Circuitos Magneticos Dc y Ac
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MÁQUINAS ELÉCTRICAS
Ing. GILBERTO BECERRA ARÉVALO
INTRODUCCIÓN
El curso comprende el estudio de dos tipos de máquinas :
1) Máquinas Eléctricas Estáticas:
Se caracterizan porque en su parte operativa ninguna componente de la máquina semueve. En este campo de las máquinas se estudian:
– Al transformador 1Ø y 3Ø de potencia
– Al auto transformador 1Ø y 3 Ø de potencia
2) Máquinas Eléctricas Rotativas:
Se caracterizan porque en su funcionamiento una de las componentes de la máquinarota. En este campo de las máquinas se estudian a :
– Los Generadores en DC y AC
– Los Motores en DC y AC
En general toda máquina eléctrica basa su funcionamiento en elcampo magnético que produce la misma máquina.
PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE LA
MÁQUINA ELÉCTRICA ESTÁTICA
MAQUINA ESTÁTICAS1 = V1.I1 ; f S2 = V2..I2 ; f
CARGA
ELECTRIC
A
SALIDA A LA
CARGA
ENTRADA O
ALIMENTACIÓN
PERDIDAS DE
POTENCIA
*En la práctica las PÉRDIDAS DE POTENCIA para las máquinas estáticas,
son pequeñas; por lo que: S1 ≡ S2 ≡ S ≡ V.I
PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE LA
MÁQUINA ELÉCTRICA ROTATIVA
1. CASO DE GENERADOR O ALTERNADOR
CARGA
ELECTRICA
POTENCIA DE
ENTRADA
(Potencia
Mecánica)
Pe = τ.ω
POTENCIA
DE SALIDA
(Potencia
Eléctrica)
Ps = V.I
PERDIDAS MECANICAS + PERDIDAS ELECTRICAS
GENERADOR O
ALTERNADOR
2. CASO DE MOTOR
CARGA
MECÁNICA
POTENCIA DE
ENTRADA
(Potencia
Eléctrica)
Pe = V.I
POTENCIA
DE SALIDA
(Potencia
Mecánica)
Ps = τ.ω
PÉRDIDAS MECÁNICAS +
PÉRDIDAS ELÉCTRICAS
MOTOR AC Y
DC
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA
MAGNETOSTÁTICA
Fuentes magnéticas:
- Los imanes permanentes.
- La corriente eléctrica que fluye por un conducto.
CAMPO MAGNÉTICO O DENSIDAD DE FLUJO
MAGNÉTICO ( )
Las fuentes magnéticas se caracterizan por que producen en su espacio circundante líneas magnéticas o líneas de inducción magnética, que cumplen las siguientes propiedades:
1) Son líneas cerradas y orientadas de tal forma que cada punto de cada línea
magnética tiene asociado el vector en forma tangente. Por lo tanto, el
conjunto de líneas magnéticas definen un espacio vectorial llamado campo
magnético o densidad de flujo magnético
CASO IMÁN PERMANENTE:
CASO DE BOBINA CON CORRIENTE ELÉCTRICA (Electroimán):
Debido a la fuerte concentración de las líneas magnéticas dentro del núcleo:
2) Las líneas magnéticas no se cruzan
3) Las líneas magnéticas siempre buscan cerrase por el camino que les ofrece
menor reluctancia magnética o resistencia magnética (Rm). La familia de
materiales ferromagnéticos (hierro, níquel, cobalto, álnico y aleaciones como el
acero silicoso, etc.) se caracterizan por presentar baja resistencia magnética a las
líneas magnéticas.
4) El valor del campo magnético depende de las características magnéticas
del medio o material donde se encuentra. Por lo tanto, para los casos
anteriores, se cumple:
5) CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME:
Región del espacio donde el vector en todo punto es el mismo
(tiene el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido)
FLUJO MAGNÉTICO (Øm)
Es el número de líneas magnéticas que pasan a través de una determinada área o
superficie.
El flujo magnético a través de cada elemento diferencial de área
( dA) se define como:
dØm = .
flujo magnético total a través de toda área “A” :
Expresión general.
dASi es el ángulo entre los vectores y entonces aplicando el concepto de producto
escalar se tiene:
Expresión general
Si B y son constantes en todo punto del área A :
Øm= BA cos Expresión particular
Si es perpendicular al área y en el mismo sentido que entonces = 0º;
por lo tanto:
Øm = BA
dA
Expresión frecuentemente utilizada en
máquinas eléctricas
NOTA. Como Øm depende de la densidad de flujo magnético
B
entonces el flujo magnético también depende de las características
magnéticas del medio o material
UNIDADES:
- En el Sistema Internacional de Unidades, Øm se mide en weber y
B
se mide en weber / m2 o Tesla.
- En el Sistema Inglés, Øm se mide en líneas o maxwell y
B
se mide en líneas/pulgada2
1 weber = 108 líneas
INTENSIDAD DE CAMPO MAGNÉTICO ( )
H
Es aquella cantidad magnética cuyo valor depende de la corriente eléctrica que
genera el campo, y no de las características magnéticas del medio (Ley de Ampere).
B
HRELACIÓN ENTRE y
Donde existen líneas magnéticas, existe una relación importante entre y
dada por la expresión:
En módulo :
Donde μ es la permeabilidad magnética del medio o material donde se encuentran
las líneas magnéticas.
B
H
Para el aire libre o vacío:
mVA
Weber
7
0 104VA
mTesla
m
HenrriosO O
CLASIFICACIÓN MAGNÉTICA DEL LOS MATERIALES
De acuerdo al nivel de contribución magnética de los materiales hacia el
campo magnético externo ( definida por su μ), se los clasifica en dos grupos:
a) Materiales no Ferromagnéticos o malos materiales magnéticos:
Presentan una pobre contribución magnética al campo externo (µmaterial = µo).
Estos materiales, se clasifican a su vez en:
a) Materiales diamagnéticos. Se caracterizan por disminuir muy ligeramente el
campo magnético externo (cobre, plata, oro, mercurio, etc.)
b) Materiales paramagnéticos. Se caracterizan por reforzar o incrementar muy
ligeramente el campo magnético externo (aluminio, platino, cromo, etc.)
NOTA 1: Explicación de la Física:
En el estado desimantado 0
im
NOTA 2. En los materiales no ferromagnéticos los momentos dipolares
magnéticos de los átomos, actúan en forma individual.
NOTA 3: Los materiales no ferromagnéticos son materiales lineales, dado que
dentro de estos materiales la relación B vs. H responde a una línea recta ( µmat ~
µo):
b) Materiales Ferromagnéticos o buenos materiales magnéticos: hierro,
álnico, níquel, cobalto, y aleaciones como el acero al silicoso.
Presentan las siguientes características:
a) Refuerzan considerablemente el flujo y campo magnético externo, debido al alto
μ que poseen.
Explicación de la Física. Considera que intrínsecamente estos materiales poseen
regiones que actúan como pequeños imanes (DOMINIOS):
Para un material ferromagnético virgen (nunca ha sido expuesto a un campo
externo) en el estado desimantado: la sumatoria de efectos magnéticos de sus
dominios es igual a cero (el material no refleja sus características magnéticas).
OJO: Los materiales ferromagnéticos solamente contribuyen a incrementar el campo o
flujo magnético externo, hasta antes de alcanzar su estado de saturación.
b) Son materiales NO LINEALES.
Comportamiento de un material ferromagnético virgen sólo en el proceso
de imantación:
c) Todo material ferromagnético sometido a una imantación, queda imantado
después que se le retira el flujo Imantador (retiene cierto magnetismo Br ). Por lo
tanto, el material ferromagnético se comporta como un imán.
d) Luego, si a un material ferromagnético se lo imanta y desimanta sucesivamente,
entonces, intrínsecamente el material desarrolla su denominado ciclo de
histéresis o lazo de histéresis.
e) Para un mismo material ferromagnético se pueden obtener muchos ciclos de
histéresis. Esto permite obtener la denominada curva de magnetización, o curva
de saturación o curva B – H del material, que generalmente es proporcionada por
el fabricante para ser utilizada con fines prácticos.
f) El alto µ que poseen los materiales ferromagnéticos, hace que su reluctancia
magnética o resistencia magnética sea pequeña, por lo que se dice que estos
materiales son “buenos conductores del flujo magnéticos”.
Permeabilidad Magnética Relativa de un medio o
material (µr)
Se define por la relación:
µr = µ / µo
Para materiales no ferromagnético µr = 1
Para materiales ferromagnéticos, µr >>> 1 y dependiendo
de la calidad del material ferromagnético µr como valor
promedio, puede ser muy grande hasta el orden de los
miles (400, 800, 1500,…., 10000, etc.).
LEY CIRCUITAL DE AMPERE
Es una ley física, que relaciona la corriente eléctrica con la
intensidad de campo magnético que genera dicha corriente.
Sea el siguiente sistema de hilos de corriente en el medio el aire libre:
La ley de ampere establece que:
C
dlH = corriente neta encerrada por la trayectoria “C”. (Expresión general)
H
dlSi es el ángulo entre los vectores y entonces la Ley de Ampere se puede expresar:
C dlHCos = corriente neta encerrada por “C”
APLICACIÓN Nº 1
Calcular la intensidad de campo magnético H a una distancia r de un alambre
recto y muy largo que transporta una corriente I . El alambre se encuentra en
el espacio libre.
Por Ampere:
C dlHCos = corriente neta encerrada por “C”
r
IHIrH pp
22
Si el alambre está en el aire libre, entonces:r2
IBHB 0
pp0p
APLICACIÓN Nº 2
Intensidad de campo magnético “H” dentro de un núcleo ferromagnético anular:
Aplicando Ampere:
C )dlHCos( = corriente neta cerrada por “C”
Como:
Hm = constante a lo largo de trayectoria “C”
θ = 0° a lo largo de trayectoria “C” y además
Hm . lm = NI
m
ml
NIH
m
VA
m
A Por lo tanto en el S.I de unidades “H” se mide en ò
lgpu
Aò
“NI” es denominado Fuerza magnetomotriz de la bobina (f.m.m de la
bobina).
lgpu
VA En el sistema Ingles “H” se mide en
m mB
NOTA: En general, en las máquinas eléctricas la fuerza magnetomotriz de sus
bobinas son las que producen el flujo magnético o campo magnético
para el funcionamiento de la máquina.
RELUCTANCIA MAGNÉTICA O RESISTENCIA MAGNÉTICA DE UN NÚCLEO (Rm)
Es la característica que tiene todo medio o material de oponerse al paso de las
líneas magnéticas o flujo magnético m
Sea el siguiente
núcleo feromagnético
que contiene un flujo
Øm :
Por Ampere, se cumple que:
Hm = NI / lm NI = Hm .lm ……………… (1)
Reemplazando (2) en (1):
Luego el circuito eléctrico correspondiente del núcleo ferromagnético
propuesto (circuito magnético), es:
Si el núcleo ferromagnético fuese ideal, entonces µ = ∞ y por lo tanto Rm = 0 y d = 0
CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Un circuito magnético es aquel conjunto de resistencias magnéticas donde existe
m producido por la f.m.m de bobinas.
Por lo tanto, toda máquina eléctrica resulta ser un circuito magnético ya que
físicamente están constitutitas por núcleos ferromagnéticos sobre las cuales
se arrollan o devanan bobinas que producen f.m.m par su funcionamiento.
Ejemplo: El núcleo ferromagnético anterior resulta ser un circuito magnético.
Luego, si despreciamos el de su bobina, entonces su circuito eléctrico
correspondiente será:d
Rm = Reluctancia del núcleo
Rma = Reluctancia del aire
CIRCUITOS MAGNÉTICOS IMANTADOS
CON CORRIENTE CONTINUA
1. CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLE DE SECCIÓN TRANSVERSAL
CONSTANTE IMANTADO CON DC
Núcleo:
Es del tipo ferromagnético laminado, comúnmente se utilizan láminas de
acero silicoso, de espesores 0.5mm, 0.35mm, 0.25mm. Las láminas están
debidamente aisladas utilizando generalmente una película de aislante de
CARLITE (resina química). Las máquinas eléctricas estáticas y rotativas, siempre
presentan núcleos ferromagnéticos laminados.
Longitud Media del Núcleo ( lm )
lm = (d + a/2 + a/2) x 2 + ( c - a/2 - a/2)x2
Sección Transversal efectiva o útil del núcleo ( Am )
Am = Área geométrica x factor de apilamiento o factor de relleno ; es decir :
Am = a.b x fa fa siempre ≤ 1
Para láminas con asilamiento carlite el fa generalmente varía entre 0.9 y 0.95 , y
suele ser dato de diseño.
NOTA: Se tiene como datos:
N = # de láminas del núcleo
t = espesor de cada lámina
entonces: Am = a.N.t
Despreciando el flujo de dispersión de la bobina el circuito eléctrico
correspondiente del circuito magnético propuesto es:
Luego se cumple las siguientes expresiones matemáticas:
Por Ampere: mm RNI Cuando se conoce μ o μr del núcleo.
mm lHNI Cuando no se conoce μ o μr del núcleo.
DATO:
SOLUCIÓN DEL CIRCUITO MAGNÉTICO PROPUESTO:
1er Caso:
m en el núcleo, y curva B-H del material.
INCÓGNITA:
f.m.m. “NI” de la bobina o corriente I o μ del material o Rm del núcleo o inductancia
L de la bobina.
Por Ampere:
NI = Hm . lm ………(1)
Con dato m
m
mm
AB
curva B-H del material, y se obtiene Hm :
Cálculo de la inductancia “L” del a bobina:
Por definición la inductancia de una bobina es:
I
NL m
Entonces reemplazando el valor de “I” calculado con la expresión (1) y m
se obtiene el valor de “L”
En el sistema internacional de unidades “L” se mide en Henrios (H), sin embargo las
unidades prácticas que se utilizan con frecuencia son el mH y el μH.
1mH = 10 -3 H
1μH = 10 -6 H
Nota:
La inductancia de una bobina es un parámetro eléctrico que depende de
factores constructivos.
Para el circuito magnético que se está analizando, se cumple:
Por definición:
I
NL m
Pero, del circuito eléctrico correspondiente se tiene que:
mm RNI
m
mR
NI
Luego reemplazando este flujo en la expresión de la inductancia, se tiene:
mR
NI
I
NL
m
2
R
NL
Pero:
m
mm
A
lR
m
m
l
ANL
2
2do Caso:
DATO: f.m.m. (NI) de la bobina y curva B-H del material:
INCÓGNITAS: m μ, Rm o L
Por Ampere:
mm lHNI
m
ml
NIH Utilizando curva B-H del material, se tiene :
con el Bm hallado, se determina: mmm AB
También se puede determinar los valores de:
m
mm
A
lR
I
NL m
CIRCUITO MAGNÉTICO SIMPLE DE SECCIÓN
TRANSVERSAL CONSTANTE CON
ENTREHIERRO, IMANTADO CON DC
Por ser las líneas magnéticas, líneas cerradas, entonces se cumple que:
ma
Por efecto de los bordes del entrehierro que produce ensanchamiento y
deformación de las líneas magnéticas, se cumple:
aA > geometricaA
El área del entrehierro se determina con expresiones empíricas.
Para el caso de entrehierros de caras rectangulares iguales y paralelas, se
utiliza la siguiente expresión empírica:
Aa = (a + la ) . (b + la )
CIRCUITO ELÉCTRICO CORRESPONDIENTE
Despreciando el d se tiene el siguiente circuito correspondiente:
mComo Ra > Rm será menor que cuando no tiene entrehierro
CASO GENERAL DE CIRCUITO MAGNÉTICO CON VARIAS R m EN SERIE
Su circuito eléctrico correspondiente despreciando flujo de dispersión es:
Se cumple:
O también:
CIRCUITOS MAGNÉTICOS DE SECCIÓN
RECTANGULAR CON RAMAS EN
PARALELO, IMANTADAS CON DC
Despreciando d el circuito eléctrico correspondiente es:
NOTA. En general, para resolver cualquier circuito magnético, se plantean las
“Leyes de Kirchoff Magnéticas”:
)( m)( mPRIMERA LEY: que entran en un nodo = que salen de un nodo
Para el circuito magnético propuesto:
mCmAmB
SEGUNDA Ley: ( voltajes magnéticos en cualquier trayectoria cerrada) = 0
Para el circuito magnético propuesto se puede plantear:
mAmAaBmBmBmB RRRNI
O también:
aBmBmAmAmBmB RlHlHNI
OJO: También se pueden plantear otras expresiones de la segunda ley.
UNIDADES MAGNÉTICAS
Denominación Magnética S.I. Sistema Ingles
Weber Líneas o Maxwell
Bm Weber/m2 o Tesla líneas/pulg2
Hm A-V/m o A/m AV/pulg o A/pulg
μo4 x 10-7 weber/A-V.m 1/313 klíneas/A-V.pulg
Rm 1 / H
1 weber = 108 líneas
PROBLEMA 1
El circuito magnético mostrado tiene un núcleo ferromagnético de acero silicoso
tipo H-23, formado por 80 láminas de 0,5mm de espesor y con un factor de
apilamiento de 0,9. Si por la bobina se hace fluir una corriente DC entonces la
densidad del flujo magnético en el entrehierro de la columna izquierda es 1.1182
Tesla. Determinar la fuerza magnetomotriz de la bobina
OJO: La corriente es de sentido contrario y las longitudes medias no
están correctas
la = 0.5 mm
a = 19 mm
SOLUCIÓN:
lmA= lmC= (2a + a/2) x 2 + (3a +a/2 + a/2)
lmA= lmC= 171 mm= 171 x 10-3 m
lmB = (3a +a/2 + a/2)
lmB = 76 mm = 76 x 10-3 m
Areas:
AmA= AmC= 19x80x0.5 mm2
AmA= AmC= 760 x 10-6 m2
AmB= 38x80x0.5 mm2 =2 AmA
AmB= 1520 x 10-6 m2
AaA = AaC = (a+la) (b+la)
AaA = AaC = (19 + 0.5) (80 x0.5/0.9 +0.5) mm2
Longitudes medias:
AaA = AaC = 876,416667 x 10 -6 m2
AaB = (38 + 0.5) (80 x0.5/0.9 +0.5) mm2
AaB = 1730,36111x10-6 m2
Reluctancias de los entrehierros:
R aA = R aC = la / μo AaB
R aA = R aC = 0.5 x 10-3 / 4x10-7x 876,416667 x 10-6 1/H
R aA = R aC = 453999,3718 1/H
RaB= 0.5 x 10-3 / 4x10-71730,36111x10-6 1/H
RaB= 229944,6949 1/H
Circuito eléctrico correspondiente:
Por simetría: ØmA = ØmC
Entonces ØmB = 2ØmA = 2ØmC
Incógnita: f.m.m. de la bobina (NI)
Por dato: BaA = 1.1182 Tesla ØaA = ØmA = BaA . AaA
ØmA = 1.1182 x 876,416667 x 10-6 weber
ØmA = 0.98 x 10-3 weber = ØmC
ØmB = 2 x ØmA = 1,96 x 10-3 weber
Del circuito eléctrico correspondiente se cumple:
NI = ØmBRmB + ØmBRaB + ØmCRmC + ØmCRaC
O también:
NI = HmB lmB + HmC lmC + ØmB RaB + ØmC RaC …………..(1)
Pero: ØmB BmB = ØmB / AmB BmB = 1,29 tesla
de la curva B – H del material: HmB = 297 AV/m
También: ØmC BmC = ØmC / AmC BmC =1,29 tesla
de la curva B-H del material: HmC = 297 AV/m
Remplazamos valores en (1) se obtiene:
NI = 968,9641 A.V Respuesta
PROBLEMA 2
El circuito magnético mostrado tiene núcleo de acero silicoso formado por láminas
de 0,5 milímetros de espesor de material tipo H – 23 y tiene un factor de
apilamiento de 0,9. Se pide:
a) Determinar la inductancia total de las bobinas, si la densidad del flujo
magnético en el entrehierro es 0,75 Tesla
b) Si el núcleo del mencionando circuito magnético se ajusta de tal manera que
no tenga entrehierro, entonces ¿Es verdad que la inductancia total de las bobinas
se incrementa con respecto al caso anterior, para el mismo valor de corriente
DC? Demostrar su respuesta:
OJO: Las bobinas
son de 1000 esp.
y 300 esp. y son
aditivas, y no
sustractivas como
aparece en la
figura.
SOLUCIÓN
a)
lm = 200 x 2 + (300 – 50 – 0.9) x 2 mm = 898 x 10 -3 m
Am = 50x50x0.9 mm2 = 2.25x10-3 m2
Aa = (50+ 0.9) x (50+0.9) = 2590,81 x 10 -6 m2
Ra= 0,9 x 10 -3 / 4x10-7x 2590,81 x 10-6 1/H
RTa = 2 Ra = 552, 875158 x 103 1/H
Circuito Eléctrico correspondiente:
Por dato:
Ba = 0.75 tesla
Entonces:
Øa = Øm = Ba Aa
Øm = 0.75 x 2590,81x 10-6 Tesla
Øm = 1943,1075 x 10-6 Tesla
Piden el valor de la inductancia total de bobinas:
LTOTAL = 1300 Øm / I…………….. (1)
Calculo de I:
Del circuito eléctrico correspondiente:
1300 I = Øm (Rm + RTa) o también:
1300 I = Hm lm + Øm RTa…………. (2)
Pero: Øm Bm = Øm / Am = 0,8636 Tesla = 0,86 Tesla
Entonces de la curva B-H del material se obtiene: Hm = 134 AV/m
Reemplazando valores en (2):
I = 0.92 A
Reemplazando valores en (1):
L total = 2.746 H Respuesta
b)
Con entrehierro: L total = (1300)2 / (Rm + Rta)
Por lo tanto: L total < L* total
Sin entrehierro: L*total = (1300)2 / Rm
La proposición es VERDADERA, dado que la inductancia de las
bobinas se incrementa sin entrehierro
CIRCUITOS MAGNÉTICOS ALIMENTADOS CON
VOLTAJE ALTERNO: REACTORES DE NUCLEOS
FERROMAGNETICOS
Sea el siguiente reactor de núcleo ferromagnético:
¿Cuál es la forma de
onda de la f.e.m
inducida e(t); del flujo
Ф(t) confinado en el
núcleo, y de la
corriente de
excitación io(t)?
Por Faraday:
…………………. (1)
Si despreciamos las resistencias de las bobinas y el d , entonces del circuito
de la bobina se cumple:
v(t) = e (t)……………………. (2)
Así mismo, de (2) y (1) se concluye que el flujo magnético )t(
confinado en el núcleo, resulta ser una ONDA ALTERNA SENOIDAL.
Por lo tanto, si para cualquier instante, este flujo es:
tSen.)t( max
e(t) = N. dΦ/dt
Por lo tanto, la f.e.m inducida tiene una forma de onda del tipo alterno senoidal.
La fuerza electromotriz (f.e.m) que se induce en la bobina es:
90tSen..fN2)t(eft2Cos.f2..N)t(eft2Sen.dt
d.N)t(e maxmaxmax
Por lo tanto, el valor eficaz de la f.e.m. inducida en la bobina es:
2
EE max max.N.f44.4E
Pero )t( = B(t).A
Entonces:
maxmax B.A
Por lo tanto:
E = 4,44 f.N.A.Bmax (Expresión de diseño)
Pero: v(t) = e(t) V = E (Valores eficaces)
Luego, en la práctica se considera: V = 4.44 f.N.A.Bmax
Comportamiento gráfico de e(t) y Φ(t) :
Representación fasorial de e(t) y Φ(t) :
PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN LOS NÚCLEOS FERROMAGNÉTICOS
Todo flujo alterno contenido o confinado dentro de un material ferromagnético,
ocasiona calentamiento del núcleo, el mismo que se disipa en forma de calor.
Dicho calentamiento se debe a dos fenómenos físicos que produce el flujo
alterno dentro del material:
1. Hace que el material intrínsecamente desarrolle su ciclo de histéresis, el cual se
repite a la frecuencia del flujo o voltaje de alimentación, ocasionando las
denominadas PÉRDIDAS DE HISTÉRESIS (PH).
2. Hace que dentro del material ferr. se genere o induzca corriente eléctrica, las cuales
son denominadas corrientes parásitas o de torbellino o corrientes de Foucault, que
por efecto Joule ocasiona las denominadas PÉRDIDAS POR FOCAULT (PF).
Pérdidas por Histéresis (PH)
son producidas por el movimiento y fricción molecular intrínseco que se produce
dentro del material ferromagnético, como consecuencia de la repetición del ciclo
de histéresis a la frecuencia del voltaje de alimentación.
Sea el siguiente flujo
senoidal dentro del
núcleo ferromagnético:
Luego, por cada período “T” del flujo imantador, el material ferromagnético
intrínsecamente desarrolla un ciclo de histéresis; esto hace que el ciclo de histéresis
se repite a la frecuencia del voltaje de alimentación, que finalmente se traduce en
calentamiento.
Expresión Matemática (teórica) de la PH. El físico Steinmetz, empíricamente
determinó que las pérdidas por histéresis son directamente proporcionales al área
encerrada por el ciclo, y encontró la siguiente expresión matemática (teórica) para
determinar dichas pérdidas:
Donde:
Para un núcleo construido se puede considerar:HkVol . constante de histéresis
Por lo tanto:n
HH BfkP max.. watts
Nota: En la práctica las perdidas por histéresis solamente podrán ser
reducidas utilizando buenos materiales ferromagnéticos, es decir
materiales ferromagnéticos BLANDOS como el acero silicoso que presenta
ciclos de histéresis de área reducida.
Pérdidas por corrientes parásitas o pérdidas por Focault (PF)
Experimentalmente se comprueba que todo material conductor que es
atravesado por un flujo magnético alterno, se calienta, disipando energía en forma
de calor. Esto demuestra que de acuerdo con la ley de Faraday - Lenz, el flujo
alterno dentro del material induce corrientes eléctricas, al cual se le denomina
corrientes parasitas o corrientes de Foucault, las cuales por efecto joule calentaran
al material.
Las corrientes parásitas o de Foucault producen en los núcleos ferromagnéticos
las denominadas pérdidas por FOCAULT (PF).
Las corrientes parásitas y las pérdidas que produce dependen de la frecuencia del
flujo imantador que es la misma que del voltaje de alimentación.
.
Las corrientes parásitas producen dentro del material el fenómeno de
apantallamiento que hacen que el flujo y campo magnético se aleje del centro
del área del núcleo para concentrarse en el área lateral de la sección transversal.
Para reducir las corrientes parásitas y por ende las pérdidas por Focault en los
núcleos ferromagnéticos de las maquinas eléctricas, lo que se hace en la práctica
es aumentar la resistencia eléctrica del núcleo, mediante 2 procedimientos:
1. Construyendo núcleos laminados con láminas debidamente aisladas.
2. Aleándolo al material ferromagnético con silicio en hasta 4% o 5%, con lo
cual se logra no solo aumentar la resistividad del material ferromagnético
sino también se logra mejorar la permeabilidad magnética.
EXPRESIÓN MATEMÁTICA (TEÓRICA) A LAS PÉRDIDAS POR FOCAULT (PF)
Despreciando el efecto de apantallamiento, la expresión matemática (teórica)
que se deduce para determinar las pérdidas por Foucault es:
6
....2
max
222 BftVolPF
Donde:
Vol = volumen neto del núcleo
t = espesor de la lámina ferromagnética
f = frecuencia del voltaje de alimentación
Bmax = valor pico de la senoide B(t)
ρ = resistividad del material
Para un núcleo construido:
6
.. 22 tVolKF Constante de Foucault
Luego, reemplazando la constante de Focault se tiene:
2
max
2 .. BfKP FF Watts
PÉRDIDAS TOTALES O PÉRDIDAS EN EL FIERRO (Pfe)
FHfe PPP Watts o :2
max
2
max .... BfKBfKP F
n
Hfe Watts
DETERMINACIÓN PRÁCTICA DE LAS Pfe
En la práctica Industrial las Pfe se determinan utilizando curvas de pérdidas
del material ferromagnético, proporcionadas por el fabricante:
Por lo tanto, las pérdidas en el fierro de diseño serán: fefefe GpP . watts
Donde: feG = peso neto de fierro, que se determina teniendo en cuenta la
densidad del material (dato).
fierro
)(
)(3mVol
KgG fe Donde: Vol = volumen neto de
MEDIDA DE LAS PÉRDIDAS EN EL FIERRO
Se utiliza un VATÍMETRO 1Ф, para lo cual se monta el siguiente circuito.
El vatímetro lee toda la potencia activa que absorbe el reactor; es decir:
NOTA. Si no se tuviese vatímetro, entonces se puede determinar las pérdidas
en el fierro utilizando un voltímetro, un amperímetro y un cosfímetro:
CosIVPfe .. 0
Las cualidades magneticas de las chapas o laminas de acero al silicio dependen del laminado
que se les practique y de los tratamientos ternicos sometidos duyrante su fabricacion.
Las chapas laminadas en caliente presentan menor u y mayores perdidas magneticas que las
chapachapas laminadas en frio para la misma frecuencia.
A la lamina obtenida por laminacion en frio tambien se lo llama lámina de grano orientado,
que son las que se utilizan en lafabricacion de transformadores de mediana y alta frecuencia.
Despreciando la resistencia de la bobina y el flujo de dispersión ( ), d
por Ampere, se tiene:
CORRIENTE DE EXCITACIÓN QUE ABSORBE UN REACTOR (io(t) )
Forma de la onda de la io(t):
Pero )(t dentro del núcleo, hace que el material intrínsecamente desarrolle
ciclos de histéresis:
Luego, como el µ del material no permanece constante debido al ciclo de histéresis,
entonces la forma de onda de la )(0 ti deja de ser senoidal, y presenta el siguiente
comportamiento grafico:
La io(t) resulta ser una onda periódica simétrica rotacional, por lo que su
expresión matemática queda definida por la serie de Fourier con armónicos
de orden impar:
io(t) = Imax1 sen wt + Imax3 sen 3wt + Imax5 sen 5wt + ………………+ Imaxk sen kwt +…
… + I’max1 cos wt + I’max3 cos 3wt + I’max5 cos 5wt + ………………+ I’maxk cos kwt +…
Interpretación Práctica de la io :
S = Pfe + Q ; Pero por ser el dispositivo un reactor: Q >>Pfe
Potencia que absorbe
el reactor: S = V.Io
Potencia activa
Potencia reactiva
S tiende a ser Q , por lo tanto se tiene el siguiente triángulo de potencias:
Luego se tiene el siguiente diagrama fasorial para las corrientes:
MODELO CIRCUITAL DEL REACTOR DE NÚCLEO FERROMAGNÉTICO
Despreciando la resistencia de la bobina y el Ød, el modelo circuital del reactor es el
siguiente:
Donde:
g = conductancia de pérdidas en siemens o mhos.
b = susceptancia de magnetización en siemens o mhos.
Luego la admitancia del reactor es: jbgY
NOTA. Si se considera “R” de la bobina y Ød el modelo del reactor será:
La caída de tensión ∆ V en la práctica es bastante pequeña y por lo tanto despreciable
DETERMINACIÓN DE LOS
PARÁMETROS DEL MODELO CIRCUITAL
DEL REACTOR
Se monta el siguiente circuito
Entonces se cumple que:
Pfe = V2 . g g = Pfe / V2 mhos o siemens
También se cumple que:
jbgY
Entonces:
22 gYb 2
2
2
0
V
Pfe
V
Ib mhos o siemens
Nota: En el diseño también se pueden encontrar el valor de los parámetros
“g” y “b”.
Se sabe que:
22
0 mr III ………………….(1)
En la práctica Ir es pequeña comparada con Im, dado que suele ser
aproximadamente hasta un 15% de I0, por lo que de acuerdo con la expresión (1):
mII 0
en ele diseño, el valor de I0 se puede determinar usando la siguiente curva:
Entonces: I0 = (S.Gfe) / V Amperios
Donde: Gfe = peso neto del fierro en Kg
V = voltaje de diseño en voltios
Nota: Si no se desprecia la Ir, entonces la Im se determina usando la curva B-H
del material ferromagnético, y la Ir con la curva de pérdidas. Luego se aplica la
expresión matemática (1).
PROBLEMA 1
Cuando a un reactor de núcleo ferromagnético se lo alimenta con 200V, 60Hz
entonces las pérdidas por histéresis son 40 Watts y las pérdidas por Foucault
20 Watts, siendo la densidad de flujo magnético 0.93 Tesla. Si a dicho reactor se
lo alimenta con el voltaje V(t) = 250 sen (377t) + 71.5 sen (1131t) voltios. Entonces,
¿Cuáles serán las nuevas pérdidas en el fierro?. Considerar exponente de Steinmetz
1.6. Despreciar la resistencia de bobina y flujo de dispersión.
Solución:
1er caso:
f1=60H
PH1 = 40
PF1 = 20 W
Bmáx1 = 0.93 Tesla
2do caso:
Analizando cada componente senoidal, se tiene:
De igual manera, para la componente: v2’’(t) =71.5 sen (1131t) voltios, se obtiene.
Luego, considerando las dos componentes senoidales:
22222 '''''' FHFHfe PPPPP …….(α)
Cálculo de los Bmax de cada componente de voltaje senoidal:
En general, se sabe que: V = 4.44.f..N.A.Bmax, entonces:
Para el caso 1: 200 = 4,44 x 60 x NA x 0.93 …………(1)
Para componente v2’(t) : 176,78 = 4,44 x 60 x NA x B’max2 ….... (2)
Para componente v2’'(t) : 50,51 = 4,44 x 180 x NA x B’’max2…... (3)
Dividiendo (2) entre (1): B’max2 = 0,822 tesla
Dividiendo (3) entre (1): B,,max2 = 0,0783 tesla
Cálculo de las pérdidas por histéresis para cada caso:
En general se sabe que:
PH = KH .f .Bnmax
Para caso 1: 40 = KH x 60 x 0.931.6…………………(4)
Para la componente v2’(t) : P’H2 = KH x 60 x 0.8221.6……………..(5)
Para la componente v2’’(t) : P’’H2 = KH x 180 x 0.07831.6 ……………(6)
Dividiendo (5) entre (4) : P’H2 = 32,831 Watts
Dividiendo (6) entre (4) : P’’H2 = 2,289 Watts
Cálculo de las pérdidas por foucault para cada caso:
En general se sabe que:
PF = KF .f2 .B2max
Para caso 1: 20 = KF x 602 x 0.932……………...(7)
Para la componente v2’(t) : P’F2 = KF x 602 x 0.8222………….(8)
Para la componente v2’’(t) : P’’F2 = KF x 1802 x 0.07832 ……….(9)
Dividiendo (8) entre (7) : P’F2 = 15,625 Watts
Dividiendo (9) entre (7) : P’’F2 = 1.276 Watts
Luego, reemplazando los valores encontrados en (α), se obtiene:
Pfe2 = 52,021 Watts
Un reactor de núcleo ferromagnético está diseñado para trabajar con 60Hz.
Si este reactor es instalado en un sistema eléctrico de 50Hz con la misma tensión:
PROBLEMA 2:
¿Aumenta o disminuye la corriente de excitación que absorbe el reactor?
Solución:
1er caso
2do caso
En general, despreciando R de la bobina y el flujo de dispersión, por Ampere:
N.I = H.l
En general se sabe que: V = 4,44 . f . N.A . Bmáx entonces:
Primer caso: V = 4,44 . 60 . N.A . Bmax1
Segundo caso: V = 4,44 . 50 . N.A . Bmax2
Dividiendo:
150
60
2max
1max B
B Bmax2 = 1.2 Bmax1
Finalmente, analizando el gráfico, se obtiene:
Teniendo en cuenta lo anterior se concluye que:
Iomax2 > Iomax1
PROBLEMA 3:
La densidad de flujo magnético y las pérdidas en el fierro de un reactor de núcleo ferromagnético a 6600V, 60Hz, son 1.6 tesla y 2500 Watts respectivamente. Supóngase que se duplican las dimensiones lineales del núcleo que se reducen a la mita el número de espiras de su devanado y que a este nuevo reactor así formado se lo alimenta con 13200 voltios, 50Hz.
¿Cuáles serán las pérdidas en el fierro de este nuevo reactor, (consideren que el factor de apilamiento es el mismo en ambos casos?
1er caso:
2do caso:
Determinación de la relación de los Bmax:
En general: V = 4.44 . f .N. A . Bmax
Primer caso: 6600= 4,44 x 60 x NA x Bmax1
Bmax1 = Bmax2
Segundo caso: 13200 = 4,44 x 50 x NA x Bmax2
2
En general, también se sabe que:
Pfe = η .Vol . f . Bn máx + Vol . 2 . t2 . f2 . Bmax
2
6ρ
*) Aplicando esta expresión de pérdidas a cada caso se tiene:
Caso 1: 2500 = η . A1 . lm . f . Bn max + A1 . lm . 2 . t2 . f2 . Bmax
2
6p
Caso 2: Pfe2 = η . 8 A1 . lm .f . Bn max + 8 A1 . lm . 2 . t2 . f2. Bmax
2
6ρ
Pfe2 = 8 (2500)
Pfe2 = 20000 Watts