Clase 6IO Cadenas de Markov2
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Cadenas de MARKOVCasos especiales
La nica constante es el cambio
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Objetivos
Conocer los casos especiales de lasCadenas de Markov: Cclicas yAbsorbentes.
Entender y aplicar estas variantes comouna herramienta para la toma dedecisiones.
Resolver problemas administrativosutilizando la herramienta.
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Antecedentes
Existen 2 casos especiales dentro delas Cadenas de Markov:
Cadenas cclicas
Cadenas absorbentes
Estas presentan estados en donde laposibilidad de cambio o de permanecer
en el estado =1, lo que hace que serequiera un anlisis diferente.
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Cadenas cclicasCaractersticas
Siguen un patrn fijo
Es determinista y no probabilista
Esto quiere decir que se puede saber en que
estado va a estar en el tiempo.
Puede reconocerse por la presencia de unpatrn de 1s en dos o ms renglones en una
matriz de transicin (un slo rengln no lahara cclica).
Debe ser posibleentrar al ciclo.
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Diagrama de estado de unaCadena Cclica
E1
E3E2
De / A: E1 E2 E3
E1 0.5 0.2 0.3
E2 0 0 1
E3 0 1 0
P11
P12
P13
P23
P32
Matriz de Transicin
Se puede observar que en el ejemplo seaccede al sistema por el estado E1 y una
vez que se llega al estado E2 o E3, elsistema entra en un ciclo sin fin.
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Solucin
La forma massencilla devisualizar los
estados cclicosde un problemade este tipo esevaluando la
matriz detransicin enExcel
B2 C2 D2 Vector x Matriz
1 0 0 0.5 0.2 0.3
0 0 1
0 1 0
1 0.500 0.200 0.300
2 0.250 0.400 0.350
3 0.125 0.400 0.475
4 0.063 0.500 0.438
5 0.031 0.450 0.519
6 0.016 0.525 0.459
7 0.008 0.463 0.530
8 0.004 0.531 0.465
9 0.002 0.466 0.532
10 0.001 0.533 0.466
11 0.000 0.466 0.533
12 0.000 0.533 0.467
13 0.000 0.467 0.533
14 0.000 0.533 0.467
15 0.000 0.467 0.533
=MMULT(B2:D2,$E$2:$G$4)
=MMULT(E5:G5,$E$2:$G$4)
Estado
Inicial
Estadoestable Ciclos
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Cadenas Absorbentes Deben de tener un estado el
cual se poder alcanzar desdeotro.
Estado Absorbente es aqueldel que no puede salirse, seobserva en la matriz de
transicin cuando tiene unaprobabilidad hacia si mismo deuno.
Ex
P=1
Px
De/A Ex
Ex 1
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Puntos a considerar
Si el sistema tiene un solo sistemaabsorbente, se sabe que finalmente elsistema se encerrar en ese estado. Peroqu pasa si el sistema tiene dos o ms
estados absorbentes? Podra ser de inters encontrar la
probabilidad de terminar en cada uno deellos.
Si la cadena comienza en un estadoabsorbente, nunca saldr de ah, es poreso que se buscan cadenas quecomiencen en estados no absorbentes.
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EjemploUtilice la siguiente matriz de transicinpara resolver el problema:
De / A: E1 E2 E3 E4
E1 0.4 0.3 0.2 0.1
E2 0 1 0 0
E3 0.1 0.1 0.6 0.2
E4 0 0 0 1
Podemos notar que el E2 y el E4 son estados absorbentes Debemos encontrar las soluciones arrancando del E1 y del E3 Utilice el mtodo con Excel
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Solucin 1 0 0 0S1 S2 S3 S40.4 0.3 0.2 0.1
0 1 0 0
0.1 0.1 0.6 0.2
0 0 0 1
0.400 0.300 0.200 0.100
0.180 0.440 0.200 0.180
0.092 0.514 0.156 0.238
0.052 0.557 0.112 0.278
0.032 0.584 0.078 0.306
0.021 0.602 0.053 0.325
0.014 0.613 0.036 0.337
0.009 0.621 0.024 0.346
0.006 0.626 0.016 0.352
0.004 0.629 0.011 0.356
0.003 0.632 0.007 0.3580.002 0.633 0.005 0.360
0.001 0.634 0.003 0.361
0.001 0.635 0.002 0.362
0.001 0.635 0.002 0.363
0.000 0.636 0.001 0.363
0.000 0.636 0.001 0.363
0 0 1 0
S1 S2 S3 S4
0.4 0.3 0.2 0.1
0 1 0 0
0.1 0.1 0.6 0.2
0 0 0 1
0.100 0.100 0.600 0.200
0.100 0.190 0.380 0.330
0.078 0.258 0.248 0.416
0.056 0.306 0.164 0.473
0.039 0.339 0.110 0.512
0.027 0.362 0.074 0.538
0.018 0.377 0.050 0.555
0.012 0.388 0.033 0.567
0.008 0.395 0.022 0.575
0.006 0.399 0.015 0.580
0.004 0.403 0.010 0.584
0.003 0.405 0.007 0.586
0.002 0.406 0.005 0.588
0.001 0.407 0.003 0.589
0.001 0.408 0.002 0.589
0.001 0.408 0.001 0.590
0.000 0.408 0.001 0.590
La primera tabla seevala utilizando elestado S1, comoarranque.La segunda utilizaS3.
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Tarea1. Dibuje el diagrama de
estado de la siguientematriz y encuentre elestado estable:
2. El contralor de la empresa desarrollola siguiente matriz para sus cuentaspor cobrar. Las cuentas A tienen de 0a 30 das y dan un total de $100,000.
Las B tienen de 31-90 das y dan untotal de $50,000. Que concesin(reserva) debe dar el contralor a lascuentas morosas?
De / A E1 E2 E3
E1 0 1 0E2 0 0 1
E3 1 0 0
De /A A B Pagadas Morosas
A 0.3 0.2 0.5 0
B 0.2 0.2 0.5 0.1Pagadas 0 0 1 0Morosas 0 0 0 1