Circunferencia.

Presentado por:María del Rosario Ochoa Guerrero.Josefina Caballero Rodríguez

Circunferencia.

Secciones cónicas.

Un cono circular recto se genera por una recta que pasa por un punto fijo de una recta también fija, formando con ésta un ángulo constante. Al punto fijo se le llama vértice y a cualquier posición de la recta generatriz es denominado elemento. El vértice divide al cono en dos partes llamadas mantos.

Vértice

Manto

Manto

La sección cónica o simplemente cónica, es el lugar geométrico o curva que se obtiene por la intersección de un cono circular recto con un plano.

CircunferenciaElipse

Parábola Hipérbola

La sección cónica se puede expresar mediante una ecuación general de 2° grado en X, Y y se expresa en la forma siguiente:

Dependiendo de la sección cónica algunos de los coeficientes se hacen cero.

CIRCUNFERENCIACircunferencia es el lugar geométrico del plano descrito por un punto que se mueve a una distancia constante de un punto fijo. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.

Circunferencia.

Secciones cónicas.

022 FEyDxCyBxyAx

Consideremos un punto P ( x , y ) de la circunferencia de centro C ( h , k ) y radio r , como se ilustra en la figura:

Una circunferencia de centro C (h, k) y radio r, está formada por todos los puntos P (x, y) cuya distancia al centro es r:

Calculando la distancia entre los 2 puntos tenemos:

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

rPC

222 rkyhx

Desarrollando los cuadrados en la ecuación.

22222 22 rkkyyhhxx

**022 22222 rkhykxhyx

222,2,2 rkhykh

Agrupando todos los términos en el primer miembro:

Son números reales cualesquiera, por lo tanto podemos decir:

Sustituyendo en la ecuación ** tenemos:222

2

2

rkhF

kE

HD

022 FEyDxyxECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.

Observación : Cuando la ecuación de una circunferencia está expresada en su forma general, los 2 términos de segundo grado tienen coeficientes iguales, es decir, del

mismo valor absoluto y del mismo signo.

De manera inversa se puede obtener la ecuación de la circunferencia a partir de su forma general:

022 FEyDxyx

FEyyDxx 22

Completando cuadrados, se obtiene:

Reorganizando:

FEDE

EyyD

Dx

4444

2222

Al factorizar en el 1er. Miembro y sumar en el 2º, se transforma en:

44

22

2222FEDE

yD

x

Para corresponder a la ecuación de una circunferencia:

FEDr 421 22

Por lo que se presentan tres casos para

FEDryED

C 42

,2

22

FED 422

04)

04)

04)

22

22

22

FEDc

FEDb

FEDaLa ecuación corresponde a una circunferencia de centro

La ecuación corresponde a una circunferencia de radio cero, es decir, un punto de coordenadas

La ecuación corresponde a una circunferencia imaginaria y, por lo tanto no tiene representación real.

2,

2ED

C

Cuando el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas (h=k=0) la ecuación de la circunferencia se expresa:

222 ryx ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7,-5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7X -9Y -10 = 0 y 2X -5Y +2 = 0.

Solución: Para hallar la ecuación de la circunferencia necesitamos el centro, y el radio. El centro se obtiene encontrando el punto de intersección de las rectas antes mencionadas y una vez hallado podemos obtener el radio calculando la distancia entre el centro y el punto A(7, -5).

Resolvemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Ec. 1 7X -9Y -10 = 0 (-2) Ec. 2 2X -5Y + 2 = 0 (7) -14X+18Y+20= 0 14X -35Y +14=0 -17Y +34=0 Y= 2Sustituyendo Y en Ec. 1 7X-9(2)-10=0, tenemos 7X=10 +8 X=4 C(4,8)Se calcula el radio como la distancia del centro al punto A

222222 7)3())5(2()74()()( ACAC yyxxr

58499 r

La ecuación de la circunferencia es: 58)2()4( 22 yx

Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones.

Analíticamente la ecuación de una circunferencia queda determinada completamente por tres condiciones independientes, D, E, F. y puede escribirse de la forma canónica o bien general.

Geométricamente una circunferencia queda, también, perfectamente determinada por tres condiciones independientes, Entonces, se puede obtener la ec., de una circunferencia si se conoce:

• Tres puntos de la misma. • El centro y el radio. • Un punto y el centro • El centro y una recta tangente.

Ejemplo: Una circunferencia pasa por los puntos A(-3, 3) y B(1, 4) y su centro está sobre la recta 3X -2Y -23 = 0. Hállese su ecuación.

Solución: supongamos que la ecuación de la circunferencia es de la forma:

222 )()( rkyhx

Como el centro está en (h, k) este punto está sobre la recta y por lo tanto sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta. Sustituyendo en la ecuación de la recta:

02323 kh

Por otro lado, A y B son puntos de la circunferencia y satisfacen su ecuación, si se sustituyen en la ecuación, se obtienen dos ecuaciones de la forma:

222 )3()3( rkh 222 )4()1( rkh

Las ecuaciones anteriores pueden igualarse:

0128

086261718

82176618

816216969

)4()1()3()3(2222

2222

kh

kkhh

khkh

kkhhkkhh

khkh Desarrollo de binomios, simplificación de términos.

(Ec. 4)

(Ec. 2) (Ec. 3)

(Ec. 1)

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por Ec. 1 y Ec. 4

022011

02323

0128

kh

kh

kh

Se sustituye h en Ec. 4

2h

217

1612

012)2(8

K

K

K

Se obtiene la ecuación de la circunferencia:

Se sustituyen h,k en la ec. 3 para encontrar el radio.

2629

4

6251

2

251

2

17421

)4()1(

2

22

2

2

22

222

r

r

r

r

rkh

4629

217

22

2

yx

La ecuación de una circunferencia que satisface solamente a 2 condiciones contiene una constante arbitraria llamada parámetro .Se dice entonces que tal ecuación representa una familia de circunferencias de un parámetro. Por ejemplo, la familia de todas las circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto C ( 1 , 2 ) tiene por ecuación

222 21 yx

Familias de circunferencias.Si una circunferencia satisface menos de 3 condiciones independientes no es, por lo tanto, ÚNICA .

El parámetro k es cualquier número positivoExisten varios casos en los que se tiene una familia de circunferencias.

x

Caso 1: Familia de circunferencias que pasan por un punto dado, del cual no se conoce el radio.

222 kyhx

Caso 2: familia de circunferencias que pasa por las intersecciones de dos circunferencias dadas.

x

P1

P2

y

Caso 1Caso 2

2...0:

1...0:

22222

2

11122

1

FyExDyxC

FyExDyxC

De la ecuación 1 y 2 se deduce la ecuación: 30222

22111

22 FyExDyxFyExDyx Familia de circunferencias las cuales tienen centros en la recta de los centros C1 y C2.

1.- Si C1 y C2 se cortan en 2 puntos diferentes , la ec. representa para todos los valores de k≠-1, todas las circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y C2 , con la única excepción de C2 misma .

2.- Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos los valores de k ≠-1, todas las circunferencias que son tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única excepción de C2 misma.

3.- Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa una circunferencia para cada valor de k≠ -1 siempre que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan que las condiciones especificadas:Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto común con ninguna de las 2 circunferencias C1 y C2 .

0422 FED

12

,12)( 2121

EEDD

La recta que pasa por los centros de dos circunferencias no concéntricas se llama recta de los centros.

Los centros C1 y C2 son:

Y la ecuación de la recta que contiene a estos dos puntos es:

2,

22,

222

211

1

EDCy

EDC

022 21122121 EDEDyDDxEE

La cual se satisface con las coordenadas:

Del centro de cualquier circunferencia definida por la ec. 3

Eje radical.Hemos considerado a dos circunferencias diferentes C1 y C2 .

Y a partir de estas ecuaciones formamos la ecuación:

3022222

11122 FyExDyxFyExDyx

40)()(11 21212122 FFyEExDDyx

0212121 FFyEExDD

Desarrollando:

Pero si K=-1 entonces la ecuación se reduce a:

Eje radical

Si C1 y C2 no son concéntricas se verificará que D1≠D2 o E1≠E2 o ambas, de manera que por lo menos uno de los coeficientes de X y Y en 1 será diferente de cero, y la ec. 1 representa entonces una línea recta llamada eje radical de C1 y C2.

2...0:

1...0:

22222

2

11122

1

FyExDyxC

FyExDyxC

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, tenemos lo que discutimos en 6, el eje radical pasa por estos 2 puntos y, por tanto coincide con su cuerda común

x

P1

P2

y Eje Radical

Recta de los centros

Si C1 y C2 son tangentes entre sí, su eje radical es la tangente común a ambas circunferencias.

Recta de los centros

Eje Radical

x

y

Eje radical.

El eje radical de 2 circunferencias cualesquiera es perpendicular a la recta de sus centros.

x

y

Eje Radical

Recta de los centros

Eje radical.

El eje radical de 2 circunferencias cualesquiera es perpendicular a la recta de sus centros.

El eje radical no tiene ningún punto común con ninguna de las 2 circunferencias.

022 21122121 EDEDyDDxEE

2121

21 , DDsiDDEE

La recta de los centros es:

La pendiente del eje radical es:

La pendiente de la recta de los centros: 21

21

21 , EEsiEEDD

Ejemplo: Hallar la ec. del eje radical de las circunferencias

043128

096102222

2

221

yxyxC

yxyxC

913

1826 m

043128:

029

35

2/0961022:

222

22

221

yxyxC

yxyx

yxyxC

Y demostrar que es perpendicular a la recta de sus centros.

Solución: Si multiplicamos a la 2ª. ec. por -2 y la restamos de la ec. 1 tenemos la siguiente ec. 26x + 18y - 77 = 0 ec. del eje radical.La pendiente de la ec. del eje radical es:

Las coordenadas de los centros son: 6,423,25

21 CC

La pendiente de las coordenadas de los centros es: 13

9m

Por lo tanto el eje radical es perpendicular a la recta de los centros ya que tienen sus pendientes inversas y de signo contrario.

Eje radical.

Para encontrar una propiedad importante del eje radical tomemos la siguiente figura:

y

xx´y´

C ( h, k )

T.

P1 (x1, y1)

t

r

Si t es la longitud de la tangente trazada del punto exterior P1(x1, y1)a la circunferencia entonces :

222 rkyhx

221

21 rkyhxt

Ejemplo: Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P1(-3,2) a la circunferencia 02183099 22 yxyx

Dividiendo entre 9 tenemos:0

92

231022 yxyx

Sustituyendo X por -3 y Y por 2 en el primer miembro de esta ecuación obtenemos:

913

9169

9169

92

223310

23 222

t

t

A manera de conclusión podemos decir que, el eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que las longitudes de las tangentes trazadas desde él a las dos circunferencias son iguales.

Tangente a una curva.

La tangente se define como una recta que tiene un solo punto común con la curva.

l´ C

Y

Y´XX´

T Q M

P1 (x1, y1)

Si m es la pendiente de la tangente a una curva plana continua C en el punto P1(x1, y1) , tenemos las siguientes ecuaciones y fórmulas:

Ecuación de la tangente a C:

Ecuación de la normal a C:

Longitud de la tangente:

0,1

0,1

,

21

11

11

mmmy

mxxm

yy

xxmyy

Longitud de la normal

Longitud de la subtangente:

Longitud de la subnormal. 1

1

21

0,

,1

my

mmy

my

Si tenemos 2 circunferencias C y C´ , se llama ángulo de dos curvas en uno de sus puntos de intersección, a cualquiera de los 2 ángulos suplementarios formados por las dos tangentes a las curvas en dicho punto.

1','1'

tan mmmm

mm

Si mm´ = - 1 , es decir ambos ángulos son rectos, entonces se dice que las curvas son ortogonales entre sí.

Tangente a una circunferencia.

La ec. de la tangente a una circunferencia dada está perfectamente determinada cuando se conocen su pendiente y su punto de contacto ( o algún otro de sus puntos ). Si se tiene uno de estos datos, el otro debe determinarse a partir de las condiciones del problema. Se pueden considerar tres casos:

a) Tangente a una circunferencia dada en un punto dado de contacto.

b) Tangente a una circunferencia dada que tiene una pendiente dada.

c) Tangente a una circunferencia dada que pasa por un punto exterior dado.

Para obtener la tangente a una circunferencia se sustituye la ec. De la recta en la ec. De la circunferencia:

aacbb

x

acbxax

FEkkxEmDmkxm

FkmxEDxkmxx

FEyDxyx

kmxy

24

0,0

021

0)()(

0

2

2

222

22

22

Que se puede escribir como:

Las raíces que se obtienen son de tres tipos:

1) Reales e iguales, si la recta es la tangente a la circunferencia (el discriminante se hace cero)

2) Reales y desiguales, si la recta es una secante a la circunferencia.

3) Complejas si la recta y la circunferencia no se cortan

Ejemplo: hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia en el punto (3,5)

0206822 yxyx

35 xmy

0151298461

0205368532222

22

mmxmmxm

ymnxxmmxx

Solución: la ecuación de la familia de rectas que pasa por el punto (3,5) es:

En donde el parámetro m es la pendiente de la tangente buscada. Desarrollando el 2º termino de la ec., de la recta y sustituyendo en la ec., de la circunferencia:

Para que la recta sea tangente el discriminante se hace cero y queda:

0723215

21

yxseaoxy

m

TEOREMAS Y PROBLEMAS DE LUGARES GEOMÉTRICOS RELATIVOS A LA CIRCUNFERENCIA.La demostración analítica de cualquier teorema sobre la circunferencia se efectúa siguiendo el procedimiento general, mientras el teorema no se particularice, debe colocarse la circunferencia con su centro en el origen, para usar la ec. más simple de la circunferencia: la ec. canonica. Ejemplo:Demostrar, analíticamente, que cualquier ángulo inscrito en una circunferencia es un ángulo recto.Demostración:Tomando la circunferencia con centro en el origen para tener la ec. ordinaria de la circunferencia tenemos:

222 ryx

Sea P1(X1, Y1) un punto cualquiera de la semicircunferencia, y sean A y B los extremos de su diámetro. Como r es el radio es evidente que las coordenadas de A y B son: A( -r , 0) y B( r , 0 )Tenemos que demostrar que el segmento AP1 es perpendicular al segmento BP1.Para demostrar esto encontraremos las pendientes de AP1 y BP1 .

221

21

221

21

rxydeciresxrytenemos

y

221

21

11

21

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

0

)(0

rxy

rxrxy

mm

rxy

xry

xry

m

rxy

rxy

m

BPAP

BP

AP

y 2

1

Como P1 está sobre la semicircunferencia, sus coordenadas (X1,Y1) satisfacen la ec. ..1 despejando

Si se sustituye Tenemos:

1)(

221

221

221

21

11

rxrx

rxy

mm BPAP

Por lo que podemos concluir que las líneas son perpendiculares, es decir forman un ángulo recto.

Ejemplo 2 :Un punto se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos dados es constante. Hallar la ec. de su lugar geométrico, y demuestre que es una circunferencia.

Solución:

Para simplificar se toma al origen como un punto y el otro punto sería A (a ,0) a≠0 sobre el eje x, sobre el eje X, como se observa en la siguiente figura.

Sea P ( x, y ) un punto cualquiera del lugar geométrico. Entonces P debe satisfacer la condición geométrica

**22 kPAPO

En donde k es un número positivo. Por distancia entre dos puntos tenemos:

222

222

yaxPA

yxPO

P (x , y)

A (a ,0)

C

(a/2 ,0)X

Y

0

Si se sustituye lo anterior en ** nos da:

kyaxyx 2222

022

222 ka

axyx

,221 2akPC

Que se reduce a:

La ecuación anterior representa a una circunferencia cuyo centro es C(a/2, 0) y cuyo radio tiene una longitud

Siempre y cuando:,

2

2ak

Si

Si

,2

2ak

,2

2ak

El lugar geométrico se reduce a un punto

No existe ningún lugar geométrico.

0,

2

2a

Circunferencia.

Gracias por su atención.