Circuitos de Primer Orden - Profesor: Saul Nuñez Zeledon · PDF fileo Discutir la...

Circuitos Eléctricos I Circuitos de Primer Orden

VI Circuitos de Primer Orden Objetivos:

o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RL y RC o Demostrar la importancia de la constante de tiempo de un circuito de primer orden. o Medir la constante de tiempo de un circuito RC o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de primer orden o Discutir la respuesta de un circuito de primer orden a una función impulso, pulso y

tren de pulsos. Introducción En este capítulo haremos un análisis transitorio de los circuitos de primer orden, el cual incluye un examen y descripción del comportamiento de un circuito como función del tiempo después que ocurre un cambio súbito en el circuito debido a la apertura o cierre de interruptores. Como existe un elemento almacenador de energía en el circuito, la respuesta del circuito a un cambio súbito experimentará un periodo de transición antes de estabilizarse en un valor de estado estable. Uno de los parámetros importantes en el análisis transitorio de estos circuitos es la constante de tiempo, porque nos indica que tan rápido responderá el circuito antes los cambios. 6.1 Ecuación básica de los circuitos de primer orden Antes de entrar en materia vamos a recordar dos características importantes de los elementos almacenadotes de energía que vimos en el capítulo anterior, que son necesarios para poder resolver los problemas de los circuitos de primer orden. En los problemas de circuitos de primer orden los cambios se dan al cerrar o abrir uno o varios interruptores, entonces vamos a considerar tres tiempos, primero el tiempo justamente antes de darse el cambio y lo vamos a llamar t = 0-, el tiempo cuando se da el cambio, lo vamos a llamar t = 0, y el tiempo justamente después de haberse dado el cambio, que lo vamos a llamar t = 0+. A esto le llamamos Condiciones iniciales del circuito. Una de las características dice que el voltaje en el capacitor no puede cambiar instantáneamente. Esto quiere decir que: vc(t = 0-) = vc(t = 0) = vc(t = 0+) Para el caso del inductor, es la corriente que no puede cambiar instantáneamente, lo que quiere decir que:

C.R. Lindo Carrión 161


il(t = 0-) = il(t = 0) = il(t = 0+) Otra de las características dice que el capacitor en estado estable, se comporta como un circuito abierto de CD, lo que quiere decir que el voltaje del capacitor puede ser 0V o tomar un valor constante. Para el caso del inductor en estado estable, éste se comporta como un corto circuito de CD, lo que quiere decir que la corriente puede ser 0A o tomar un valor constante. Comenzaremos nuestro estudio con un ejemplo. Ejemplo 6.1.1 Para los dos circuitos mostrados en la Figura 6.1.1 encontraremos la ecuación diferencial que define los circuitos de primer orden.

vs

Rs

RL

iL(t)

Rs

RC vC(t)+

-

vs

1 2

Figura 6.1.1 (b) (a)

Solución: Par el circuito de la Figura 6.1.1.a vamos a suponer que el interruptor se encuentra en la posición 2 (Figura 6.1.2.a) y para el caso de la Figura 6.1.1.b que el interruptor esta abierto como se muestra en la Figura 6.1.2.b. En el caso del circuito con capacitor encontraremos la ecuación en función del voltaje del capacitor y en caso del circuito con el inductor encontraremos la ecuación en función de la corriente del inductor.

Figura 6.1.2

RL iL(t)

(b)

R C vC(t)+

-

(a)

Para el caso del capacitor aplicaremos LKC para encontrar el voltaje del capacitor Como son elementos pasivos la corriente debe ir hacia abajo para ambos, entonces: iC + iR = 0 y sustituimos en función del voltaje del capacitor

0)()(=+

Rtv

dttdv

C CC que es la ecuación diferencial que define el circuito de la Figura

6.1.1.a y se le llama de primer orden porque obedece a una ecuación diferencial de primer orden. Pudimos haber aplicado LKV a la malla del circuito y veremos que se obtiene el mismo resultado.



Como el capacitor es un elemento pasivo la corriente circula del potencial más alto al potencial más bajo, entonces: vC = vR, pero como la corriente del capacitor pasa por la resistencia del potencial más bajo al potencial más alto, entonces el voltaje de la resistencia será negativo, así: vC = -iC(R), entonces ordenando, iC + (vC/R) = 0, por lo tanto:

0)()(=+

Rtv

dttdv

C CC , que es la misma ecuación que obtuvimos anteriormente.

Para el caso del inductor, aplicaremos LKV malla que tenemos: vL + vR = 0., sustituyendo en función de la corriente del inductor, obtenemos:

0)()(=+ tiR

dttdiL L

L , que es la ecuación diferencial que define el circuito de la Figura

6.1.1.b También pudimos haber aplicado LKC y llegamos al mismo resultado, veamos: iL + iR = 0, pero la corriente en el resistor es el voltaje del inductor entre R, entonces: iL + vL/R = 0, así reordenando obtenemos:

0)()(=+ tiR

dttdiL L

L , que es la misma ecuación obtenida anteriormente.

Si observamos ambas ecuaciones son similares y podemos escribir las ecuaciones de respuesta en forma general como sigue:

0)()(=+ txa

dttdx , donde a = 1/RC para el caso del circuito con capacitor y a = R/L para el

caso del circuito con el inductor. Si para el caso de la Figura 6.1.1.a el interruptor estuviera pasando de la posición 1 a la posición 2 con una frecuencia determinada, el capacitor se estuviera cargando en un sentido y descargando en el otro, como puede ser visto en la Figura 6.1.3. Ya veremos como se da eso. Lo mismo puede ser dicho para el caso del inductor.

Tiempo de carga

0

VO

t

vC(t) Tiempo de descarga

Figura 6.1.3



6.2 Solución de la ecuación diferencial de primer orden Para el caso más general vamos considerar que la ecuación diferencial de respuesta de los circuitos de primer orden es de la forma:

)()()( tftxadt

tdx=+ , donde f(t) puede ser cualquier función.

El teorema fundamental de ecuaciones diferenciales nos dice que, la respuesta a esta ecuación consistirá de de dos soluciones: x(t) = xp(t) + xc(t) Donde xp(t) se le llama solución particular integral o respuesta forzada y xc(t) se le llama solución complementaria o respuesta natural. En este momento nos vamos a limitar a la situación en que f(t) es igual a una constante, f(t) = A, entonces la solución general a la ecuación diferencial de primer orden consiste de dos partes que se obtienen resolviendo las dos ecuaciones siguientes:

Atxadt

tdxp

p =+ )()(

(1) y 0)()(

=+ txadt

tdxc

c (2)

Comenzaremos resolviendo la primera ecuación: es razonable suponer que la solución a xp(t) también sea una constante, así vamos a suponer que xp(t) = K1, entonces vamos sustituir dicho valor en la ecuación diferencial (1)

AKadt

dK=+ 1

1 , como la derivada de una constante es cero, entonces obtenemos que:

K1 = A/a y así obtenemos la respuesta forzada: xp(t) = K1 = A/a Solo nos resta encontrar la respuesta natural, para ello vamos a rescribir la ecuación diferencial de la siguiente manera:

dtatxtdx

c

c −=)()(

, aplicando la integral a ambos lados de la ecuación:

∫∫ −= dtatxtdx

c

c

)()(

, resolviendo a ambos lados

ln xc(t) = -at + C donde C es una constante, y por tanto podemos escribirla de la siguiente forma: ln xc(t) = -at + ln K2 entonces



ln xc(t) - ln K2 = -at, por propiedades de logaritmo, podemos hacer: ln (xc(t)/ K2) = -at y aplicando el antilogaritmo a esta expresión y despejando para xc(t), obtenemos: xc(t) = K2-at obteniendo de esta forma la respuesta natural, por tanto la solución completa a la forma general de la ecuación diferencial será: x(t) = K1 + K2-at, esta solución será cuando f(t) = A = constante. La constante K2 puede encontrarse si se conoce en un instante de tiempo el valor de la variable independiente x(t). Debemos de estar consciente de que si f(t) = 0 sólo habrá respuesta natural, no habrá respuesta forzada y la solución será: x(t) = K2-at

Al inverso de la constante a, se le llama Constante de Tiempo y se designa por τ, donde τ = 1/a y tiene unidades tiempo (segundos). Para el circuito RC, τ = RC, para el circuito RL, τ = L/R. Así la solución puede expresarse como: x(t) = K1 + K2-t/τ. Donde K1 es la solución de estado estable τ: es la constante de tiempo y K2-t/τ es una exponencial decreciente, si τ > 0 entonces dicha exponencial valdrá:

0

0.368K2

t

xc(t)= K2 -t/τ

τ1 τ2 τ3 τ4

Figura 6.2.1 K2 para t = 0 y 0 para t = ∞ Podemos mostrar el comportamiento de la expresión K2-t/τ para valores de t = nτ Para t = 1τ, la expresión toma el valor de 0.368K2 t = 2τ, la expresión toma el valor de 0.135K2 t = 3τ, la expresión toma el valor de 0.050K2 t = 4τ, la expresión toma el valor de 0.018K2 t = 5τ, la expresión toma el valor de 0.0067K2 En la Figura 6.2.1 se muestra ésta expresión en función del tiempo



Para una constante tiempo pequeña entonces la respuesta será rápida, es decir el circuito se reestablece rápidamente a un valor de estado estable. Si la constante de tiempo es grande entonces la respuesta será lenta y se requerirá más tiempo para que el circuito se restablezca o alcance el estado estable. Esto se puede observar en la Figura 6.2.2 La respuesta transitoria es una respuesta temporal que desaparece con el tiempo. Podemos decir que para cualquier caso, la respuesta del circuito esencialmente alcanza el estado estable en 5τ. La respuesta de estado estable es la que existe largo tiempo después de cualquier operación de conmutación

0

1

t

xc(t)= -t/τ

τ1 τ2 τ3 τ4

τ = 4s

0.2 τ = 0.5s

Figura 6.2.2

6.3 Respuesta Natural de Circuitos de Primer Orden El objetivo es obtener la respuesta de un circuito resistor-capacitor (RC) o resistor-inductor (RL) libre de fuentes. La respuesta sin fuentes dependerá únicamente de la energía inicial almacenada en el elemento de almacenamiento de energía. Puesto que la respuesta solo depende de la naturaleza del circuito RC o RL y no de fuentes externas, se le llama respuesta natural. Como en la sección anterior ya encontramos la respuesta natural al circuito de primer orden, explicaremos el análisis de estos circuitos con varios ejemplos. Ejemplo 6.3.1 Para el circuito mostrado en la Figura 6.3.1 suponga que el interruptor ha esta en la posición 1 por largo tiempo, en t = 0 el interruptor se mueve a la posición 2. Deseamos calcular la corriente i(t) para t > 0.

12V

R1

C R2

6K

100µF 3K

t = 01

2VS

i(t)

Figura 6.3.1 Solución: Para comenzar nuestro análisis, siempre se debe calcular el valor del voltaje del capacitor, si el circuito es RC o el valor de la corriente del inductor si el circuito es RL y luego con ese valor, poder calcular el valor de la variable que nos están pidiendo. Como necesitamos determinar la corriente i(t) para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura 6.3.2.

12V

R1

C R2

6K

100µF 3K

1

2VS

i(t)

v(t)

Figura 6.3.2



Para poder calcular i(t) necesitamos encontrar el voltaje del capacitor v(t) para t > 0 y luego aplicando la ley de Ohm podemos calcular i(t) como: i(t) = v(t) / R2 Entonces procederemos a encontrar el voltaje del capacitor v(t) aplicando LKC al nodo de arriba, así:

0)()()(

21

=++R

tvdt

tdvCRtv , usando los valores de los componentes y reacomodando,

tenemos:

0)(5)(=+ tv

dttdv , como la ecuación diferencial obtenida es igual a cero, quiere decir que la

respuesta es natural y su solución es: v(t) = K2-t/τ

Si observamos la ecuación diferencial el a = 5, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/a = 1/5 = 0.2 s.

12V

6K

3KvC(0-) +

-

Figura 6.3.3

Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de v(0+) = v(0) = v(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.3.3 En t = 0- el capacitor está totalmente cargado y no conduce corriente por estar en estado estable, ya que éste actúa como un circuito abierto de CD. Si observamos el circuito el voltaje vc(0-) es el mismo que el voltaje entre las terminales del resistor de 3KΩ y como tenemos una sola malla, podemos hacer uso del divisor de voltaje, así

VKK

Kvc 4)12(63

3)0( =+

=−

Por lo tanto vc(0+) = 4V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 v(0) = K2-0 = 4, así K2 = 4 entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: v(t) = 4-t/0.2

por lo tanto podemos encontrar el valor de la corriente pedida, así:

-t/0.2

2

( ) 4( )3

v ti t e mAR

= =



Si dibujamos dicha corriente, el resultado sería como el mostrado en la Figura 6.3.4 Ejemplo 6.3.2 Para el circuito mostrado en la Figura 6.3.5, el interruptor ha estado en estado estable antes de abrirse en t = 0, encuentre la corriente i(t) para t > 0, si R1 = 3Ω y R2 = 2Ω.

0

4/3

t

i(t) mA

Figura 6.3.4

18V R25H 20H

1H R1

i

L3

L1 L2

t = 0

Figura 6.3.5

Solución:

18V 2Ω

5H

3Ωi

Figura 6.3.6

Como nos piden la corriente i(t) para t > 0, entonces debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, pero como existen varios inductores, debemos reducirlo a un equivalente, como es mostrado en la Figura 6.3.6 Leq = L3 + (L1||L2) = 1 + (5||20) = 1 + 4 = 5H Ahora podemos aplicar la LKV para encontrar la ecuación diferencial que define el circuito, así:

0)()()(21 =++ tiRR

dttdiL , sustituyendo valores y reacomodando, obtenemos:

0)()(=+ ti

dttdi , como la ecuación diferencial obtenida es igual a cero, quiere decir que la

respuesta es natural y su solución es: i(t) = K2-t/τ

Si observamos la ecuación diferencial el a = 1, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/1 = 1/1 = 1s.

18V 2Ω 3Ω

i(0-)

Figura 6.3.7

Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de i(0+) = i(0) = i(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.3.7



En t = 0- el inductor está totalmente cargado por estar en estado estable, ya que éste actúa como un corto circuito de CD. Si observamos el circuito la corriente i(0-) se puede calcular aplicando la ley de Ohm, así, i(0-) = 18/3 = 6A Por lo tanto i(0+) = 6A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 i(0) = K2-0 = 6, así K2 = 6 entonces la corriente del inductor para t > 0 es: i(t) = 6-t A 6.4 Respuesta Forzada y Completa de Circuitos de Primer Orden En una sección de la solución a la ecuación diferencial, describimos la respuesta forzada a una función constante y asumimos que la respuesta también sería constante, ahora consideraremos circuitos en los cuales, la ecuación diferencial que define el circuito no es igual a cero, y vamos a considerar hasta ahora que es igual a una constante y entonces obtendremos la respuesta completa de los circuitos de primer orden. Estudiaremos algunos ejemplos.

12V

2Ω

4V

2Ω

t = 0

2H

2Ω vo(t)

+

-

Figura 6.4.1

Ejemplo 6.4.1 Para el circuito mostrado en la Figura 6.4.1, el interruptor se abre para t = 0. Encontremos el voltaje de salida vo(t) para t > 0 Solución: Como necesitamos determinar el voltaje de salida vo(t) para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura 6.4.2 Para encontrar el voltaje de salida vo(t), debemos obligatoriamente encontrar la corriente del inductor i(t) para t > 0 y luego aplicar la ley de Ohm para encontrar el voltaje de salida:

12V

2Ω

4V

2Ω

2H

2Ω vo(t)

+

-

Figura 6.4.2 vo(t) = i(t) (2Ω)



Procedemos entonces a encontrar la corriente del inductor i(t), para ello aplicamos la LKV a la malla existente y obtener la ecuación diferencial, así

)()()( 311 tiRdt

tdiLtiRVS ++= , sustituyendo los valores de los componentes y

reacomodando, se obtiene:

6)(2)(=+ ti

dttdi

Como la ecuación diferencial es diferente de cero, entonces en la solución a esta ecuación diferencial tendremos respuesta natural y respuesta forzada, así la solución es: i(t) = K1 + K2-t/τ

De la ecuación diferencial tenemos que a = 2, así τ = 1/a = ½ = 0.5s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos i(t) por K1 en la ecuación diferencial, así:

62 11 =+ K

dtdK

, entonces obtenemos que K1 = 3, o bien tomamos la definición que:

326

1 ===aAK

Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de i(0+) = i(0) = i(0-), por la continuidad del corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.4.3 En t = 0- el circuito esta en estado estable y la bobina actúa como un corto circuito de CD. El inductor se encuentra cargado a una corriente constante y para encontrar su valor podemos hacer uso de cualquier método, antes estudiado.

12V

2Ω

2Ω 2Ω

4V

i(0-)

vo(0-)

+

-

Figura 6.4.3

Haremos uso del teorema de Thévenin para encontrar el valor de i(0-), y nos auxiliaremos de los circuitos mostrados en la Figura 6.4.4.



Entonces para calcular i(0-), nos auxiliamos del circuito de la Figura 6.4.4.(a), así

2)0(

+=−

TH

TH

RVi , pero antes tenemos que encontrar el voltaje de Thévenin y la Resistencia

de Thévenin. VTH = Va -4V, para encontrar Va haremos uso del divisor de voltaje, ya que tenemos una sola malla, como puede ser visto de la Figura 6.4.4.(b), así

VVa 8)412(22

2=+

+= , entonces VTH = 4V

Para calcular RTH nos auxiliamos del circuito mostrado en la Figura 6.4.4.(c), así:

RTH = 2||2 = 1Ω, por lo tanto i(0-) será: Ai34

214)0( =+

=−

Por lo tanto il(0+) = (4/3)A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 i(0) = 3 + K2-0 = (4/3), así K2 = -(5/3) entonces la corriente del inductor para t > 0 es: i(t) = 3 – (5/3)-2t A, por lo tanto el voltaje de salida será: vo(t) = 6 – (10/3)-2t V El voltaje de salida se encuentra dibujado en la Figura 6.4.5 Ejemplo 6.4.2 Para el circuito mostrado en la Figura 6.4.6, el interruptor ha permanecido durante bastante tiempo en la posición a y para t = 0 se cambia a la

RTH

2Ω

2Ω

RTH

VTH 2Ω

i(0-)

vo(0-) +

-

12V

2Ω

2Ω

4V

VTH

+

-

Va

+

-

(c) (b)(a)

Figura 6.4.4

0

6

t(s)

v(t) (V)

8/3

Figura 6.4.5

80V

2Ω

6Ω

1K

120V1mF v

t = 0 +

-

a b

Figura 6.4.6



posición b. Encontremos el voltaje v(t) para t > 0. Solución: Como necesitamos determinar el voltaje v(t) para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura 6.4.7

80V

2Ω

6Ω

1K

120V1mF v+

-

a b

Figura 6.4.7 Ahora, procedemos entonces a encontrar el voltaje del capacitor v(t), para ello aplicamos la LKV a la malla existente y obtener la ecuación diferencial, que define éste circuito, así v(t) + ic(t)(1K) = 120, expresando ic(t) en función de v(t), obtenemos:

120)()1()(=+ tvK

dttdvC , reacomodando la expresión y sustituyendo el valor de C, se

obtiene:

120)()(=+ tv

dttdv

Como la ecuación diferencial es diferente de cero, entonces en la solución a esta ecuación diferencial tendremos respuesta natural y respuesta forzada, así la solución es: v(t) = K1 + K2-t/τ

De la ecuación diferencial tenemos que a = 1, así τ = 1/1 = 1s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos v(t) por K1 en la ecuación diferencial, así:

12011 =+K

dtdK

, entonces obtenemos que K1 = 120 o bien tomamos la definición que:

1201

1201 ===

aAK

Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de v(0+) = v(0) = v(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.4.8

80V

2Ω

6Ω v(0-)+

-

1K

120V

Figura 6.4.8



En t = 0- el circuito esta en estado estable y el capacitor actúa como un circuito abierto de CD. El capacitor se encuentra cargado a un valor constante, que llamamos v(0-), para calcularlo podemos hacer uso del divisor de voltaje, ya que tenemos una simple malla, así,

Vv 60)80(26

6)0( −=−+

=−

Por lo tanto v(0+) = -60V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 v(0) = 120 + K2-t = -60, entonces K2 = -180, así el voltaje del inductor para t > 0 es: v(t) = 120 – 180-t V El voltaje v(t) se encuentra dibujado en la Figura 6.4.9 0

120

t(s)

v (V)

t1 τ 2τ 3τ-60

4τ 5τ

60

Figura 6.4.9

6.5 Procedimiento simple para determinar la respuesta completa de circuitos de primer orden a una fuente constante Hemos visto de los ejemplos anteriores que la respuesta completa de un circuito RC o RL a una fuente constante, es simplemente x(t) = xp(t) + xc(t), donde xc(t) es la respuesta natural K2-t/τ y xp(t) es la respuesta a la función forzada constante. Entonces será conveniente proceder directamente a determinar por separado xp(t) y xc(t), sumándolas después para obtener x(t). Después se usa x(0+) para determinar K2 y se tiene la respuesta completa x(t). Para ilustrar el procedimiento vamos a considerar un ejemplo.

80V

4Ω

4Ω 10mH

i

t = 0

Figura 6.5.1

Ejemplo 6.5.1 Para el circuito mostrado en la Figura 6.5.1. Determine la corriente i para t > 0, sabiendo que i(0-) = 3A 4Ω

4Ω 10mH

Figura 6.5.2

Solución: Primero calculamos la respuesta natural para t > 0, como es la respuesta natural, entonces hacemos en el



circuito para t > 0, la fuente de voltaje de 80V igual a cero y obtenemos el circuito de la Figura 6.5.2. Entonces la respuesta natural será ic(t) = K2-t/τ, donde el valor de τ lo obtenemos del circuito. Para un circuito RL, τ = L/R, en este caso R será el equivalente paralelo de 4Ω||4Ω = 2Ω, entonces τ = 10m/2 = 5ms, así la respuesta natural es: ic(t) = K2-200t

En este punto, vale la pena observarse, que podemos determinar τ en un circuito de primer orden por medio del principio de Thévenin para evaluar la resistencia vista en las terminales de un capacitor o un inductor dado. Para encontrar la respuesta forzada, como ésta es una constante, no importa el tiempo en que se determine ip(t) una vez alcanzada la condición de estado estable. Por comodidad se usa t = ∞ cuando el estado transitorio ha desaparecido y el circuito sólo responde a la fuente constante. En t = ∞, o estado estable el inductor se comporta como un corto circuito y la corriente a través de él es constante. Entonces podemos redibujar el circuito para t > 0, reemplazando el inductor por un corto circuito, como se muestra en la Figura 6.5.3

80V

4Ω

4Ω ip(t)

Figura 6.5.3

Entonces la respuesta forzada se puede calcular como ip(t) = 80/4 = 20A Por lo tanto la respuesta completa será: i(t) = 20 + K2-200t A, para poder calcular K2, hacemos uso de las condiciones iniciales, que para este caso ya esta dada, i(0-) = 3A = i(0) = i(0+), así: i(0+) = 20 + K2-0 = 3, entonces K2 = -17, por lo tanto la respuesta completa final será: i(t) = 20 - 17-200t A

20V 2Ω

8Ω

v +

t = 0

- ¼ F

Figura 6.5.4

Ejemplo 6.5.2 Para el circuito mostrado en la Figura 6.5.4, determine el voltaje v(t) para t > 0, considere que v(0-) = 10V

2Ω

8Ω

¼ F

Figura 6.5.5

Solución: Primero calculamos la respuesta natural para t > 0, como es la respuesta natural, entonces hacemos en el circuito



para t > 0, la fuente de voltaje de 20V igual a cero y obtenemos el circuito de la Figura 6.5.5. Entonces la respuesta natural será vc(t) = K2-t/τ, donde el valor de τ lo obtenemos del circuito. Para un circuito RC, τ = RC, en este caso R será el equivalente paralelo de 8Ω||2Ω = 1.6Ω, entonces τ = 1.6(1/4) = 0.4s, así la respuesta natural es: vc(t) = K2-2.5t

Para encontrar la respuesta forzada, determinamos vp(t) una vez alcanzada la condición de estado estable. Por comodidad se usa t = ∞ cuando el estado transitorio ha desaparecido y el circuito sólo responde a la fuente constante. En t = ∞, o estado estable el capacitor se comporta como un circuito abierto y el voltaje a través de él es constante. Entonces podemos redibujar el circuito para t > 0, reemplazando el capacitor por un circuito abierto, como se muestra en la Figura 6.5.6

20V 2Ω

8Ω

vp(t) +

-

Figura 6.5.6

Entonces la respuesta forzada se puede calcular usando un divisor de voltaje, así:

Vtv p 4)20(28

2)( −=−+

=

Por lo tanto la respuesta completa será: v(t) = -4 + K2-2.5t V, para poder calcular K2, hacemos uso de las condiciones iniciales, que para este caso ya esta dada, v(0-) = 10V = i(0) = i(0+), así: v(0+) = -4 + K2-0 = 10, entonces K2 = 14, por lo tanto la respuesta completa final será: v(t) = -4 + 14-2.5t V 6.6 Respuesta de los circuitos de primer orden a las funciones: pulso, impulso y tren de pulsos Fuente escalón unitario: En las secciones anteriores examinamos circuitos donde las fuentes se conectaban y desconectaban del circuito cuando t = t0, provocando que las corrientes y voltajes del circuito cambiaran bruscamente. La aplicación de una batería por medio de dos interruptores como se muestra en la Figura 6.6.1. (a), se puede considerar equivalente a una fuente que vale cero hasta t0 y uno en



adelante. Esta función redefine como función escalón donde:

unitario y se representa por u(t – t ), 0

1V v

+

-

t = to

t = to

0 t < t0u(t –t0) = 1 t > t0 Esta función se muestra en la Figura 6.6.1.(b), generalmente se considera que t0 = 0. La función escalón unitario es adimensional puesto que es una función matemática. Si se desea representar el voltaje, se usa la ecuación: v(t) = Vo u(t – t0) y la fuente la representamos como en la Figura 6.6.2 Vale la pena observar que u(-t) implica simplemente que se tiene un valor de uno para t < 0 de forma que: 1 t < 0 u(-t) = 0 t > 0 Su gráfica en función el tiempo se muestra en la Figura 6.6.3. (a) En el caso de que el cambio ocurra en t0 se tiene: 1 t < t0u(t0 - t) = 0 t > t0

0 to t

u(t - to)

1

Figura 6.6.1

(a)

(b)

Vo u(t –to) v(t)+

-

Figura 6.6.2

0 t

u(-t)

1

0 to t

u(to - t)

1

Figura 6.6.3 (b)

(a)

Su gráfica en función del tiempo se muestra en la Figura 6.6.3. (b) Otra fuente importante es la Fuente Impulso, que se describe como:



0 t < t0v(t) = Vo t0 < t < t1 0 t > t1 La gráfica de la Figura 6.6.4 (a) muestra de la función con respecto al tiempo y la Figura 6.6.4.(b) muestra dos ondas de voltaje escalón que producen el impulso de voltaje.

0 to t

v(t)

Vo

t1

0 to t

v(t)

Vo

t1

-Vo

Vo u(t - to)

-Vo u(t - t1) (b)

Figura 6.6.4 (a)

Vo u(t – t0)

Vo u(t – t1)

v(t)

+

-

Figura 6.6.5

El símbolo de circuito de la fuente impulso se muestra en la Figura 6.6.5 Ejemplo 6.6.1 La fuente impulso se aplica al circuito RL de la Figura 6.6.6, sabiendo que i(0-) = 0. Se desea determinar la corriente i(t) al ser excitado por dicha fuente.

Vo u(t – t1)

Vo u(t)

R

Li

Figura 6.6.6

Solución: Puesto que el circuito es lineal, puede emplearse el principio de superposición de forma que i(t) = i1(t) + i2(t), donde i1(t) es la respuesta debido a la fuente Vo u(t) e i2(t) es la respuesta la fuente Vo u(t – t1). Primero encontremos la respuesta completa de un circuito RL a una función forzada constante aplicada cuando t = tn. De los análisis anteriores sabemos que tendremos respuesta natural y respuesta forzada, es decir io(t) = K1 + K2-a(t-to)

Donde K1 = Vo/R y K2 =-Vo/R



Por lo tanto la respuesta de un circuito RL a una función forzada constante aplicada cuando t = tn es:

( ( )( ) 1 na t toVi t e A)R− −= − , para t > tn, donde a = 1/τ = R/L, entonces la respuesta i1(t) será:

(1( ) 1 atoVi t e A)R−= − , para t ≥ 0 y la corriente i2(t) será:

( 1( )2 ( ) 1 a t toVi t e A)R

− −= − − , para t > t1, sumando ambas respuestas obtenemos:

( )1 atoV eR

−− 0 < t ≤ t1

i(t) =

( )1 1atatoV e eR

− − t > t1

La magnitud de la respuesta en t = t1 es:

( 1 /1( ) 1 toVi t e A)R

τ−= − , la forma de onda de esta respuesta

puede verse en la Figura 6.6.7

0 t1 t

i(t) A

Si t1 > τ, la respuesta alcanzará Vo/R antes de comenzar su declinación. La respuesta en t = 2t1 es:

( )1 121(2 ) at atoVi t e e A

R− −= −

6.7 Respuesta de un circuito RC o RL a una fuente no constante La ecuación que describe un circuito RC o RL se representa por una ecuación diferencial general:

)()()( tftaxdt

tdx=+ , donde en las secciones anteriores, habíamos asumido que f(t) era una

constante. Consideremos ahora el caso donde f(t) no es una constante, pudiera ser cualquier función matemática. La respuesta natural seguirá siendo la misma xc(t) = K2-at, sin embargo la respuesta forzada quedará determinada por la forma de f(t).

i(t1)Vo/R

Figura 6.6.7 2t1



Consideremos el caso que f(t) es una función exponencial f(t) = bt, suponemos que (a + b) ≠ 0. Entonces la solución tendrá la misma forma exponencial, supondremos que: xp(t) = Abt, y trataremos de encontrar cuanto vale la constante A, sustituyendo xp(t) en la ecuación diferencial se obtiene:

( ) ( )bt

bt btd Ae a Ae edt

+ = , efectuando la deriva se obtiene:

bt bt btbAe aAe e+ = , factorizando y despejando obtenemos el valor de A:

baA

+=

1 , por lo tanto la solución forzada será ( )bt

pex t

a b=

+

Ejemplo 6.7.1

10V 1H vf

5Ω 4Ω

t = 0

i

Figura 6.7.1

Para el circuito mostrado en la Figura 6.7.1, determine el valor de la corriente i para t > 0. Considere que vf = 10-2t u(t) V Solución:

10V

5Ω

1H

4Ω

vf

i

Figura 6.7.2

Como nos piden encontrar i(t) para t > 0, necesitamos redibujar el circuito para ese tiempo, y lo mostramos en la Figura 6.7.2 Primero obtenemos la ecuación diferencial característica del circuito, para ello aplicamos LKV a única malla existen en el circuito, así:

dttdiLtiv f)()()4( += , sustituyendo valores y reacomodando la ecuación se obtiene:

2( ) 4 ( ) 10 tdi t i t e

dt−+ = , entonces tendremos respuesta natural y forzada.

Para calcular la respuesta forzada, suponemos que la solución tendrá la misma forma, es decir: xp(t) = A-2t, y trataremos de encontrar cuanto vale la constante A, sustituyendo xp(t) en la ecuación diferencial se obtiene:

22( ) 4( ) 10

ttd Ae Ae e

dt

−−+ = 2t− , efectuando la deriva se obtiene:



2 22 4 10t t 2tAe Ae e− −− + = − , factorizando y despejando obtenemos el valor de A: A = 5, por lo tanto xp(t) = 5-2t

La respuesta del circuito será: i(t) = 5-2t + K2-at

La respuesta natural se calcula de la misma forma como lo hemos hecho hasta ahora.

Para ello utilizamos la ecuación 0)(4)(=+ ti

dttdi ,

donde τ = 1/a = ¼ = 0.25s. Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de i(0+) = i(0) = i(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.7.3

10V

5Ω 4Ω

i

Nótese que la fuente vf ha desaparecido, ya que es una función exponencial está multiplicada por la función unitario, donde para t < 0, ella es cero, por lo tanto así vf también será cero. Y la corriente i(0-) será: i(0-) = 10/5 = 2A = i(0+) Ahora evaluamos la respuesta x(t), en t = 0, así: i(0) = 5-0 + K2-0 = 2, entonces el valor de K2 = -3, y la respuesta completa del circuito es: i(t) =5-2t - 3-4t A, para t > 0 6.8 Problemas Resueltos Ejemplo 6.8.1 Determine el voltaje v a través del capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.8.1. Suponga que el interruptor ha estado por largo tiempo en la posición antes del cambio a t = 0. Solución Como nos están pidiendo encontrar el voltaje v a través del capacitor ( v = vC) para el tiempo t > 0, entonces tenemos que redibujar nuestro circuito para t > 0, como se puede mostrar en la figura 6.8.2.a.

(0-)

Figura 6.7.3

80V

4KΩ

0.2H

12KΩ 0.1F 30Ω

t = 0

v +

-

Figura 6.8.1



80V

4KΩ

0.2H

12KΩ 0.1F30Ω

v+

-

80V

4KΩ

12KΩ+

- v(0-)

iL(0-)

(a)Figura 6.8.2

(b)

Ahora podemos aplicar la LKC al nodo de arriba, así iC + iR = 0, como el resistor se encuentra en paralelo al capacitor, comparten el mismo voltaje, sustituyendo la ecuación anterior, en términos del voltaje del capacitor, tenemos:

0=+Rv

dtdv

C CC , que sustituyendo por lo valores y reacomodando la ecuación tenemos:

03=+ CC v

dtdv

, que es la ecuación diferencial que define el circuito, y como ésta es igual a

cero, quiere decir que la respuesta es natural y su solución es: vC(t) = K2-t/τ

Si observamos la ecuación diferencial a = 1/3, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 3s. Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de v(0+) = v(0) = v(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la figura 6.8.2.b El voltaje v(0-) se puede obtener aplicando un divisor de voltaje, así:

VKKv 60)80(

1612)0( ==−

Por lo tanto v(0+) = 60V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 v(0) = K2-0 = 60, así K2 = 60, entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: v(t) = 60-t/3 V

36V

2Ω 4Ω

8Ω 6Ω

2H

t = 0i(t)

Figura 6.8.3

Ejemplo 6.8.2 Determine la corriente i(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.8.3 y grafique



la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. Solución Para encontrar la corriente i(t) para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar primero iL(t), que es el elemento almacenador de energía y luego encontrar i(t) en función de iL(t). El circuito para t > 0 se muestra en la figura 6.8.4.a y como podemos observar i(t) será: i(t) = -iL(t),

36V

2Ω 4Ω

8Ω 6Ω

2H

i(t)

2Ω

36V 6Ω

4Ω

8Ω

iL(0-)

i(0-)

Figura 6.8.4 (b) (a)

Ahora podemos aplicar la LKV a la malla, así v6Ω + v4Ω + v8Ω + vL = 0, como los resistores se encuentra en serie al inductor, comparten la misma corriente, sustituyendo la ecuación anterior, en términos de la corriente del inductor, tenemos:

0846 =+++ LLLL iii

dtdiL , que sustituyendo por lo valores y reacomodando la ecuación

tenemos:

09 =+ LL i

dtdi

, que es la ecuación diferencial que define el circuito, y como ésta es igual a

cero, quiere decir que la respuesta es natural y su solución es: iL(t) = K2-t/τ

Si observamos la ecuación diferencial a = 9, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/9 s. Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de iL(0+) = iL(0) = iL(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la figura 6.8.4.b La corriente iL(0-) se puede obtener de aplicar la ley de Ohm, iL(0-) = v6Ω/6Ω y para obtener el voltaje v6Ω podemos aplicar un divisor de voltaje, así:



Vv 24)36(2)6||12(

)6||12(6 =

+=Ω , entonces iL(0-) = 24/6 = 4A

0

2

t

i(t) A

-4

Figura 6.8.5

Por lo tanto iL(0+) = 4A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 iL(0) = K2-0 = 4, así K2 = 4, entonces la corriente del inductor para t > 0 es: iL(t) = 4-9t A, por lo tanto i(t) será: i(t) = -4-9t A y su gráfica se puede observar en la figura 6.8.5

24V

10mA4KΩ18KΩ

1 µF 45 36KΩ

t = 0

i 20KΩ

Figura 6.8.6

Ejemplo 6.8.3 Determine i(t) para t > 0 para el circuito mostrado en la figura 6.8.6. Suponga que el circuito alcanzó estado estable en t = 0-. Solución: Para encontrar la corriente i(t) para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar primero vC(t), que es el elemento almacenador de energía y luego encontrar i(t) en función de vC(t). El circuito para t > 0 se muestra en la figura 6.8.7 y como podemos observar i(t) será:

24V

10mA4KΩ18KΩ

1 µF 45 36KΩ

i 20KΩ

Figura 6.8.7

i(t) = vC(t),/18K Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando el voltaje del capacitor. Para ello aplicaremos LKC al nodo superior derecho, es decir al nodo superior del capacitor, así: i20KΩ = i18KΩ + i36KΩ + iC , ahora empleamos la ley de Ohm para obtener:

dtdv

CK

vK

vKv CCCC ++=

−361820

24, sustituyendo valores y reacomodando la ecuación

tenemos:



540006000 =+ CC v

dtdv

, Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de

cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: vC(t) = K1 + K2-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 6000, así τ = 1/a = 1/6000 = 166.667µs Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos vC(t) por K1 en la ecuación diferencial, así

540006000 11 =+ K

dtdK

, entonces obtenemos que K1 = 9, otra forma directa encontrar K1

es dividir la constante de la ecuación diferencial (A) entre a, es decir K1 = A/a, para nuestro caso: K1 = 54000/6000 = 9 Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de vC(0+) = vC(0) = vC(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.8.8

4KΩ 10mA

24V

20KΩ

18KΩ36KΩvC(0-)

+

-

i(0-)

Figura 6.8.8

El voltaje vC(0-) se puede obtener de aplicar la ley de Ohm, al multiplicar el valor de la fuente corriente el equivalente de Resistencia (36KΩ||4KΩ = 3.6KΩ), entonces el voltaje del capacitor será: vC(0-) = 10m*3.6K = 36V Por lo tanto vC(0+) = 36V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 vC(0) = 9 + K2-0 = 36, así K2 = 27, entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es:

vC(t) = 9 + 27-6000t V, por lo tanto i(t) será: 6000( ) 1 3( )18 2 2

tCv ti t e mAK

−= = +



Ejemplo 6.8.4 Determine la corriente en el inductor i(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.8.4. Suponga que el circuito alcanzó estado estable en t = 0-.

8A 4A1Ω 10Ω 10mH

i

t = 0

Figura 6.8.9 Solución Para encontrar la corriente i(t) para t > 0, (que coincide con iL(t)) debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, el cual es mostrado en la figura 6.8.10.a

8A 4A1Ω 10Ω10mH

i

8A 1Ω i(0-)

(a)Figura 6.8.10

(b)

Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando la corriente del inductor. Para ello aplicaremos LKC al nodo superior del inductor, así: iL + i10Ω + 4 = 0 , ahora empleamos la ley de Ohm para obtener:

410

−=+ LL

vi , sustituyendo vL y reacomodando la ecuación tenemos:

40001000 −=+ LL i

dtdi

, Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de cero,

así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: iL(t) = K1 + K2-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 1000, así τ = 1/a = 1/1000 = 1ms Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos A y a para obtener K1, así K1 = A/a = -4000/1000 = -4



Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de iL(0+) = iL(0) = iL(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.8.10.b Del circuito podemos observar que iL(0-) = 8A Por lo tanto iL(0+) = 8A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 iL(0) = -4 + K2-0 = 8, así K2 = 12, entonces la corriente del inductor para t > 0 es: iL(t) = i(t) = -4 + 12-1000t A. 3KΩ

1KΩ 2mFvs

4I1

I1

vC

+

-

Figura 6.8.11

Ejemplo 6.8.5 Determine el voltaje vC(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.8.11. cuando vf = 2u(-t) + 12u(t) V. Solución: Para encontrar el voltaje vC(t) para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, el cual es mostrado en la figura 6.8.12.a Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando el voltaje del capacitor. Para ello aplicaremos LKC al nodo superior del inductor, y de la LKV a la malla derecha del circuito, así:

12V

3KΩ

1KΩ

4i

2mF vC

+

-i

2V

3KΩ 4i

ivC(0-)+

-1KΩ

Figura 6.8.12

(a)

(b) i3KΩ = i1KΩ + iC , ahora empleamos la ley de Ohm para obtener:

CKK iK

vKv

+=− ΩΩ

1312 11 , para encontrar v1KΩ, haremos uso de la LKV a la malla donde se

encuentra el capacitor, así: v1KΩ + 4Ki = vC, entonces el voltaje v1KΩ = vC – 4Ki, pero la corriente i coincide con la corriente i3KΩ, entonces el voltaje v1KΩ, será:

Kvvv K

CK 3124 1

1Ω

Ω

−−= , despejando se obtiene:

)43(483

1 −−

=Ω KKv

v CK ,



ahora insertando esta ecuación en la ecuación obtenida de la aplicación de la LKC, obtenemos:

dttdv

CK

KKv

KK

Kv

C

CC

)(1

)43(483

3)43(

48312

+−−

=−−

−, realizando las operaciones, y reacomodando se

obtiene:

011.26676.0 =+ CC v

dtdv

, Como podemos observar, la ecuación diferencial es distinta de

cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma: vC(t) = K1 + K2-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 0.6676, así τ = 1/a = 1/0.6676 = 1.5s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos A y a para obtener K1, así K1 = A/a = 2.011/0.6676 = 3.012 Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de vC(0+) = vC(0) = vC(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.8.12.b Para obtener el voltaje del capacitor vC(0-), aplicamos la LKV a la malla abierta de la derecha del circuito, así: vC(0-) = 4i + v1KΩ, de donde i = 2/4K = ½ mA y v1KΩ = (1K/4K)*2 = 0.5V, entonces: vC(0-) = 0.502V Por lo tanto vC(0+) = 0.502V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 vC(0) = 3.012 + K2-0 = 0.502, así K2 = -2.51, entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: vC(t) = 3.012 – 2.51-0.6676t V.



Ejemplo 6.8.6

2V

6Ω

1/2H

5u(t)

v + -

Figura 6.8.13

Determine el voltaje v(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.8.13. Suponga que el circuito alcanzó estado estable en t = 0-. Solución: Para encontrar el voltaje v(t) para t > 0, debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, y encontrar primero iL(t), que es el elemento almacenador de energía y luego encontrar v(t) en función de iL(t). El circuito para t > 0 se muestra en la figura 6.8.14.a y como podemos observar v(t) será: v(t) = iL(t)*6 Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial que caracteriza a dicho circuito, encontrando la corriente del inductor. Para ello aplicaremos la LKV a la malla del circuito, así: 2 + 5 = v6Ω + vL , ahora empleamos la ley de Ohm para obtener:

76 =+ LL i

dtdiL , reacomodando la ecuación tenemos:

1412 =+ LL i

dtdi

, Como podemos observar, la ecuación

diferencial es distinta de cero, así que tendremos, respuesta natural y respuesta forzada, entonces la solución tendrá la forma:

2V

6Ω

1/2H

5V

v + -

v(0-)

i(0-)

+ - 2V

6Ω

Figura 6.8.14 (b)

(a)

iL(t) = K1 + K2-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 12, así τ = 1/a = 1/12 = 83.33ms Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos A y a para obtener K1, así K1 = A/a = 14/12 = 7/6 Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de iL(0+) = iL(0) = iL(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.8.14.b



La corriente iL(0-) la podemos encontrar empleando la ley de Ohm, así: iL(0-) = 2/6 = 1/3 A Por lo tanto iL(0+) = 1/3 A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 iL(0) = (7/6) + K2-0 = 1/3, así K2 = -(5/6), entonces la corriente del inductor para t > 0 es: iL(t) = 7/6 – (5/6)-12t A. Por lo tanto v(t) será: v(t) = 6 IL(t) = 7 – 5-12t V 6.9 Problemas propuestos 6.9.1 Determine la corriente iL(t) por el inductor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.1, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.

8V

4Ω

4Ω2mH

t = 0

iL

Figura 6.9.1

6.9.2 Determine el voltaje vC(t) en el capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.2, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cambiar de posición el interruptor.

5V

3Ω

3mF100Ω

vC

+

-

t = 0

Figura 6.9.2

6.9.3 Determine el voltaje vC(t) en el capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.3, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.

12V

12KΩ 12KΩ

6KΩ

6KΩ 200µF +vC

-t = 0

Figura 6.9.3



6.9.4 Determine la corriente iL(t) en el inductor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.4, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.

12V

6Ω 3Ω 12Ω 6Ω2H

t = 0 iL

Figura 6.9.4

6.9.5 Determine la corriente iL(t) en el inductor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.5, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cerrar el interruptor.

24V

10Ω 50Ω

30Ω25mH

iL

t = 0

Figura 6.9.5

6.9.6 Determine el voltaje vC(t) en el capacitor para t > 0, para el circuito mostrado en la figura 6.9.6, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cerrar el interruptor.

0.1A200Ω

50Ω

20µF t = 0

vC

-

+

Figura 6.9.6

6.9.7 Determine el voltaje vo(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.7, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.

12V 6KΩ 6KΩ6KΩ

100µF

vo(t)+

-

t = 0

Figura 6.9.7



6.9.8 Determine la corriente io(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.8, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.

24V

6Ω 6Ω

12Ω

3Hio(t)

t = 0

Figura 6.9.8

6.9.9 Determine la corriente iL(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.9. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

50V

5Ω

1Ω0.25H3I1

I1t = 0

iL

Figura 6.9.9

6.9.10 Determine el voltaje vC(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.10. Suponga que vC(0) = 6V.

V1

500 A V1 1KΩ3KΩ

50µF

vC+

+ -

-

Figura 6.9.10

6.9.11 Determine el voltaje v(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.11. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

40V7Ω

3Ω

15Ω

6iL

1/50 H

iLv+

-

t = 0

Figura 6.9.11



6.9.12 Determine la corriente i(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.12. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

2.6A 2Ω 11Ω

4Ω

1/13 F V1

3V1

+

-

t = 0

i

Figura 6.9.12

6.9.13 Determine la corriente io(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.13, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.

24V

12V2Ω

2Ω

4Ω

2H

t = 0 io

Figura 6.9.13

6.9.14 Determine el voltaje vo(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la figura 6.9.14, y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de cerrar el interruptor.

24V

12V

2KΩ

4KΩ

2KΩ

4KΩ

50µF

vo

+

-

t = 0

Figura 6.9.14

6.9.15 Determine el voltaje v(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.15. Suponga que el cir -

cuito se encuentra en estado estable cuando t = 0 .

10V 12V

15KΩ

20KΩ

5KΩ

10µF

t = 0 t = 0

v-

+

Figura 6.9.15



6.9.16 Determine el voltaje vo(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.16. uponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

.9.17 Determine la corr ostrado en la figura 6.9.17. uponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

.9.18 Determine el volta strado en la figura 6.9.18. uponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

.9.19 Determine la cor strado en la figura 6.9.19. uponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

S 6 iente iL(t) para t > 0 en el circuito mS 6 je vC(t) para t > 0 en el circuito moS 6 riente iL(t) para t > 0 en el circuito moS

t = 0

6A

3 6Ω Ω

4Ω

6Ω2H

vo

+

-

Figura 6.9.16

3KΩ

5KΩ

10mH

3u(t) mA5V

Figura 6.9.17

2Ω1u(t) A 1Ω

12u(-t) V

1/44 F

4V1

V1

+

-vC

+

-

Figura 6.9.18

10Ω 20Ω

100u(t) V 20I1

I1

iL

0.1H

Figura 6.9.19



6.9.20 Determine el voltaje vC(t) para t > 0 en el circuito mostrado en la figura 6.9.20, si vs -12u(-t) + 24u(t) V. Suponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

.9.21 Determine la corrien ostrado en la figura 6.9.21. uponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

.9.22 Determ strado en la figura 6.9.22. uponga que el circuito se encuentra en estado estable cuando t = 0-.

= 10KΩ

6 te iL(t) para t > 0 en el circuito mS 6 ine el voltaje vC(t) para t > 0 en el circuito moS

vs 20KΩ 300nFvC

+

-

Figura 6.9.20

5Ω

40V

50Ω0.2H

20u(t) A 10I1

I i1 L

Figura 6.9.21

40A

2Ω

20Ω2mF20u(t) V 0.1V1

V1+ +- -vC

Figura 6.9.22


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