Universidad  Galileo  

Ing.  Michaelle  Perez  

Ecuaciones  Diferenciales  Ordinarias    

 

 

 

 

 

 

 

CIRCUITOS  RLC  

 

 

 

 

 

 

 

 Kenny  Adolfo  Alvizuris  Chavarría  –  12002096  

Jorge  Adolfo  Gonzalez  Caravantes  –  12002034  

Cristhian  Luis  Morales  Perez  -­‐  12003604  

 

 

Circuitos  RLC  Un   circuito   RLC   es   un   circuito   lineal   que   contiene   un   resistor   (resistencia  eléctrica),  una  bobina  o  inductor  y  un  capacitor.  

 

Existen  dos  tipos  de  configuraciones  sobre  estos  circuitos,  en  serie  y  paralelo,  el   comportamiento   de   estos   circuitos   se   describen   generalmente   por   una  ecuación  diferencial  de  segundo  orden,  que  explicaremos  más  adelante.  

 

Aquí   podemos   ver   un   diagrama   de   un   circuito   donde   tenemos   los   3  componentes,  un  resistor  R1  de  valor  1kΩ,  el  inductor  de  o  bobina  L  150uH,  el  capacitor  C1  de  1µF  y  una  fuente  de  voltaje  V1.  

   

En  las  siguientes  páginas  les  mostraremos  lo  fácil  que  puede  ser  entender  el  comportamiento   de   este   tipo   de   circuitos   mediante   un   laboratorio   y   una  explicación  matemática.  

 

 

 

Ecuaciones  Diferenciales  Lineales  con  Coeficientes  Constantes  

 Trabajaremos   con   el   siguiente   circuito,   en   tiempo   0   no   existe   corriente   en  nuestro  circuito.  Definimos  el  sentido  de  la  corriente  que  será  a  favor  de  las  manecillas  del  reloj,  y  definimos  la  polaridad  de  nuestros  componentes.  

 

Con  esto  podemos  aplicar  la  Ley  de  Voltaje  para  Kirchhoff,  que  nos  dice  que  la  suma  de  voltajes  en  una  malla  o  trayectoria  cerrada  debe  ser  0.  Utilizando  signos  salientes  nuestra  ecuación  diferencial  queda  de  la  siguiente  forma.  

𝑉! − 𝑖𝑅! −  1𝐶𝑞 − 𝐿

𝑑𝑖𝑑𝑡= 0  

Como   bien   sabemos   la   corriente   es   el   flujo   de   electrones,   por   lo   que  podemos  establecer  que  es  el  cambio  de  la  carga  con  respecto  al  tiempo.  

𝑖 =𝑑𝑞𝑑𝑡    

Sustituyendo  en  la  ecuación  original  

 

𝑠𝑒𝑛 𝑤!  𝑡 = 𝐿𝑑2𝑞𝑑𝑡2

+𝑑𝑞𝑑𝑡𝑅1 +  

1𝐶𝑞  

 

 

 

𝑖 0 =  0  

𝑞 0 =  0  𝑉! =  𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜  𝑡  𝑤! = 120𝜋  

 

Encontramos  el  Kernel  de  nuestra  función  al  igualarla  a  0  

𝐿𝑑!𝑞𝑑𝑡!

+𝑑𝑞𝑑𝑡𝑅! +  

1𝐶𝑞 = 0  

Encontramos   nuestra   ecuación   característica   sustituyendo   las   derivadas  según  su  orden  por  la  letra  P  de  la  siguiente  manera  

𝐿𝑃! + 𝑃𝑅! +  1𝐶= 0  

Resolvemos  mediante  la  ecuación  cuadrática.  

−𝑅!  ±   𝑅!! −4𝐿𝐶

2𝐿  

Sustituyendo   los   valores   de   nuestro   circuito   podemos   encontrar   las   dos  soluciones  a  nuestra  ecuación.  

𝑦! =−1000+   1000! − 4 ∗ 150𝑥10

!!

1𝑥10!!2 ∗ 1𝑥10!! =

−0.3000452𝑥10!! = −150,022  

𝑦! =−1000 −   1000! − 4 ∗ 150𝑥10−6

1𝑥10!!2 ∗ 1𝑥10!!

=−1999.6992𝑥10!!

= −999.84𝑥10!  

 Con  esto  encontramos  nuestra  solución  transitoria  

𝑦!"#$% = 𝐴𝑒!!!!.!"!!"!! + 𝐵𝑒!150,022!    

 

 

 

 

Este  modelo  satisface  la  propiedad  de  sobre  amortiguación.  

 Ya  que  encontramos  el  kernel  de  nuestra  función,  ahora  resolvemos  para    

𝑠𝑒𝑛 𝑤!  𝑡 = 𝐿𝑑2𝑞𝑑𝑡2

+𝑑𝑞𝑑𝑡𝑅1 +  

1𝐶𝑞  

Calculamos  las  derivadas  de  𝑞  para  poder  resolverla  ecuación    

𝑞 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜  𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜  𝑡  𝑑𝑞𝑑𝑡

= 𝐴𝑤𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜  𝑡 − 𝐵𝑤𝑜𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜  𝑡  

𝑑!𝑞𝑑𝑡!

= −𝐴𝑤𝑜2𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜  𝑡 − 𝐵𝑤𝑜2𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜  𝑡  

𝑞  La   tenemos   que   multiplicar   por   !!  ese   resultado   sumarla   con   la  

multiplicación  de  𝑅!  con  !"!"    este  resultado  lo  sumamos  con  𝐿 ∗ !

!!!!!

 

 

+𝐴𝐶𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜  𝑡 +

𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜  𝑡  

+𝑅1𝐴𝑤!𝑐𝑜𝑠 𝑤!  𝑡 − 𝑅1𝐵𝑤!𝑠𝑒𝑛 𝑤!  𝑡  

 −𝐿𝐴𝑤!!𝑠𝑒𝑛 𝑤!  𝑡  −  𝐿𝐵𝑤!!𝑐𝑜𝑠 𝑤!  𝑡  

= 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑤!  𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑤!  𝑡    Sacando  factor  común  podemos  agrupar  de  la  siguiente  manera  

1𝐶𝐴 −  𝑤𝑜𝑅!𝐵 −𝑤𝑜2𝐿𝐴 = 1  

1𝐶𝐵 +  𝑤𝑜𝑅!𝐴 −𝑤𝑜2𝐿𝐴 = 0  

 

 

 

 

 

Este   sistema   de   ecuaciones   lo   podemos   resolver   mediante   el   método  llamado  Eliminación  de  Gauss  Jordan.  

!!− 𝑤!!𝐿 −  𝑤!𝑅1𝑤!𝑅1

1

𝐶− 𝑤!!𝐿

𝐴𝐵  =   01  

Resolviendo  para  A  

𝑨 =

1 −  𝑤𝑜𝑅1

0 1𝐶 − 𝑤𝑜

2𝐿

1𝐶 − 𝑤𝑜2𝐿 −  𝑤𝑜𝑅1

𝑤𝑜𝑅11𝐶 − 𝑤𝑜

2𝐿

=1𝐶 − 𝑤𝑜

2𝐿

1𝐶 − 𝑤𝑜2𝐿

!+  𝑤𝑜2𝑅12

= 𝟔.𝟗𝟖𝟔𝟖𝒙𝟏𝟎!𝟑  

 

Resolviendo  para  B  

𝑩 =

1𝐶−𝑤𝑜

2𝐿 1

𝑤𝑜𝑅1 01𝐶 − 𝑤𝑜2𝐿 −  𝑤𝑜𝑅1

𝑤𝑜𝑅11𝐶 − 𝑤𝑜

2𝐿

=𝑤𝑜𝑅1

1𝐶 − 𝑤𝑜2𝐿

!+ (  𝑤𝑜2𝑅12)

= 𝟐.𝟔𝟑𝟒𝒙𝟏𝟎!𝟑  

 Encontrando  A  y  B  podemos  establecer  nuestra  solución  particular  

𝑦!"#$%&'("# = 6.9868𝑥10!!𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑜  𝑡 + 2.634𝑥10!!𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑜  𝑡  Y  nuestra  solución  general  estaría  dada  por  

𝑦!"#"$%& = 𝑦!"#$%&!'"&#   +  𝑦!"#$%&'("#  

𝒚𝒈 =  𝑨𝒆!𝟗𝟗𝟗.𝟖𝟒𝒙𝟏𝟎𝟔𝒕 + 𝑩𝒆!𝟏𝟓𝟎,𝟎𝟐𝟐𝒕 + 𝟔.𝟗𝟖𝟕𝒙𝟏𝟎!𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒐  𝒕 + 𝟐.𝟔𝟑𝟒𝒙𝟏𝟎!𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒐  𝒕  

       

 

Laboratorio  Estos   componentes   son   muy   fáciles   de   encontrar   en   una   tienda   de  electrónica,   para   construir   este   circuito,   como   material   de   apoyo   pueden  ingresar  al  siguiente  video,  para  mayor  explicación  acerca  de  la  construcción  de  este  circuito  y  analizar  su  comportamiento    

 

 

Materiales:  1  Breadboard  o  Protoboard  

1  Resistor  1kΩ  

1  Inductor  de  150µH  

1  Capacitor  de  1µF    

1  Señal  AC  de  10mV