Cálculo 4 Aula 01 - WordPress.com · Teoria Definição Se F for um campo vetorial contínuo com...
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Cálculo 4
Aula 13
Prof. Gabriel Bádue
O Teorema Fundamental das Integrais de Linha
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Motivação
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Teoria
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TeoriaDefiniçãoUm campo vetorial F é chamado campo vetorial conservativo se for igual aogradiente de uma função escalar, ou seja, se existir uma função f tal que F = f .Nessa situação, f é denominada função potencial de F.
O campo gravitacional 𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧
é conservativo pois 𝛻𝑓 = 𝐅, sendo
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TeoriaDefiniçãoSe F for um campo vetorial contínuo com domínio D, dizemos que a integral de linhaC F dr é independente do caminho se C1
F dr = C2F dr para quaisquer dois
caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais.
Então, do Teorema Fundamental,
C1f dr = C2
f dr
sendo 𝐶1 e 𝐶2 curvas suaves por partes com mesmo ponto inicial 𝐴 e mesmo pontofinal 𝐵. Assim,
as integrais de linha de campos vetoriais conservativos sãoindependentes do caminho
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TeoriaSeja 𝐶 uma curva fechada e C F dr independente do caminho,
C F dr = C1F dr + C2
F dr = C1F dr – –C2
F dr = 0
Agora, considerando que C F dr = 0 e que 𝐶 uma curva fechada, ao definir dois caminhos 𝐶1 e 𝐶2 de 𝐴 em 𝐵, 𝐶 será constituída por 𝐶1 e −𝐶2, e
0 = C F dr = C1F dr + –C2
F dr = C1F dr – C2
F dr
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TeoriaDefiniçãoUma região simplesmente conexa no plano é uma região conexa por caminhos D tal que toda curva fechada simples em D inclui apenas os pontos que estão em D.
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Exemplo 1
Determine se 𝐅 é um campo conservativo. Se for, determine uma função 𝑓
tal que 𝐅 = 𝛻𝑓.
a) 𝐅 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 3𝑦 𝐢 + −3𝑥 + 4𝑦 − 8 𝐣
b) 𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦𝐢 + 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦𝐣
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Exemplo 2
Determine uma função 𝑓 tal que 𝐅 = 𝛻𝑓 e calcule 𝐶 𝐅 ∙ 𝑑𝐫, sendo
𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝐢 + 𝑦2𝐣
e 𝐶 é o arco de parábola 𝑦 = 2𝑥2 de −1,2 a (2,8).