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Clase No. 26:

Introducción a EDP:Ecuaciones hiperbólicas

MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresDepto. de MatemáticasUniv. de Guanajuatoe-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/

Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]

Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 14.11.2012 1 / 21

Esquema de numeración "red-black" (I)

Para resolver el sistema lineal de ecuaciones que resulta al aplicar elmétodo de diferencias finitas a una ecuación elíptica medianteGauss-Seidel, se puede usar una numeración tipo "red-black":

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

●

1●

19●

2●

20●

3●

21

●

22●

4●

23●

5●

24●

6

●

7●

25●

8●

26●

9●

27

●

28●

10●

29●

11●

30●

12

●

13●

31●

14●

32●

15●

33

●

34●

16●

35●

17●

36●

18


Ecuaciones diferenciales hiperbólicasUn caso más simple que la ecuación de onda utt = auxx, es la ecuación deonda de una sola dirección (de propagación), la cual tiene como PVI:

ut + aux = 0

u(x,0) = u0(x)

donde a es una constante, t representa el tiempo y x es la variable espacial.Se puede ver que la solución es de la forma

u(x, t) = u0(x− at)

Analizando la solución, observamos lo siguiente

• La solución en cualquier instante de tiempo es igual a la inicial eninstante t = 0, con una traslación.

• El valor de la solución es el mismo sobre las rectas x− at = c, llamadascaracterísticas.

• El parámetro a es la rapidez de propagación a lo largo de lascaracterísticas.


Condiciones de frontera (I)

Consideremos la ecuación

ut + aux = 0 x ∈ [0,1], t ≥ 0.

Además de la condición inicial, queremos agregar una condición de frontera.

Si a es positivo, las características se propagan de izquierda a derecha.Entonces, si imponemos una condición una condición de frontera, debe seren x = 0.

Si se hace esto, no hay que agregar una condición de frontera adicional enx = 1, pues si hace esto, el problema queda sobredeterminado.

Si especificamos que u(x,0) = u0(x) y que u(0, t) = g(t), entonces la solucióndel problema es

u(x, t) =

¨

u0(x− at) x− at > 0,g(t − x/a) x− at < 0.


Condiciones de frontera (II)

A lo largo de la característica x− at = 0 habrá una discontinuidad en u siu0(0) no es igual a g(0).

0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

c(−0.3, 1.4)

c(−

0.3,

2.2

)

x

t


Esquemas de solución (I)

Discretizamos el dominio, de modo que los nodos son de la forma(xj, ti) = (jh, ik) con i, j enteros. Denotamos por uij al valor de soluciónnumérica en el nodo (xj, ti).

−3 −2 −1 0 1 2 3

01

23

45

c(−3, 3)

c(−

0.5,

5)

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

h h

k

k

uji

j

i

x

t


Esquemas de solución (II)

Tenemos que ut + aux = 0. Hacemos una discretización del intervalo [a,b] y[0,T]. Podemos usar varios esquemas de solución basados en diferenciasfinitas:

ui+1j − uijk

+ auij+1 − u

ij

h= 0 (FTFS)

ui+1j − uijk

+ auij − u

ij−1

h= 0 (FTBS)

ui+1j − uijk

+ auij+1 − u

ij−1

2h= 0 (FTCS)

ui+1j − ui−1

j

2k+ a

uij+1 − uij−1

2h= 0 (leapfrog)

ui+1j − 1

2

�

uij+1 + uij−1

�

k+ +a

uij+1 − uij−1

2h= 0 (Lax− Friedrichs)


Esquemas de solución (III)

En cada esquema podemos expresar ui+1j como combinación lineal de los

valores de u en los instantes i o i− 1.Por ejemplo, para el esquema FTFS:

ui+1j − uijk

+ auij+1 − u

ij

h= 0

=⇒ ui+1j = ui

j− a

k

h

�

uij+1 − u

ij

�

=⇒ ui+1j = (1 + aλ)ui

j− aλui

j+1

donde λ = k/h.


Ejemplo (I)

Queremos resolver el problema

ut + ux = 0 x ∈ [−2,3], t ≥ 0.

u(x,0) = u0(x) =

¨

1− |x| |x| ≤ 10 |x| > 1

u(−2, t) = 0,

−2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

vx

mat

u[1,

]


Ejemplo (II)

Resolvemos la ecuación para 0 ≤ t ≤ 1.6. Hacemos n = 50 divisiones en elespacio y m = 20 divisiones en el tiempo y usamos el esquema deLax-Friedrichs

ui+1j =

1

2(ui

j+1 + uij−1)−

λ

2(ui

j+1 − uij−1)

Entonces k = 0.08, h = 0.1 y λ = 0.8.

• El esquema no se puede aplicar en el extremo derecho.

• Hacemos ui+1n

= uin.

• Lo anterior no debería afectar el resultado porque vamos a detenernosantes que la parte de u0 que es diferente de cero alcance el extremoderecho x = 3, y antes de eso ocurra se cumple que ux(3, t) = 0, por loque ut(3, t) = 0.


Ejemplo (III)

−2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

c(−2, 3)

c(0,

1)

La gráfica muestra el resultado en t = 1.6

Repetimos el cálculo con λ = 1.6 y calculamos la solución en t = 0.8.En este tenemos que m = 5.


Ejemplo (IV)

−2 −1 0 1 2 3

−0.

50.

00.

51.

01.

5

c(−2, 3)

c(−

0.5,

1.5

)

Podemos ver que si k aumenta, el comportamiento de la solución empeora.

Repetimos el cálculo de la solución con 0 ≤ t ≤ 1.6, n = 50 divisiones en elespacio y m = 20 divisiones n el tiempo. Esto es, k = 0.08, h = 0.1 y λ = 0.8.

Usamos el esquema leapfrog y obtenemos el siguiente resultado.


Ejemplo (V)

−2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

c(−2, 3)

c(0,

1)

Vemos que este esquema es más preciso y menos suave que el deLax-Friedrichs:

−2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

c(−2, 3)

c(0,

1)


Convergencia y consistencia (I)

Convergencia

Un esquema de un paso de diferencias finitas es convergente si se tieneque las aproximaciones uij de las solución u(x, t) cumplen con uij → u(xj, ti) sih,k→ 0.

Consistencia

Dada una EDP Pu = f y un esquema de diferencias finitas Ph,kv = f , decimosque el esquema es consistente con la EDP si para cualquier función suaveϕ(x, t) se tiene que

Pϕ− Ph,kϕ→ 0 si h,k→ 0.

La convergencia es en cada punto (x, t).

Ejemplo. Consideremos el esquema FTFS. y la ecuación de onda. Entonces

P =∂

∂t+ a

∂

∂x


Convergencia y consistencia (II)

Pϕ = ϕt + aϕx

Ph,kϕ =ϕi+1j − ϕijk

+ aϕij+1 − ϕ

ij

hϕij

= ϕ(jh, ik)

Aplicando el desarrollo de Taylor:

ϕi+1j = ϕi

j+ kϕt +

1

2k2ϕtt +O(k3)

ϕij+1 = ϕi

j+ kϕx +

1

2h2ϕxx +O(h3)

donde todas las derivadas están evaluadas en (jh, ik). Así

Ph,kϕ = ϕt + aϕx +1

2kϕtt +

1

2ahϕxx +O(k2) +O(h2)

Entonces


Convergencia y consistencia (III)

Pϕ− Ph,kϕ = −1

2kϕtt −

1

2ahϕxx +O(k2) +O(h2)→ 0

si h,k→ 0. Por tanto, el esquema es consistente.


Estabilidad (I)

Para este concepto se requiere definir una región de estabilidad querestringe los valores de h y k usados en la discretización.

Definición: Estabilidad

Un esquema de diferencia finitas Ph,kuij = 0 para una ecuación de primer or-

den es estable en una región Λ si existe un entero J > 0 tal que para cualquiertiempo T > 0, hay un constante CT tal que

h∞∑

j=−∞|uij|2 ≤ CTh

J∑

l=0

∞∑

j=−∞|ulj|2,

para 0 ≤ ik ≤ T, con (k,h) ∈ Λ.

Ejemplo. Consideremos un esquema de la forma

ui+1j = aui

j+ bui

j+1.

Entonces


Estabilidad (II)

∞∑

j=−∞|ui+1j |2 =

∞∑

j=−∞|aui

j+ bui

j+1|2

≤∞∑

j=−∞|a|2|ui

j|2 + 2|a| |b| |ui

j| |ui

j+1|+ |b|2|ui

j+1|2

≤∞∑

j=−∞|a|2|ui

j|2 + |a| |b| (|ui

j|2 + |ui

j+1|2) + |b|2|ui

j+1|2

≤∞∑

j=−∞

h

|a|2|uij|2 + |a| |b| |ui

j|2i

+∞∑

j=−∞

h

|a| |b| |uij+1|

2 + |b|2|uij+1|

2i

≤∞∑

j=−∞

�

|a|2 + |a| |b|�

|uij|2 +

∞∑

j=−∞

�

|a| |b|+ |b|2�

|uij|2

≤∞∑

j=−∞

�

|a|2 + 2|a| |b| + |b|2�

|uij|2 = (|a|+ |b|)2

∞∑

j=−∞|uij|2


Estabilidad (III)

Como la desigualdad anterior es válida para cualquier i, se tiene que

∞∑

j=−∞|ui+1j |2 ≤ (|a|+ |b|)2n

∞∑

j=−∞|u0j|2.

Para poder acotar (|a|+ |b|)2n por una constante, necesitamos que

|a|+ |b| ≤ 1.

En particular, para el esquema FSFT, se tiene que

a = 1 + aλ, b = aλ,

y la condición |a|+ |b| ≤ 1 se cumple para −1 ≤ aλ ≤ 0. Esta es la condiciónde estabilidad que require el método FSFT.


La condición CFL (I)

Proposición

Para un esquema explícito de la ecuación ut + aux = 0, que es de la formaui+1j = αuij−1 + βuij + γuij+1 en el que λ = k/h se mantiene constante, una

condición necesaria para la estabilidad es la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL),

|aλ| ≤ 1.


La condición CFL (II)

Para verlo, si tenemos que t ∈ [0,1] y hacemos N divisiones en el tiempo,k = 1

N , basta mostrar que para calcular uN0 , por el esquema de solución, se

requieren los nodos u0j para |j| ≤ N. Entonces

|xj| = |j|h ≤ λ−1kN = λ−1.

Si |aλ| > 1, entonces los nodos |xj| ≤ λ−1 < |a|, mientras que el valor x = |a|es el que se requiere para obtene u(0,1).

La rapidez de propagación numérica para el esquema es h/k = λ−1. Sireescribimos la condición CFL como

λ−1 ≥ |a|,

interpretamos la condición como que la rapidez de propagación numéricadebe ser mayor o igual que la rapidez de propagación de la ecuacióndiferencial.


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