MATERIA: ALGEBRA

TEMA:

LOGICA MATEMÁTICA (proposicional)

OPERADORES: CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN NEGACIÓN CONDICIONAL BICONDICONAL

Unidad de aprendizaje 1LOGICA MATEMÁTICA

2x+3(4x-5)

Introducción a la lógica matemáticaLa verdad y la mentira, palabras opuestas que utilizamos a diario para tomar decisiones, sean estas correctas o no. Debemos valorar cada cosa; pero es razonable que no todas las expresiones se pueden valorar, o...¿Alguien se atrevería a contradecir a quien pregunte por la hora?, por supuesto que no, y aunque a usted no le guste algún color ¿significa que por ello a nadie mas le gustará?.¡Claro que no! En este caso podemos decir que es una situación subjetiva o dependiente del individuo que lo exprese. También hay expresiones que para la mayoría de las personas tiene un valor único, por ejemplo .la rosa es una flor, en algunas tendremos que ser bien explícitos para evitar malos entendidos, por ejemplo: «Jesús tiene cinco letras". ¿a quien nos referimos al hombre llamado Jesús ó a la palabra Jesús?.

Por lo tanto una proposición es una afirmación de la cual se puede afirmar que es cierta o que es falsa. Para expresarnos con claridad utilizamos conjuntos de palabras con sentido «lógico», sin embargo, ¿qué es en realidad lógica? Cuando escuchamos expresiones como:

Su respuesta fue lógicaEs ilógico pensar que no lo notaráLógicamente...

En realidad estamos expresando lo que la mayoría de las personas haría o escogería como correcto, o dicho de otra forma, el sentido común.¿será cierto que el sentido común es el menos común de los sentidos?

Proposiciones

La lógica es toda una disciplina en la que las reflexiones y el razonamiento son fundamentales. Es estudiada también por la filosofía, pero, aquí nos referiremos por lógica a la Lógica matemática. El elemento básico sobre el que se desarrolla toda esta teoría se llama proposición.

De todo lo anterior una proposición es una afirmación con sentido completo de la cual se puede afirmar que es cierta o que es falsa.

Ejemplos de proposiciones1. La sal es un compuesto químico.

2. 10 < 14

3. 13 es un número impar

4. El sol sale de noche

5. 45 + 5 = 30

6. ¿De que color es la pared?

Las afirmaciones 1, 2, 3, 4 y 5. son proposiciones aunque no todas son verdaderas siguen siendo proposiciones.

A esta propiedad de las proposiciones de ser verdadera o falsa se le llama valor de verdad.

Las proposiciones se representan con letras minúsculas, usualmente p, q, r, s, t,..

Ejemplos que no son proposiciones.

Existen casos donde el sujeto del que se habla en la proposición no está definido o no se conoce, por lo que tiene una incógnita.

A estos casos les llamamos frases proposicionales. (Suele llamarles proposiciones abiertas), por ejemplo:

1. x + 12 = 20

2. Alguien es un ingeniero famoso

3. Mi nombre es "fulano de tal"

4. Tengo x dinero en el banco

Clases de proposiciones

1. Proposiciones simples o atómicas:

Son aquellas que no se pueden fragmentar en proposiciones menores. ejemplos

a) La luna es un satélite natural

b) Los dígitos son nueve

c) 4 es un número par

d) Todos los números impares son primos

e) Los pingüinos son aves

2. Proposiciones compuestas o moleculares:

«Las proposiciones simples se pueden conectar, y construir proposiciones llamadas compuestas». Ésta operación puede hacer que cambie su valor de verdad. Ejemplo: Las rosas son rojas y las violetas azules, es un

enunciado compuesto por los subenunciados «Las rosas son rojas», «Las violetas son azules».

El es inteligente o estudia todas las noches es, implícitamente, un enunciado compuesto por los subenunciados «El es inteligente» y «estudia todas las noches».

La propiedad fundamental de un enunciado compuesto es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de sus subenunciados junto con la manera como están conectados para formar el enunciado compuesto.

Además una proposición puede tomar el valor de 1 si es verdadera, 0 si es falsa, esto también se espera que ocurra en las proposiciones compuestas, por esto es necesario una tabla que de la oportunidad de verificar todas las posibles combinaciones, la llamaremos Tablas de verdad

Proposiciones conjuntivas : p ^ q

Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra y "para formar un enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciados originales.

Simbólicamente, p ^ q denota la conjunción de los enunciados p y q, que se lee "p y q".

«El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman sean verdaderas»

Ejemplos de proposiciones compuestas

1. p : El dos es un número par ( V )

2. q : Siete es un número primo ( V )

3. r : El ocho es un número primo ( F )

así que :

p ^ q : El dos es un número par y siete es un número primo ( V )

En caso de que una de las dos sea falsa entonces toda la proposición conjuntiva lo será.

r ^ q : El ocho es un número primo y siete es un número primo ( F )

La tabla de verdad del enunciado compuesto

p ^ q está dada por la siguiente tabla:

Telmex ofrece empleo en una sucursal de Puebla México; pero la compañía exige que el aspirante:p: tenga por lo menos 18 años de edad.q: haya terminado el bachillerato

Proposiciones disyuntivas, p v qDos enunciados se combinan con la palabra «o» para formar un enunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p v q denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee "p o q".

Las expresiones siguientes:

“Pedro vendrá el lunes o el martes”, “O bien me

quedo en casa o bien voy al cine”, “Tal vez escuche esa canción o tal vez me vaya a pasear al río , las simbolizamos con p q .∨

.

El valor de verdad de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman no sean falsas.La tabla de verdad del enunciado compuesto p v q está dada por la siguiente tabla:

Existen dos tablas de verdad para una disyunción, la más usual es la inclusiva, en la cual basta que una proposición sea verdadera para que p o q lo sea, como se observa en la tabla anterior.

El disyuntor es aquella conectiva que sólo es falsasi las dos proposiciones queune son ambas falsas, yverdadera en los demás casos.

Proposiciones negativas: ~p

Aunque no es un conectivo lógico, genera nuevas proposiciones con solo cambiarle el valor de verdad y se simboliza anteponiendo «~» a la letra de la proposición:

Ejemplos:

p : todo número impar es primo

~p : no todo número impar es primo

q : 9 es menor que 6

~q : 9 no es menor que 6

La tabla de verdad de la negación de p :

~ p está dada por la siguiente tabla

La tabla expresa el hecho que si p es verdadera, entonces ~p es falsa y si p es falsa, entonces ~p es verdadera.

Ejemplos de negación.

Las expresiones siguientes:

P: No podremos ir de excursión a la Sierra Negra”.

P: Pedro ni siquiera me escuchó”.

Las simbolizamos como:

~ p , o en su defecto como ¬ p.

Conectivo negación: ⌐ o ~

El negador es aquella conectiva que al aplicarse a una proposición

cualquiera, sea simple o compleja, la convierte en falsa si es verdadera y en verdadera si es falsa.

Proposiciones condicionales, p → q

Las expresiones:

“Si llueve, las calles se mojan”

“Si vienes mañana, iremos a casa de Luis”

“Si supieras lo que me ha dicho Pedro quedarías perplejo”.

Las simbolizamos como ‘p → q’.

Proposiciones condicionales, p → q

Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo → (entonces), se forma una proposición que solo es falsa si la primera es verdadera y la segunda es falsa (solo en este orden). Ejemplo:

Shakira dice «si el clima es agradable p, entonces iré a la playa q.

¿ Cuando Shakira no cumple su palabra?

La tabla de la verdad expresa el hecho de que la proposición condicional:

«si p entonces q» es falsa solo cuando p es verdadera y q es falsa, si ocurre lo contrario, es verdadera.

Analiza la siguiente tabla.

Tabla de proposición condicional.

Proposiciones disyuntivas exclusivas p ↔ q (Equivalencia o bicondicional).

Decimos que la proposición p es equivalente con la proposición q (o que “p si y sólo si q”), y escribimos p ↔ q, cuando basta con conocer el valor de verdad de una para saber el valor de verdad de la otra ya que éste siempre es el mismo. Por ejemplo:

“el paralelogramo dibujado en la pared tiene todos sus ángulos iguales”

es equivalente con la proposición

“las diagonales del paralelogramo dibujado en la pared miden lo mismo”. O bien ambas son verdaderas o bien ambas son falsas.

Paralelogramos:

EJEMPLO 2:

« Si Belinda es mujer, entonces Belinda es del sexo femenino y si Belinda es del sexo femenino, entonces Belinda es mujer ».

En esta situación la condicional se emplea dos veces, por ello tales proposiciones reciben en nombre de BICONDICIONALES y se simbolizan con (p↔q), cuya lectura es «p si y solo si q» para determinar su valor de verdad es empleada la siguiente tabla

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

p: el paralelogramo dibujado en la pared tiene todos sus ángulos iguales.

q: las diagonales del paralelogramo dibujado en la pared miden lo mismo.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN E INDETERMINACIÓN

Al hacer la tabla de verdad de cualquier fórmula nos podemos encontrar con tres casos:que la tabla de verdad de la fórmula

sólo tenga: V ó 1.que sólo tenga: F ó 0que tenga: V y 0, ó 1 y 0.

Definición de Tautología.

TAUTOLOGÍA:

Es una fórmula siempre válida, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran. Es decir, es una fórmula cuya tabla de verdad final sólo tiene verdaderos o unos ( V ) o ( 1 ).

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN E INDETERMINACIÓN

CONTRADICCIÓN: Es una fórmula no válida nunca, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran. Es decir, es una fórmula cuya tabla de verdad final sólo tiene falsos o ceros ( V ) ó ( 0 ).

INDETERMINACIÓN O CONTINGENCIA:

Es una fórmula que puede ser válida o no, en función de los valores de verdad de las proposiciones que la integran. Es decir, es una fórmula cuya tabla de verdad final tiene unos ( 1 ) y ceros ( 0 ) no importa en qué proporción.

Los siguientes enunciados son ejemplos de proposiciones

• Ricardo Arjona es un artista del género masculino.

• Tres es impar y menor que siete.

Los siguientes enunciados son ejemplos de no proposiciones

• Cierra la puerta• ¡Hola amor!• ¿Que hora es?

Las siguientes son proposiciones Simples o Atómicas:

• El mini cooper es muy pequeño.• Alicia es una niña linda.• El perro de Juan corre muy rápido.

Ejemplos de proposiciones compuestas o complejas

• Alicia es una niña muy linda y estudia matemáticas.

• El perro de Juan corre muy rápido y ladra fuerte.

• El mini cooper es muy pequeño y atractivo por su diseño.

EJEMPLOS DE NEGACIÓN DE LA PROPOSICIÓN:

1. Todos los animales domésticos son mamíferos.

2. Todos los estudiantes reprobaron el curso.

3. Dos es mayor que tres.

4. No todos los animales domésticos son mamíferos.

5. Ningún estudiante reprobó el curso.

6. No es cierto que dos sea mayor que tres.

¿CÓMO FORMALIZAR EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL CUALQUIER EXPRESIÓN DEL LENGUAJE NATURAL?

Formalizar una expresión del lenguaje natural consiste en destacar la « forma »

en que se relacionan las proposiciones de esa expresión, prescindiendo del contenido o significado de éstas. Dicho de otro modo: consiste en “traducir” al lenguaje artificial de la lógica las expresiones del lenguaje natural.

Ejemplos:

Lenguaje natural a lenguaje proposicional.

• La comida no le supo bien: ¬ p• Mañana es sábado y nos iremos a la playa: p q∧• Aunque tú no me quieras, yo te amo: ¬ p q∧• O bien te lo comes o no verás la tele: p ¬ q∨• O lo recoges todo o no vas de excursión y no te regalo el

vestido: p ( ¬ q ¬ r )∨ ∧• Si vienes, no te olvides de la casa : p → ¬ q• Si no estuvo aquí el asesino, entonces no llegó a verle o lo

supo demasiado tarde: ¬ p → ( ¬ q r )∨• No por mucho madrugar amanece más temprano:

¬ ( p→ q )

Algunos ejemplos más: -Sólo en el caso de que no sepas hacer el dibujo y haya dos preguntas en la 2ª casilla del examen, deberás contestar únicamente a la primera de ellas: ( ¬ p q ) ↔ r∧

- Si Pedro sabe hablar inglés, entonces no habla francés, aunque si no supiese hablar inglés, tampoco hablaría francés: ( p → ¬ q ) ∧( ¬ p → ¬ q )

- Si llegas después de las 10, te encontrarás con la puerta cerrada y no podrás cenar: p → ( q ¬ r )∧

- Juan abrirá la puerta y saldrá a la calle, sólo en el caso de que, si viene María con el coche, no venga con ella Pedro:

( p q ) ↔ ( r → ¬ s )∧

- No es verdad que si Antonio estudia, entonces María no trabaje: ¬ ( p → ¬ q )

Seguimos con más ejemplo:- Sólo si tú no lo has matado, te dejaremos libre:

¬ p ↔ q- Si no crees que lo que te digo ni lo que te dice Juan,

nunca sabrás lo que pasó:

(¬ p ¬ q ) → ¬ r∧- No es cierto que Fernando esté en Madrid y Juan no esté

en Ávila : ¬ ( p ¬ q )∧- Si eres licenciado, no puede ser cierto que no sepas leer

ni escribir : p → ¬ (¬ q ¬ r )∧- Sólo si conoces Oviedo, podrás disfrutar a fondo leyendo

La Regenta y no perderte entre sus tumultuosas páginas: p ↔ ( q ¬ r )∧

SIMBOLOSUTILIZADOS EN LOGICA MATEMATICA

FIN DE PRESENTACIÓN