Livro Boyce Diprima 6ª Ed. Cap. II - Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Circuitos Primeira Segunda Ordem
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C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 1
CIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM
CIRCUITOS RL E RC
O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evolução da tensão ou correnteno tempo, exige a resolução de uma equação diferencial de 1ª ordem da forma.
)()(.)(
tftxadt
tdx=+ (1)
então )()()( txtxtx cp += é uma solução para equação diferencial acima.
O termo )(tx p é chamado de solução particular ou resposta forçada, e )(txc é
chamada de solução complementar ou resposta natural.Considerando que f(t) = A = constante, a solução geral diferencial consiste de
duas partes que são obtidas resolvendo-se as seguintes equações.
Atxadt
tdxp
p =+ )(.)(
(2) e 0)(.)(
=+ txadt
tdxc
c (3)
Sendo A constante, a solução )(tx p deve também ser constante, portanto
1)( Ktx p = . Substituindo esta constante na equação (2), tem-se aA
K =1 .
Examinando a equação (3).
[ ] atxdtd
atx
dttdx
cc
c
−=→−= )(ln)(
)(
que implica em Ctatxc +−= .)(ln .
Logo tac eKtx .
2 .)( −= .
Portanto a solução da equação (1) é tacp eK
aA
txtxtx .2 .)()()( −+=+=
A constante cTa
=1
é chamada de constante de tempo do circuito.
Uma propriedade interessante da função exponencial é mostrada na figura 1.A cada constante de tempo Tc, o valor sofre uma queda de 63,2% do valor inicial.
Figura 1Para efeitos práticos a resposta do circuito atinge o valor de regime
permanente em 5 constante de tempo (>5Tc).
C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 2
Para comprovação, estudaremos dois circuitos específicos e em funçãodestes iremos delinear um método para manipular esses circuitos em geral.
Considere o circuito mostrado na figura 2. No instante t = 0, a chave éfechada.
Figura 2
A equação que descreve o circuito para t > 0 é ∫ =+ sVtiRdttiC
)(.).(1
Derivando a equação em t, temos:
0)()(
=+dt
tdiR
Cti
ou 0)(1)(
=+ tiRCdt
tdi cuja solução é da forma cT
t
eKti−
= .)( 2 , que
substituindo na equação diferencial de primeira ordem tem-se
RCTeKRCT c
Tt
c
c =⇒=
+−
−
0..11
2 Portanto, a solução é RCt
eKti−
= .)( 2
A constante K2 é escolhida para que a solução completa satisfaça ascondições particulares do circuito.
Examinando o circuito da figura 3 de maneira semelhante àquela empregadapara o circuito da figura 2, obtemos.
Figura 3A equação que descreve o circuito par t > 0 é
LV
tiLR
dttdi
VtiRdt
tdiL s
s =+⇒=+ )()(
)(.)(
que tem como solução: cTt
eKKti−
+= .)( 21 e
que substituindo na equação diferencial de 1ª ordem, vem:
LV
eKKLR
eKT
sTt
Tt
c
cc =++−−−
).(.1
212
Equacionando a constante e os termos exponenciais, tem-se:
C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 3
RV
KLV
KLR ss =⇒= 11 e
RL
TeKLR
T cTt
c
c =⇒=
+−
−
0..1
2
Portanto, a solução é t
LR
s eKR
Vti
−+= .)( 2 e a constante K2 é escolhida para
que a solução completa satisfaça as condições iniciais do circuito.Em geral, um circuito RL ou RC, que contém um único elemento de
armazenagem, alimentado com uma tensão ou corrente contínua, a solução daequação diferencial que descreve uma corrente ou tensão desconhecida emqualquer lugar na rede pode ser descrita como
cTt
eKKtx−
+= .)( 21
A constante K1 é obtida em estado estacionário e diretamente da equaçãodiferencial.
Da equação diferencial anterior, fazendo t → ∞, obtemos x(t) = K1. Nestecaso, como a fonte é corrente contínua, basta analisar o circuito para a solução doregime permanente, substituindo o capacitor por circuito aberto e o indutor por umcurto circuito.
A outra constante K2 pode ser obtida via solução de um circuito dc no qual umcapacitor é substituído por uma fonte de tensão ou um indutor é substituído por umafonte de corrente.
A intensidade da fonte de tensão para o capacitor ou fonte de corrente para oindutor é um valor conhecido em um instante de tempo. Em geral, usaremos o valorda condição inicial. O valor inicial da tensão do capacitor ou corrente no indutor édeterminado a partir do circuito anterior, ou seja, o circuito antes de comutar chave.
A constante de tempo Tc pode ser determinada, calculando a resistênciaequivalente de Thevenin nos terminais do elemento de armazenagem.
Para circuito RC, Tc = RTh.C e para circuito RL, Tc =ThR
L
Normalmente, o circuito atinge o regime permanente em tempo t > 5.Tc, apósa comutação das chaves.
CIRCUITOS SEM FONTES
CIRCUITO RCConsidere o circuito da figura 4. O capacitor está inicialmente carregado com
tensão Vc(0-) = V0 e em série com um resistor.
Figura 4
C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 4
Uma vez que a rede não tem nenhuma fonte independente, a resposta docircuito depende somente dos elementos passivos do circuito e da tensão inicial.
Empregando a LKC ao nó superior, para t > 0, tem-se
0)(.1)(
0)()(
=+⇒=+ tvRCdt
tdvRtv
dttdv
C cuja solução é cTt
eKKtv−
+= .)( 21
Sendo 10)( Ktv ==∞→ ; 02210)0( VKKKVvc =⇒+==− e RCTc =
Portanto RCt
eVtv−
= .)( 0 (V) e RCt
eR
VRtv
ti−
== .)(
)( 0 (A)
A energia armazenada no capacitor no instante t = 0 é 20.
21
)0( VCWc =+ (J).
À medida que o tempo passa, a tensão diminui, como mostrada na figura 5.
Figura 5
CIRCUITO RLConsidere o circuito da figura 6. O indutor tem uma corrente inicial i(0-) = I0.
Figura 6
Aplicando-se a LKT ao longo do laço tem-se
0)()(
0)(.)(
=+⇒=+ tiLR
dttdi
tiRdt
tdiL , cuja solução é cT
t
eKKti−
+= .)( 21
Sendo 00)( 1 =⇒=∞→ Kti ; 02210)0( IKKKIi =⇒+==− e RL
Tc =
Portanto t
LR
eIti−
= .)( 0 (A) e
A tensão no resistor é dada por t
LR
eIRtiRtv−
== ..)(.)( 0 (V)No instante t = 0, a energia armazenada no indutor é
C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 5
20.
21
)0()0( ILWWL == −+ (J)
À medida que o tempo passa, a corrente diminui, como mostrada na figura 7.
Figura 7
CIRCUITOS RLCVamos assumir que alguma energia está inicialmente armazenada tanto no
capacitor como no indutor.Considere o circuito RLC paralelo básico da figura 8.
Figura 8A equação nodal para este circuito é
)()(
)().(1)(
00
tidt
tdvCtidttv
LRtv
sL
t
t=+++ ∫
Derivando esta equação em relação a t, temos:
dttdi
tvLdt
tdvRdt
tvdC s )(
)(1)(
.1)(
2
2
=++ ou dt
tdiC
tvLCdt
tdvRCdt
tvd s )(.
1)(.
1)(.
1)(2
2
=++ (a)
Considere agora o circuito RLC série básico da figura 9
Figura 9A equação de laço (malha) para este circuito é
C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 6
)()(
)().(1
)(. 00
tvdt
tdiLtvdtti
CtiR sc
t
t=+++ ∫
Derivando em relação a t, obtemos
dttdv
Cti
dttdi
Rdt
tidL s )()()()(
2
2
=++ ou dt
tdvL
tiLCdt
tdiLR
dttid s )(
.1
)(.1)(
.)(
2
2
=++ (b)
Os circuitos RLC série e paralelo conduzem a uma equação diferencial desegunda orem com coeficientes constantes.
Note que as equações (a) e (b) apresentam soluções semelhantes.
DESENVOLVIMENTO MATEMÁTICO DAS EQUAÇÕES DE RESPOSTAComo regra geral, a equação diferencial de Segunda ordem é da forma.
)()()()(
212
2
tftxadt
tdxa
dttxd
=++ (c)
Se )()( txtx p= é uma solução para a equação (c), e se )()( txtx c= é uma
solução para a equação homogênea 0)()()(
212
2
=++ txadt
tdxa
dttxd
(d), então
)()()( txtxtx cp += é uma solução para a equação (c).
Se f(t) = A = constante, a solução da equação (c) será da forma
)()(2
txaA
tx c+=
A solução da equação homogênea (d), onde 1a e 2a são constantes, é do tiposteKtx .)( =
Substituindo essas constantes α21 =a e 202 ω=a , a equação homogênea tem
a seguinte forma: 0)()(
2)( 2
02
2
=++ txdt
tdxdt
txdωα .
Substituindo a solução steKtx .)( = na equação acima temos:0..2. 2
02 =++ ststst eKesKeKs ωα . Dividindo a expressão toda por steK . , temos:
0.2 20
2 =++ ωα ss que é normalmente chamada de equação característica eα = coeficiente de amortecimento exponencialω0 = freqüência de ressonância complexa.Resolvendo a equação característica, obtemos dois valores de s, s1 e s2 que
as satisfazem. 20
21 ωαα −+−=s e 2
02
2 ωαα −−−=sComo s1 e s2 satisfazem a equação homogênea, a solução natural da
equação (c) é da forma. tstsc eKeKtx 21 ..)( 21 += , onde K1 e K2 são constantes que
podem ser avaliadas a partir das condições iniciais )0(x e dt
dx )0(.
Analisando os valores que satisfazem a equação homogênea, deparamoscom 3 casos distintos:
CASO 1, α > ω0 ⇒ as raízes são reais e diferentes e são também chamadasde freqüências naturais. Este caso é normalmente chamado de superamortecido e aresposta natural é da forma tsts
c eKeKtx 21 ..)( 21 +=
C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 7
CASO 2, α < ω0 ⇒ as raízes são complexos e conjugados. Chamando22
0 αωω −=d , as soluções s1 e s2 são do tipo djs ωα +−=1 e djs ωα −−=2 .Este caso é normalmente chamado de subamortecido e a resposta natural é
então ( )tjtjtc
dd eKeKetx ωωα −− += ..)( 21 .Usando- se então a identidade de Euler, a solução é da forma
[ ]tAtAetx ddt
c ωωα sen.cos.)( 21 += − onde dω = freqüência de ressonâncianatural (rad/s).
CASO 3 , α = ω0 ⇒ as raízes são reais e iguais e o caso é chamado decriticamente amortecido, resulta em α−== 21 ss e a solução da equação
homogênea é da forma tc eKtx α−= .)( 3 , onde K3 = K1 + K2.
No entanto, esta não pode ser uma solução para a equação diferencial desegunda ordem porque geralmente não é possível satisfazer as duas condições
iniciais )0(x e dt
dx )0(com a única constante K3 .
Substituindo α = ω0 na equação homogênea, temos:
0)(.)(
2)( 2
2
2
=++ txdt
tdxdt
txdαα , cuja uma solução conhecida é teKtx α−= .)( 31
Para encontrar a outra solução, vamos utilizar um artifício matemático queserá mostrada abaixo.
)(.)(
0)(.)(
)(.)(
txdt
tdxy
txdt
tdxtx
dttdx
dtd
α
ααα
+=
=
++
+
0. =+ ydtdy
α
Cuja solução é teBy .1 . α−= portanto teBtx
dttdx .
1.)(.)( αα −=+
Resolveremos utilizando um fator de integração eαt
1)(..)(
Btxedt
tdxe tt =+ αα α ⇒ ( ) 211 .).().( BtBetxBetx
dtd tt +=⇒= αα
Portanto, a solução geral é ).()( 21 BtBetx tc += −α onde B1 e B2 são
constantes derivadas das condições iniciais.As figuras 10a e 10b ilustram graficamente os três casos.
Figura 10
C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 8
Figura 10
Note que a resposta subamortecida é uma senóide exponencialmenteamortecida cuja taxa de queda depende do fator α, a resposta criticamenteamortecida sobe e desce mais rapidamente do que a resposta superamortecida.
A RESPOSTA DA REDEPara o circuito RLC série, cuja equação diferencial homogênea de 2ª ordem
0)(1)(
.)(
2
2
=++ tiLCdt
tdiLR
dttid
, temos L
R2
=α e LC1
0 =ω
E para o circuito RLC paralelo, onde a equação diferencial homogênea de 2ª
ordem 0)(1)(
.1)(
2
2
=++ tvLCdt
tdvRCdt
tvd, temos
RC21
=α e LC1
0 =ω
Para demonstrar as técnicas de análise, serão desenvolvidos algunsexemplos, que estarão em um arquivo específico como exemplos de circuitos RLCsérie e paralelo.