-álgebras sobre Ω é chamada deFiltração se
Fs ⊂ Ft ; s < t
Um processo estocástico Y = Yt ; t ≥ 0 é dito adaptado àfiltração (Ft , t ≥ 0 seσ(Yt ) ⊂ Ft para todo t ≥ 0.
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Processos adaptados ao movimento browniano
Seja (Bt ; t ≥ 0) um movimento browniano e (Ft ; t ≥ 0) afiltração natural correspondente. Os processos estocásticos daforma
Xt = f (t ,Bt ), t ≥ 0
onde f é uma função de duas variáveis são adaptados aFt , t ≥ 0
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Processos adaptados ao movimento braowniano
Se um processo estocástico (Yt ; t ≥ 0 é adaptado à filtraçãobrowniana natural (Ft ; t ≥ 0), nós diremos que Y é adaptadoao movimento browniano. Isto significa que Yt é uma função de(Bs, s ≤ t).
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Martingale
O processo estocástico X = (Xt ; t ≥ 0) é um martingale detempo contínuo com respeito à filtração (Ft ; t ≥ 0) se
E(|Xt |) <∞ para todo t ≥ 0X é adaptado a Ft
E(Xt |Fs) = Xs
para todo 0 ≤ s ≤ t
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Martingale
O processo estocástico X = (Xt ; t ≥ 0) é um martingale detempo contínuo com respeito à filtração (Ft ; t ≥ 0) se
E(|Xt |) <∞ para todo t ≥ 0X é adaptado a Ft
E(Xt |Fs) = Xs
para todo 0 ≤ s ≤ t
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Martingale
O processo estocástico X = (Xt ; t ≥ 0) é um martingale detempo contínuo com respeito à filtração (Ft ; t ≥ 0) se
E(|Xt |) <∞ para todo t ≥ 0X é adaptado a Ft
E(Xt |Fs) = Xs
para todo 0 ≤ s ≤ t
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Martingale
O processo estocástico X = (Xt ; t ≥ 0) é um martingale detempo contínuo com respeito à filtração (Ft ; t ≥ 0) se
E(|Xt |) <∞ para todo t ≥ 0X é adaptado a Ft
E(Xt |Fs) = Xs
para todo 0 ≤ s ≤ t
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Esperança de Martingais
E(Xt |Fs) = Xs ⇒
E(E(Xt |Fs)) = E(Xs) ⇒
E(Xt ) = E(Xs)
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Esperança de Martingais
E(Xt |Fs) = Xs ⇒
E(E(Xt |Fs)) = E(Xs) ⇒
E(Xt ) = E(Xs)
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Esperança de Martingais
E(Xt |Fs) = Xs ⇒
E(E(Xt |Fs)) = E(Xs) ⇒
E(Xt ) = E(Xs)
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Esperança de Martingais
E(Xt |Fs) = Xs ⇒
E(E(Xt |Fs)) = E(Xs) ⇒
E(Xt ) = E(Xs)
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Martingale como um jogo não viciado
E(Xt − Xs|Fs) = E(Xt |Fs)− Xs ⇒
Xs − Xs = 0
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Martingale como um jogo não viciado
E(Xt − Xs|Fs) = E(Xt |Fs)− Xs ⇒
Xs − Xs = 0
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Martingale como um jogo não viciado
E(Xt − Xs|Fs) = E(Xt |Fs)− Xs ⇒
Xs − Xs = 0
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
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2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.
A integral de Riemann ordináriaA integral de Riemann-Stieltjes
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As integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes.
A integral de Riemann ordináriaA integral de Riemann-Stieltjes
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Integral de Riemann
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Integral de Riemann-Stieltjes
E(X ) =
∫ ∞−∞
tdFX (t)
E [g(X )] =
∫ ∞−∞
g(t)dFX (t) =
∫ ∞−∞
g(t)dFX
dt(t)dt
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Integral de Riemann-Stieltjes
E(X ) =
∫ ∞−∞
tdFX (t)
E [g(X )] =
∫ ∞−∞
g(t)dFX (t) =
∫ ∞−∞
g(t)dFX
dt(t)dt
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Integral de Riemann-Stieltjes
E(X ) =
∫ ∞−∞
tdFX (t)
E [g(X )] =
∫ ∞−∞
g(t)dFX (t) =
∫ ∞−∞
g(t)dFX
dt(t)dt
H. Dreifus Cálculo Estocástico
Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Integral de Riemann-Stieltjes
E [g(X )] ≈∑
i
g(xi)[FX (ti+1)− FX (ti+1)]
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Integral de Riemann-Stieltjes
E [g(X )] ≈∑
i
g(xi)[FX (ti+1)− FX (ti+1)]
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Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
H. Dreifus Cálculo Estocástico
Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
A integral de Ito.
Um exemplo motivadorA integral estocástica de Ito para processos simplesA integral estocástica geral de Ito
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
A integral de Ito.
Um exemplo motivadorA integral estocástica de Ito para processos simplesA integral estocástica geral de Ito
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
A integral de Ito.
Um exemplo motivadorA integral estocástica de Ito para processos simplesA integral estocástica geral de Ito
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Um exemplo motivador
Sn =n∑
i=1
Bti−1 [Bti − Bti−1 ]
Sn =12
B2t −
12
n∑i=1
(∆iB)2 =12
B2t −
12
Qn(t)
H. Dreifus Cálculo Estocástico
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Um exemplo motivador
Sn =n∑
i=1
Bti−1 [Bti − Bti−1 ]
Sn =12
B2t −
12
n∑i=1
(∆iB)2 =12
B2t −
12
Qn(t)
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Um exemplo motivador
Sn =n∑
i=1
Bti−1 [Bti − Bti−1 ]
Sn =12
B2t −
12
n∑i=1
(∆iB)2 =12
B2t −
12
Qn(t)
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Um exemplo motivador
E [Qn(t)] =n∑
i=1
E [(∆iB)2]
n∑i=1
E [(∆iB)2] =n∑
i=1
(ti − ti−1) = t
var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞
0
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Um exemplo motivador
E [Qn(t)] =n∑
i=1
E [(∆iB)2]
n∑i=1
E [(∆iB)2] =n∑
i=1
(ti − ti−1) = t
var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞
0
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Um exemplo motivador
E [Qn(t)] =n∑
i=1
E [(∆iB)2]
n∑i=1
E [(∆iB)2] =n∑
i=1
(ti − ti−1) = t
var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞
0
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Um exemplo motivador
E [Qn(t)] =n∑
i=1
E [(∆iB)2]
n∑i=1
E [(∆iB)2] =n∑
i=1
(ti − ti−1) = t
var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞
0
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Um exemplo motivador
E [Qn(t)] =n∑
i=1
E [(∆iB)2]
n∑i=1
E [(∆iB)2] =n∑
i=1
(ti − ti−1) = t
var[Qn(t)] = E [(Qn(t)− t)2] −−−→n→∞
0
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
∫ t
0BsdBs =
12
[B2t − t ]
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Integral de Ito
A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t
0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição
τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T
e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes
k−1∑i=1
Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]
e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].
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Integral de Ito
A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t
0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição
τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T
e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes
k−1∑i=1
Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]
e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Integral de Ito
A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t
0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição
τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T
e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes
k−1∑i=1
Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]
e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].
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Integral de Ito
A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t
0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição
τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T
e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes
k−1∑i=1
Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]
e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].
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Integral de Ito
A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t
0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição
τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T
e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes
k−1∑i=1
Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]
e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].
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Integral de Ito
A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t
0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição
τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T
e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes
k−1∑i=1
Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]
e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Integral de Ito
A integral estocástica de Ito, It (C) =∫ t
0 CsdBs, t ∈ [0,T ]constitui um processo estocástico. Para uma dada partição
τn : 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T
e t ∈ [tk−1, tk ], a variável aleatória It (C) está próxima da somade Riemann-Stieltjes
k−1∑i=1
Cti−1 [Bt − Bti−1 ] + Ctk−1 [Btk − Btk−1 ]
e esta aproximação esta mais próxima, no sentido da média doquadrado, a It (C), quanto mais densa for a partição τn de [0,T ].
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Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
Propriedades da Integral de Ito
O processo estocástico∫ t
0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:
E
((∫ t
0Cs(Bs)dBs
)2)=
∫ t
0E(C2
s (Bs))ds
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Propriedades da Integral de Ito
O processo estocástico∫ t
0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:
E
((∫ t
0Cs(Bs)dBs
)2)=
∫ t
0E(C2
s (Bs))ds
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Propriedades da Integral de Ito
O processo estocástico∫ t
0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:
E
((∫ t
0Cs(Bs)dBs
)2)=
∫ t
0E(C2
s (Bs))ds
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Propriedades da Integral de Ito
O processo estocástico∫ t
0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:
E
((∫ t
0Cs(Bs)dBs
)2)=
∫ t
0E(C2
s (Bs))ds
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Propriedades da Integral de Ito
O processo estocástico∫ t
0 C(Bs)dBs, t ∈ [0,T ] é umamartingale com respeito a filtração natural Browniana.A integral estcástica de Ito possui esperança zeroA integral estocástica de Ito satisfaz a seguinte relação deisometria:
E
((∫ t
0Cs(Bs)dBs
)2)=
∫ t
0E(C2
s (Bs))ds
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ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
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4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
O lema de Ito.
A regra da cadeia clássica para a diferenciaçãoUma versão simples do lema de ItoVersões estendidas do lema de ItoA integral de Stratonovich e outras integrais
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O lema de Ito.
A regra da cadeia clássica para a diferenciaçãoUma versão simples do lema de ItoVersões estendidas do lema de ItoA integral de Stratonovich e outras integrais
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O lema de Ito.
A regra da cadeia clássica para a diferenciaçãoUma versão simples do lema de ItoVersões estendidas do lema de ItoA integral de Stratonovich e outras integrais
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As integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
O lema de Ito.
A regra da cadeia clássica para a diferenciaçãoUma versão simples do lema de ItoVersões estendidas do lema de ItoA integral de Stratonovich e outras integrais
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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
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Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
As equações diferenciais estocásticas de Ito.
O que é uma equação diferencial estocástica?Resolvendo EDEs usando o lema de ItoResolvendo equações diferenciais estocásticas de Itoatravés do cálculo de Stratonovich
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As equações diferenciais estocásticas de Ito.
O que é uma equação diferencial estocástica?Resolvendo EDEs usando o lema de ItoResolvendo equações diferenciais estocásticas de Itoatravés do cálculo de Stratonovich
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As equações diferenciais estocásticas de Ito.
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2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
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A equação diferencial linear geral.
Equações lineares com ruído aditivoEquações homogêneas com ruído multiplicativoO caso geralAs funções de esperança e variância da solução
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Equações lineares com ruído aditivoEquações homogêneas com ruído multiplicativoO caso geralAs funções de esperança e variância da solução
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A equação diferencial linear geral.
Equações lineares com ruído aditivoEquações homogêneas com ruído multiplicativoO caso geralAs funções de esperança e variância da solução
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A equação diferencial linear geral.
Equações lineares com ruído aditivoEquações homogêneas com ruído multiplicativoO caso geralAs funções de esperança e variância da solução
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3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
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A aproximação de EulerA aproximação de Milstein
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A aproximação de EulerA aproximação de Milstein
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A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.
Uma breve excursão através das finançasO que é uma opção?Uma formulação matemática do problema de apreçamentode opçõesA fórmula de Black e Scholes
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A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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Uma breve excursão através das finançasO que é uma opção?Uma formulação matemática do problema de apreçamentode opçõesA fórmula de Black e Scholes
H. Dreifus Cálculo Estocástico
Probabilidade, Processo Estocástico, MartingaleA integral estocástica
Equações diferenciais estocásticas (EDE)Aplicações do cálculo estocástico em finanças
A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
A fórmula de Black-Scholes do apreçamento deopções.
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Cálculo Estocástico1 Probabilidade, Processo Estocástico, Martingale
ProbabilidadeProcessos EstocásticosMovimento BrownianoEsperança CondicionalMartingais
2 A integral estocásticaAs integrais de Riemann e de Riemann-StieltjesA integral de ItoO lema de Ito
3 Equações diferenciais estocásticas (EDE)Equações diferenciais determinísticasAs equações diferenciais estocásticas de ItoA equação diferencial linear geralSolução numérica
4 Aplicações do cálculo estocástico em finançasA fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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A fórmula de Black-Scholes do apreçamento de opçõesUma técnica útil: a mudança de medida
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O que é a mudança da medida subjacenteUma interpretação da fórmula de Black-Scholes pelamudança de medida
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