Clase 2 Módulo Intervalos(2015)

Introducción a la Matemática

TRABAJO PRÁCTICO 2. Números Reales. Intervalos. Valor absoluto. Inecuaciones

Índice

Actividades

• Actividad 1 • Actividad 2 • Actividad 3 • Actividad 4 • Actividad 5 • Actividad 6 • Actividad 7 • Actividad 8 • Actividad 9 • Actividad 10 • Actividad 11 • Actividad 12 • Actividad 13 • Actividad 14 • Actividad 15 • Actividad 16 • Actividad 17 • Actividad 18 • Actividad 19 • Actividad 20

Los números reales

• Propiedades de orden • Intervalos • Valor absoluto

• Inecuaciones

• Desigualdades con valor absoluto

Respuestas a las actividades

• Actividad 1 • Actividad 2 • Actividad 3 • Actividad 4 • Actividad 5 • Actividad 6 • Actividad 7 • Actividad 8 • Actividad 9 • Actividad 10

• Actividad 11 • Actividad 12 • Actividad 13 • Actividad 14 • Actividad 15 • Actividad 16 • Actividad 17 • Actividad 18 • Actividad 19 • Actividad 20

Bibliografía Adicional

Material de uso exclusivamente educativo 1


Actividades. Números reales. Intervalos y valor absoluto. Inecuaciones

1. Completen el siguiente cuadro.

Intervalo Enunciado Representación gráfica

[1; +∞)

Números reales menores que -5

2. Representen el intervalo [-5, 1,8)

A partir del intervalo que dibujaron, indiquen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) -5 pertenece al intervalo.

b) 1, 8 pertenece al intervalo.

c) -0,5 y su opuesto pertenecen al intervalo.

d) 3 pertenece al intervalo.

3. Escriban como intervalo y representen en la recta numérica. a) Todos los números reales menores que –1 b) Todos los números reales menores o iguales que 5. c) Todos los números reales que cumplen simultáneamente ser mayores o

iguales que –3 y menores que 3.

4. a) Expresen coloquialmente la condición que cumplen los conjuntos numéricos representados

b) Escriban como intervalo o como unión de intervalos cada conjunto.

Gráfico 1

Gráfico 4

Gráfico 2

Gráfico 5

Gráfico 3

Gráfico 6

Índice



5. a) Representen en la recta real los números:

2 - ; 2 ; 21- ;

21 5;- 5;

b) ¿Cuál es la distancia de cada uno de ellos al cero?

6. a) Calculen el valor absoluto o módulo de:

i. –7 iv. 2. 3 vii. 3 – 5 ii. -(-3) v. 2. (-3) viii. - 3 – 5 iii. (-5)3 vi. (-2)(-3) ix. - (-3 - 5)

b) Decidan si son verdaderas o falsas las siguientes relaciones

i. |-1+3| = |-1| + |3| iv. |10 +(-14)| = |10| + |14| ii. |-1-3| = |1 + 3| v. |-3+ 8| = |-(3 – 8)| iii. |(-3)2| = |(-3)|2 vi. |2-π| = |π -2|

7. Resuelvan

a) |x| = 1

b) |x| + 2 = 5

c) 5 –2 = |x|

d) |x| - 2 = 2

e) |4x| + 4| -x| = 0

8. a) Representen en la recta real y establezcan la distancia entre los siguientes pares de números:

i. 5 y 8 ii. –5 y 8 iii. –8 y 5 iv. –5 y -8

b) Interpreten utilizando valor absoluto lo hecho en el ítem anterior

9. Encuentren dos números reales cuya distancia al -2 sea 23 .

.

10. Encuentren, en cada caso, el o los valores de x para que se cumplan las siguientes igualdades.

a) | x - 4| = 2 b) | x + 3| = 3 c) | - 1+ x| = 1

d) | x + 2| = 21

e) |3x -2| = -1

Índice Material de uso exclusivamente educativo 3


11. Consideren la desigualdad 2 < 5. Indiquen qué pasa con ella en los siguientes casos: a) Si la multiplico miembro a miembro por 3. b) Si la multiplico miembro a miembro por -3. c) Si la multiplico miembro a miembro por 1. d) Si la multiplico miembro a miembro por 0. e) Si le sumo miembro a miembro 4 f) Si le sumo miembro a miembro -4.

12. Encuentren en forma analítica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadas.

Representen gráficamente el conjunto de soluciones.

a) 3x + 2 > 5x –4

b) x – 4 < - 2x + 5

c) –5x + 2 ≥ 8

d) x - 2 ≤ x + 3

e) 6x -5

2x

3x

>+

13. ¿Qué números reales satisfacen cada una de las siguientes condiciones?

a) – 101 < x < – 97

b) – 1 ≤ x + 3 ≤ 2

c) – 17 < x < – 17

d) – 4 ≤ 2x ≤ 0

14. Hallen los valores de x que satisfacen las siguientes condiciones.

a) 0 <x ≤ 2 ∧ x ∈ [1, 3)

b) x > -1 ∧ x ∈(2, 5)

c) x ∈ [4, +∞) ∧ x < - 2

d) x ∈ (- ∞, 3) ∧ x ∈ (-3, +∞)

15. Planteen una inecuación que resuelva el problema. Encuentren el conjunto solución.

a) Salgo de casa con 100 pesos. Gasto 5 pesos en el viaje de ida y debo guardar 5 pesos para la vuelta. Veo en una librería cuadernos de $12,5 ¿Cuántos puedo comprar?

b) Después de vender dos docenas de cajas de CD, quedan en stock menos de 45 cajas de CD. ¿Cuántas cajas de CD había, como máximo antes de hacer la venta?

Índice



16. Expresen simbólicamente las afirmaciones siguientes:

a) x está a menos de 5 unidades de 3.

b) y está a lo sumo 4 unidades de 7.

c) x está al menos a 4 unidades de – 5.

17. Hallen en cada caso dos números reales que verifiquen:

a) Su distancia a 2 es mayor que 35 .

b) Su distancia a 2 es menor o igual que 1.

18. a) Expresen en lenguaje coloquial i. |x| > 1 iii. |x| ≤ 5 v. |x| ≥ -3

ii. |x – 3| ≥ 7 iv. |x – 3| < 5 vi. 3 ≤ |x| ≤ 5 b) Representen en la recta real las desigualdades anteriores.

c) En cada caso escriban como intervalo o como unión de intervalos el conjunto solución.

19. Representen en la recta numérica e interpreten como intervalo o como unión de intervalos

a) M = { }2|x|/x ≤ℜ∈

b) P = { }0|1x|/x >+ℜ∈

c) Q = { }09x/x 2 ≤−ℜ∈

20. Se sabe de un número real que cumple las siguientes condiciones:

• La distancia entre 3x y -2 es mayor que 1

• Pertenece al conjunto

( )∞+ 2;

a) Den, si es posible, un número que cumpla estas condiciones

b) Si M es el conjunto de todos los valores de x que cumplen simultáneamente ambas condiciones, representen M en la recta

.

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RESPUESTAS

1. Completen el siguiente cuadro.


[1; +∞)

Números reales menores que -5

Respuesta


[1; +∞) Números reales mayores o iguales que 1

[-2, 2] Números reales mayores o iguales que -2 y menores o iguales que 2

(-∞, -5) Números reales menores que -5

2. Representen el intervalo [-5, 1,8)

A partir del intervalo que dibujaron, indiquen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) -5 pertenece al intervalo.

b) 1, 8 pertenece al intervalo.

c) -0,5 y su opuesto pertenecen al intervalo.

d) 3 pertenece al intervalo.

Respuesta. El intervalo [-5, 1,8) se representa así:

Para contestar , tenemos en cuenta que si x pertenece al intervalo entonces es:

- 5 ≤ x < 1,8

a) Verdadero b) Falso

c) Verdadero. El opuesto de – 0, 5 es 0, 5. Y es: - 5 ≤ -0, 5 < 0,5 < x < 1,8

d) Verdadero. 732,13 ≡ por lo que se cumple - 5 ≤ 3 < 1,8

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3. Escriban como intervalo y representen en la recta numérica. d) Todos los números reales menores que –1 e) Todos los números reales menores o iguales que 5.

c) Todos los números reales que cumplen simultáneamente ser mayores o iguales que –3 y menores que 3.

Respuesta.

a) (-∞, -1)

b) (-∞, 5]

c) [-3, 3)

4 a) Expresen coloquialmente la condición que cumplen los conjuntos numéricos representados

b) Escriban como intervalo o como unión de intervalos cada conjunto.

Gráfico 1

Gráfico 4

Gráfico 2

Gráfico 5

Gráfico 3

Gráfico 6

Respuesta

Gráfico 1

a) Los números reales mayores o iguales que 2 y menores que 5.

b) [2, 5)

Gráfico 4 a) Los números reales

menores o iguales que π b) ],( π−∞

Gráfico 2 a) Los números reales mayores

que 21

−

b)

∞+− ,21


menores o iguales que -1 ó mayores que cero y menores que 5

b) (-∞, -1] ∪ (0, 5)

Gráfico 3 a) Los números reales mayores

o iguales que 2 y menores o iguales que 3.

b) [ ]3,2


menores o iguales que – 2 y mayores o iguales que 2.

b) (-∞, -2] ∪ [2, +∞)

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5. a) Representen en la recta real los números:

2 - ; 2 ; 21- ;

21 5;- 5;

b) ¿Cuál es la distancia de cada uno de ellos al cero?

Respuesta

a)

b) Calcular la distancia de cada uno de los números al cero equivale a buscar su

módulo o valor absoluto.

2)2(2 - y 2 2

21

21

21- y

21

21

5(-5)- |-5| y5 |5|

=−−==

=

−−==

===

(Un número y su opuesto tienen el mismo módulo)

6. a) Calculen el valor absoluto o módulo de:

i. –7 iv. 2. 3 vii. 3 – 5 ii. -(-3) v. 2. (-3) viii. - 3 – 5 iii. (-5)3 vi. (-2)(-3) ix. - (-3 -5)


i. |-1+3| = |-1| + |3| iv. |10 +(-14)| = |10| + |14| ii. |-1-3| = |1 + 3| v. |-3+ 8| = |-(3 – 8)| iii. |(-3)2| = |(-3)|2 vi. |2-π| = |π -2|

Respuesta

a) i. |–7| = -(-7) = 7 iv. |2. 3| = |6|= 6 vii. |3 – 5| = |-2|

= 2 ii. |-(-3)| = |3| = 3 v. |2. (-3)| = |2|.|-3|

= 2. 3 = 6 viii

. |- 3 – 5| = |-8| = 8

iii. |(-5)3| = |-125| = -(-125) = 125

vi. |(-2)(-3)| = |6| = 6 ix. |- (-3–5)| = |8| = 8


i. Falsa. iv. Falsa ii. Verdadera v. Verdadera iii. Verdadera vi. Verdadera

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7. Resuelvan

a) |x| = 1

b) |x| + 2 = 5

c) 5 –2 = |x|

d) |x| - 2 = 2

e) |4x| + 4| -x| = 0

Respuesta

a) Los números son x = 1 ó x = -1

b) Podemos escribir |x| + 2 = 5 como |x| = 5 – 2 = 3

Luego, los números buscados son x = 3 ó x = -3

c) Los números buscados son x = 3 ó x = -3

d) |x| - 2 = 2 es equivalente a |x| = 4. por lo que los números son x = 4 ó x = -4

e) Aplicando propiedades del valor absoluto y de los números reales podemos escribir:

|4|.|x| + 4| (-1) x| = 4|x| + 4.|(-1)|.|x| = 4 |x| + 4. 1 |x| = 8 |x|

Luego.

8|x| = 0 si y sólo sí es |x| = 0 si y sólo sí x = 0

8. a) Representen en la recta real y establezcan la distancia entre los siguientes pares de números:

i. 5 y 8 ii. –5 y 8 iii. –8 y 5 iv. –5 y -8

b) Interpreten utilizando valor absoluto lo hecho en el ítem anterior

Respuesta

a. i)

b. i )

|8 – 5 | = |3| = 3

a.ii)

b.ii) |8 – (-5)| = |8 + 5| = 13

a.iii)

b.iii) |(-8) – 5| = |-13| = 13

a. iv)

b.iv ) |(-8) – (-5)| = |-3| = 3

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9. Encuentren dos números reales cuya distancia al -2 sea 23 .

Respuesta

El enunciado es equivalente a encontrar dos números que satisfagan: 23)2(x =−−

Si nos “paramos “ en -2 y nos movemos una

distancia 23 a la derecha, entonces un número es;

21

232 −=+−

Hacemos lo mismo pero, moviéndonos una

distancia 23 a la izquierda de -2:

27

232 −=−−

10. Encuentren, en cada caso, el o los valores de x para que se cumplan las siguientes igualdades.

a) | x - 4| = 2

b) | x + 3| = 3

c) | - 1+ x| = 1

d) | x + 2| = 21

e) |3x -2| = -1

Respuesta

Observamos que si |x – a| = b (b ≥ 0) los números que buscamos son

x = a + b y x = a - b

a) x= 6 ó x = 2

b) x = - 6 ó x = 0

c) | - 1+ x| = 1 es equivalente a | x - 1| = 1. Luego: x = 2 ó x = 0

d) x = 25

− ó x = 23

−

e) No existe ningún número que cumpla con esta condición porque el módulo es siempre mayor o igual que cero.

11. Consideren la desigualdad 2 < 5. Indiquen qué pasa con ella en los siguientes casos: a) Si la multiplico miembro a miembro por 3. b) Si la multiplico miembro a miembro por -3. c) Si la multiplico miembro a miembro por 1. d) Si la multiplico miembro a miembro por 0. e) Si le sumo miembro a miembro 4 f) Si le sumo miembro a miembro -4.

Índice



Respuesta

a) 2. 3 < 5. 3 ; 6 < 15 , la desigualdad no cambia de sentido

b) 2. (-3 ) > 5. (-3) ; -6 > -15 , la desigualdad cambia de sentido

c) 2. 1 < 5. 1 ; 2 < 5 , la desigualdad sigue siendo la misma

d) 2. 0 = 5. 0 ; la desigualdad se transforma en una igualdad

e) 2 + 4 < 5 + 4 ; 6 < 9 , se mantiene la desigualdad

f) 2 + (-4) < 5 + (-4); -2 < 1, se mantiene la desigualdad

12. Encuentren en forma analítica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadas.

Representen gráficamente el conjunto de soluciones.

a) 3x + 2 > 5x – 4

b) x – 4 < - 2x + 5

c) –5x + 2 ≥ 8

d) x - 2 ≤ x + 3

e) 6x -5

2x

3x

>+

Respuesta

a) 3x + 2 > 5x – 4 3x – 5x > - 4 – 2 Restamos miembro a miembro 5x y 2 -2x > - 6

-2x : (-2) < - 6 : -2 Al dividir por un número menor que cero cambia el sentido de la desigualdad

x < 3 Luego: S = (-∞; 3)

b) x – 4 < - 2x + 5 x + 2x < 5 + 4 Sumamos miembro a miembro 2x y 4 3x < 9 3x : 3 < 9 : 3 Al dividir por un número mayor que cero no cambia el

sentido de la desigualdad x < 3

Luego: S = (-∞; 3)

c) –5x + 2 ≥ 8 –5x ≥ 8 – 2 Restamos miembro a miembro 2 -5x ≥ 6 - 5 x : - 5 ≤ 6 :(-5) Al dividir por un número menor que cero cambia el

sentido de la desigualdad

x ≤56

−

Luego

−∞−=56,S

Índice



d) x - 2 ≤ x + 3

x – x ≤ 3 + 2 Sumamos miembro a miembro –x y 2

0 ≤ 5

El resultado al que llegamos es verdadero para cualquier número real con que reemplacemos a x por lo que el conjunto solución son todos los números reales:

ℜ=S

e) 6x -5

2x

3x

>+

Como 65x

2x

3x

=+ reemplazamos en la inecuación:

6x -5

65x >

5 6x

65x >+

5 66x >

x > 5

Luego es: S = (5, + ∞)

Les dejamos la tarea de representar los conjuntos solución

13. ¿Qué números reales satisfacen cada una de las siguientes condiciones?

a) – 101 < x < – 97

b) – 1 ≤ x + 3 ≤ 2

c) – 17 < x < – 17

d) – 4 ≤ 2x ≤ 0

Respuesta

a) Los números que pertenecen al intervalo ( - 101, -97)

b) Resolvemos la inecuación – 1 ≤ x + 3 ≤ 2 – 1 – 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 2 – 3 - 4 ≤ x ≤ -1

Los números que cumplen esta condición son los que pertenecen al intervalo

[ - 4, -1]

c) – 17 < x < – 17 Ningún número cumple esta condición, ya que no puede ser a la vez mayor y menor que -17.

d) Resolvemos la inecuación – 4 ≤ 2x ≤ 0 – 4 : 2 ≤ 2x : 2 ≤ 0 : 2 - 2 ≤ x ≤ 0

Los números que cumplen esta condición son los que pertenecen al intervalo

[ - 2, 0]

Índice



14. Hallen los valores de x que satisfacen las siguientes condiciones.

a) 0 < x ≤ 2 ∧ x ∈ [1, 3)

b) x > -1 ∧ x ∈(2, 5)

c) x ∈ [4, +∞) ∧ x < - 2

d) x ∈ (- ∞, 3) ∧ x ∈ (-3, +∞)

Respuesta

a) Se puede escribir;

0 < x ≤ 2 ∧ 1 ≤ x < 3

Los números que buscamos deben cumplir las dos condiciones a la vez por lo que es

S = [1, 2]

b) x > -1 ∧ 2<x< 5; por lo que es S = (2, 5)

c) No existe ningún número que cumpla a la vez las dos condiciones x ≥ 4 ∧ x < - 2. Luego es S = ∅

d) S = (-3,3)

15. Planteen una inecuación que resuelva el problema. Encuentren el conjunto solución.

a) Salgo de casa con 100 pesos. Gasto 5 pesos en el viaje de ida y debo guardar 5 pesos para la vuelta. Veo en una librería cuadernos de $12, 5 ¿Cuántos puedo comprar?

b) Después de vender dos docenas de cajas de CD, quedan en stock menos de 45 cajas de CD. ¿Cuántas cajas de CD había, como máximo antes de hacer la venta?

Respuesta

a) Si c simboliza los cuadernos es

12, 5. c ≤ 100 – (5 + 5)

12, 5. c ≤ 90

c ≤ 90 : 12,5

c ≤ 7,2

Como la solución son números naturales, podemos escribir:

c ≤ 7

Luego podrá comprar hasta 7cuadernos.

b) Llamemos D a las cajas de CD. Se vendieron dos docenas lo interpretamos como que se vendieron 24 cajas de CD. Luego

D – 24 < 45

D < 69

Como máximo había 68 cajas de CD

Índice



16. Expresen simbólicamente las afirmaciones siguientes:

a) x está a menos de 5 unidades de 3

b) y está a lo sumo 4 unidades de 7.

c) x está al menos a 4 unidades de – 5.

Respuesta

a) |x – 3| < 5

b) | y - 7| ≤ 4

c) |x –(-5) | ≥ 4

17. Hallen en cada caso dos números reales que verifiquen:

a) Su distancia a 2 es mayor que 35 .

b) Su distancia a 2 es menor o igual que 1.

Respuesta

a) Equivale a buscar dos números reales que verifiquen

352x >−

Los números que buscamos estarán fuera de los segmentos de longitud 35 a

la izquierda y a la derecha de 2

Deberán ser entonces,

• menores que 25,0352 −≡−

• ó mayores que 08,3352 ≡+

En cada caso podemos hallar infinitos. Por ejemplo – 2 y 10

(verifiquen que es así)

b) Equivale a buscar dos números reales que verifiquen:

| x – 2| ≤ 1

Por propiedades de las desigualdades en módulo,

- 1 ≤ x – 2 ≤ 1

Sumando miembro a miembro 2,

- 1 + 2 ≤ x – 2 + 2 ≤ 1 + 2

1 ≤ x ≤ 3

Hay infinitos números que cumplen esta condición. Por ejemplo, 2 y 23

Índice



18. a) Expresen en lenguaje coloquial i. |x| > 1 iii. |x| ≤ 5 v. |x| ≥ -3

ii. |x – 3| ≥ 7 iv. |x – 3| < 5 vi. 3 ≤ |x| ≤ 5 b) Representen en la recta real las desigualdades anteriores.

c) En cada caso escriban como intervalo o como unión de intervalos el conjunto solución.

Respuesta

a) i. Los números cuya distancia al cero es mayor que 1

ii. Los números cuya distancia a 3 es mayor o igual que 7

iii . Los números cuya distancia al cero es menor o igual que 5

iv. Los números cuya distancia a 3 es menor que 5

v. Los números cuya distancia al cero es mayor o igual que -3

vi. Los números cuya distancia al cero es mayor o igual que 3 y menor o igual que 5

b) Les dejamos la tarea de representar cada conjunto.

c) i. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)

ii. (-∞, -4] ∪ [10, +∞)

iii. [-5, 5]

iv. (-2, 8)

v. Cualquier número real cumple con la condición ya que el módulo es siempre mayor o igual que cero.

vi.[-5, -3] ∪ [3, 5]

19. Representen en la recta numérica e interpreten como intervalo o como unión de intervalos

a) M = { }2|x|/x ≤ℜ∈

b) P = { }0|1x|/x >+ℜ∈

c) Q = { }09x/x 2 ≤−ℜ∈

Respuesta

En cada caso es necesario resolver la inecuación que define a los elementos del conjunto

a) |x|≤ 2 , - 2 ≤ x ≤ 2 , M = [-2, 2]

b) El único número que no pertenece al conjunto es -1 (¿por qué?)

Luego P = (-∞, -1) ∪ (-1, +∞)

c) x2 – 9 ≤ 0 si y solo si x2 ≤ 9

Tomando raíz cuadrada en ambos miembros es:

9x2 ≤ =3

Y como definimos |x|x2 = es: |x| ≤ 3

Luego es S = [-3, 3]

Índice



20. Se sabe de un número real que cumple las siguientes condiciones:

• La distancia entre 3x y -2 es mayor que 1

• Pertenece al conjunto

( )∞+ 2;

a) Den, si es posible, un número que cumpla estas condiciones.

b) Si M es el conjunto de todos los valores de x que cumplen simultáneamente ambas condiciones, representen M en la recta

Respuesta

a. La primera condición la expresamos como:

|3x – (-2)| > 1

Por lo que puede ser;

3x – (-2) < -1 ó 3x – (-2) > 1

por propiedad de desigualdades con módulo

Resolviendo las desigualdades;

31xó1x −>−< (1)

Por la segunda condición podemos debe ser

2x > (2)

Entonces los números que cumplen (1) y (2) simultáneamente son los que verifican la condición

2x >

Podemos dar infinitas soluciones, por ejemplo si x = 5 se verifica:

|3. 5 – (-2)| > 1

Y además 5 pertenece al intervalo ( )∞+ 2;

b. Les dejamos para representar en la recta real la solución.

Índice Material de uso exclusivamente educativo 16


Números Reales. Valor absoluto. Intervalos

Orden en los reales

En el conjunto de los números reales se cumple que:

Si a ∈ ℜ y b ∈ ℜ y a ≠ b, entonces es a > b ó a < b

• a > b se lee “a es mayor que b”

• a < b se lee “a es menor que b”

También escribiremos:

• a ≥ b para indicar que a es mayor o igual que b.

• a ≤ b para indicar que a es menor o igual que b.

Recordamos las propiedades del orden:

Sean a, b y c, números reales, entonces

1. Si a < b y b < c entonces a < c

2. Si a < b entonces a + c < b + c

3. Si a < b ; c > 0 entonces a ⋅ c < b ⋅ c

4. Si a < b ; c < 0 entonces a ⋅ c > b ⋅ c

Intervalos La relación de orden en los números reales permite definir en la recta real los siguientes conjuntos numéricos.

• Intervalo abierto de extremos a y b. Es el conjunto de números reales cuyos elementos son mayores que a y menores que b. Lo simbolizamos:

(a, b) = { x∈ℜ/ a < x < b}

• Intervalo cerrado de extremos a y b. Es el conjunto de números reales cuyos elementos son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Lo simbolizamos:

[a, b] = { x∈ℜ/ a ≤ x ≤ b}

Índice



Veamos algunos ejemplos.

• [-3; 2] = {x ∈ ℜ: -3 ≤ x ≤ 2}

Es el intervalo de extremos – 3 y 2. Ambos extremos pertenecen al intervalo.

Gráficamente:

(En el gráfico indicamos con un círculo lleno que los extremos pertenecen al intervalo)

• (-3; 2) = {x ∈ ℜ: -3 < x < 2}

Es el intervalo de extremos – 3 y 2. Los extremos no pertenecen al intervalo.

Gráficamente:

(En el gráfico indicamos con un círculo vacío que los extremos no pertenecen al intervalo)

• Intervalo semiabierto (o semicerrado) de extremos a y b. En este caso sólo uno de los extremos pertenece al intervalo.

[a, b) = { x∈ℜ/ a ≤ x < b}

En este caso, a pertenece al intervalo y b no pertenece al intervalo.

(a, b] = { x∈ℜ/ a < x ≤ b}

En este caso, a no pertenece al intervalo pero b le pertenece.

Por ejemplo;

[-3; 2) = {x ∈ ℜ: -3 ≤ x < 2}

Es el intervalo de extremos – 3 y 2.

- 3 pertenece al intervalo y 2 no le pertenece

Gráficamente:

De igual forma podemos definir los siguientes intervalos:

• [a, +α) = {x∈ℜ/ x ≥ a}

Es el conjunto de los números reales mayores o iguales que a.

Índice



• (a, +α) = {x∈ℜ/ x > a}

Es el conjunto de los números reales mayores que a.

• (-α, a] = {x∈ℜ/ x ≤ a}

Es el conjunto de los números reales menores o iguales que a.

• (-α, a) = {x∈ℜ/ x < a}

Es el conjunto de los números reales menores que a.

El conjunto de los números reales puede representarse como: ℜ = (-∞, +∞)

Resolvemos un ejemplo:

Escribir en forma de intervalos los conjuntos representados en la recta numérica.

a)

En el gráfico se representan todos los números reales que se encuentran entre -1 y 3, incluyendo a -1 y 3.

Son los números que pertenecen al intervalo cerrado [-1, 3]

b)

En el gráfico se representan todos los números reales mayores o iguales que 2 ó menores o iguales que -2.

Lo interpretamos como la unión de dos intervalos:

(-∞, -2] ∪ [2, +∞)

Índice



Valor absoluto de un número real

La representación de los números reales en la recta, nos permite establecer la distancia entre cualquiera de ellos y el cero.

Podemos afirmar que la distancia entre el 4 y el 0 es de 4 unidades, o que la distancia entre – 6 y 0 es de 6 unidades.

Si deseamos encontrar un número cuya distancia al cero sea de 5 unidades, tendremos dos soluciones posibles:

• Una a la derecha del cero: el número 5 cuya distancia al cero es de 5 unidades

• Otra, a la izquierda del cero: -5 cuya distancia al cero también es de 5

unidades

Los números –5 y 5 representan dos puntos distintos en la recta numérica sin embargo ambos están a la misma distancia del cero.

A la distancia entre un número real a y el cero la llamamos módulo o valor absoluto del número real.

Se escribe |a| y se lee módulo o valor absoluto del número a.

Así, por ejemplo

• |3| = 3 se lee módulo o valor absoluto de 3 e indica la distancia del 3 al 0.

• |0| = 0 se lee módulo o valor absoluto de 0 e indica la distancia del 0 al 0.

• |–2| = 2 se lee módulo o valor absoluto de –2 e indica la distancia del –2 al 0.

En general, podemos afirmar:

• El valor absoluto o módulo indica la distancia entre un número real y el cero, por lo que nunca será negativo. Lo indicamos:

|a| ≥ 0

• Si el módulo de un número real a es igual a cero, entonces a es igual a cero. Y si a es igual a cero, entonces módulo de a es igual a cero.

|a| = 0 sí y sólo sí a = 0

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Definimos el valor absoluto de un número real a como:

|a| = a si a es mayor que cero

|a| = –a si a es menor que cero

|a| = 0 si a es igual a cero

O bien:

Si a es un número real el valor absoluto o módulo de a se denota |a| y se define:

<−≥

=0asia

0asiaa

En forma similar podemos establecer la distancia entre dos números de la recta real.

Llamamos distancia entre dos números reales a y b, al valor absoluto de su diferencia:

d(a,b)=|b-a|=|a-b|

Por ejemplo,

• la distancia entre -3 y 4 se determina encontrando;

|4 – (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7

• la distancia entre - 5 y -1 se determina encontrando

|-5 – (-1)| = |-5 + 1| = |-4| = 4

Usamos la definición de distancia entre dos números para resolver la siguiente situación.

Ejemplo.

• ¿Para qué valores de x se cumple que |x – 2| = 3?

Solución.

La expresión |x – 2| = 3 la interpretamos como el número real x cuya distancia a 2 es igual a 3.

Queremos hallar x. Probando con algunos números encontramos que;

• x = 5; | 5 – 2| = |3| = 3, sirve pues la distancia entre 5 y 2 es igual a 3.

• x = -1 | -1 – 2| = |-3| = 3 también sirve pues la distancia entre -1 y 2 es igual a 3.

De este modo, encontramos dos números cuya distancia a 2 es igual a 3.

Interpretemos gráficamente la situación:

Índice



Al desplazarnos 3 unidades hacia la derecha de 2 encontramos que x = 5 está a distancia 3 de 2.

Y si nos desplazamos 3 unidades hacia la izquierda de 2, encontramos que x = -1 está a distancia 3 de 2.

Con lo que llegamos al mismo resultado.

Comprobamos lo que hicimos planteando el problema en forma analítica.

Queremos hallar los números reales que verifican |x – 2| = 3.

La definición de módulo nos hace pensar que x - 2 puede ser:

• mayor que cero

• menor que cero

• igual que cero

Por lo que debemos plantearnos estas situaciones. x - 2 > 0 ó x - 2 < 0 ó x – 2 = 0

O lo que es lo mismo: x - 2 ≥ 0 ó x - 2 < 0

Luego, • Si x ≥ 2 es |x – 2| = x – 2 (por definición de valor absoluto)

Así resulta: |x – 2| = 3 ⇒ x – 2 = 3 de donde x = 5

• Si x < 2 es |x – 2| = -(x – 2) (por definición de valor absoluto)

Por lo que es |x – 2| = - (x – 2) = - x + 2

Entonces |x – 2| = 3 ⇒ - x + 2 = 3 de donde x = -1

De este modo, los números reales que cumplen con la condición de que su distancia a 2 es igual a 3 son:

x = -1 ó x = 5 Podemos escribir el conjunto solución como.

S = {-1; 5}

Propiedades del valor absoluto 1. Un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto

|a| = |–a|

2. |a| = 0 sí y sólo sí a = 0

3. El valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos de los factores:

|a ⋅ b| = |a| . |b|

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Veamos algunos ejemplos

• | 2 ⋅ (-1)| = | -2| = 2 es igual a | 2| ⋅ |-1| = 2⋅ 1 = 2

• |(-3) ⋅ (-2)| = | 6| = 6 es igual a | -3| ⋅ |-2| = 3⋅ 2 = 6

• 5− es el opuesto de 5 entonces 5|5||5| ==−

Inecuaciones Expresiones como: “peso máximo 225 kg”, “velocidad mínima 40 km/h”, “lo esperé más de 15 minutos” son habituales en la vida cotidiana.

Para traducir al lenguaje matemático cualquiera de estas relaciones se hace uso de desigualdades.

• peso (p) máximo 225 kg p ≤ 225 • velocidad (v) mínima 40 km/h v ≥ 40 • esperé (e) más de 15 minutos e > 15

Las relaciones algebraicas que se expresan mediante desigualdades reciben el nombre de inecuaciones.

En la inecuación p ≤ 225, cualquier número que cumpla con las condiciones de la inecuación será solución de la misma.

• p = 200 es solución de p ≤ 225 pues 200 ≤ 225 • p = 225 también es solución de p ≤ 225 pues 225 = 225 • También son soluciones p = 100:, p = 55, p = 0. • Pero no lo es p = 300 pues no cumple la relación de menor o igual que

225 • Y tampoco lo es p = -15 pues no tiene sentido un peso negativo (debe ser

p ≥ 0)

En algunos casos como el del ejemplo, es relativamente fácil, encontrar todos los valores que verifican la desigualdad.

Pero generalmente para resolver una inecuación es preciso transformarla en otras equivalentes. Para ello utilizamos las propiedades de orden en el conjunto de los reales.

Así, podemos afirmar que:

Para recordar

Las siguientes operaciones no cambian el sentido de la desigualdad:

• Sumar o restar un número a ambos miembros de la desigualdad. • Multiplicar (o dividir) por un número mayor que cero

Pero cambia el sentido de la desigualdad:

• Multiplicar (o dividir) por un número menor que cero. 3 > 1 pero 3 (-2) < 1 (-2) ya que – 6 < -2

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Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.

Resolver x – 3 > 7 Solución

x – 3 > 7

x -3 + 3 > 7 + 3 Sumando 3 a ambos miembros.

x > 10 Los números reales que verifican la desigualdad son todos aquellos mayores que 10.

Gráficamente,

Luego el conjunto solución es

S = (10, +∞) = {x∈ℜ / x> 10}

Ejemplo 2.

Resolver 3.(1-x) ≤ -2 – x

Solución

3.1 –3x ≤ -2 - x Distribuyendo

3 –3x ≤ -2-x

3 – 3x +x ≤ -2-x +x Sumando x a ambos miembros

3 – 2x ≤ -2

-3 + 3 –2x ≤ -2 -3 Restando 3 a ambos miembros

–2x ≤ – 5

−21 (-2x) ≥

−21 (-5) Multiplicando ambos miembros por

21

− < 0,

cambia el sentido de la desigualdad)

x ≥ 25

Luego, son solución de la inecuación todos los números reales mayores o

iguales que 25 . Lo escribimos así:

≥ℜ∈=

∞+=25x/x,

25S

Gráficamente,

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Ejemplo 3

Encontrar el conjunto de números reales que verifican -3 ≤ 2x + 1 ≤ 7

Solución

Para resolver este problema debemos encontrar los números reales que verifican simultáneamente:

-3 ≤ 2x + 1 y 2x + 1 ≤ 7

Para ello debemos resolver las dos inecuaciones.

Resolvemos

• -3 ≤ 2x + 1

- 3 – 1 ≤ 2x + 1 – 1 Restamos miembro a miembro 1

- 4 ≤ 2x

- 4 : 2 ≤ 2x : 2 Dividimos ambos miembros por 2 (Al ser 2 > 0, no cambia el sentido de la desigualdad)

- 2 ≤ x

• 2x + 1 ≤ 7

2x + 1 – 1 ≤ 7 – 1 Restamos miembro a miembro 1

2x ≤ 6

2 x : 2 ≤ 6 : 2 Dividimos ambos miembros por 2 (Al ser 2 > 0, no cambia el sentido de la desigualdad)

x ≤ 3

Gráficamente

Luego, los números que buscamos deben cumplir simultáneamente:

- 2 ≤ x y x ≤ 3

O bien;

- 2 ≤ x ≤ 3

Gráficamente

Los números que satisfacen simultáneamente las dos condicones están pintados con el doble rayado.

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Vemos que son los números que pertenecen al intervalo:

[- 2 , 3]

Por lo que el conjunto solución es:

S = [- 2 , 3] = { x∈ℜ/ - 2 ≤ x ≤ 3}

Desigualdades con valor absoluto

Nos proponemos encontrar los números reales que verifican que su distancia al cero es menor o igual que 2.

Si recordamos que la distancia de un número al cero la expresamos mediante |x|, lo que buscamos lo podemos simbolizar como:

|x| ≤ 2

Es decir que los números buscados están en un segmento de longitud 2 a la izquierda o a la derecha del cero.

Vemos que los números buscados cumplen la condición -2 ≤ x ≤ 2. Entonces podemos escribir

|x| ≤ 2 sí y sólo sí -2 ≤ x ≤ 2

Los números reales que pertenecen al intervalo [-2; 2] verifican |x| ≤ 2.

De la misma manera, los números reales que verifican que |x-2| ≤ 1 son aquellos números cuya distancia al 2 es menor o igual que 1. Por lo tanto están en un segmento de longiud 1 a la derecha o a la izquierda del 2.

Los números buscados cumplen la condición 1 ≤ x ≤ 3

Podemos escribir

|x-2| ≤ 1 sí y sólo sí 1 ≤ x ≤ 3

Los números reales que pertenecen al intervalo [1, 3] verifican |x-2| ≤ 1

En general, si a y b (b >0) son números reales, se verifica

• |x| ≤ b sí y sólo sí -b ≤ x ≤ b,

• |x - a| ≤ b sí y sólo sí -b ≤ x- a ≤ b, sí y sólo sí -b + a ≤ x ≤ b + a

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Buscamos ahora todos los números reales que verifican; |x| > 23 .

Los números que buscamos están a distancia mayor que 23 con respecto al

cero, por lo tanto los x que buscamos están fuera de los dos segmentos de longitud

23 a la izquierda o a la derecha del cero.

Representado en la recta numérica obtenemos:

Vemos que los números reales buscados cumplen la condición

2

3 x ó

2

3- x ><

Por lo que, los números reales que verifican |x| > 23 pertenecen al intervalo

+∞∪

−∞− ;23

23;

(Recordar que con “∪” simbolizamos la unión de conjuntos)

En forma similar, si deseamos encontrar los números que verifican |x – 3| ≥ 2 los números que buscamos están a distancia mayor o igual que 2 respecto del 3, por lo tanto están fuera de los dos segmentos de longitud 2 a la izquierda o a la derecha del 3.

Representado en la recta numérica obtenemos:

Luego, los números que verifican que |x – 3| ≥ 2 pertenecen al intervalo

(-∞, 1] ∪ [5, +∞)

En general, si a y b (b >0) son números reales, se verifca

• |x| ≥ b sí y sólo sí x ≤ -b ≤ ó x ≥ b,

• |x - a| ≥ b sí y sólo sí x – a ≤ -b ≤ ó x – a ≥ b, sí y sólo sí x ≤ -b + a ≤ ó x ≥ b + a

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Bibliografía Adicional

• Agrasar, Mónica; Matemática 8. Editorial Longseller, Bs. As. 2003

• Altman. Silvia, Matemática. ES 2. Editorial Tinta Fresca; Bs:As.2008

• Graña, Matías, Los Números, de los naturales a los complejos, Colección Las

Ciencias Naturales y la Matemática. INET, Ministerio de Educación, Bs. As. 2010

• Seveso; Julia; Matemática 9, Editorial Kapelusz, Bs.As 1998

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