TEOREMA DE SUPERPOSICIÓNClase 7

28-Octubre-2014

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN El teorema de superposición, como los métodos de mallas y nodos pueden

usarse para encontrar la solución a redes con dos o mas fuentes que no están en serie y paralelo.

La mas obvia ventaja de este método es que no requiere el uso de una técnica matemática como los determinantes para encontrar los voltajes o las corrientes requeridas. En vez de eso, cada fuente es tratada independientemente, y la suma algebraica se encuentra para determinar una cantidad particular desconocida de la red.

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN El teorema de superposición establece lo siguiente:

La corriente o el voltaje de un elemento en una red lineal bilateral es igual a la suma algebraica de las corrientes o voltajes producidos independientemente por cada fuente.

Cuando se aplica el teorema, es posible considerar los efectos de dos fuentes al mismo tiempo y reducir el número de redes que se tienen por analizar, pero en general

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN Para considerar los efectos de cada fuente independientemente se requiere

que las fuentes sean removidas y reemplazadas sin afectar el resultado final.

Para remover una fuente de voltaje al aplicar este teorema, la diferencia en potencial entre las terminales de la fuente de voltaje debe hacerse igual a cero (corto circuito); remover una fuente de corriente requiere que sus terminales sean abiertas (circuito abierto).

Cualquier resistencia o conductancia interna asociada con las fuentes desplazadas no es eliminada pero, no obstante debe ser considerada.

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN En la figura 1 se examinan las distintas sustituciones requeridas al remover

una fuente ideal, y en la figura 2 se analizan las sustituciones con fuentes practicas que tienen cierta resistencia interna.

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎1𝑅𝑒𝑚𝑜𝑐𝑖 ó𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎2𝑅𝑒𝑚𝑜𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑝𝑟 á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la suma

algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente.

Esto es, para una red de dos fuentes, si la corriente producida por una fuente es en una dirección, mientras que la producida por la otra es en al dirección opuesta a través del mismo resistor, la corriente resultante es la diferencia de las dos y tiene la dirección de la mayor.

Esta regla se cumple para el voltaje en una porción de una red determinada por polaridades, y su aplicación puede extenderse a redes con cualquier numero de fuentes.

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN El principio de superposición no es aplicable para el calculo de la potencia

ya que la perdida de potencia en un resistor varía con el cuadrado (no lineal) de la corriente o del voltaje, como se ilustra en la figura 3.

Figura 1.Demostración quela superposición no es aplicablePara cálculos de potencia

TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN En general por, por tanto

La potencia total entregada a un elemento resistivo debe ser determinada usando al corriente total o el voltaje total en el elemento y no puede ser determinada por una simple suma de los niveles de potencia establecidos por cada fuente.

PROBLEMAS Problema 1

Determine para la red de la figura 4

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎4

PROBLEMAS Solución

Haciendo para la red de la figura 4 se obtiene la red de la figura 5a, donde un corto circuito equivalente ha reemplazado la fuente de 30V

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎4

(a) Contribución de ; (b) Contribución de

PROBLEMAS Solución

Como se muestra en la figura 5a, la fuente de corriente escogerá la trayectoria de corto circuito, e . Al aplicar la regla del divisor de corriente

Al establecer en cero ampere resultará la red de la figura 5b, con la fuente de corriente reemplazada por un circuito abierto. Aplicando la ley de Ohm, tenemos

𝐼 ′ 1=𝑅𝑠𝑐 𝐼

𝑅𝑠𝑐+𝑅1

=(0Ω ) 𝐼0Ω+6Ω

=0 𝐴

𝐼 ′ ′1=𝐸𝑅1

=30𝑉6Ω

=5 𝐴

PROBLEMAS Solución

Observe en este caso que la fuente de corriente no tiene efecto sobre la corriente a través del resistor de . El voltaje del resistor debe fijarse en 30 V porque los elementos son paralelos.

PROBLEMAS Problema 2

Usando la superposición, determine la corriente a través del resistor de de la figura 6. Observe que está es una red de dos fuentes.

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎6

PROBLEMAS Solución

Considerando los efectos de la fuente de (figura 8)

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎8𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑑𝑒 𝐸1𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼 3

PROBLEMAS Solución

Considerando los efectos de la fuente de (figura 8)

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎8𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑑𝑒 𝐸1𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼 3

PROBLEMAS Solución

Usando al regla del divisor de corriente, tenemos

PROBLEMAS Solución

Considerando los efectos de la fuente de (figura 9)

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎9𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑑𝑒 𝐸2𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼 3

PROBLEMAS Solución

La corriente total a través del resistor de es:

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎10𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼 3

PROBLEMAS Problema 3

a. Usando la superposición, encuentre la corriente a través del resistor de de la red de la figura 11.

b. Demuestre que la superposición no es aplicable a los niveles de potencia.

11

PROBLEMAS Solución

Considerando el efecto de la fuente de (Figura 12)

𝐼 ′ 2=𝐸𝑅𝑇

=𝐸

𝑅1+𝑅2

=36𝑉

12Ω+6Ω=2 𝐴

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎12𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒 𝐸𝑎𝐼 2

PROBLEMAS Solución

Considerando el efecto de la fuente de (Figura 13). Aplicando el divisor de corriente

𝐼 ′ ′2=𝑅1 𝐼

𝑅1+𝑅2

=(12Ω ) (9 𝐴)12Ω+6Ω

=108 𝐴18

=6 𝐴

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎13Contribuci ó nde I a 𝐼 2

PROBLEMAS Solución

La corriente total a través del resistor es (figura 14):

𝐼 2=𝐼 ′ 2+𝐼 ′ ′ 2=2 𝐴+6 𝐴=8 𝐴

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎14𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝐼 2

PROBLEMAS Solución

Inciso b

La potencia para el resistor de

La potencia calculada para el resistor de debida a cada fuente, mal usando el principio de superposición, es:

PROBLEMAS Solución

Como se menciono, el principio de superposición no es aplicable para los cálculos de la potencia ya que la potencia es proporcional al cuadrado de la corriente o del voltaje

La figura 15 es una gráfica de la potencia entregada al resistor de en función de la corriente

PROBLEMAS Solución

Obviamente, , y la superposición no se cumple. Sin embargo, para una relación lineal, como entre el voltaje y la corriente del resistor tipo fijo de , la superposición puede ser aplicada, como se demuestra mediante la gráfica de la figura 16 , donde o

Figura 16 Trazado de I en función de V para el resistor de 6Ω

PROBLEMAS Problema 4

Usando el principio de superposición, encuentre la corriente a través del resistor de de la figura 17

17

PROBLEMAS Solución

Considerando el efecto de la fuente de corriente de (Figura 18)

Efecto de la fuente de Corriente sobre la corriente

PROBLEMAS Solución

Regla del divisor de corriente:

Considerando el efecto de la fuente de voltaje de (Figura 19):

PROBLEMAS Solución

Considerando el efecto de la fuente de corriente de (Figura 19)

Efecto de la fuente de Corriente sobre la corriente

PROBLEMAS Solución

Como tienen la misma dirección a través de , la corriente deseada es la suma de las dos: