Circuitos Elétricos 1 - Aula 10
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Técnicas adicionais de análise
Objetivos:
Rever o princípio da linearidade
Aplicar a superposição
Serão discutidas algumas implicações do princípio da superposição
em circuitos lineares
Desenvolver os teoremas de Thevenin e Norton
Trata-se de duas ferramentas de análise extremamente úteis que
permitem que nos concentremos em partes simplificadas do
circuito
Transferência máxima de potência
Esta é uma aplicação útil dos teoremas de Thevenin e Norton
As técnicas desenvolvidas no capítulo 2 (combinações série e paralelo,
divisor de tensão, divisor de corrente) são técnicas especiais que são
mais eficientes que os métodos gerais, mas possuem aplicabilidade
limitada. Estas técnicas poderão ser utilizadas quando forem mais
eficientes, e não devem ser esquecidas.
Nesta seção serão desenvolvidas técnicas adicionais que simplificam a
análise de alguns circuitos. Na verdade, estas técnicas nada mais são
do que uma expansão de conceitos já introduzidos: linearidade e
circuito equivalente.
Os métodos de análise nodal e de laço fornecem ferramentas
importantes para se determinar o comportamento de cada
componente em um circuito.
Alguns circuitos
equivalentes já utilizados
Linearidade
Observe que, tecnicamente, a linearidade não pode
ser verificada empiricamente em um sistema (mas
o modelo pode ser verificado matematicamente).
Em contrapartida, basta um contra-exemplo para
mostrar que o sistema não é linear
Utilizando-se a análise nodal para circuitos
resistivos: obtêm-se modelos da forma Av = f
v: vetor contendo todas as tensões nodais
f: vetor que depende apenas das fontes
independentes Mais detalhadamente: BsAv
A, B: matrizes
s: vetor de todas as fontes independentes
Para a análise de circuitos lineares pode-se utilizar a linearidade para se desenvolver técnicas de análise especiais
Revisão das técnicas disponíveis até
agora:
Os modelos que estamos utilizando são lineares. Matematicamente satisfazem o princípio da superposição
O modelo y = Tu é linear
T(a1u1+a2u2) = a1Tu1+a2Tu2
para todos os pares de entradas u1 , u1
e todos os escalares a1 , a2.
Uma definição equivalente de linearidade pode ser obtida considerando-se o princípio da superposição em duas partes:
O modelo y = Tu é linear
1. T(u1 + u2) = Tu1 + Tu2, u1 ,u2 aditividade
2. T(au) = aTu , a ,u homogeneidade
Exemplo para rever técnicas já desenvolvidas
Redesenhando o circuito para facilitar o reconhecimento de casos especiais O VDETERMINE
Técnicas de solução disponíveis??
Divisor de tensão
Análise nodal Análise de laço
Combinação série/paralelo
- -
Usando homogeneidade
Assuma que a resposta é conhecida. Como se pode determinar a entrada de modo simples?
-
1V
Dado Vo V1 pode ser determinado utilizando-se o inverso do divisor de tensões
0
2
211 V
R
RRV
… Análogo para Vs:
0
2
214
1
4V
R
RR
R
RRV
R
RRV
EQ
EQ
EQ
EQ
S
Resolva agora para Vo
Pode-se aplicar o algoritmo:
1. Assuma um valor arbitrário para Vo (ex., V’o =1 )
2. Determine o valor resultante da fonte V’_s
3. Utilize a linearidade:
kkVkVVV SS ,'0''
0
'
4. O valor real da fonte (V_s) corresponde a
'
S
S
V
Vk
Portanto a saída desejada é
'
0'
'
00 VV
VkVV
S
S
Ferramenta útil para problemas como este, com uma única fonte, e lembrando-se da solução do inverso do divisor de tensões.
EQR
Outro exemplo: resolva usando a homogeneidade
][1ASSUMA 2 VVVout
1I
OV
Agora, utilize a homogeneidade
][2][12
][1][6
VVVV
VVVV
outO
outO
mA1IASSUMA O
][31 VV
][5.0 mA
][5.1 mASV
][62][5.1 1 VVkmAVS
][5.0 mA
mA2
____6
12
ADEHOMOGENEIDA UTILIZE
O
O
ImAI
mAImAI
mAIIO 6 UTILIZEADE.HOMOGENEIDA USANDO COMPUTE
Outro exemplo
Superposição de fontes
Esta técnica é uma aplicação direta da
linearidade.
É útil quando o circuito possui poucas fontes.
aI0
I0
V0
Exemplo inicial: resolva o circuito pela análise
nodal
Duas fontes independentes. Pela análise nodal:
IsIR
V
R
VsV
-0
2
0
1
0 a IsR
Vs
RRV
121
0
11 a
2
00
R
VI Is
R
Vs
RR
RRV
121
210
)1( a
IsRR
RRVs
RR
RV
)1(
)1( 21
21
21
20
aa
Circuito linear!
Aplicação do teorema da linearidade
Circuito resistivo
linear sem fontes
independentes
+
- V
S IS
+ -
V0
VS IS V0
10 V 1 A 2 V
5 V 2 A 3 V
15 V - 3 A ?
Pelo teorema da linearidade: SS IbVaV 0
3 2 5
2 10
ba
ba
3
4 ,
15
1 ba SS IVV
3
4
15
10
V -3)3( 3
4 15)(
15
1 -
Não precisamos nem conhecer os
componentes internos do circuito!
circuit
+ -
VS
IS
+
VL
_
IL
Devido à linearidade
V aV a IL S S 1 2
V L1
Pode ser computado colocando-se a fonte de corr.
em repouso (Is = 0) e resolvendo-se o circuito
V L2 Pode ser computado colocando-se a fonte de
tensão em repouso (Vs = 0) e resolvendo-se o
circuito
Seja, por exemplo, um circuito
com apenas duas fontes
independentes
SV DE ÃOCONTRIBUIÇ
1LV
SI DE ÃOCONTRIBUIÇ
2LV
Circuito
resistivo sem
fontes indep.
Conseqüências da linearidade:
Conseqüências da linearidade: superposição
Para funções lineares: ),,( 321 xxxf
),0,0()0,,0()0,0,(),,( 321321 xfxfxfxxxf
Princípio da superposição:
Em um circuito linear resistivo, qualquer saída (corrente, tensão) é
a soma das contribuições individuais de cada fonte independente
com as outras fontes em repouso.
Circuito com fonte de corrente em repouso (Is = 0: em aberto)
1
LI
1
LV
Circuito com fonte de tensão em repouso (Vs = 0: curto circuito)
2
LI
2
LV
Superposição de fontes
= +
Esta abordagem será útil se a solução de dois circuitos com apenas uma fonte for mais fácil, ou mais conveniente, do que resolver-se o circuito com duas fontes.
Devido à linearidade dos modelos deve-se ter
2121
LLLLLL VVVIII Princípio da Superosição das Fontes
Pode-se ter qualquer combinação de fontes. E pode-se particionar do modo mais conveniente
Para fixar:
=
][6||33 kReq
15
2
32
336
][)3||3(6
222"
2
vv
R
vi
kR
eq
eq
+
Equações de laço
Contribuição de v1
Contribuição de v2
Determine a corrente i1
Uma vez conhecidos os “circuitos parciais”
deve-se saber como resolvê-los de modo eficiente.
)()()( 111 tititi
(3)
k
tv
k
tvti
tvtvtik
15
)(
5
)()(
)()( 3)( 15
211
211
-
-
Para fixar
Colocando a fonte de tensão em repouso (V = 0 curto-circuito)
Divisor de corrente
Lei de Ohm
A seguir, coloque a fonte de corrente em repouso (I = 0 circuito aberto) Divisor de tensão
+
-
V0"6k
3k
3V ][6"
0
'
00 VVVV
][2 V
fontes de ãosuperposiç a utilizando Determine 0V
Para fixar:
Fonte de tensão em repouso
É necessário saber resolver cada circuito de modo eficiente!!
Fonte de corrente em repouso
-
1V
Se V1 é conhecido, então V’o pode ser obtido por divisor de tensões
V1 pode ser obtido por uma redução série/paralelo e divisor
2I
A corrente I2 pode ser obtida utilizando-se um divisor de correntes, e V”o pela lei de Ohm
2k||4k
2k
6k
I2+
V"0
_
2mA
+
-
2k
4k||8k
+
V1
_
)6(3/82
3/81
V
+
V1
_
6k
2k
+
V'0
_
][7
18
26
61
'VV
kk
kVO
Na dúvida… redesenhe!
mAkkkk
kkkI )2(
)4||2(62
)4||2(22
"'
2" 6
OOO
O
VVV
kIV
fontes de ãosuperposiç a usando Determine 0V
Para fixar
1. Considerando apenas a fonte de tensão
mAI 5.101 -
3. Considerando apenas a fonte de 4mA
2. Considerando apenas a fonte de corrente de 3mA
Divisor de corrente:
mAI 5.102 -
003 I
mAIIII 30302010 -
Usando a superposição de fontes:
fontes de ãosuperposiç a usando Determine 0I
1I
1
1
2
2
3
3
2
11 IIO -
Determine I0 pelo teorema da superposição
Fonte de corrente em repouso
Fonte de tensão em repouso
Na dúvida: redesenhe o circuito!
Usando o divisor de correntes
Cuidado: fontes dependentes NÃO devem ser colocadas em repouso ao se aplicar o princípio da superposição
2I1
I1
4
2
=
54
55
4
2
2
1
4
111
VV
+
-
2I1
I1
4
2 V1
+
-
A 1V 4)1(
1
)1(
1 IV+
2I1
I1
4
2
+
-
V1
A 5
3V
5
12 )2(
1
)2(
1 IV
04
22
10
4
111 -
VVV
34
53
42
241
111 VVVV
?1 I
A 5
8
5
31
)2(
1
)1(
11 III
Linearidade
Erros comuns no início (que devem ser eliminados com a resolução de vários exercícios!):
1) Colocar fontes dependentes em repouso
- As saídas são funções lineares APENAS das fontes
independentes
2) Aplicar o princípio da superposição a potência
- Potência é uma função QUADRÁTICA, não linear, das
fontes
3) Aplicar o princípio da superposição a circuitos não
lineares
- O princípio da superposição de aplica APENAS a
circuitos lineares
Estes teoremas fornecem informações
importantes para a análise de circuitos.
Eles permitem “esconder” informações
não relevantes para que se possa
concentrar no que é importante para a
análise em questão.
Teoremas de Thevenin e Norton
http://angelfire.com/ab3/mjramp/index.html
Amplificador de áudio de baixa distorção
Do PreAmp (tensão ) Às caixas de som
Para se “casar” caixas de som e amplificadores é muito mais fácil se considerar este circuito equivalente.
Para se “casar” caixas de som e amplificadores é necessária a análise deste circuito.
+
-
RTH
VTH
Substituir o amplificador por um “equivalente” mais simples
Courtesy of M.J. Renardson
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART B
a
b_
Ov
i
Teorema do Equivalente de Thevenin
Thevenin de eEquivalent aResistênci
Thevenin de eEquivalent Fonte
TH
TH
R
v
LINEAR CIRCUIT
PART B
a
b_
Ov
i
-
THR
THv
PART A
Circuito Equivalente de Thevenin
para a PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE B
CIRCUITO LINEAR
PARTE B
PARTE A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART B
a
b_
Ov
i
Teorema Equivalente de Norton
Norton de eEquivalent aResistênci
Norton de eEquivalent Fonte
N
N
R
i
LINEAR CIRCUIT
PART B
a
b_
Ov
i
NRNi
PART A
Circuito Equivalente de Norton
para a PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE B
CIRCUITO LINEAR
PARTE B
PARTE A
Motivação para o uso destes teoremas:
curva característica i-v de um circuito
Aplicando-se uma tensão v nos terminais A-B indicados, pode-se medir a corrente
resultante i.
Para uma rede (circuito) linear, a característica i-v é uma função linear:
bmvi
Exemplos de características i-v:
Normalmente, a característica i-v não passa pela origem.
Veja o próximo exemplo.
Exemplos de características i-v:
0- vVsiRLKT: ou
R
Vsvi
-
Exemplos de características i-v:
0-- iR
vIS
LKC: ou
R
vIsi -
Corrente de
curto circuito
Tensão de
circuito aberto