Demanda bien 2 Demanda bien 1

Algebra del equilibrio

Bien 1 Denimos las funciones de demanda Para cada bien (1,2) la demanda se compone por la realizada por cada agente (A,B); dados los precios p1 y p2.

En equilibrio dados los precios p* para cada bien; y las dotaciones iniciales de cada uno de ellos (W) tenemos:

EQUILIBRIO

Expresada en t rminos de demandas netas

3 + 1 = 1 + 3

(3 - 1) + (1 3) = 0

La canRdad neta que decide demandar A, debe ser igual a la canRdad que decide ofrecer B.

Algebra del equilibrio

Funcin de exceso de demanda agregada.

La funcin e mide la demanda neta, o exceso de demanda del agente A, es decir, la diferencia entre lo que desea consumir del bien 1, respecto a lo que inicialmente Rene.

(3 - 1)

(1 3)

(3 - 1) + (1 3)

3 + 1 - 1 - 3

Algebra del equilibrio

Funcin de exceso de demanda agregada.

(3 - 1)

(1 3)

(3 - 1) + (1 3)

3 + 1 - 1 - 3

1 (1, 2)=0 2 (1, 2)=0

Algebra del equilibrio

En equilibrio 1, 2 La ley de Walras arma:

El valor del exceso de demanda agregada es idnRcamente igual a cero, lo que signica que es cero cualquiera que sea el precio que se elija y no solo a los precios de equilibrio

Demostracin (Agente A), considerando las restricciones

Algebra del equilibrio

Demostracin (Agente B), considerando las restricciones

Sumando las ecuaciones de A y B y uRlizando la denicin de demanda agregada :

Dado que el valor del exceso de demanda de cada agente es cero, el valor de la suma de los excesos de demanda de los dos debe ser cero.

EJERCICIO

Calcular el vector de precios de equilibrio y la asignacin compeRRva

Obtener la expresin de la curva de contrato

Es la dotacin inicial una asignacin eciente? Se encuentra en la curva de contrato?

Represente grcamente el equilibrio

Compruebe que la asignacin de equilibrio compeRRvo cumple con la ley de Walras.

Datos

I CALCULAR EL VECTOR PRECIOS DE EQUILIBRIO Y LA ASIGNACIN COMPETITIVA

I.1 Maximizar las funciones de uClidad para cada sujeto

SUJETO A

I.2 Recordar que la condicin de equilibrio est dada por:

1.3 SusCtuyendo en la condicin de equilibrio las derivadas correspondientes a la funcin UA

I CALCULAR EL VECTOR PRECIOS DE EQUILIBRIO Y LA ASIGNACIN COMPETITIVA

1.4 SusCtuyendo en la restriccin presupuestaria para calcular XA1 y obtener funciones de demanda

I CALCULAR EL VECTOR PRECIOS DE EQUILIBRIO Y LA ASIGNACIN COMPETITIVA

Despejando XA1

Funcin de demanda

I CALCULAR EL VECTOR PRECIOS DE EQUILIBRIO Y LA ASIGNACIN COMPETITIVA

Ahora se obRene la funcin de demanda de XA1 Recordando:

SUJETO B

I CALCULAR EL VECTOR PRECIOS DE EQUILIBRIO Y LA ASIGNACIN COMPETITIVA

I.1.bis Maximizar las funciones de uClidad para cada sujeto

I.2.bis Recordar que la condicin de equilibrio est dada por:

1.3.bis SusCtuyendo en la condicin de equilibrio las derivadas correspondientes a la funcin UB

I CALCULAR EL VECTOR PRECIOS DE EQUILIBRIO Y LA ASIGNACIN COMPETITIVA

1.4.bis SusCtuyendo en la restriccin presupuestaria para calcular XB1 y obtener las funciones de demanda

I CALCULAR EL VECTOR PRECIOS DE EQUILIBRIO Y LA ASIGNACIN COMPETITIVA

Despejando XB1

Funcin de demanda

Para la funcin de demanda XB2

Funcin de demanda

I CALCULAR EL VECTOR PRECIOS DE EQUILIBRIO Y LA ASIGNACIN COMPETITIVA

1.5 Equilibrio compeCCvo

Se calculan las canRdades de equilibrio. Recordemos que el exceso de demanda es 0 Para el mercado del bien 1, se verica que:

Para resolver la ecuacin se toma un bien como numerario. V.g. P1=1

450

P2 = (450-200)/233 = (250/233.33)

I CALCULAR EL VECTOR PRECIOS DE EQUILIBRIO Y LA ASIGNACIN COMPETITIVA

1.6 Calcular las demandas de cada agente para cada bien

II Obtener la expresin de la curva de contrato

Recordemos que la curva de contrato es el conjunto de todos los puntos ecientes en el senRdo de Pareto.

Considerando las caractersRcas de los puntos de la curva, estos debern desarrollarse como:

En equilibrio la oferta ha de ser igual a la demanda. En otras palabras, la demanda de cada producto deber ser igual a las dotaciones iniciales

II Obtener la expresin de la curva de contrato

SusRtuyendo en la condicin de equilibrio

III Es la dotacin inicial una asignacin eciente? Se encuentra en la curva de contrato? SusRtuyendo en la curva de contrato

IV Representar grcamente el equilibrio SusRtuyendo en la curva de contrato

V Compruebe que la asignacin de equilibrio compeRRvo cumple con la ley del Walras

De acuerdo a la ley de Walras el valor del exceso de demanda ha de ser idnRcamente igual a cero, para cualquier conjunto de precios.

Calculando los excesos de demanda para el nivel de precios de equilibrio

Calculando los excesos de demanda agregada

V Compruebe que la asignacin de equilibrio compeRRvo cumple con la ley del Walras

Si el exceso de demanda agregada es 0, tambin lo ser su suma mulRplicada por los precios de equilibrio

Equilibrio con funciones de exceso de demanda

Considere una economa de intercambio puro con dos consumidores, A y B, y dos bienes , 1 y 2. Las funciones de uRlidad y las dotaciones iniciales son:

Determine: a) Las funciones de exceso de demanda individuales para cada bien. b) La relacin de intercambio c) Las canRdades intercambiadas por los individuos.

Equilibrio con funciones de exceso de demanda

Funcin de exceso de demanda del individuo A: Construyendo la restriccin presupuestaria del individuo en referencia, a travs de los excesos de demanda tenemos:

Las funciones de exceso de demanda individuales para cada bien:

Dividiendo la expresin anterior sobre p2, y deniendo p=p1/p2 llegamos a:

Tomando la funcin de uRlidad denida, y re expresndola en trminos de exceso de demanda ms dotaciones iniciales, tenemos:

Equilibrio con funciones de exceso de demanda

Maximizando la funcin de uRlidad sujeta a la restriccin presupuestaria, tenemos:

Resolviendo por Lagrange se Rene:

Calculando las primeras derivadas parciales respecto a Eai y el lagrangiano se obRene:

Ejercicio 2

Retomando la tercer derivada parcial, llegamos a:

Despejando lambda de las primeras dos derivadas parciales, igualando, y despejando p, llegamos a:

SusRtuyendo EA2 en la expresin de p, para dejar a la expresin solamente en trminos de EA1, tenemos

Despejando para EA1, llegamos a:

Ejercicio 2

Denido EA1, y retomando la expresin: EA2= -pEA1, obtenemos:

Por denicin la restriccin presupuestaria se saRsface para cualquier conjunto de precios. El valor neto del exceso de deman- da del consumidor debe ser igual a cero.

Expresado por p

Suponiendo que el precio relaRvo es 1,

Lo anterior indica que el sujeto A, est dispuesto a renunciar a 25 unidades del bien 1 (exceso de demanda negaRvo), y ad- quirir 25 unidades del bien 2 (exceso de demanda posiRvo)

Ejercicio 2 A este nivel de precios p=1, se cumple que el valor de lo comprado ha de ser igual al valor de lo vendido.

Comprobando que un aumento del precio relaRvo del bien 1, lleva aparejada una disminucin de su consumo, y un aumento del bien 2.

A esta nueva relacin p, tambin se cumple con el principio de que el valor neto del exceso de demanda del consumidor es igual a cero.

Ejercicio 2 Funcin de exceso de demanda del individuo B La restriccin presupuestaria estara dada por:

Denida la restriccin por los precios relaRvos p, tenemos:

Expresada la funcin de uRlidad del sujeto en trminos de demandas netas y dotaciones iniciales se Rene:

Planteando el problema de maximizacin se Rene:

Deniendo el lagrangiano

Ejercicio 2 EsRmando las primeras derivadas parciales e igualando a cero se Rene:

De las primeras dos derivadas, despejando lambda, igualando y despejando p, tenemos:

A parRr de la derivada de lambda:

Ejercicio 2 SusRtuyendo en p, por EB2

Despejando para EB1:

Ahora se obRene EB2

Ejercicio 2

Dado que solo se Renen dos bienes, existen solamente dos mercados, y dos excesos de demanda. El sistema a resolver est formado por dos ecuaciones y dos condiciones de equilibrio El exceso de demanda agregada de cada bien ser:

La relacin de intercambio

Cualquiera de las dos ecuaciones es suciente para la determinacin de la relacin de intercambio

En equilibrio el individuo A/B intercambiar 1 unidades del bien 2 por 0.71 unidades del bien 1; y el individuo A/B 1 unidades Del bien 2 por 1.4 unidades del bien 1.

Ejercicio 2

Las canCdades intercambiadas por los individuos

SusRtuyendo la relacin de precios de equilibrio en las funciones de exceso de demanda

El consumidor 1 da 25 unidades del bien 1 al individuo 2 a cambio de 35 unidades del bien 2. Como se observa el precio rela Rvo de equilibrio compeRRvo, los excesos de demanda para cada bien por parte de cada consumidor son de igual magnitud, pero de signos contrarios, con lo cual, el exceso de demanda agregada de cada bien es cero. Los dos mercados estn en equilibrio y los dos sujetos estn maximizando su uRlidad: es una situacin de equilibrio general.

Ejercicio 3

Economa de intercambio con produccin.

Considere una economa compeRRva, en la cual existe produccin. Hay una sola empresa, que produce el bien 2, usando como insumo el bien 3. La funcin de produccin es: Un supuesto adicional es que los benecios se distribuyen por partes iguales entre dos consumidores: A y B. La funciones de uRlidad y dotaciones iniciales son:

Calcule el equilibrio compeRRvo.

Ejercicio 3

Economa de intercambio con produccin.

Empresa Planteando el problema de maximizacin se Rene: Se calculan las condiciones de primer orden, que arroja la demanda del insumo: Calculada la demanda del insumo , y susRtuyendo se obRene la oferta de la empresa:

CrRca a los modelos

A pesar de los miserables fracasos de los experimentos radicales de polRca mediante diversos programas de ajuste estructural en los pases en desarrollo, y programas de transicin de Big-Bang,.,los economistas ortodoxos se han negado a sacar la conclusin ms evidente, a saber, que las polRcas ortodoxas, y las teoras que las sustentan, son defectuosas. Chang, 2005