CLASE 13 PARTE 1: FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES. Plano tangente. Cálculo Diferencial e Integral...
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CLASE 13 PARTE 1: FUNCIONES REALES DE DOS
VARIABLES.Plano tangente.
Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.
Derechos reservados.
Ejercicios para las clase 12
•Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11.
Bibliografía de la Clase 13:
•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27.
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Sea dada una función real de dos variables f(x,y), definidaen una abierto D. Sea dado un punto
DEFINICIÓN:Plano tangente a la superficie gráfica z= f(x,y)en el punto
es (si existe) el plano quecontiene a todas LAS RECTAS TANGENTESpor el punto
a las CURVAS CONTENIDAS EN LA SUPERFICIE, que pasan por
Ver figura siguiente
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TEOREMA.Si f(x,y) es diferenciable en el puntoentonces existe plano tangente a la superficie gráfica por
y tiene por ecuación
donde
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sigue
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CLASE 13 PARTE 2: FUNCIONES REALES DE VARIAS
VARIABLES.Vector gradiente.
Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.
Derechos reservados.
Ejercicios para las clase 12
•Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11.
Bibliografía de la Clase 13:
•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27.
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Sea dada f función REAL de q variables en un abierto Dy un punto a en D.
DEFINICIÓN: Si f es diferenciable en a se define el vectorgradiente de f en el punto a:
NOTA: Si f no es diferenciable en a NO SE DEFINE vectorgradiente de f en el punto a, aunque existan las derivadasparciales respectivas.
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DIFERENCIAL Y GRADIENTE: El diferencial de f en el punto a es el producto escalar delgradiente por el vector incremento Delta x.
DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE: Cuando f es dife-renciable en el punto a, la derivada direccional según ladirección del versor u es el producto escalar del gradientepor u.
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PROPIEDADES DEL GRADIENTE: (cuando f es diferenciable)1. La derivada direccional según u (pendiente de lagráfica en la dirección u) es nula si y solo si u es ortogonal al vector gradiente de f.
CONSECUENCIA:El vector gradiente, si no es nulo, es ortogonal a las curvasde nivel de f(x,y).
El vector gradiente, si no es nulo, es ortogonal a lassuperficies de nivel de f(x,y,z)
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2. La derivada direccional según u (pendiente de la gráfica en la dirección u) es máxima si u es colineal al vector gradiente de f.
Dem.
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Como consecuencia de la propiedad 1, vimos que
EJEMPLO: Encontrar la recta tangente a la hipérbolaxy =1 por el punto (1/2, 2).
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CLASE 13 PARTE 3: TEOREMA DEL VALOR MEDIODEL CÁLCULO DIFERENCIAL.
Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.
Derechos reservados.
Ejercicios para las clase 12
•Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11.
Bibliografía de la Clase 13:
•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27.
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TEOREMA del VALOR MEDIO del Cálculo Diferencial (para funciones reales)
Sea
definida en un abierto D. Sean dos puntostales que
Si f es diferenciableentonces
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Dem.
sigue
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TEOREMA del VALOR MEDIO del Cálculo Diferencial (para funciones vectoriales)
Sea
definida en un abierto D. Sean dos puntostales que
Si f es diferenciableentonces
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EN GENERAL PARA FUNCIONES VECTORIALESNO SUCEDE LO MISMO QUE PARA FUNCIONES REALES.PARA FUNCIONES VECTORIALES NO NECESARIAMENTEEXISTE
sino: