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  • CLASE 01: Modelo de crecimiento exponencial Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

    Faculad de Ciencias, UNAM Facultad de Ciencias, UNAM

    El Problema de Valores Iniciales El modelo de crecimiento exponencial está planteado con el PVI siguiente:

    p′(t) = kp(t), t > t0,

    p(t0) = p0

    El fenómeno

    Supongamos que queremos estudiar cómo una población crece o decrece a través del tiempo. El supuesto fundamental: En condiciones ideales (abundancia de recursos y espacio suficiente) es razonable suponer que las tasas de nacimiento y muerte son uniformes en el tiempo (i.e. son las mismas en cualquier momento) e independientes del tamaño de la población.

    Bacterias e. coli

    El modelo

    Supongamos que p0 > 0 es el tamaño de la población al tiempo inicial t0 ≥ 0. Sea p(t) el tamaño de la población al tiempo t, para cualquier t > t0. Queremos encontrar el mejor modelo para p(t). Sean

    kbirth := tasa de nacimiento x u. de tiempo kdeath := tasa de muerte x u. de tiempo

    En un lapso de tiempo arbitrariamente pequeño (t, t+h), el número de nacimientos y de muertes son aproximadamente iguales a

    kbirth p(t)∆t y kdeath p(t)∆t,

    respectivamente, donde ∆t := h.

    Por lo tanto, la variación poblacional (crecimiento o decre- mento) durante el pequeño intervalo de tiempo (t, t + h) es aproximadamente

    ∆p ≈ kbirth p(t)∆t − kdeath p(t)∆t, donde ∆p = p(t + h)− p(t). Equivalentemente

    ∆p

    ∆t ≈ kp(t),

    donde

    k = kbirth − kdeath, es la razón neta de variación de población. En consecuencia

    p′(t) = lim ∆t→0

    ∆p

    ∆t = kp(t)

    En otras palabras, la tasa de variación poblacional (que puede ser creciente o decreciente) al tiempo t es propor- cional a la población presente al tiempo t.

    Solución

    Si suponemos que p(t) > 0 para cada t ≥ t0, entonces podemos reescribir

    1

    p(t) p′(t) = k .

    De donde, para cada t > t0,∫ t t0

    1

    p(s) p′(s)ds =

    ∫ t t0

    kds

    En cuanto a la integral de la izquierda, con el cambio u = p, tenemos ∫ t

    t0

    1

    p(s) p′(s)ds =

    ∫ p(t) p0

    1

    u du = log

    p(t)

    p0 .

    En consecuencia,

    log p(t)

    p0 = k(t − t0).

    Equivalentemente

    p(t) = p0e k(t−t0), t > t0.

    t

    p

    p(t) = p0ek(t−t0), t ≥ t0

    población creciente, k > 0

    t0

    p0

    t

    p

    p(t) = p0ek(t−t0), t ≥ t0

    población decreciente, k < 0

    t0

    p0

  • CLASE 01: Modelo de crecimiento exponencial Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

    Faculad de Ciencias, UNAM Facultad de Ciencias, UNAM

    Teorema (Solución General)

    Dada una constante fija k ∈ R, la solución general de la ecuación diferencial

    p′(t) = kp(t), t ∈ R, (1) es de la forma

    p(t) = Cekt, t ∈ R, (2) donde C es una constante arbitraria.

    Demostración

    Primero vamos a comprobar que una función de la forma (2) es solución de (1). Sea p una función de la forma (2). Entonces para cada t,

    p′(t) = Ckekt = kCekt = kp(t).

    Lo que muestra efectivamente que toda función de la forma (2) es solución de (1). En segundo lugar debemos mostrar que cualquier otra solu- ción de (1) tiene la forma (2). Para ello, supongamos que p es cualquier solución de (1), y sea

    u(t) = p(t)e−kt para cada t ∈ R. Entonces, para cada t ∈ R,

    u′(t) = −kp(t)e−kt + kp(t)e−kt = 0. Se sigue que u es una función constante. Esto es, para alguna constante C ,

    u(t) = C para cada t ∈ R. Por lo tanto

    p(t) = Cekt, t ∈ R.

    Curvas Integrales

    Las siguientes gráficas muestran las curvas solución de la ecuación diferencial (1) para distintos valores de C .

    t

    p(t) = Cekt

    k > 0

    t

    p(t) = Cekt

    k < 0

    En el caso del PVI(t0, p0), observe que C = p0e−kt0.

    El Teorema de Cambio de Variables (Sustitución)

    Si g es una función de clase C1 sobre un intervalo [a, b] y f es una función continua, entonces f (g(x))g ′(x) es una función intregrable sobre [a, b] y∫ b

    a

    f (g(x))g ′(x) dx =

    ∫ g(b) g(a)

    f (u)du.

    Demostración

    Si F es una primitiva de f , esto es, F ′ = f , entonces∫ g(b) g(a)

    f (u)du = F (g(b))− F (g(a)).

    Y por otra parte, usando la regla de la cadena,

    (F ◦ g)′ = (F ′ ◦ g)g ′ = (f ◦ g)g ′. Por lo que F ◦ g es una primitiva de (f ◦ g)g ′. Luego∫ b

    a

    f (g(x))g ′(x) dx = F (g(b))− F (g(a)).

    De donde se sigue la igualdad del teorema.

    Lecturas recomendadas

    1 Sección 1.3. “Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos”. Del libro Ecuaciones diferenciales de Dennis G. Zill y Michael R. Cullen.

    2 Sección 1.1. “Modelación por medio de ecuaciones diferenciales”. Del libro Ecuaciones diferenciales de Paul Blanchard, Robert L. Devaney, Glen R. Hall.

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