Clases 05 Logaritmo y Exponencial
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Universidad Viña del Mar Departamento de Ciencias Básicas
Matemática I Semestre Otoño2011
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LOGARITMOS Logaritmo de un número
A partir de la expresión xb y= , podemos plantear distintas ecuaciones dependiendo de
cuál de sus tres elementos es el desconocido. 1) Si desconocemos el valor de la potencia (y)
Ejemplo: 32 8y y= ⇔ =
2) Si desconocemos la base de la potencia (b)
Ejemplo: 3 327 27 3b b= ⇔ = =
3) Si desconocemos el valor del exponente (x)
Ejemplo: 32 8 2 2
3
x x
x
= ⇔ =⇒ =
Para este caso definiremos un elemento llamado logaritmo.
Definición: Decimos que y es el logaritmo en base b si y sólo si xb y= , lo escribimos
logb y x= ,
es decir, calcular el logaritmo es encontrar el valor del exponente de una potencia.
Ejemplo: en el ejemplo anterior tenemos: ;82 =x para poder calcular el valor de x nos
queda:
38log2 =
Observaciones:
1. Solamente se puede calcular logaritmo de números reales positivos, es decir 0y >
2. La base (b) solamente puede tomar valores mayores que cero y distintos de 1, es decir 0 1b b> ∧ ≠
3. Si la base es 10 se escribe. 10log logy x y x= ⇔ =
4. Si la base es 2,7128........e = , entonces el sistema se denomina de logaritmos
naturales y se acostumbra a denotar log lney x y x= ⇔ =
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Propiedades de Logaritmos:
1. MbzM zb =⇔=)(log
2. )(log)(log)(log NMNM bbb +=⋅
3. )(log)(loglog NMN
Mbbb −=
4. )(log)(log MpM bp
b ⋅=
5. 1)(log =bb
6. 0)1(log =b
7. b
xx
a
ab log
loglog = (Cambio de base)
Ejemplos:
1. Expresar los siguientes logaritmos en notación exponencial. 3
4
3
1
8
) log 64 3 4 64
1) log 512 3 512
8
a
b−
= ⇔ =
= − ⇔ =
2. Encontrar el valor de los siguientes logaritmos
7
32
2 34
) log 49 : 2
9) log : 2
4
3) log 8 : 4 8 2 2 2 3
2x x
a x R x
b x R x
c x R x x
= =
= = −
= = ⇔ = ⇒ = ⇒ =
3. Encuentre el valor c en cada uno de los siguientes problemas:
a) 38log =c b) 2
1log4
−=C c) c=7log2 55
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4. Escriba cada uno de los siguientes como único logaritmo:
a) 7log25log3 22 − b) )3(log2log4)5(log3
2101010 −−++ xxx
5. Suponga que hay 20 gramos de radio disponible inicialmente. Después de t años la
cantidad restante es dada por : 0,00041820 tr e− ⋅=
a) Encuentre la cantidad de radio que queda después de 100 años. b) ¿Cuántos años deben haber transcurrido para que la cantidad de radio sea de
18,23 g?
Graficas de Exponenciales y Logaritmos
A partir de ahora llamaremos Exponenciales a expresiones de la forma xay = ,
con .10 ≠> aya :
Grafica de Exponenciales:
10; <<= asiay x 1; >= asiay x
1. Trace las siguientes gráficas:
42 3
2 4 −− =
== xx
x yyy
2. Supóngase que la población de cierta ciudad cumple la fórmula
ttp )1016(4600)( = , donde p(t) es la población t años después de 1980. ¿Cuál
será la población en 2020?, ¿cuál en el 2080?.
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Grafica de Logaritmos:
NaxN xa =⇔=log , a > 1; N > 0
3. Grafique las siguientes funciones logarítmicas:
a) ( ) )log(xxf = b) ( ) )ln(xxf = c) ( ) )(log2
1 xxf =
4. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) 2 13 4x x+= b) 3 3log (7 ) log (1 ) 1x x− − − =
c) 2)3(log)13(log 1010 =−−− xx d) (2 1)27 3x+ =
e) 3)2(loglog 22 =++ xx ; f) 032
2log4 =
+−
x
x