DISEO COMPUTACIONAL DE

Hugo Gilberto Garca Guerra

PRLOGO

Dentro del vasto campo de la electrnica, la seccin que atae a los circuitos lgicos digitales es indudablemente la de mayor expansin y tambin la ms interesante. Muchos de los grandes avances tecnolgicos de nuestra era, han sido un resultado directo de la aplicacin de la lgica digital a la resolucin de problemas especficos.

La comunicacin va satlite, los viajes espaciales, las computadoras, las videocmaras de enfoque automtico, los equipos digitales de sonido, los telfonos celulares, las impresoras lser e infinidad de dispositivos automticos de medicin, sealizacin y control, as como de electrnica de entretenimiento han podido desarrollarse gracias a los avances en electrnica digital. El desarrollo del circuito integrado en los aos sesentas y el del microprocesador en los setentas son prueba evidente del grado de madurez alcanzado en este campo. La alta densidad de integracin lograda actualmente en los circuitos integrados ms avanzados, como pudieran ser algunos de los microprocesadores de vanguardia, que agrupan en su interior mas de dos millones de transistores, son representativos de estos logros. La computadora personal se ha constituido en la herramienta indispensable para el diseador de circuitera digital. Ella nos facilita el disear circuitos lgicos complejos y tambin simular y verificar nuestros diseos. Este libro corresponde a un primer curso de circuitos lgicos y est destinado a introducir a los estudiantes a este fascinante campo de la electrnica. En el curso disearemos y construiremos circuitos lgicos relativamente sencillos, aplicndolos siempre que sea posible a la solucin de problemas reales. Veremos cmo emplear a la computadora para obtener la ecuacin booleana ms reducida, y cmo podemos verificar que la solucin obtenida es correcta. Tambin utilizaremos a la computadora para simular y analizar el comportamiento de un circuito digital que hayamos diseado, armndolo por programa y aplicndole las seales de prueba que nosotros elijamos. Veremos los algoritmos y los programas fuente originales del autor, para tener una idea clara de cmo trabajan los programas comerciales de diseo y simulacin de circuito lgico, que normalmente se venden en miles de dlares. Adems de suministrar informacin, nuestros cursos deben proporcionar formacin, razn por la cul los aspectos tericos sern fuertemente respaldados por la prctica. En este curso realizaremos numerosas practicas de laboratorio que nos permitirn consolidar la informacin terica y a lo largo del semestre escolar se propondrn pequeos proyectos que induzcan al estudiante al diseo y construccin fsica de circuitos digitales. Al trmino del curso se realizar un trabajo final, que aplique las diversas herramientas terico prcticas adquiridas.

Hugo Gilberto Garca Guerra

CAPTULO 1 ALGEBRA BOOLEANA OBJETIVOS: DESPUS DE ESTUDIAR ESTE CAPTULO, EL EDUCANDO MANEJA LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL DISEO DIGITAL, Y SER CAPAZ DE:

1.- ESTABLECER LA TABLA DE VERDAD DE LAS DIVERSAS FUNCIONES LGICAS BSICAS. 2.- DESCRIBIR LA LGICA DE CIRCUITOS SIMPLES CON INTERRUPTORES, MEDIANTE UNA TABLA DE VERDAD. 3.- OBTENER LA ECUACIN BOOLEANA CORRESPONDIENTE A UNA TABLA DE VERDAD. 4.- ENUNCIAR LOS POSTULADOS Y TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA BOOLEANA. 5.- EMPLEAR EL LGEBRA DE CONJUNTOS PARA VERIFICAR LA VALIDEZ DE UNA ECUACIN BOOLEANA.

LGICA BINARIA

Para iniciar el estudio de la lgica binaria, consideramos un circuito formado por una batera, un interruptor y una lmpara, conectados en serie. Establezcamos por convencin que una entrada 0 representa al interruptor abierto y una entrada 1 al interruptor cerrado. Similarmente una salida 0 representa al foco apagado y 1 al foco encendido.

ENTRADAS 0 interruptor abierto 0 interruptor cerrado

SALIDAS 0 foco apagado 1 foco encendido

El comportamiento del circuito lo podemos representar mediante la siguiente tabla de verdad:

A 0 1

S 0 1

La tabla indica que para este circuito, una entrada 0 corresponde a una salida 0 y una entrada 1 corresponde a una salida1.

A esto le llamamos funcin lgica AFIRMACIN, y su ecuacin es: S = A Si en lugar de un interruptor se trabaja con 2 interruptores en serie, tenemos:

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 0 0 0 1 S=A*B

Funcin lgica y:

Slo cuando A y B son uno la salida es uno Si el circuito est formado por dos interruptores en paralelo, conectados a una batera en serie con un foco, tenemos: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S 0 1 1 1 S=A+B

Funcin lgica o:

Tanto si A o B (o ambas) son uno, la salida es uno. Si el circuito est formado por un foco alimentado por una batera, en paralelo con un interruptor, se tiene:

Funcin lgica NEGACIN:

A 0 1

S 0 1

S=

Si en paralelo con el foco estn dos interruptores en serie, tenemos lo siguiente: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S 1 1 1 0

Funcin lgica NO-Y :

S = ( A * B)

Slo cuando A y B son uno la salida es cero. Si hay dos interruptores en paralelo con el foco, se tiene: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S 1 0 0 0

Funcin lgica NO-O:

S = ( A + B)

Tanto si A o B (o ambas) son uno la salida es cero.

Una tpica alarma de auto, agrupa a varios de los elementos lgicos citados, veamos como opera el circuito de la figura siguiente:

Estando cerrado S 1 (alarma activada), al cerrar cualesquiera de los interruptores de puertas, cofre o cajuela (I 1 a I n ) se energiza el relevador y atrae sus contactos por lo que suena el claxon al cerrarse el circuito va X 1 . El claxon no deja de sonar an si se abre nuevamente el interruptor que la activ ya que el relevador queda permanentemente energizado (el relevador acta como memoria, por la trayectoria que establece X 2 ). Para desactivar la alarma hay que desconectar la alimentacin abriendo S 1 (interruptor con llave). Para evitar que se agote la energa, al sonar ininterrumpidamente el claxon, debe agregarse un temporizador al circuito. Insertando un relevador trmico en la posicin marcada con el crculo punteado. Despus de un cierto tiempo de sonar el claxon, el termostato se calienta lo suficiente para abrir el circuito (desconexin automtica de la alimentacin de energa). Un corto tiempo despus se enfra lo suficiente para que el contacto se cierre nuevamente reactivndose automticamente la alarma. Otra importante funcin lgica es la o-exclusiva, la cual entrega un 1 de salida cuando una entrada o la otra valen 1 de manera exclusiva. Si las dos entradas tienen igual valor, la salida vale cero. La funcin o-exclusiva corresponde al llamado interruptor de escalera, que nos permite prender o apagar un foco desde cualesquiera de dos posiciones distintas.

Funcin lgica O-EXCLUSIVA:

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 0 1 1 0

S = A*B +

A* B

La salida vale uno cuando las entradas son diferentes.

ALGEBRA DE CONJUNTOS

En muchas ocasiones, es factible reducir la ecuacin Booleana que describe el comportamiento de un circuito lgico. Esto es deseable ya que una ecuacin reducida ser ms econmica de producir que la ecuacin original. El lgebra de conjuntos nos permite encontrar teoremas y propiedades de los circuitos lgicos, que aplicaremos para reducir ecuaciones Booleanas. Cada conjunto est formado por los elementos que la constituyen. Al unir el conjunto A con el conjunto B, obtenemos un nuevo conjunto que est formado por los elementos que pertenecen a A o a B (operacin O lgica). El intersectar el conjunto A con el conjunto B obtenemos un nuevo, constituido por los elementos que al mismo tiempo pertenecen a A y a B (operacin Y lgica). Haremos uso de una representacin grfica de los conjuntos (diagramas de Venn), para facilitar la comprensin de las relaciones entre diversos arreglos de conjuntos. Supongamos por un momento que el universo en el que vamos a trabajar es un plano y que los elementos que lo integran son los cuatro cuadrantes del crculo cartesiano. Bajo esta consideracin podemos hablar de los siguientes conjuntos:

CONJUNTO UNIVERSAL, agrupa a todos los puntos del crculo cartesiano. Corresponde a el 1 (todo) en algebra Booleana.

CONJUNTO y, agrupa a todos los puntos del primero y segundo cuadrantes.

CONJUNTO NO Y, agrupa a todos los puntos del tercero y cuarto cuadrantes.

CONJUNTO X, agrupa a todos los puntos del primero y cuarto cuadrantes.

CONJUNTO NO X, agrupa a todos los puntos del segundo y tercero cuadrantes.

Las posibles combinaciones de los conjuntos X, NO X, Y, NO Y son las siguientes: OPERACIONES DE UNIN OPERACIONES DE INSTERSECCIN

La unin de un conjunto con su complemento es el conjunto universal (el uno en lgebra Booleana).

OPERACIONES DE UNIN DE INTERSECCIONES

Adems de las 16 distintas combinaciones antes mostradas, se permiten las siguientes dos:

Observe que existen las siguientes relaciones:

X + Y = X Y X + Y = X Y X + Y = X Y X + Y = X Y

De all el siguiente teorema:

TEOREMA MORGAN

Conviene destacar que mediante interseccin de uniones, se pueden sintetizar las 16 distintas combinaciones posibles.

PROPIEDADES ALGEBRAICAS

1

3

2

Consideremos ahora tres conjuntos A, B, C, cada uno de los cuales agrupa a los siguientes elementos:

5 4A = { 1, 3, 5, 7 }

6

B = { 2, 3, 4, 5 }

C = { 4, 5, 6, 7 }

Si realizamos con ellos operaciones de unin o interseccin, veremos que cumplen con las siguientes propiedades:

CONMUTATIVA:

A B = B A

A+ B = B+ A

ASOCIATIVA:

A ( B C ) = ( A B) C

A + ( B + C ) = ( A + B) + C

DISTRIBUTIVA:

A ( B + C ) = ( A B) + ( A C )

A + ( B C ) = ( A + B) ( A + C )

De los diagramas anteriores podemos apreciar la validez de los siguientes postulados:

00 = 0

0+0 = 0

1 1 = 11 =0Si z = 0 Si

1 +1 = 10 =1entonces

z =1

z =1

entonces z = 0

Donde uno representa al conjunto universal, y cero representa al conjunto vaco. La operacin de unin corresponde a interruptores en paralelo. La operacin de interseccin corresponde a interruptores en serie.

Tambin, de dichos diagramas, podemos obtener una serie de teoremas del lgebra Booleana que nos facilitarn reducir expresiones lgicas.

TEOREMAS

Predominio

A +1 = 1A0 = 0

Complemento

A + A =1A A = 0

Absorcin

A + ( A B) = A A ( A + B) = AA + ( A B) = A + B A ( A + B) = A B

Reduccin( A B) + ( A B ) = A ( A + B) ( A + B) = A

TRMINOS CLAVE

LGICA BINARIA TABLA DE VERDAD FUNCIN LGICA AFIRMACIN FUNCIN LGICA O FUNCIN LGICA Y FUNCIN LGICA NEGACIN FUNCIN LGICA NO O FUNCIN LGICA NO Y FUNCIN LGICA O EXCLUSIVA ALGEBRA DE CONJUNTOS CONJUNTO UNIVERSAL CONJUNTO VACO ELEMENTO DE UN CONJUNTO UNIN DE CONJUNTOS INTERSECCIN DE CONJUNTOS ALGEBRA BOOLEANA ECUACIONES BOOLEANAS PROPIEDADES ALGEBRAICAS TEOREMAS

CUESTIONARIO

1.- Describa verbalmente las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva del lgebra de conjuntos.

2.- Describa verbalmente el significado de los teoremas de predominio, complemento, absorcin y reduccin del lgebra de conjuntos.

3.- Verifique si son vlidos o no, los siguientes enunciados:

(a) A B + A C + B C = A B + B C

(b) [ X + Y ] [ X + Y ] = X Y + X Y

(c) [ X + Y ] [ X + Y ] [ X + Y ] = X Y

(d)

A+ A B = A+ B

4.- Construya las tablas de verdad de las siguientes funciones:

(a) F ( m, n) = ( m + n) (m + n ) ( m + n)

(b) F (l , m, n) = (l m) + m (l + n )

(c) F (i, j , k ) = (i + j ) (k + i j )

5.- Verificar la validez de las siguientes relaciones, denominadas Propiedades de la O exclusiva.

X X

0=x X=0 =X Y X =(X =X (Y Y) Z) (X Z 1

X X X

1=

X

X =1Y X

Y=X+Y

X X

Y=Y Y Z

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa

X

(Y

Z)=(X

Y)

Z)

Propiedad distributiva

6.- Se requiere disear un sistema de alarma bancaria, que se active cuando se abra una puerta, se rompa un vidrio, o haya movimiento fuera de horario de labores. Los sensores propuestos son los siguientes: Reloj R=0 en horas de trabajo R=1 fuera de horario

Sensor de puertas P=0 indica puertas cerradas P=1 indica puertas abiertas

Sensor de ventanas V=0 indica vidrios enteros V=1 indica vidrios rotos

Movimiento M=0 no hay movimiento M=1 hay movimiento

CAPTULO II

TRABAJANDO CON CIRCUITOS INTEGRADOS DIGITALES OBJETIVOS: DESPUS DE ESTUDIAR ESTE CAPTULO, EL EDUCANDO SER CAPAZ DE:

1.- RECONOCER LOS DIVERSOS SMBOLOS DE LAS COMPUERTAS LGICAS. 2.- DIBUJAR EL DIAGRAMA SIMBLICO DE UNA ECUACIN BOOLEANA SIMPLE. 3.- OBTENER LA ECUACIN BOOLEANA CORRESPONDIENTE A UNA TABLA DE VERDAD. 4.- EMPLEAR TEOREMAS Y POSTULADOS PARA REDUCIR UNA ECUACIN BOOLEANA. 5.- UTILIZAR CIRCUITOS INTEGRADOS PARA ARMAR FUNCIONES COMBINACIONES.

COMPUERTAS LGICAS

Las diversas funciones lgicas pueden construirse empleando arreglos de componentes electrnicos discretos (transistores, diodos, resistencias, ), o bien pueden adquirirse comercialmente circuitos integrados que las contengan. De hecho el primer circuito integrado, que se invent en 1962, fue un arreglo de compuertas lgicas NO-Y.

En los aos transcurridos desde aquellas fechas, han surgido diversas familias de circuitos integrados digitales, cuyas principales caractersticas se detallarn en un captulo posterior. Actualmente, las dos familias lgicas ms importantes son la TTL (que emplea transistores bipolares y la CMOS (que utiliza transistores de efecto de campo). En este captulo emplearemos circuitos integrados TTL.

Para facilitar la representacin de funciones lgicas en un diagrama, emplearemos smbolos especiales propuestos por la IEEE que es la asociacin Internacional de Ingenieros Elctricos y Electrnicos. La tabla siguiente presenta los smbolos bsicos:

NO INVERSOR La salida vale uno cuando la entrada vale uno.

INVERSOR La salida vale uno cuando la entrada vale cero.

O La salida es uno cuando una o ms de las entradas vale uno.

NO O La salida es uno slo cuando todas las entradas son cero.

Y La salida es uno slo cuando todas las entradas valen uno.

NO Y La salida vale uno cuando una o varias entradas son cero.

O EXCLUSIVA La salida es uno cuando un nmero non de entradas vale uno.

A continuacin otros dos smbolos de compuertas, junto con sus respectivas tablas de verdad. Corresponden a los equivalentes de DeMorgan de las compuertas NO-Y y NO-O. En estas compuertas las entradas aparecen negadas (observe el pequeo crculo representado en cada entrada).

A B 0 0 1 1 C 0 1 0 1 1 1 1 0

NO Y

La salida vale uno cuando una o varias entradas son cero.

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

C 1 0 0 0

NO O

La salida es uno, slo cuando todas las entradas son cero

Una compuerta O con entradas negadas equivale a una compuerta NO-Y, ya que conforme al teorema de DeMorgan se tiene los siguientes:

De igual manera, una compuerta Y con entradas negadas equivale a una compuerta NO-O, puesto que:

Al analizar un diagrama puede convenirnos emplear estos smbolos, ya que nos facilitan entender la lgica con que opera. En la siguiente seccin, veremos algunas configuraciones electrnicas simples, que podramos utilizar para construir las funciones lgicas bsicas. Adicionalmente, se muestra la distribucin de compuertas lgicas en el interior de circuitos integrados de la familia TTL.

Faltan algunas imgenes de la pagina 15 17

Es importante observar la distribucin poco usual de las terminales de el integrado 7402 (en l la patita 1 es una salida mientras que en los correspondientes a las otras compuertas lgicas la patita 1 es una entrada), ya que es una frecuente causa de error al armar el circuito correspondiente. Faltan imagen de la pagina 17

Las compuertas lgicas TTL citadas previamente, las emplearemos en las prcticas de laboratorio y tambin para construir los circuitos digitales que diseemos en este curso, razn por la cual es conveniente establecer las reglas bsicas a seguir para su utilizacin:

REGLAS PARA UTILIZAR INTEGRADOS TTL

1. Mantenga el voltaje de alimentacin (+Vcc) en el rango de 5 0.25 volts. Emplee una fuenteregulada de 5 volts para alimentar el circuito. Si no dispone de ella, construya una siguiendo el diagrama que aparece en el apndice.

2. Utilice alambres de conexin cortos y gruesos (calibres 22 o 24, como los empleados en cables tipo multipar telefnico). Los alambres muy largos actan como antenas e introducen ruidos, los alambres muy delgados introducen cadas de voltaje considerables por efecto resistivo.

3. Coloque capacitadores de 0.01 f entre +Vcc y tierra, cada 6 integrados, para reducirruidos que se propagan por la lnea.

4. Evite dejar entradas flotando. Una entrada flotante TTL usualmente corresponde a un uno lgico, pero es muy susceptible a ruidos y puede cambiar su valor de manera imprevista.

5. Conecte las entradas no utilizadas de manera tal que no afecten la lgica de operacin dela compuerta. Por ejemplo si se trata de compuertas Y conecte las entradas no utilizadas a +Vcc , si son compuertas O conecte las entradas no utilizadas a tierra.

6. Evite sobrecalentar al soldar. Los circuitos integrados deben soldarse con cautines tipo lpiz de baja potencia (nunca con cautines de tipo pistola!). La soldadura debe ser la apropiada, usualmente de 1 mm de dimetro, aleacin 60/40 estao/plomo. Mantenga cortos los tiempos de soldadura.

Los integrados TTL reconocen como cero lgico a voltajes de entrada en el rango de 0 a 0.8 volts, y reconocen como uno lgico a voltajes de entrada en el rango de 2 a 5 volts. La corriente mxima que entregan a su salida es del orden de 16 miliamperes, lo cual es suficiente para excitar un diodo emisor de luz (que tpicamente requiere 15 miliamperes de corriente, con una cada de voltaje de 1.5 volts entre sus terminales). Considerando lo anterior, utilizaremos las configuraciones que muestra la figura siguiente para introducir valores de entrada y observar los valores de salida. En el circuito, al cerrar el interruptor la entrada TTL recibe 0 volts (0 lgico) y al abrirlo recibe un valor cercano a 5 volts (1 lgico).

Imagen de la pagina 18

Cuando la salida TTL valga uno lgico, encender el LED.Cuando la salida valga cero lgico, el LED estar apagado. Es muy importante conectar la resistencia limitadora que se muestra

TABLAS DE VERDAD

Cualquier funcin lgica puede ser representada mediante una tabla de verdad. En ella aparecen todos los posibles valores de las variables de entrada y los valores correspondientes de la variable de salida. Una tabla de verdad con K variables de entrada tendr 2k renglones, en los que mostrara todas las posibles combinaciones de valores de entrada.

A continuacin se muestran las posibles combinaciones de valores de entrada para tablas de verdad de 2, 3 y 4 variables de entrada.

E1 0 0 1 1

E0 0 1 0 1

E2 0 0 0 0 1 1 1 1

E1 0 0 1 1 0 0 1 1

E0 0 1 0 1 0 1 0 1

E3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

E2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

E1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

E0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Las pautas de repeticin de valores lgicos, en las diversas columnas de una tabla de verdad, son las siguientes: 0,1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, En la columna E0 En la columna E1 En la columna E2

O sea que en la columna de la derecha se tiene una secuencia peridica de cero, uno; en la columna siguiente de dos ceros, dos unos; en la siguiente de cuatro ceros, cuatro unos, a continuacin ocho ceros, ocho unos, etc.

Si existieran ms variables de entrada (, E N , , E 3 , E 2 , E1 , E 0 ) , en la columna N se tendra una secuencia de

2 N ceros seguida por 2 N unos.

ECUACIONES CANNICAS

De la tabla de verdad se obtiene la ecuacin equivalente, tomando la suma Booleana de las condiciones de entrada para las cuales la salida vale uno lgico. Ejemplo. Encender la lmpara de emergencia (E=1) si no hay suministro de energa elctrica (E=0) y es de noche (N=1).

E 0 0 1 1

N 0 1 0 1

L 0 1 0 0 E N L= E N

Ejemplo. Sonar la campana de alarma (C=1), si se detecta fuego (F=1), o un escape de gases combustibles (G=1), o ambas condiciones a la vez. F 0 0 1 1 G 0 1 0 1 C 0 1 1 1

F GF G

C = F G + F G + F G

F G

Usando los postulados y teoremas Booleanos pueden lograrse simplificaciones importantes, por ejemplo: Si en la tabla de verdad predominan los renglones con salida uno, podemos negar la columna de salida y trabajar la funcin complementaria. Si hacemos esto en el ejemplo previo, obtenemos lo siguiente:

C = F G

Y aplicando el teorema de DeMorgan:

C = F GDiremos que la ecuacin es cannica, si cada trmino contiene a todas las variables. Las ecuaciones cannicas pueden asumir dos formas: Disyuntiva, cuando se trata de una suma de trminos (producto de aquellos renglones con valor de salida uno). Conjuntiva, si es un producto de sumas (de aquellos renglones con valor de salida cero). Si en la columna de salida de la tabla de verdad predominan los ceros, conviene emplear la forma disyuntiva porque nos dar una ecuacin mas corta. Si en la columna de salida predominan los unos conviene la forma conjuntiva. Ejemplo. Obtenga un circuito lgico que cumpla con la siguiente tabla de verdad.

X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

M1 0 1 1 1 0 1 1

M0 1 0 0 0 1 0 0

M = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z(Suma de productos)

Si tomamos la negacion de la columna de salida:

y M = X Y Z + X Y Z aplicando el de teorema de DeMorgan

M = (X Y Z ) (X Y Z )

(Producto sumas)

de

De la tabla de verdad se obtienen las expresiones Booleanas, sin reducir, a las que se denomina Ecuaciones Cannicas. Usando los postulados y teoremas Booleanos pueden lograrse simplificaciones importantes, para este ejemplo tenemos:

M = X Y Z + X Y ZM = ( X + X )Y Z

M =Y Z

Y empleando el Teorema de DeMorgan FALTA UNA IMAGEN AQUI

M =Y +Z

IMPLEMENTACION DE CIRCUITOS LOGICOS Fases del diseo: Plantear por escrito lo que deseamos que haga el circuito, Traducirlo en una tabla de verdad, Obtener la ecuacin correspondiente, Reducirla tanto como sea posible, Dibujar el circuito lgico correspondiente y Reestructurarlo para reducir el nmero de circuitos Integrados necesarios para implementar la funcin lgica.

Ejemplo.- Abrir una vlvula del quemador (Q = 1) si la temperatura es baja (T = 1) y el piloto esta encendido (P = 1).

T 0 0 1 1

P 0 1 0 1

Q 0 1 0 0

FALTA UNA IMAGEN AQUI

Esta solucin requiere de dos circuitos integrados (un 7404 y un 7408). Recordando el teorema de DEMORGAN : A + = *B B A

FALTA algunas imgenes AQUI

Observe en la figura central que negamos dos veces la seal de entrada P, para no alterar su valor (la negacin de la negacin equivale a una afirmacin). En la figura de la derecha aparece la configuracin definitiva con dos compuertas No O, la cual podemos realizar empleando solo un circuito integrado 7402. EJEMPLO.- Se requiere un circuito que permita prender o apagar un foco, con solo cambiar de estado a un interruptor cualquiera, de los cuatro que existen en las diversas entradas a una bodega. Podemos partir de que los cuatro interruptores valen cero y asignarle a esa combinacin de entradas una salida cero. Al entrar por cualesquiera de las puertas y oprimir un interruptor, el foco prende (salida 1). Si salimos por otra puerta accionamos otro interruptor ms, el poco se apaga (salida 0). Tambin se apaga si salimos por la misma puerta en que entramos inicialmente. Construyamos entonces una tabal con grupos de 0, 1, 2, 3 y 4 interruptores accionados. La salida cambia de valor de un grupo al siguiente. Esto corresponde a decir que cuando exista un nmero non de entradas en uno, la salida valdr uno. Y cuando sea un numero para de entradas con un valor uno, la salida valdr cero. W 0 X 0 Y 0 Z 0 salida cero W 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 uno 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 cero 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 uno 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 X 0 0 Y 0 0 Z 0 1 S 0 1

1

1

1

0

1 1

1 1 1 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1

1

1

1

1

Cero

1 1

0

S = W X Y Z +W X Y Z +W X Y Z +W X Y Z + W X Y Z +W X Y Z +W X Y Z +W X Y Z

Esta ecuacin no tiene ningn par de trminos que difieran en una sola variable y que por tanto puedan ser reducidos. Veremos posteriormente, al estudiar mtodos de reduccin, que se trata de una O exclusiva de 4 entradas, que podemos construir de la siguiente manera.

FALTA UNA IMAGEN AQUI

S = A B C D

Dibuje el diagrama esquemtico de la primer solucin (que utiliza ocho compuertas Y de tres entradas, una compuerta O de ocho entradas, adems de tres inversores) y comprelo contra la segunda solucin (con solo tres compuertas tipo O exclusiva). EJEMPLO.- DECISION MAYORIA (a).- Se tienen 3 protecciones A, B y C y se desea tener una salida correcta aun en caso de que falle una proteccin. Esta tcnica se emplea en la industria para aumentar confiabilidad en procesos industriales. FALTA UNA TABLA

A B C

Buscando trminos que difieran en una sola variable, encontramos a las posibles reducciones, que son:

A B C A B C A B C

A B C

BC AC

A B C

A B

S = A B C + A B C + A B C + A B C

Forma cannica

S = A B + B C + A C

Ecuacin reducida

(b).- Se requiere un circuito, que avise cuando una de las entradas (a, b, c) difiere de las otras (para que personal de mantenimiento cambie de dispositivo de proteccin daado).

A BC

A A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F1 0 0 0 0 0 0 1

A B C

En este caso podemos trabajar con los 6 renglones con salida uno, obteniendo:

F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C

o bien trabajar con los renglones con salida cero, que son slo dos para obtener una ecuacin ms compacta. En este caso debemos negar la funcin de salida para no alterar la ecuacin:

F = A B C + A B CEmpleando el teorema de DeMorgan, resulta:F = ( A + B +C) ( A + B +C)

Esta ecuacin es equivalente a la que se obtuvo inicialmente (con seis trminos producto), pero ms econmica y fcil de implementar. La tabla de verdad puede tener ms de una columna de salida, en el ejemplo previo podramos haber trabajado una tabla de verdad con entradas A, B, C y salidas S, F.

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 0 0 1 0 1 1 1

F 0 1 1 1 1 1 1 0F = ( A + B +C) ( A + B +C)

S = A B + B C + AC

CIRCUITOS CON COMPUERTAS DE UN MISMO TIPO

A partir de una expresin lgica, dada como suma de productos, es simple el pasar a una implementacin final usando nicamente compuertas No Y. Para ello negamos dos veces la seal de salida de cada compuerta Y, lo cual no altera la lgica (negar dos veces la misma variable equivale a la afirmacin de la propia variable) y aplicamos el teorema DeMorgan a la compuerta o con entradas negadas (que equivale a una No Y).

Ejemplo: Q = A B + A C + B C

FALTA IMAGEN PAG 26

Una compuerta O con entradas negadas equivale a una NO-Y, por lo que para el circuito de la derecha se tiene:

Q= ( A B ) ( A C ) ( B C ) Q=

A B + AC + B C

Similarmente de un producto de sumas puede pasar a soluciones con compuertas NO-O. Ejemplo: Empleando compuertas No-O, construya un circuito que realice la funcin W= ( X +Y ) ( X + Z ) . Una compuerta Y con entradas negadas equivale a una NO-O

W= ( X + Y ) + ( X + Z )

=

( X +Y )

(X +Z )

= ( X +Y ) ( X + Z )

El disear circuitos usando compuertas de un mismo tipo, tiene la ventaja de que nos permite reducir inventarios de circuitos integrados.

TRMINOS CLAVE

COMPUERTAS LGICAS CIRCUITOS INTEGRADOS FAMILIA TTL SMBOLOS ESTANDARIZADOS INVERSOR NO INVERSOR 0, Y, NO-O, NO-Y O EXCLUSIVA

TABLA DE VERDAD ECUACIN CANNICA FORMA DISYUNTIVA FORMA CONJUNTIVA SUMA DE PRODUCTOS BOOLEANOS PRODUCTO DE SUMAS BOOLEANAS

Cuestionario

1. Dibuje los smbolos de las diferentes compuertas lgicas. 2. Qu funcin lgicas realiza una compuerta NO-Y con entradas negadas? Cul una compuerta NO-O en igual circunstancia? 3. A qu voltaje debemos alimentar los circuitos integrados? 4. Qu es una ecuacin cannica? 5. Indique las fases de diseo de circuitos lgicos. 6. Por qu razn conviene emplear compuertas de un mismo tipo en nuestros diseos? 7. Resuelva la siguiente tabla de verdad y dibuje el circuito correspondiente: A 0 0 0 0 1 1 1 1 PRCTICA I B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Z 0 0 0 0 1 1 1 0

1.a 1.b

Compruebe experimentalmente las tablas de verdad de las diferentes compuertas Obtenga las funciones lgicas equivalentes a compuertas de 4 entradas de los diferentes tipos, empleando compuertas de dos entradas (AMPLIACIN DE ENTRADAS). Compruebe que toda funcin combinacional expresada como suma de productos puede realizarse usando slo compuertas NO-Y. Compruebe que toda funcin combinacional expresada como producto de sumas puede realizarse usando slo compuertas NO-O. Verifique experimentalmente que el interruptor de escalera de cuatro posiciones diseado en un ejemplo previo cumple con su tabla de verdad. Verifique experimentalmente el diseo del circuito de votacin mayora, diseado en este captulo.

1.c 1.d 1.e 1.f

1.g 1.e

Compruebe experimentalmente lo siguiente: Si una de las entradas de la compuerta NO-Y se manda permanentemente a +Vcc, la compuerta opera como un inversor. Si una de las entradas de la compuerta NO-O se manda permanentemente a tierra, la compuerta opera como un inversor. Si una de las entradas de la O-EXCLUSIVA se manda a cero lgico la compuerta opera como un no-inversor. Si una de las entradas de la O-EXCLUSIVA se manda a uno lgico la compuerta opera como un inversor. Construya el siguiente circuito y obtenga su tabla de verdad.

FALTA IMAGEN PAG 28

CAPTULO III MTODOS GRFICOS DE SIMPLIFICACIN OBJETIVO: CONOCER ALGUNOS MTODOS GRFICOS DE REDUCCIN DE EXPRESIONES LGICAS Y EJERCITARSE EN SU USO. DESPUS DE ESTUDIAR ESTE CAPITULO, EL ALUMNO SER CAPAZ DE OBTENER LA ECUACIN MAS REDUCIDA DE FUNCIONES LGICAS COMBINACIONES HASTA DE 5 VARIABLES Y VERIFICAR SI LA ECUACIN OBTENIDA CUMPLE CON LA TABLA DE VERDAD QUE LA ORIGINO.

MTODOS ALGEBRAICOS DE SIMPLIFICACIN Requieren la aplicacin de las entidade de las identidades siguientes:A * B + A * B = ( A + A) * B

( A + B ) * ( A + B) = 0 + A * B ) + B = B

A + A * B = A * (1 + B ) = AA * A * B = A * (1 + B ) = A + B

A * ( A + B) = A + A * B = AA * ( A + B) = 0 + A * B = A * B

Ejemplos:

S = A B C + A B C + A B C DS = A C ( B + B ) + A B C D = A C + A C B D ) = A (C + C B D ) = A (C + B D )

M = X Z + X Y + X Y Z + X Y ZM = X Z (1 + Y ) + X Y (1 + Z ) = X Z + X Y

K = A B C + A B C + A B C + A B CK = A C ( B + B ) + B C ( A + A) + A B (C + C )

N = AC D + B C D + A B C DN = C D ( A + B A B) = C D ( A + B + A + B) = C D

F = A B C + A B C + A B C + A B C

F = B C ( A + A) + A C ( B + B ) = B C + A C

MTODOS GRFICOS Dos trminos booleanos que difieren slo en una misma variable (que aparece negada en uno de ellos y sin negar en el otro) permiten una reduccin:W X Y Z +W X Y Z = W X Y (Z + Z ) = W X Y

A dos trminos de este tipo, se les denomina adyacentes y al trmino reducido que les representa se le denomina implicante. Todos los mtodos grficos y computacionales se basan en identificar adyacencias que permitan reducciones. Si trazamos los ejes cartesianos para tres variables y a cada variable ser le permite asumir slo dos valores cero o uno, se tiene lo siguiente:

FALTAN ALGUNAS IMGENES PAG 30

Dos puntos adyacentes estn unidos por una lnea y permiten reducir una variable. Cuatro puntos adyacentes entre s (o sea 2 lneas adyacentes) pueden ser agrupados en un mismo implicante con una reduccin de dos variables. Corresponden a un plano. Ocho puntos adyacentes entre s, o sea dos planos adyacentes corresponden a un volumen y permiten reducir en tres variables al implicante que les represente, etc. Los mtodos grficos facilitan visualizar las adyacencias existentes.

Ejemplo: Obtenga la ecuacin reducida equivalente a la siguiente tabla de verdad:

X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 1 1 1 0 0 1 0 FALTA IMAGEN PAG 31

Del cubo Booleano encontramos todas las posibles reducciones (implicantes), y encontramos la ecuacin reducida que cubre a la totalidad de los vrtices con salida uno, en este caso 001 y 011 difieren en la segunda variable por lo que la reduccin es 0-1, los vrtices 011 y 010 defieren en la tercera variable dando como reduccin 01- y los vrtices 010 y 110 cambian en la primera variable por lo que la reduccin es -10. La solucin es entonces:

S ( X , Y , Z ) = (0 1) + (01 ) + ( 10 )

= X Z + X Y + Y ZPodemos apreciar en este ejemplo que existe una solucin aun mas compacta, dado que los vrtices del implicante 01- (que son 010 y 011) ya estn considerados porque forman parte de los otros implicantes.

Faltan algunas imgenes

Conforme a esto, la solucin es:

S = X Z +Y ZEjemplo.- Obtenga la ecuacin reducida equivalente a la siguiente tabla de verdad:

X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 1 0 1 0 0 1 0 FALTA IMAGEN PAG 32

La solucin es:

S = X Z + X Y ZEjemplo.- Obtenga la ecuacin reducida equivalente a la siguiente tabla de verdad:

X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

S 1 0 1 1 1 0 1 1 FALTA IMAGEN PAG 32

Observe que grupos de cuatro vrtices Booleanos adyacentes entre si, permiten reducir dos variables:

K =Y +ZEJEMPLO.- Obtenga la ecuacin reducida correspondiente a la tabla de verdad siguiente:

X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 1 0 0 1 1 1 1 FALTA IMAGEN PAG 32

Del cubo Booleano podemos encotrar las posibles reducciones: Los vrtices 001 y 101 permiten reducir la primer variable obteniendo como reduccin 01. Los vrtices 110, 100, 101, 111 permiten reducir dos variables obteniendo como reduccin 1- -

El resultado es entonces:

S =Y Z + XEJEMPLO.- Considere que en una instalacin industrial existen reas restringidas a las que solo debe tener acceso personal autorizado. Las clasificaciones existentes son las siguientes:

0 1 2 3 4 5

Empleados Supervisores Jefes de seccin Jefes de divisin Gerentes Directores generales

A0 rea fabril A1 rea secretaril A2 rea de ingeniera de producto A3 rea de computo A4 rea de documentacin clasificada A5 instalaciones especiales

El personal solo debe tener acceso a reas de su misma clasificacin o menor. El control se efecta mediante una banda magntica adosada al gafete de cada individuo en la que est anotado el nmero correspondiente.

El gafete se inserta en la ranura correspondiente a una lectora magntica dispuesta en cada pureta de acceso. Disee la parte lgica correspondiente a cada rea.

# 0 1 2 3 4 5 6 7

CATEGORIA 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1

A0 1 1 1 1 1 1 * *

A1 0 1 1 1 1 1 * *

A2 0 0 1 1 1 1 * *

A3 0 0 0 1 1 1 * *

A4 0 0 0 0 1 1 * *

A5 0 0 0 0 0 1 * *

Realicemos aqu, como ejercicio, el obtener las ecuaciones reducidas de A0, A1, A2, A3, A4 y A5. Para ello utilice las figuras que aparecen a continuacin. Marque con un punto grueso los vrtices del cubo Booleano con valor de salida uno en la tabla de verdad y busque las posibles reducciones. Los vrtices de los renglones nmero seis y siente (110 y 111) corresponden a irrelevancias, estan marcados con un asterisco en la tabla de verdad. Los podemos considerar como cero o uno al momento de hacer la reduccin (segn convenga) ya que son condiciones que nunca van a

ocurrir. Marque en las figuras con un asterisco todas las irrelevancias, porque pueden ayudarle a obtener reducciones mayores.

FALTA IMAGEN PAG 34 Y 35

Ejemplo.- Un sistema hipottico para despachar caf requiere calentar por lotes una cierta cantidad de lquido. Para ello al depositar la moneda, un sistema mecnico de uas y contrapesos hace caer un vaso desechable, lo cual permite el desarrollo del siguiente proceso: Se llena el recipiente dosificador y se calienta el lquido hasta alcanzar la temperatura deseada. Logrado esto, debe abrirse la vlvula de salida para entregar el producto. En todo momento, si la presin es alta debe abrirse debe abrirse la vlvula de salida, cerrarse la de entrada y dejar de calentar el lquido. P 0 0 0 FALTA IMAGEN PAG 34 0 1 1 1 1 N 0 0 1 1 0 0 1 1 T 0 1 0 1 0 1 0 1 Vs 0 0 0 1 1 1 1 1 Ve 1 1 0 0 0 0 0 0 C 1 1 1 * 0 0 0 0

No especificado, puede tomarse como 0 1, segn ms convenga.

FALTAN IMAGNES DE PAG 36

Vs ( P, N , T ) = P + N TVe ( P, N , T ) = P N C ( P, N , T ) = P

FALTAN IMAGNES PAG 36

La primer solucin implica utilizar tres integrados (0, Y e INVERSOR).

La segunda versin, pese a requerir un mayor numero de compuertas es mas econmica pues requiere slo dos integrados tipo No Y. Recordemos que una compuerta 0 con entradas negadas corresponde a una No Y, y que el inversor puede construirse uniendo las entradas de una No Y.

NOTACION COMPACTA DE LA TABLA DE VERDAD

Cada rengln con salida uno de la tabla de verdad, corresponde a un termino, producto valido o minitrmino, y si existen varios renglones con salida uno la funcin de salida es igual a la suma de los minitrmino (forma cannica disyuntiva). Al crecer el nmero de variables la tabla de verdad se torna abrumadora, por lo que se han desarrollado formas compactas de representarlas. Una de estas formas es la transformacin decimal que corresponde a una expresin en la que una serie de nmeros decimales indica los nmeros de rengln con salida uno. Ejemplo: Obtener la transformacin decimal de la siguiente tabla de verdad # 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 1