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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

HUANCAYO 2015 I

MEDIDAS DE DISPERSION (C)

Ing. Eli Teobaldo Caro Meza

CURSO: ESTADISTICA


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PROPIEDADES DE LA VARIANZA

1) La varianza es un numero real nonegativo y viene expresado enmediciones cuadráticas. Mientras que ladesviación estándar es también un

numero real no negativa que vieneexpresado en las mismas unidades enlas que se observan los datos.

2) ado la media !x) y la varianza !s2

) de ndatos de una variable "# se tiene$

)(*2

2

1

2−

=

+=∑ x sn x nn

i

i


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%. &i la variable cuantitativa " se trans'orma en ( a" *b !esto es cada uno de los n valores x i se trans'orma

en y i ax i * b) entonces# la varianza de " y la varianzade ( denotados por +ar!")# +ar!() respectivamente#veri'ican la siguiente relación$

Var(Y) = a 2 .Var(X),onsecuentemente$

DesvEstdr(Y) = |a|.DesvEstdr(X),omo casos particulares se tiene$

&i ( b# entonces# +ar!b) -. s decir# si los n datos de unavariable son iguales a una constante# entonces su varianza es

a cero.

&i ( " * b# entonces# +ar!() +ar!"). s decir# si sumamos unaconstante a cada valor de la variable# la varianza y enconsecuencia la desviación estándar# no cambian.

&i ( a"# entonces# +ar!() a 2 .+ar!"). s decir si multiplicamos por una constante a a cada valor de la variable# la varianza delos nuevos valores es igual que la varianza de los antiguosvalores multiplicados por a 2 .


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/) ados 0 series de datos con tama os#

medias y varianzas respectivas$n 1 # x 1 # #n 2 # x 2 # #

#n 0 # x 0 # #

entonces# la varianza total # de los n

n 1 * n 2 * * n 0 datos es el numero$

21n

s

n

xn

xn

x sn

s

k

i

ii

nn

k

i

ini

n

i ∑∑=

−

−=

−

=−+

= 1-

21

22

2*

x donde, ,)().(

22n

s

2k n

s


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3) esigualdad de ,4ebys4ev$,ualquiera sea la 'orma de la distribución!simétrica o asimétrica) de los datosobservados de una variable "# el intervalo 5x 607sn # x * 07s n 8# donde 091# contiene por lomenos$

l porcenta:e de datos que se ubican 'uera delintervalo es menor que$

.

datoslosdeciento por1

1 2k −

%1001

2 x

k


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INDICE DE ASIMETRIA• &e dice que una distribución de 'recuencias

variable discreta o una distribución porintervalos es s !"tr #a # si son iguales las'recuencias de sus valores equidistantes del

intervalo central.• n una distribución simétrica coinciden en sucentro la media# la mediana y la moda.

• n contraposición# si estos % promedios nocoinciden# entonces# la distribución tiene 'ormaasimétrica con #$%a $ ses&$ a la derec4a!positiva) o la izquierda !negativa).


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• ,; ? ; => =, @&=M ?A=@ B @A&;>$ &irve para medir la

asimetrCa de la distribución de los datos#este Cndice es un numero real.

,omo en distribución de marcadaasimetrCa se veri'ica$ x 6 Mo ≅ %.!x 6 Me)#entonces otra 'orma de expresar el Cndice

de asimetrCa es$

s

Mo x A

S

−=

−

s

Me x A

S

)(3 −=

−


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I'ter reta# ' de %a !ed da de as !etr*a A s +

• &i @s - # la distribución de los datos essimétrica# coinciden los tres promedios$ x Me

Mo.• &i @s D - # la distribución es asimétrica. s

asimétrica positiva o sesgada o de cola a laderec4a# si @ s 9 - # !donde Mo E Me E x). (# esasimétrica negativa o sesgada o de cola a laizquierda# si @ s E - !donde x E Me E Mo)

>;?@$ !;:ivas asimétricas y simétricas) Las o:ivaso curvas de 'recuencias acumuladas# presentan'ormas particulares segFn el tipo de asimetrCa.


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C,RTOSIS • La curtosis es la propiedad de una distribución

de 'recuencias por la cual se compara ladispersión de los datos observados cercanos alvalor central con la dispersión de los datoscercanos a ambos extremos de la distribución.&e aplica si la distribución es simétrica.

• La curtosis se mide en comparación a la curvasimétrica normal o mesocurtica.

• Gna curva simétrica con curtosis mayor que dela normal se denomina curva leptocurtica.

• Gna curva simétrica con curtosis menor que dela normal es denominada platicurtica.


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C,RTOSIS -ASADA EN PERCENTILES+

• sta medida de curtosis es muy poco usada porser muy inestable. &in embargo describe muybien el concepto.

• La curtosis utilizando percentiles se de'ine por el

cociente$

INTERPRETACION+• &i la distribución es normal# H tiende a cero. &i H

tiende a -#3 es leptocFrtica# y si H tiende a I-#3es platicFrtica.

5,01090

2575 −−

−=

P P

P P K


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E ERCICIO /+n el mes de enero el sueldo promedio de los

traba:adores del sector industrial era de J2--. Bara elmes de :ulio se considera un aumento del %-K al sueldodel mes de enero mas un adicional de J3-. &i elcoe'iciente de variación en enero era de -#23# se

puede decir que la distribución de sueldos en :ulio es

mas 4omogénea.E ERCICIO 2+

&i los salarios no agrupados de 12- obreros tienen unamedia de J%-- y una desviación estándar de J%- a) ,uántos obreros por lo menos tienen salarios comprendidos en

el intervalo 5J2/-# J% -8Nb) etermine el intervalo que contiene al menos el OO#OOPK de los

salarios.c) &i el salario mCnimo es J21-# en que porcenta:e se puede a'irmar

que los salarios son superiores a J%P-N


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