Circuit Science - 2
171
Валентин Васильевич Бондаренко Основы теории цепей Часть 2 Конспект лекций Выполнил студент 712 гр. А. В. Димент 2009 СПбГУКиТ
-
Upload
alexander-diment -
Category
Documents
-
view
225 -
download
0
description
Lectures by V. V. Bondarenko. Designed and published by A. Diment
Transcript of Circuit Science - 2
Валентин Васильевич Бондаренко
Основы теории цепей
Часть 2
Конспект лекций
Выполнил студент 712 гр.
А. В. Димент
2009
СПбГУКиТ
2
3
Глава 1. Переходные процессы в линейных электрических цепях §1.1. ПРИЧИНЫ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Различают стационарный режим работ цепи. При этом
а) отсутствует коммутация в цепи;
б) не изменяются скачком параметры элементов ( → 2 );
в) неизменность структуры цепи.
В отличие от него различают динамический режим работы це-пи, который связан с переходными процессами. Его признаки:
а) наличие коммутации в цепи;
б) скачкообразно меняются параметры цепи;
в) скачкообразное изменение всей структуры цепи.
Если выполняется хотя бы один из этих признаков, наблюдает-ся переходной процесс.
Сама по себе коммутация, или переключение, может происхо-дить практически мгновенно (порядка мкс), а процессы в элек-трической цепи мгновенно измениться не могут из-за того, что в цепи имеются реактивные элементы L, C. Достаточное усло-вие — наличие энергии на этих элементах.
§1.2. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
= 2 = 2
C i L
4
=
При → 0 цепь должна иметь бесконечную мощность. Но та-кое в природе невозможно, поэтому происходит переходной процесс.
(0 ) = (0 ) Ψ = Ψ(0 ) = Ψ(0 )
— первый закон коммутации:
Ток в индуктивности или потокосцепление скачком изме-няться не могут.
(0 ) = (0 ) = (0 ) = (0 )
— второй закон коммутации:
Напряжение на ёмкости или заряд скачком меняться не мо-гут. Скачком изменяться могут , , , .
(0–) C
t
(0–) (0 )
(0–) L
t
(0–) (0 )
5
§1.3. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Начальными условиями называются те условия, которые были на реактивных элементах к моменту начала коммутации.
Они могут быть нулевыми ( (0 ) = (0 ) = 0, (0 ) = (0 ) =0), ненулевыми ( (0 ) = (0 ) ≠ 0, (0 ) = (0 ) ≠ 0).
В общем случае ( ) = ( ) = ≠ 0= 0 ( ) = ( ) = ≠ 0= 0
§1.4. МЕТОДИКА РАСЧЁТА
До коммутации определяются начальные условия, если они нам не заданы. Вся методика распространяется на цепь после коммутации.
C L
R
E
i
C L
R K
E
6
1. Составляем исходное дифференциальное уравнение для данной цепи. + + = + + =
=
+ + =
+ + =
— линейное неоднородное дифференциальное уравнение вто-рого порядка относительно . Линейное, т. к. коэффициенты не зависят от . Неоднородное, так как правая часть не равна нулю. Порядок уравнения и цепи определяется количеством реактивных элементов.
2. Ищем решение этого дифференциального уравнения. = пр + св, где пр (принуждённое) — частное решение неоднородного дифференциального уравнения, а св (свободное) — общее решение однородного дифференциального уравнения.
Нашли пр. 3. Ищем свободную составляющую в форме св = + , где и — постоянные интегрирования, которые определя-ются из начальных условий. Их мы найдём в следующем пунк-те. Здесь найдём и — корни характеристического уравне-ния.
7
св + св + св = 0
Переходим к характеристическому уравнению. + + 1 = 0
Находим , .
4. = пр + + Составим уравнение для тока:
= = пр + +
(0) = пр | + + (0) = пр | + + Из этой системы находим , .
§1.5. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RL-ЦЕПИ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Дано: , , . Начальные условия (0 ) = (0 ) = 0. ————————— Найти , , .
L
R
U
i
L
R K
U
8
По второму закону Кирхгофа обойдём контур. + = + =
+ =
— линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно тока. = пр + св При → ∞ = . пр =
3. Ищем свободную составляющую. св = Найдём . св + св = 0 + = 0 = −
= =
— постоянная времени [c].
а) св = = Постоянная времени — время, в течение которого исходная ве-личина изменяется в е раз.
9
Используя начальные условия, определим . 0 = +
= −
= − ⋅ (1)
б) С точки зрения физики процесса нет ни принуждённой, ни свободной составляющих, а есть так называемый переходной ток, который описывается такой экспонентой. Свободные и принуждённые составляющие берутся из метода расчёта.
в) Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго. Практически переходной процесс можно считать законченный через (3 … 5) ⋅ .
= = − (2)
U
t τ 2τ 3τ uR
i
− t τ 2τ 3τ i(0–) = i(0+)
iпр
iсв
i
10
— форма кривой не меняется.
= = − − 1 = = (3)
Если мы сложим + , для любого сумма даст исходное на-пряжение . + =
§1.6. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ RL-ЦЕПИ
Дано: , , . ————————— Найти , , , — энергия маг-нитного поля.
L
R
1 U 2
U
t
τ 2τ 3τ
uR, uL
uL
t
τ 2τ 3τ
11
Начальные условия не заданы, в цепи до коммутации (положе-ние 1) мы должны их сами определить. (0 ) = (0 ) =
Для цепи после коммутации (в положении 2):
Обойдём контур. + = 0 + = 0
+ = 0
— линейное однородное уравнение первого порядка относи-тельно тока.
2. Ищем решение = пр + св. пр = 0
3. Свободная составляющая св = = св + св = 0 + = 0 =
L
R
(0) ≠ 0
12
4. Найдём постоянную интегрирования. = 0 + = 0 +
=
= =
= = − = − (3)
uL
t τ 2τ 3τ
uR
+U
t
τ 2τ 3τ
i t
τ 2τ 3τ i(0–) = i(0+)
13
Для любого момента времени + = 0.
Энергия, которая выделяется в сопротивлении:
=
Подставим в это выражение = (0) ⋅ . = (0)
= (0) = (0) ⋅ − 2
∞0 =
= (0) 2 ⋅ −1 ∞0 = (0) 2 = (0) 2 = (0)2 = Выводы:
а) Мы показали, что вся энергия магнитного поля, запасённая в элементе L, за время переходного процесса выделяется в виде тепла на элементе R.
б) Теоретически переходной процесс нужно рассчитывать от нуля до бесконечности, хотя практически он заканчивается за время (3 … 5) .
uL, uR
t τ 3τ
14
§1.7. РАЗРЯД RL-ЦЕПИ НА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Дано: , , , . ————————— Найти , .
До коммутации: (0 ) = (0 ) =
1)
Обходим контур, составляем уравнение. + + = 0
+ + = 0
2) = св + пр
пр = +
3) = +
L
R
R0
(0) ≠ 0 i
L
R
1 U 2
R0
15
4)
= (1) = − = − = − − 1 =
= + = + (2)
а) ≫ ≫
Переходные режимы могут быть опасными, возникают большие токи, возможен пробой, и его надо уметь рассчитывать.
§1.8. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RL-ЦЕПИ НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
( ) = = sin( + ) , (0 ) = (0 ) = 0
————————— , ,
1)
L
R
u
i
L
R
u(t)
16
Составляем исходное дифференциальное уравнение. Обходим контур. + = ( ) + = ( )
+ = sin( + )
2) = пр + св Решаем цепь переменного тока.
= sin( + ) = = + ( ) = − = arctg = − = sin( + − ) = пр
В пункте 2 используем символический метод для расчёта гар-монических процессов. Схема в символической форме.
ωL
R
Um
Im
17
= + = = ( ) ( ) = ( ) = ( ) = [ ] = sin( + − ) = пр
= = [ ] (1) (2)
3) =
Постоянная времени не зависит ни от величины приложенного напряжения, ни от формы приложенного напряжения, а опре-деляется лишь параметрами самой цепи, то есть L и R.
4) Найдём постоянную интегрирования. = sin( + − ) + Используя начальные условия, получим 0 = sin( − ) + = − sin( − )
= sin( + − ) отц ч. − sin( − ) отц ч. (1)
jωL
R
18
Проанализируем уравнение (1). Случай 1: отсутствует переход-ной процесс. Он отсутствует, когда нет второго слагаемого, то есть когда sin( − ) = 0. ( − ) = 0 = sin( )
Поэтому в точках у нас сразу установится принуждённый режим.
Случай 2. Максимальный переходной процесс: sin( − ) = ±1. Пусть sin( − ) = 1. ( − ) = 2
Подставим это условие в уравнение (1).
= sin + 2 − (3)
i
= 2
i=0 ωt
19
а) В случае максимального переходного процесса максималь-ное значение тока может достигать почти удвоенного ампли-тудного значения (см. стрелочку).
б) Это означает, что максимальный переходной процесс — это опасный режим, его надо уметь рассчитывать.
Мы нашли ток, нетрудно найти напряжение. = = sin( + − ) − sin( − ) = = cos( + − ) − sin( − ) − 1
§1.9. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RC-ЦЕПИ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
, , (0 ) = (0 ) = 0 ————————— , ,
С
R
U
i
i(0–) = i(0+)
τ/2 ωt
20
1) Обойдём контур.
+ = + = + =
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно С. 2) = пр + св При → ∞ пр → . св = св + св = 0 + 1 = 0 = − 1
= 1 =
4) Используем начальные условия. = + 0 = +
С
R
U
i
21
= − = −
Найдём уравнение тока.
= = = (2)
= = (3)
U
t
τ 2τ 3τ
uC, uR
uC
uR
uR
t
τ 2τ 3τ
U
t τ 2τ 3τ uC
(0 ) = (0 ), второй закон коммутации выполняется
22
§1.10. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ RC-ЦЕПИ
, , ————————— , , ,
До коммутации ёмкость была заряжена до величины . (0 ) = (0 ) =
После коммутации
+ = 0 + = 0 =
+ = 0
2) = пр + св пр = 0
3) =
C
R
(0) ≠ 0
C
R
1 U 2
23
4) = 0 + Подставим начальные условия. = 0 +
= (4) Построим.
Уравнение тока:
= = − 1 = − (2)
Как видим, ток может меняться скачком, а напряжение на ём-кости — не может.
i
t τ 2τ 3τ −
uc (0 ) = (0 )
t
τ 2τ 3τ 0
24
= = − (3)
И для любого момента времени + = 0.
= = −
=
= = ⋅ 2 −1 | = ⋅ 2 = ⋅ 2 = 2 =
а) За время переходного процесса энергия электрического поля, запасённая в ёмкости, выделяется и рассеивается в виде тепла на элементе R. →
б) Переходной процесс теоретически нужно считать от 0 до ∞, но на практике он заканчивается за (3 … 5) . §1.11. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RC-ЦЕПИ НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
( ) = = sin( + )
R, C (0 ) = (0 ) = 0
————————— , ,
C
R
u(t)
uR
t τ 2τ 3τ −
25
+ = ( ) + = ( ) =
+ = sin( + )
2) = пр + св
= sin( + )
= − = arctg − 1
= = + 1
= ⋅ 1 = sin( + − 90°) = sin( + − − 90°)
1
R
C
R
u
i
26
= + 1 = = ( ) = 1 = ( ) ⋅ ° ⋅ 1
= = [ ] = ( °) = ( °) пр = sin( + − − 90°)
3) , =
4) = sin( + − − 90°) + 0 = sin( − − 90°) + = − sin( − − 90°)
= sin( + − − 90°) − sin( − − 90°) (1)
1. Рассмотрим случай, когда отсутствует переходной процесс. sin( − − 90°) = 0 ( − − 90°) = 0
1
R
27
= sin (2)
В нуле энергии нет ( = 0, = 2⁄ ), поэтому принуждён-ный режим устанавливается сразу.
2. Максимальный переходной процесс. sin( − − 90°) = ±1 sin( − − 90°) = −1 ( − − 90°) = − 2
Подставим это условие в уравнение (1).
= sin − 2 + (3)
uc
2 3 ωt
t
uc
ωt
28
а) В случае максимального переходного процесса максималь-ное значение uс может достигать почти удвоенного амплитуд-ного значения.
б) Это может быть аварийный режим.
Уравнение для тока: = == cos( + − − 90°) −− sin( − − 90°) − 1 =
§1.12. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RLC-ЦЕПИ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
, , , (0 ) = (0 ) = 0 (0 ) = (0 ) = 0 ————————— , , ,
Для цепи после коммутации составим исходное дифференци-альное уравнение, то есть обойдём по второму закону Кирхго-фа.
L
R
U C
i
L
R
U C
29
+ + = + + =
=
+ + =
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно uc.
2) = пр + св пр =
3) св =?
св + св + св = 0 + + 1 = 0 + + 1 = 0
= − 2 ± 2 − 1 (1)
а) 2 > 1
В этом случае получаем корни действительные. Апериодиче-ский режим работы цепи.
б) 2 = 1
Это предельный случай апериодического режима (критический режим).
30
в) 2 < 1
В этом случае комплексные корни, колебательный режим.
Рассмотрим случай а. св = + 4) = пр + св = + + Образуем второе уравнение.
св = + = = ( + ) 0 = + + 0 = ( + ) + = − + = 0
= − 10 1 1 = − − = −
= 1 − 0 − = − = − −
= + − − − (2)
а) В этом случае корни всегда вещественные, отрицательные.
б) | | < | |, > . в) ( − ) > 0. = − + | | > | |
31
В выражение (2) подставим 0. (0) = + ( − ) − = 0
= = − − − =
= − − −
(3)
| | = | |
Первый закон коммутации выполняется.
i
τ –B4
B3
uc
τ U
–B1
+B2
32
= (4) = = − − − =
= − − −
(5) | | < | |
Подставим ноль в выражение (5), то есть найдём (0). (0) = − − − = − ( − ) =
Покажем, что = 1. = 1
Из уравнения (1) = − + − − − −
2 − 2 − 1 = 1
б) Критический режим.
uL
τ –B5
B6
33
= − 2 ± 2 − 1 (1)
2 = 1
= 2 √ = 2 = кр
св = + 4) = пр + св = + + = = ( + + )
0 = + 0 = ( + ) = − = − =
= − + (2) = = (− + + ) = = = = = ( + )
в) Колебательный режим работы цепи.
= − 2 ± 2 − 1 (1)
= − ± − = − ±
= 2
34
= 1 = − — частота затухающих колебаний контура.
3) В этом случае удобно искать свободную составляющую в форме затухающего синуса: св = sin( + )
4) = пр + св = + sin +
= = (− ) sin + + cos +
0 = + sin 0 = (− ) sin + cos = − sin (2) sin = cos
tg = (3)
= (4)
= − sin sin + св (5)
Построим уравнение (5).
ωf
δ
ω0
θ
35
а) св(0) = − sin sin( ) = −
б)
в) = + св Найдём ток = = − sin (− ) sin + −− sin cos + =
= sin sin + − cos + =
= sin + sin( + + )
sin + cos = sin( + ) = + ; tg = ; = arctg
tg = −
= sin sin = sin (6)
= sin (7)
uc
t –U
U
36
= = sin (8) = = (− ) sin + cos =
= − sin − cos = − + sin + tg = − = − sin − = sin = sin
= − sin sin − (9)
uL
t U
i
t i(0)=0
37
а) (0) = − sin sin(− ) = . б) Учтём затухающий множитель . Выводы.
1) Мы исходили из уравнения + + = . Оно верно для
любого момента времени, (0) 0 + (0) + (0) 0 =
2) Δ = = ( ) = Δ — декремент затухания. Определяется как отношение двух амплитуд через период.
3) Логарифмический декремент затухания: lnΔ = = lnΔ
§1.13. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ RLC-ЦЕПИ
, , , ————————— , , ,
До коммутации: (0 ) = (0 ) = 0 (0 ) = (0 ) =
L
R
U C
38
После коммутации:
+ + = 0 + + = 0
=
+ + = 0
2) = пр + св пр = 0
3) св = ?
св + св + св = 0 + + 1 = 0 + + 1 = 0
L
R
i
C
uc (0) ≠ 0
39
= − 2 ± 2 − 1 (1)
Если первое слагаемое под корнем больше второго — аперио-дический режим. Если оба слагаемых одинаковы, корни крат-ные — критический режим. Если первое слагаемое меньше второго — колебательный режим.
а) Апериодический режим. > св = + 4) = пр + св = 0 + + = = ( + )
= + 0 = ( + ) + = + = 0
= 10 1 1 = − = − −
= 1 0 − = − − = −
= − − + −
= (2)
= + − | | > | |
40
Докажем, что (0) = .
(0) = − − + − = ( − ) − =
= = − − + − =
= − − + −
= (3)
= − +
= = − − + − = = − − + − =
i
t B4
i(0)=0
uc
t
B1
–B2
–B3
41
= − − + −
(5) | | < | |
(0) = − − + − =
= − ( − )( − ) = − = −
б) Критический режим.
2 = 1 2 = 1√
= 2 √ = 2 = кр
3) св−? св = + = =
4) = пр + св = 0 + +
uL
t B5
i(0)=0
–B6
–U
42
= = ( + + )
= 0 = ( + ) = = − = − = − (2) = = ( − − ) = − = = − = = − − = − ( − 1)
в)
2 < 1
= − ± − = − ± − = − ±
= −
3) св = sin + 4) = пр + св = 0 + sin +
= = (− ) sin + + cos + = sin 0 = (− ) sin + cos sin = cos
tg = (3)
43
= arctg (4)
= sin sin( + ) (5)
а) (0) = sin sin = б) = = sin (− ) sin + ++ sin cos( + ) == − sin sin + − cos + == − sin + sin( + + )
= − = −
= − sin sin = − sin (6)
i
t Im
i(0–)=i(0+)
uc
t U
–U T
44
= sin (7)
) ⊖ б) = = − sin (8) = = − (− ) sin − cos == sin − cos == + sin + == sin − =
= sin sin − (9)
a) (0) = sin sin(− ) = − б) Видим для любого момента времени + + = 0.
uL
t U
T
45
Глава 2. Операторный метод расчёта переходных процессов §2.1. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Сложность и трудоёмкость классического метода заключается в пункте 4, в котором мы находим постоянные интегрирования. В отличие от классического метода, в операторном методе нену-левые начальные условия мы записываем в исходную цепь и решаем одной системой уравнений.
1) Оригиналу соответствует изображение ( ) ≓ ( ), = + .
2) Задача решается в операторной форме. Находятся ( ), ( ), ( )…
3) Делается обратный переход ( ) ≓ ( ).
Если при < 0 ( ) = 0, а при t ≥ 0 выполняются условия Ди-рихле, интеграл ( ) = ∫ ( ) сходится. Это прямое пре-образование Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа: ( ) = ∮ ( ) .
§2.2. ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
1) ( ) = .
( ) = ( ) =
= = − | =
= ⋅ −1 | =
≓
46
Например, = 30 ≓ ( ) = 30 ⁄ .
2) ( ) = ( ) =
= ( ) = ( ) −( − ) | = 1( − )
≓ 1 −
≓ 1 +
3) ( ) = = sin( + ) ( ) → ( ) ( ) = =
( ) ≓ ( ) = − = −
§2.3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
1) ⋅ ( ) ≓ ⋅ ( )
2) ∑ ( ) ≓ ∑ ( )
Сумме оригиналов соответствует сумма их изображений.
3) ∑ ( ) ≓ ∑ ( )
Сумме оригиналов с коэффициентами соответствует сумма изображений с этими коэффициентами.
Всё это вытекает из свойства линейности преобразования Лап-ласа.
4) Теорема запаздывания: ( − ) ≓ ( )
47
§2.4. ИЗОБРАЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ С ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ И ИНТЕГРИРОВАНИЕМ
( ) ≓ ( ) − (0) (1) = ≓ ( ) − (0) = ( )
( ) = ( ) ⋅ − (0) (2) Если начальные условия нулевые, нетрудно получить закон Ома в операторной форме ( → ).
( ) = ( ) (3) = +
Символический метод — частный случай операторного.
Другой пример. = ≓ ( ) − (0) = ( ) ( ) = ( ) − (0) (4)
Если начальные условия нулевые (0) = 0, то ( ) = ( )1
→ 1 =
( ) ≓ ( ) (5)
= (0) + 1 ≓ (0) + 1 ( ) = ( )
48
( ) = ( ) + (0) (6)
= (0) + 1 ≓ (0) + 1 ( ) = ( )
( ) = ( ) 1 + (0) (7)
§2.5. ЗАКОН ОМА В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
U, R, L, C начальные условия — нулевые ———————————
i
Для цепи после коммутации составим исходное уравнение по второму закону Кирхгофа.
+ + =
L
R
U C
i
L
R
U C
K
49
+ + 1 = (1) ≓ ( ) ≓ ( ) ≓ ( ) ≓ ( ) ⋅ 1 ≓ ( ) ⋅ 1
Подставим в уравнение (1). ( ) + ( ) + ( ) 1 = ( ) (3)
( ) = ( ) + + 1 = ( ) ( ) (4)
( ) = + + 1 (5) — полное сопротивление цепи в операторной форме.
Схема в операторной форме следует из уравнений (3) и (4):
→ , → 1
pL
R
U(p) 1
I(p)
50
→ ( ) → ( ) →
Ненулевые начальные условия
1. Конденсатор
Используем уравнение (7) предыдущего параграфа. ( ) = ( ) ⋅ 1 + (0)
Этому уравнению будет соответствовать схема:
Полярность определяется полярностью исходного элемента.
Как источник напряжения: − ( ) + ( ) 1 + (0) = 0
Как источник ЭДС: − ( ) + ( ) 1 = − (0)
1 (0) ≠ 0
( ) +–
C (0) ≠ 0
( )
51
2. Индуктивность
В операторной форме строим схему на основании уравнения (6). ( ) = ( ) + (0) ( ) = ( ) − (0)
Так записываются ненулевые начальные условия.
Источник тока можем преобразовать в источник ЭДС.
− ( ) + ( ) − (0) = 0 ( ) = ( ) − (0)
pL ( )
( )
(0) ∙ = (0) –
+
pL ( )
( )
(0)
L (0) ≠ 0
52
Закон Ома при ненулевых начальных условиях
U, R, L, C начальные условия ненулевые ———————————
i
+ + = + + 1 = ≓ ( ) ≓ ( ) ≓ ( ) ≓ ( ) − (0) 1 ≓ ( ) 1 + (0) ( ) + ( ) − (0) + ( ) 1 + (0) = ( )
L
R
U C
i
L
R
U C
K
53
Перенесём начальные условия в правую часть, где источники ЭДС и найдём ток. ( ) + ( ) + ( ) 1 = ( ) + (0) − (0)
( ) = ( ) + (0) − (0) + + 1 ( ) (4)
а) Начальные условия записываются в исходную схему.
б) Направления источников совпадают с физическим направ-лений этих стрелок.
§2.6. ЗАКОНЫ КИРХГОФА В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
= 0 (1)
Для любого узла алгебраическая сумма мгновенных значений токов равна нулю.
Сделаем переход от токов к их изображениям. ≓ ( ), ≓ ( ), … , ≓ ( )
pL
R
U(p) 1
I(p)
(0) (0)
54
( ) = 0 (3)
Для любого узла алгебраическая сумма токов в операторной форме равна нулю. Правила составления такие же, как в цепях постоянного и пе-ременного тока.
Для данного узла ( ) + ( ) − ( ) − ( ) = 0.
Второй закон Кирхгофа: = (4)
Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма мгно-венных значений напряжений равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС. + + 1 = (5)
≓ ( ) ≓ ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) (7)
Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма на-пряжений в операторной форме равна алгебраической сумме ЭДС в операторной форме. Правила составления такие же, как в цепях постоянного и пе-ременного тока.
i1 i4
i3 i2
55
§2.7. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ, МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ И ДРУГИЕ МЕТОДЫ В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
Метод контурных токов = в − (у − 1) ( ) ⋅ ( ) + ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) ⋅ ( ) + ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) ⋅ ( ) + ( ) ( ) + ( ) = ( )
Метод узловых потенциалов (у− 1) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( )
Метод двух узлов = ∑ + ∑ ∑ ( ) = ∑ ( ) ( ) + ∑ ( ) ∑ ( )
Метод эквивалентного генератора = вх +
( ) = ( ) вх( ) + ( )
Все методы будут справедливы и в операторной форме.
56
§2.8. ПЕРЕХОД ОТ ИЗОБРАЖЕНИЯ К ОРИГИНАЛУ
1) ( ) = 12 ( ) 2) Использование всевозможных таблиц.
3) Использование теоремы разложения.
( ) = ( ) ( ) = + +⋯+ + +⋯+ ( ) = 0: , , , … называют нулями полинома. ( ) = 0: , , , … — полюсы. ( ) ( ) = − + − +⋯+ − = − (1)
( ) ( ) = − + −
( − ) ( ) ( ) = = + − |
= ( )( − ) ( ) = ( ) − ( ) ( )
Видим неопределённость 0/0, воспользуемся правилом Лопита-ля. = ( ) + ( )1 − ( ) ( ) = = ( ) ( )
= ( ) ( )
= ( ) ( ) …
57
= ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ⋅ 1 −
(1)
− ≓ (3) ( ) = ( ) ( )
(4)
Область применения:
а) ≤ . Степень полинома числителя не больше степени по-линома знаменателя.
б) Нет кратных корней знаменателя.
Например, ( ) = 100 ( + 500) ( ) = 0 ( + 500) = 0 = 0, = −500 ( ) = ( + 500 ) = 2 + 500 ( ) = 500 ( ) = −500
На основании выражения (4) у нас будет два слагаемых (т. к. два корня): ( ) = 100500 + 100−500 = 0,2 − 0,2
58
Пример.
, , —————————
1) Ищем начальные условия. Напряжение постоянное, ток про-текал. (0 ) = (0 ) =
2)
( ) = ( ) + (0)
Преобразуем источник тока в источник ЭДС.
4) Делаем переход к оригиналу ( ) ≓ ( ).
pL
R
(0) = (0) I(p)
pL
R
(0)
L
R
1 U 2
59
§2.9. ПОРЯДОК РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ
1) В цепи до коммутации определяются начальные условия, ес-ли они не заданы.
2) Для цепи после коммутации составляется схема в оператор-ной форме с учётом ненулевых начальных условий, ежели та-ковые имеются.
3) Схема рассчитывается, находится всё, что нам требуется. ( ), ( ), ( ) … ( ) + ( ) = (0)
( ) = (0) + = ⋅ + = +
+ ≓ 4) ( ) =
§2.10. ОПЕРАТОРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Операторной передаточной функцией называется отно-шение изображения по Лапласу реакции цепи к изображению по Лапласу воздействия на данную цепь.
( ) = ( ) ( ) (1)
Z — изображение по Лапласу.
ЭЦ a(t) b(t)
a(t) — входной сигнал (воздействие);
b(t) — выходной сигнал (реакция).
60
( ) = вых( ) вх( )
— операторная передаточная функция по напряжению. ( ) = вых( ) вх( )
— операторная передаточная функция по току. ( ) = вых( ) вх( ) [Ом] — операторное передаточное сопротивление цепи. ( ) = вых( ) вх( ) [Ом ] — операторная передаточная проводимость.
Выводы:
1) Операторная передаточная функция не зависит от входного напряжения, а определяется только параметрами цепи.
2) Зная операторную передаточную функцию и воздействия, мы всегда можем однозначно найти реакцию цепи.
Найдём операторную передаточную функцию по напряжению.
( ) = вых( ) вх( ) = 1 + 1 = 1 + 1 = 1 + 1
1 вых вх
C вых вх
61
Это задача анализа. В отличие от этого, задача синтеза: знаем a(p), a(t), желаем получить b(p), b(t). Она решается неоднознач-но, в отличие от задачи анализа.
x(p) может быть и ток, и напряжение — нас пока это не интере-сует.
( ) = ( ) ( ) , ( ) = ( ) ( ) , ( ) = ( ) ( )
экв( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ⋅ ( ) ( ) ⋅ ( ) ( ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )
§2.11. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПЕРАТОРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ И КОМПЛЕКСНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПЕРЕДАЧИ
( ) = ( ) ( ) = + +⋯+ + +⋯+
Если мы формально подставим = , мы получим комплекс-ный коэффициент передачи.
( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( ) +⋯+ ( ) + ( ) +⋯+ = + + == + = ( ) ⋅ ( )
H1(p) x1(p)
H2(p) H3(p) x2(p) x3(p) x4(p)
? a(p) b(p)
a(t) b(t)
H(p) a(p) ?
62
( ) = | ( )| = √ + — амплитудно-частотная характери-стика. Ψ( ) = arctg — фазо-частотная характеристика.
Пример.
( ) = ( ) ( ) = 1 + 1 = 1 + 1
Комплексный коэффициент передачи:
( ) = 11 + = 11 + ⋅ 1 − 1 − = (1 − )1 +
( ) = √1 + 1 + = 1√1 +
— амплитудно-частотная характеристика. Ψ( ) = arctg (− ) — фазо-частотная характеристика.
При формальном подставлении вместо jω мы переходим к сим-волическому методу от операторной функции.
ω ψ(ω) 0
− ω
H(jω) 1
1 ( ) ( )
R
C
R
63
Глава 3. Анализ электрических цепей при произвольном входном сигнале a(t) — произвольный входной сигнал.
Разбиваем его на a1(t), a2(t), …, ak(t). Ищем реакцию на каждый элемен-тарный сигнал b1(t), b2(t), …, bk(t).
Общая реакция будет равна сумме отдельных реакций цепи. ( ) = ( )
Прямоугольный им-пульс. Начальные ус-ловия нулевые. , ————————— ( ) =
Представим этот сигнал в виде двух элементарных сигналов.
На первом интервале 0 ≤ ≤ , = ⁄ .
На втором интервале ≤ = + = − .
t
u U
t1
–U
t
t
u
U
t1
R
C
u(t)
ЭЦ a(t) b(t)
найти
64
( ) = , 0 ≤ ≤ − , ≤ ( ) = , 0 ≤ ≤ − , ≤
Как видим, на входе прямоугольный импульс, на выходе уже непрямоугольный, то есть присутствуют искажения.
Выводы:
1) Теория переходных процессов позволяет нам перейти к рас-чёту реакции цепи при произвольном входном сигнале.
2) Такими элементарными функциями являются единичная функция и импульсная функция.
§3.1. ЕДИНИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
(ЕФ, 1(t), функция Хэвисайда)
То есть это ступенька величиной 1. 1( ) = 0, < 01, ≥ 0
1(t)
t 1
0
uR
t U
t1
– U
65
Она может быть сдвинута по времени. 1( − ) = 0, < 1, ≥ Если ступенька в k раз больше, то такой сигнал называется сигналом включения.
§3.2. ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ
( ( ), функция Дирака).
Единичный импульс:
⋅ = 1
Единичным импульсом называется импульс прямоугольной формы, интенсивность которого, или площадь, равна единице.
Увеличивая амплитуду до бесконечности и уменьшая длитель-ность до нуля, получаем импульсную функцию.
( ) = 1
( ) = 0, ≠ 0∞, = 0
( − ) = 0, ≠ ∞, =
δ(t)
t 0
t A
τ
66
Найдём связь между импульсной функцией и единичной функцией. ( )
= 1 = 1( )
( ) = 1( )
Если интенсивность не единица, а в k раз больше, такой сигнал ( ) называется импульсом воздействия. ( ) = ( ) [В][А] §3.3. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЦЕПИ
( ) = 1( ) ℎ( ) = ( ) ( ) |н.н.у. = ( ) 1( ) |н.н.у. Переходной характеристикой цепи ℎ( ) называется отно-шение реакции цепи b(t) к сигналу включения a(t) при нулевых начальных условиях.
ℎ( − ) = ( − ) ( − ) |н.н.у. = ( − 1) 1( − 1) |н.н.у. 1) Переходная характеристика цепи — это фактически реакция цепи на функцию Хэвисайда.
ЭЦ a(t) b(t)
воздействие реакция
δ(t–t1)
t t1
67
2) Размерность:
3) Переходную характеристику цепи можно рассчитать класси-ческим или операторным методом как реакцию на ступеньку в 1 В или ступеньку в 1 А.
Пример.
, , н. у. — нулевые
ℎ ( )
Подключим постоянное напряжение величиной U. Начальные условия нулевые. Определить переходную характеристику по току для данной схемы.
ℎ ( ) = = = 1 Ом Найдём переходную характеристику по напряжению на эле-менте R.
ℎ ( ) = = = Найдём переходную характеристику по напряжению на эле-менте С.
ℎ ( ) = = − = 1 −
R U
C i
U
I
u → безразмерная
i → [Ом-1]
u → [Ом]
i → безразмерная на
входе
68
§3.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПЕРАТОРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ЦЕПИ
ℎ( ) = ( ) ⋅ 1 (1)
— обратное преобразование Лапласа.
Покажем справедливость выражения (1) на том же примере.
1) ( )ℎ ( ) 2) ( )ℎ ( ) 3) ( )ℎ ( )
1) ( ) = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) = 1 ( ) = 1 + 1 = + 1 = 1 + 1
( ) ⋅ 1 = 1 + 1 ≓ 1
2) Имеем ( ). Найти ℎ ( ).
( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = + 1 = + 1 = + 1
( ) ⋅ 1 = 1 + 1 ≓
R U(p)
1 I(p)
69
3) По ( ) найти ℎ ( ).
( ) = ( ) ( ) = ( ) 1 ( ) ( ) = 1 + 1 = 1 + 1 = 1 + 1
( ) ⋅ 1 = 1 + 1
Воспользуемся теоремой разложения. ( ) = + 1 = 0
= 0, = − 1
( ) = + 1 = 2 + 1
( ) = 1 , ( ) = − 1
( ) = 1 1 + 1 − 1 = 1 −
§3.5. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЦЕПИ
g(t)
a(t) — импульс воздействия. ( ) = ( ) ( ) |н.н.у. = ( ) ( ) |н.н.у.
Импульсной характеристикой цепи называется отноше-ние реакции цепи к импульсу воздействия при нулевых на-чальных условиях.
ЭЦ a(t) b(t)
70
Если импульсная функция с задержкой на время , то ( − ) = ( − ) ( − ) |н.н.у. = ( − ) ( − ) |н.н.у. 1) Импульсная характеристика — это фактически реакция це-пи на функцию Дирака.
2) Размерности:
3) Поскольку ( ) = 1( ), то ( ) = ℎ( ).
Пример.
1) ℎ ( ) ( ) 2) ℎ ( ) ( ) 3) ℎ ( ) ( )
1) ( ) = 1 = 1 − 1 = − 1 2) ( ) = = − 1 = − 1 3) ( ) = 1 − = − − 1 = 1
R
u
i
u → безразмерная
i → [Ом-1]
u → [Ом]
i → безразмерная
на входе
71
§3.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПЕРАТОРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ЦЕПИ
( ) = [ ( )] (1) Пример.
1) ( ) ( ) 2) ( ) ( ) 3) ( ) ( )
1) ( ) = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) = 1 ( ) = 1 + 1 = + 1 = 1 + 1
Воспользуемся теоремой разложения. = − 1 ( ) = 1
( ) = − 1 ⋅ 1 1 = 1 2) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = + 1 = + 1 = + 1
= − 1 ( ) = 1
R U(p)
1 I(p)
72
( ) = − 1 1 = − 1
3) ( ) = 1 + 1
= − 1 ( ) = 1
( ) = 1 1 = − 1
§3.7. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ
Этот метод позволяет найти реакцию цепи при произвольном входном сигнале.
Расчёт ведётся во временной области.
( ) = 1( )
сигнал включения
Представим входной сигнал в виде набора ступенек.
ЭЦ a(t) b(t)
H(p)
H(jω) h(t) g(t)
73
Произвольный сигнал мы представляем в виде ряда элемен-тарных сигналов.
Переходная характеристика:
ℎ( ) = ( ) ( ) Из этого выражения найдём реакцию цепи.
( ) 1) ( ) (0) ⋅ ℎ( )
2) = , Δa Δ ⋅ ℎ( − ) = Δ Δ ℎ( − )Δ ≅ ( )ℎ( − )
3) … ∑ Δ ⋅ ℎ( − ) ( ) = (0) ⋅ ℎ( ) + Δ ⋅ ℎ( − )
Уменьшая Δ , перейдём к . ( ) = (0) ⋅ ℎ( ) + ( )
ℎ( − ) (1)
( ) = ( ) | (2)
Выражение (1) — это и есть интеграл Дюамеля.
a(0)
a(
x)
Δa
Δx
x
a(t)
74
Пример.
( ) = ( ) = R, C
н. у. нулевые ( ) =
Рассмотрим все составляющие интеграла Дюамеля. (0) = (0) = 0 ℎ( ) = ℎ ( ) = 1 ( ) = ( ) | =
ℎ( − ) = ℎ ( − ) = 1
Подставим в выражение (1).
( ) = 0 + 1 =
= =
= 1 ⁄ | = − 1 Другая форма сигнала: затухающая экспонента.
( ) = ( ) = R, C
н. у. нулевые ( ) = (0) = (0) = ℎ( ) = ℎ ( ) = 1 ( ) = − 1 | = −
u(t)
t 0 R u(t)
C
i
u(t)
t 0 R u(t)
C i
75
( ) = 1 + (−) ⋅ 1 =
= − = −
§3.8. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ ДЛЯ КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
Интервал 1. 0 ≤ <
( ) = (0) ⋅ ℎ( ) + ( ) ⋅ ℎ( − )
Интервал 2: = .
( ) = (0)ℎ( ) + ( )ℎ( − ) + ( ) − ( ) ℎ( − )
Интервал 3: ≤ < .
( ) = (0)ℎ( ) + ( )ℎ( − ) + ( ) − ( ) ℎ( − ) ++ ( )ℎ( − )
Интервал 4. =
( ) = (0)ℎ( ) + ( )ℎ( − ) + ( ) − ( ) ℎ( − ) ++ ( )ℎ( − ) + ( )ℎ( − )
t a0(t)
a1(t)
a2(t)
0 t1 t2
[a2(t1)-a1(t1)] a(t)
76
( ) = ⎩⎨⎧ ( ), 0 ≤ < ( ), = ( ), ≤ < ( ), =
Пример 1.
R, C
b(t) = uR
Исходный сигнал можно представить на двух интервалах.
I) 0 ≤ <
( ) = (0)ℎ( ) + + ( )ℎ( − ) (0) = ℎ( ) = ℎ ( ) = ℎ( − ) = ℎ ( − ) = ( ) = ⋅ + 0 = ⋅
II) = 0
( ) = (0)ℎ( ) + + ( )ℎ( − ) + +(0 − )ℎ( − ) ( ) = ⋅ + + 0 − ⋅ =
= ⋅ ⋅
( ) = , 0 ≤ ≤ ⋅ − ⋅ , =
u
t 0
t1 u
t 0 U
u(t) = a(t)
t 0
t1
R u(t) C
77
Пример 2. Треугольный импульс.
R, C
b(t) = uR
( ) = , 0 ≤ < 0, =
I) 0 ≤ <
( ) = (0)ℎ( ) + + ( )ℎ( − ) (0) = ℎ( ) = ℎ ( ) = = ( ) = ℎ( − ) = ℎ ( − ) = ( ) = 0 +
=
= − 1
II) = 0
( ) = (0)ℎ( ) + + ( )ℎ( − ) + +( − )ℎ( − ) ( ) = 0 + =
= = ⋅ 1 ⁄ | =
= − 1
( ) = ( ), 0 ≤ < ( ), = 0
u(t)
t t1
u(t)
t U
u(t)
t 0
t1
R u(t)
C
78
Глава 4. Частотный (спектральный) метод анализа электрических цепей при произвольном входном сигнале §4.1. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
( ) = + sin( + Ψ ) (1)
sin = − 2 (2)
( ) = + ⋅ ( ) − ( )2 =
= + 12 ( ⋅ − ⋅ )
(3)
= = − (4)
— комплексная амплитуда.
Тогда с учётом (4) уравнение (3) будет иметь вид
( ) = + 12 (5)
79
§4.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Если функция несинусоидальная, но периодическая, её можно представить в виде ряда Фурье. Если функция непериодиче-ская, её можно представить в виде интеграла Фурье. Неперио-дическую функцию можно рассматривать как периодическую с периодом ∞. Поэтому мы от ряда Фурье перейдём к интегралу Фурье с условием → ∞.
( ) = + ( sin + cos ) (1)
( ) = + sin( + Ψ ) (2)
( ) = + 12 (3)
= = cosΨ + sinΨ = + (4)
Подставим , в (4).
= 1 ( ) ⁄ ⁄ (5)
= 2 ( ) sin ⁄ ⁄ (6)
f(t)
t
T
80
= 2 ( ) cos ⁄ ⁄ (7)
= 2 ( ) sin + 2 ( ) cos == 2 ( )(cos − sin ) == 2 ( )
(8)
Подставим в (8) выражение (3).
( ) = + 12 ⋅ 2 ( ) ⋅ (9)
Выражение (9) проанализируем при → ∞.
1) = ∫ ( ) ⁄ ⁄ = 0
2) = 2 1 → ∞ = 2 → ∞ = 2 3) ( + 1) − ( ) = →
( ) = 0 + ⋅ 2 ( )
(10)
( ) = ∫ ( ) ( ) = 12 ∫ ( ) — прямое преобразование Фурье— интеграл Фурье
81
§4.3. АНАЛОГИИ МЕЖДУ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЛАПЛАСА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕ
ППЛ 1) ( ) = ( )
ППФ 1) ( ) = ( )
< 0 ( ) = 0 2) ( ) = 12 ( )
3) ( ) = ( )
( ) = 12 ( )
→
2) ( ) = 12 ( )
Пример.
( ) = Найти спектр этого сигнала: ( ). Запишем преобразование Лапласа. ( ) = +
u
t
p = jω
82
= ( ) = + = ( ) ( ) ( ) = + − − = + ( − )
( ) = | ( )| = √ + + = √ + — амплитудно-частотная характеристика данного сигнала. ( ) = arctg − — фазо-частотная характеристика.
§4.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
( ) = ( ) == ( )(cos − sin )
== ( ) cos ( ) − ( ) sin
( ) == ( ) − ( )
(1)
( ) = ( ) cos
— вещественный (чётный) спектр сигнала. ( ) = ( ) sin
— мнимый (нечётный) спектр сигнала.
83
( ) = ( ) − ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ) — АЧХ. Ψ( ) = arctg ( ) ( ) ( ) — ФЧХ.
Пример: прямоугольный импульс.
( )−?
Данный сигнал можно представить в виде двух сигналов вклю-чения.
( ) = 1( ) − 1( − )
Используем преобразование Лапласа.
( − ) ≓ ( ) 1( − ) ≓ 1 — теорема запаздывания. ( ) = − = (1 − )
Подставляя = , запишем ( ) = 1 − .
A
τ
–A
t
f(t)
t
A
τ
84
§4.5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА
( ), ( ),Ψ( )−?
Второй путь — использование прямого преобразования Фурье. ( ) = ( )
( ) = =
= − 0 = − − 1 == 1 − Приведём данное выражение к виду, когда можно будет ис-пользовать формулу Эйлера.
sin = − 2
( ) = 2 − 2 = 2 sin 2 = 2 sin 2
Проанализируем АЧХ. ( ) = 2 sin 2
F(ω)
ω 2 4 6
f(t)
t
A
τ
85
sin 2 = 0: = 2 , = 1, 2, 3 …
sin 2 = 1: = (2 + 1)
(0) = 00 ′( = 0) = 2 ⋅ cos 2 ⋅ 21 = 0 = 2 ⋅ 2 =
= 2 = 2
= 1
Например, для = 10 с = 10 Гц.
Чем уже импульс, тем сложнее строить аппаратуру.
1) = 0, Ψ( ) = 0. 2) = 2 , Ψ( ) = − 2 = − 2
3) = 2 , Ψ( ) = − 2 2 = −
F(ω)
ω 2 4 6 ω
Ψ(ω)
–π
86
4) = 3 , ( ) = 2 sin 3 2 = 2
5) = 4 , Ψ( ) = − 4 2 = −2 = − = 0
§4.6. ПОРЯДОК РАСЧЁТА РЕАКЦИИ ЦЕПИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ ПРИ ПОМОЩИ ЧАСТОТНОГО (СПЕКТРАЛЬНОГО) МЕТОДА
1. Интеграл Дюамеля позволяет рассчитать только во времен-ной области.
2. Интеграл Фурье позволяет сделать ту же работу, но в ком-плексной плоскости.
И тот, и другой метод работают при нулевых начальных усло-виях. Иначе — реакция от начальных условий рассчитывается отдельно любым другим методом, и, поскольку цепи линейные, по принципу суперпозиции результат складывается.
Порядок расчёта:
1) ( ) = вх( ) → вх( ) =
ЭЦ a(t) b(t)
воздействие реакция
+j
+1
ω ∞
87
2) Отдельно рассчитывается комплексный коэффициент пере-дачи:
( ) = вых( ) вх( ) =
3) Рассчитывается выходной сигнал (спектр): вых( ) = вх( ) ( )
4) Переходим к функции времени. вых( ) → вых( )
Пример.
вх =
R, C —————— ( ) = вых( )
1) вх( ) = вх( ) = +
Вместо формально подставляем , найдём прямое преобра-зование Фурье. вх( ) = +
2) ( ) = вых вх = 1 + 1 = 1 + 1
C
R
Uвх(t) Uвых(t)
Uвх
t
U0
88
3) вых( ) = вх( ) ⋅ ( ) = + ⋅ 1 + 1
Формально заменим на р.
вых( ) = вх( ) ⋅ ( ) = + ⋅ 1 + 1
1( + )( + ) ≓ 1( − ) ( − )
вых( ) = 1 − −
89
Глава 5. Нелинейные электрические цепи при постоянном воздействии Линейными электрическими цепями называются такие, в которых все входящие в них элементы являются линейными.
Нелинейными электрическими цепями называются та-кие, в которых хотя бы один элемент является нелинейным.
Вольт-амперная характеристика:
= ⁄ — линейный элемент R. Величина его не меняется.
Если величина R меняется от напряжения или от тока, то это уже нелинейный элемент (кривые 3, 4).
Вебер-амперная характеристика:
Ψ = = Ψ ⁄ — линейный элемент. А если величина индуктивности зависит от потокосцепления или от тока, мы получаем нели-нейный элемент (кривые 3, 4).
I
3 2 1
4
Ψ
I
3 2 1
4
U
90
Кулон-вольтная характеристика:
= = ⁄ — линейный элемент С. Если величина С зависит от заряда либо от приложенного напряжения, мы получаем нели-нейный элемент С.
В нелинейных цепях нельзя использовать метод наложения и методы, на нём основанные: метод контурных токов, метод уз-ловых потенциалов. Остаются закон Ома и законы Кирхгофа.
Если раньше мы писали = + + ∫ , то в нелинейных цепях мы должны учесть нелинейность самих элементов: = ( ) + ( ( ) ) + 1 ( ) . Это уравнение приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, решать которые более сложно, чем линейные.
Решая нелинейные цепи, необходимо иметь ВАХ, ВбАХ, КВХ элементов R, L, C.
Характеристики нелинейных элементов могут быть симмет-ричными и несимметричными.
При = ( ) = − (− ) — условие симметрии.
f( )
1 2 f( 1)
f( 2)
U
3 2 1
4
Q
91
Если равенство не выполняется, будет несимметричная харак-теристика:
Характеристики нелинейных элементов могут быть неодно-значны.
§5.1. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Самая широкая. Основные направления:
1) Выпрямление сигналов.
2) Модуляция и демодуляция сигналов.
3) Умножение и деление частоты.
4) Стабилизация напряжения.
5) Генерирование сигналов.
6) В различных функциональных схемах.
H
B
f( )
92
§5.2. ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
1) Нелинейное сопротивление (например, термосопротивление или термистр).
2) Полупроводниковый диод.
3) Кремниевый стабилитрон.
4) Туннельный диод.
I
U
I
U
I
U
I
U
93
В этой главе мы будем рассматривать нелинейные сопротивле-ния (так как напряжение постоянное). Нас будут интересовать лишь вольт-амперные характеристики.
Различают ст = и д = Δ Δ ≅ .
ст ≠ д в одной и той же точке.
Если ст = д, имеем частный случай: линейную цепь.
§5.3. МЕТОДЫ РАСЧЁТА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
Все методы можно подразделить на графические, графоанали-тические и аналитические.
Графические методы
Метод преобразования а) последовательное соединение
( ), ( ) экв( )
Пусть ВАХ имеют вид:
U
R1 (I)
R2 (I)
I
I
U
I0
U0 ΔU ΔI
94
По второму закону Кирхгофа можно записать баланс напряже-ний для любого значения тока: = ( ) + ( )
Мы свели схему к эквивалентной с одним сопротивлением э( ).
→
Пересечение с кривыми , даст напряжения , .
Так же и для n последовательно соединённых элементов.
б) параллельное соединение
( ), ( ) э( ) U R4 (I)
I R3 (I)
U0 Rэ(I) I0
I
U
I0
0 э( ) ( ) ( )
I
U
I0
( ) ( )
95
По первому закону Кирхгофа для любого U: = ( ) + ( ). В данном случае мы суммируем абсциссы при произвольном значении U. То есть эту схему мы свели к эквивалентной:
→
Пересечение с кривыми , даст нам значения тока , .
Та же процедура для n параллельно соединённых элементов.
в) смешанное соединение
( ), ( ), ( ) э( )
U
R1 (I)
R2 (I)
I
R3 (I)
U0 Rэ(I) I0
I
U
0 ( ) ( ) э( )
96
Сначала объединим два параллельных сопротивления в одно (складываем абсциссы U2 и U3).
Для каждого тока суммируем ординаты и . Имеем э( ).
Схема сведена к одному эквивалентному сопротивлению.
↗ → → → ↘
U0 Rэ(I) I0
U
R1 (I)
R23 (I)
I
I
U
э( ) ( ) ( )
( ) ( )
97
Графоаналитические методы
1. Замена нелинейного активного двухполюсника одним нели-нейным элементом
Например, пусть это будет полупроводниковый диод.
Обойдём воображаемый контур между точками (1) и (2). − + ( ) = = ( ) −
Построим.
Изменим направление ЭДС на противоположное.
I
U
U12
– E
U
I
U
U12
E R (I) I 1 2
U (I)
98
= ( ) +
2. Метод линеаризации в окрестностях рабочей точки
Можем заменить эту кривую уравнением касательной в окре-стностях рабочей точки.
= + = д +
Исходя из этого уравнения, строим схему.
I
U
A
E
I
U
I
U U12 E U
U12
E R (I) I 1 2
U (I)
99
Проверим. − + д = − + д =
Схема соответствует исходному уравнению.
Можем перейти к источнику тока.
= − д + д
+ − = 0
При этом элементы линейные.
Пример 2.
= −
I
U A
–E
U Rд
I
= д
U Rд
I
100
= д −
Аналитические методы расчёта
а) кусочно-линейная аппроксимация
= 0, < ( − ), ≥ = tg
Эту кривую можно представить в виде трёх линий.
= 0, < ( − ), ≤ < , ≥ x
y
x1 α
x2
с
x
y
x1 α
U Rд
I = д
U Rд
I
101
б) аналитическая аппроксимация
= = + + + +⋯
⎩⎪⎨⎪⎧ = + + + = + + + = + + + = + + +
Найдём из этой системы коэффициенты , , , .
Δ = 1 1 1 1
, Δ =
, …
= Δ Δ , = Δ Δ …
§5.4. ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ НАПРЯЖЕНИЯ
Четырёхполюсник, у которого значительное изменение входно-го напряжения приводит к незначительному изменению вы-ходного напряжения, называется стабилизатором напря-жения.
x
y
y1
y4 y3 y2
x1 x2 x3 x4
102
Для оценки свойств стабилизатора вводится коэффициент ста-билизации: = Δ вх вх⁄Δ вых вых⁄
— кремниевый стабилитрон.
R — для задания рабочей точки А, Rн — сопротивление нагруз-ки.
Эквивалентная схема в окрестности рабочей точки:
Исходя из схемы, оценим необходимые требования: Δ вх = Δ вх + д н д + н = Δ вх( д + н) д + н + д ⋅ н
Rн ΔUвх
R
Rд
ΔIвх
ΔUвых
I
U
A ΔU
+
Rн
–
R
КС
ΔUвх ΔUвых
103
Δ вых = Δ вх д н д + н
Δ вых = Δ вх( д + н) д + н + д ⋅ н ⋅ д н д + н = Δ вх д н д + н + д ⋅ н Оценим коэффициент k стабилизации.
= Δ вх вых вхΔ вых = вых вх ⋅ ( д + н + д н) д н = вых вх ⋅ + н д + н н
Из последнего выражения видно, что при → ∞ д → 0.
§5.5. РАСЧЁТ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ОДНИМ НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Отключим нелинейный элемент и исследуем эту цепь. С помо-щью МЭГ можем найти = э и вх = э.
Наша линейная цепь может быть представлена в виде эквива-лентного генератора.
Uab вх = Eэ A
a
b
Rвх = Rэ
I
U U1(I)
R1(I) A
104
Подключим линейное сопротивление н. Потечёт ток I, который нетрудно определить. = э э + н э + н =
Из этого уравнения найдём внешнюю характеристику. = − э (1)
кз = э э
tg = кз э = э э э = 1 э = arctg 1 э (2)
I
U
Eэ
Iкз
Eэ
Rэ Rн
I U
105
Вернёмся к нелинейному элементу.
Его ВАХ:
Пересечение кривой и прямой даст нам и .
§5.6. РАСЧЁТ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ДВУМЯ УЗЛАМИ
( ) ( ) ( ) , , ,
I
U U1(I1) U2(I2) U3(I3)
E1
R1(I1) E2
R2(I2) R3(I3)
1
2
I
U
Eэ U0
I0 I
U U1(I)
Eэ
Rэ R(I)
b
a
106
Зададимся направлениями токов в ветвях.
Обойдём воображаемые контуры, составляем уравнение по второму закону Кирхгофа.
− ( ) + ( ) = ( ) − ( ) = ( ) − ( ) = 0 (1)
( ) = ( ) − ( ) = ( ) + ( ) = ( ) (2)
Построим кривые на основании системы (2).
I
U
U12(I1)
U12(I2)
U12(I3)
–E1
E2
E1
E2
U2(I2) U3(I3)
1
2 I1 I2 I3 U12
U1(I1)
107
Из этих выберем такое, которое удовлетворяет первому за-кону Кирхгофа. Суммируем абсциссы. Согласно уравнению ба-ланса токов ∑ = 0 найдём , при котором ток равен нулю. ( ) = + → ВАХ → Из второго уравнения системы (1) найдём ток . ( ) = − → ВАХ → ( ) = − → ВАХ → ( ) = → ВАХ →
§5.7. РАСЧЁТ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ДВУМЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
( ) ( )
токи
На первом этапе отключим нелинейные элементы.
Воспользуемся методом эквивалентного генератора. Нас даже не интересует структура цепи. Заменим её на эквивалентную.
У нас останется пассивная цепь, которую можно представить в виде Т-образного четырёхполюсника.
A Eэ1 = Uab xx
Rвх 1 b c
d a
Eэ2 = Ucd xx
Rвх 2
R2(I2) A R1(I1)
108
Возвратим на место нелинейные элементы.
Получили схему с двумя узлами. Как её рассчитывать — см. §5.6.
§5.8. РАСЧЁТ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ТРЕМЯ И БОЛЕЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ (МЕТОД ИТЕРАЦИЙ)
Познакомимся с методом на примере с одним нелинейным элементом.
Приблизительно можно сказать, какое будет сопротивление ст , взяв среднюю точку , . = + ст →
I
U
′′ ′′ ′
ст ст ст Eэ
Rэ R(I)
Eэ1
b c
d a Eэ2
R2(I2) R1(I1)
1
2
Eэ1
b c
d a Eэ2
109
По ВАХ находим соответствующее напряжение ′ и сопротив-ление ст . Подставляем, проверяем. Согласно нашей схеме, = + ст → Опять же по ВАХ находим , ст . Проверяем по этой схеме. = + ст → ′′′ И так можно делать сколько угодно, пока не попадём в рамки некой погрешности ( ) − ( ) ≤ Δ.
Рассмотрим схему более сложную, с тремя и более нелинейны-ми элементами.
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа, они спра-ведливы для нелинейных цепей.
− + = 0 = ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) (1)
Зададимся нулевым приближением ст , ст , ст . Подставляем эти значения в систему (1), находим токи, не сов-падающие с нулевым приближением ст , ст , ст . Находим ст , ст , ст . Подставляем в (1). Получаем ст , ст , ст , по ВАХ находим ст , ст , ст , подставляем в (1), получаем ст , ст , ст и так далее, пока не уложимся в заданную погрешность.
E1
R1(I1)
R3(I3)
R2(I2)
E2
R4
I1
I3 I2
110
Глава 6. Нелинейные электрические цепи при гармоническом воздействии Различают инерционные нелинейные элементы (ИНЭ) и безы-нерционные (БНЭ).
ИНЭ — такие, параметры которых не меняются за период дей-ствия напряжения или тока. Например, электрическая лампа.
БНЭ — такие, параметры которых изменяются за период дей-ствия напряжения или тока.
При расчёте этих цепей необходимо использовать ВАХ, ВбАХ, КВХ для мгновенных значений. Из ВАХ получим безынерци-онное нелинейное сопротивление БНС.
Из ВбАХ — безынерционную нелинейную индуктивность БНИ.
Из КлВХ — безынерционную нелинейную ёмкость БНЕ.
i
u
i
Ф(t)
u
q
БНС БНИ БНЕ
111
§6.1. ВОЛЬТ-АМПЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БЕЗЫНЕРЦИОННОГО НЕЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Реальные прототипы:
- полупроводниковый диод;
- электронная лампа.
В зависимости от того, насколько эта характеристика близка к идеальной, мы можем использовать кусочно-линейную аппрок-симацию.
а) В первом приближении при большом токе получаем прямую линию:
Это так называемый идеальный диод, у которого R в прямом направлении пр = 0, а в обратном Rобр = ∞. б) Если пр мы должны как-то учесть, тогда вольт-ампероную характеристику можно представить с помощью кусочно-линейной аппроксимации в виде двух линий.
u
i VD
u
i
112
Получаем последовательно соединённый идеальный диод и д.
пр = д обр = ∞
в)
− д = − = д +
При = 0 получаем = , поэтому именно такое направление источника ЭДС.
u
i VD Rд Rд E
U
u
i VD Rд Rд
113
§6.2. ПРИМЕНЕНИЕ БЕЗЫНЕРЦИОННОГО НЕЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫПРЯМЛЕНИЯ СИГНАЛА
= sin ВАХ, r.
i
ВАХ зависит от того, идеальный ли диод.
Это схема так называемого однополупериодного выпрямле-ния.
Периодический несинусоидальный сигнал можем разложить в ряд Фурье, где будет постоянная составляющая .
= + 2 sin − 2 cos ( − 1)( + 1) чётн =
= + 2 sin − 2 11 ⋅ 3 cos 2 + 13 ⋅ 5 cos 4
u
i
t
u
t
i
T/2
T
T/2 T I0
rн
i
u
114
Убедимся.
= 1 = 1 + = 1 sin =
= sin = (−) cos | = (−) cos 2 − cos 0 =
= ⋅ 2 = ⋅ 2 ⋅ 2 =
Двухполупериодное выпрямление сигнала.
Если мы хотим увеличить постоянную составляющую, то надо перейти к двухполупериодной схеме выпрямления.
Ряд Фурье для этой функции:
= 2 − 4 cos ( − 1)( + 1) чётн
Найдём среднее значение. Для периодической функции оно берётся за полупериод.
= 1 2⁄ ⋅ = 2 sin = 2 sin == 2 cos 2⁄0 = 2 ⋅ 22 ⁄ = 2
rн u
+
– t I0
i
115
§6.3. БЕЗЫНЕРЦИОННАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ
1) Из основной кривой намагничивания видим нелинейность: × = Ф = =
ВбАХ:
2) Потокосцепление также нелинейно.
Ψ = ст = Ψ
д = ΔΨΔ ≅ Ψd
— динамическое, или дифференциальное.
В любой точке ст ≠ д.
Если ст = д, имеем частный случай: линейную цепь.
i
Ψ
i0
Ψ0 A
i
Ф
H
B
116
3) Напряжение связано с ЭДС самоиндукции следующим обра-зом: = − = Ψ = Ф
= Ψ = д В линейных цепях мы имели = . Здесь это утверждение неправомочно.
§6.4. ПОДКЛЮЧЕНИЕ БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ К ИСТОЧНИКУ СИНУСОИДАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
= sin + 2 = cos ВбАХ , , Ф( ),
(Для обозначения мгновенных значений Ф,Ψ, не используют строчных букв, посему лучше писать Ф( )). = Ψ = Ф
Ф = 1 = 1 cos = sin + ⏟∥ = Ф sin
Ф( ) = Ф sin (2) где Ф = = Ф
= √2 = 2 √2 Ф = 4,44 ⋅ ⋅ ⋅Ф = (3)
i
u
117
Получаем несинусоидальную форму тока.
Выводы:
1) Напряжение и поток синусоидальны, однако ток имеет неси-нусоидальную форму.
2) Кривая тока симметрична относительно оси абсцисс, поэтому имеет нечётные гармоники , , , ….
3) Активная мощность = cos ∥ + ∥ cos + ∥ cos +⋯ = 0
ωt
i, u, Ф(t), eL
i eL
u Ф
i
Ф
t
i
t
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
Ф
T
T/2
T/2 T
118
§6.5. КРИВАЯ ТОКА ПРИ НАЛИЧИИ ПЕТЛИ ГИСТЕРЕЗИСА
Начнём с ВбАХ.
Разница в том, что при возрастании и уменьшении потока идём по разным петлям и не проходим через точку T/2.
ωt
i, Ф(t)
i
Ф
i
Ф
t
i
t
0 1 2 3 4
Ф
0 1 2 3 4
T
T/2
i
Ф
119
Выводы:
1) Синусоидальные напряжение и поток, ток — несинусои-дальная периодическая функция.
2) Поскольку кривая тока симметрична относительно оси абс-цисс, она имеет нечётные гармоники.
3) Угол φ между напряжением и током меньше 90°, поэтому ак-тивная мощность = cos + cos + cos +⋯ не равна нулю. Она идёт на гистерезис и вихревые токи.
§6.6. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА КАТУШКИ С МАГНИТОПРОВОДОМ
1) Ток несинусоидальный, но мы заменим его эквивалентной синусоидой.
► Эквивалентная синусоида — такая синусоида, дейст-вующее значение которой равно действующему значению не-синусоидальной функции, а частота равна частоте первой гар-моники.
э = = + +⋯
Эти приближения позволяют нам использовать символический метод.
ωt
i iэ
120
2) Положим к = 0, = 0.
= Ф (1) = Ф (2)
< 90° — угол магнитных потерь. п — ток, связанный с потерями.
Этой ВД соответствует следующая эквивалентная схема.
б) Учтём активное сопротивление потерь в меди. к ≠ 0 ≠ 0 = э + Ψ Ψ = Ψ + Ψ Ψ =
I
U
Iп Iф
Ф
э п ф
121
= э + э + Ф (3)
Или в символической форме: = э + э + Ф (4)
Эквивалентная схема и векторная диаграмма изменятся.
в) Экспериментальное определение параметров эквивалентной катушки.
( ), ( ), ( ), к, 1) , 2) к, с 3) ф, п 4) g, b 5) δ
1) = э cos cos = э = arccos э
u
i
V
A W
Ф
э п ф
э э
U
Iп Iф
r Ls Iэ
U0
122
э = э = − э − э 2) к = к э = к + с с = − к 3) с = п п = с
Из ВД найдём ф = э + п
4) п = = п
ф =
= ф
5) = п ф
= arctg п ф
123
§6.7. БЕЗЫНЕРЦИОННАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ЁМКОСТЬ
Физический прототип — сегнетодиэлектрики. = ( )
Рассмотрим на этой КВХ рабочую точку А. В ней отношение ⁄ = ст — статическое.
д = Δ Δ ≅
— динамическое, или дифференциальное. ст ≠ д
Если ст = д, имеем частный случай: линейный элемент С.
Ток связан зависимостями =
= = д
В линейных цепях мы писали = . В нелинейных цепях это утверждение несправедливо.
u
q
A q0
u0
u
q
124
§6.8. ПОДКЛЮЧЕНИЕ БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЁМКОСТИ К ИСТОЧНИКУ СИНУСОИДАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
= sin
КВХ
q, i
Стоит изменить форму синуса, как появляются гармоники.
t
q
t
i =
u
q
t
u
t
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
q
T
T/2
T/2 T
u
i
125
Выводы:
1) Напряжение синусоидальное, однако заряд и ток — несину-соидальные функции времени.
2) Раз они несинусоидальные, но периодические, значит, они раскладываются в ряд Фурье и дают нам гармоники.
3) Любой нелинейный элемент приносит нам дополнительные гармоники, то есть искажает спектральный состав, в отличие от линейного элемента.
§6.9. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Параметрическими цепями называются такие, параметры ко-торых являются функциями времени. = ( ) = ( ) = ( )
1) Например, угольный микрофон: R меняется от звукового давления.
Если мы перемещаем индуктивность, то L будет функцией времени.
Если мы раздвигаем пластины конденсатора, C будет функци-ей времени.
2) Это особый класс цепей, которые обладают свойствами как линейных, так и нелинейных цепей.
Как линейные цепи, они описываются линейными дифферен-циальными уравнениями. Если ЭДС и напряжение увеличива-ем в k раз, то и ток увеличится в k раз.
Как нелинейные цепи, они создают дополнительные гармони-ки.
126
§6.10. ПОДКЛЮЧЕНИЕ ( ) К ПОСТОЯННОЙ ЭДС
= = (1 − sin ), < 1
i = ( ) = 1 − sin
(1)
11 − = 1 + + + +⋯ (2)
= (1 + sin + sin + sin +⋯ ) == (1 + sin + sin + sin +⋯ )
(3)
sin = 1 − cos 2 2 = 0,5 − 0,5 cos 2
sin = 0,75 sin − 0,25 sin 3 (4) Подставим (4) в (3). = (1 + sin + (0,5 − 0,5 cos 2 ) ++ (0,75 sin − 0,25 sin 3 ) +⋯ )
= (1 + ⋅ 0,5 +⋯ ) + ( + ⋅ 0,75 +⋯ ) sin ++ ( (0,5) +⋯ ) cos 2 + ( (−)0,25+. . ) sin 3 +⋯
В спектре тока появились дополнительные высшие гармоники.
Амплитуды тока нелинейно зависят от b.
Но если мы в k раз изменим ЭДС, у нас в k раз изменятся ам-плитуды тока.
R(t)
i
E
127
Глава 7. Электрические цепи с распределёнными параметрами 1) До сих пор рассматривали сосредоточенные параметры.
2) До сих пор мы считали, что напряжение или ток могут зави-сеть лишь от одной переменной: от времени.
Длина волны промышленной частоты: = ⋅ = 1 = 3 ⋅ 10 ⋅ 150 Гц = 6 000 км
Электрическими цепями с распределёнными парамет-рами называются такие, параметры которых зависят не только от времени, но и от расстояния (или координаты x). = ( , ) = ( , )
Критерий: если Δ ≪ , то это цепь с сосредоточенными пара-метрами, и координатой х можно пренебречь. А если Δ ~ , цепь рассматриваем как цепь с распределёнными параметрами. Примеры таких цепей: линии электропередачи, телефонные и телеграфные линии: их длина соизмерима с длиной волны. Их также называют «длинными линиями».
Но возьмём диапазон СВЧ (3 ГГц). Посчитаем длину волны. = = 3 ⋅ 10 мс ⋅ ⋅ гц = 10 м — здесь длинные линии вовсе не являются длинными.
x
x
Δx
128
§7.1. УРАВНЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ
Первичные параметры на единицу длины: Омкм , Гнкм , Фкм , 1Ом ⋅ км Δ [Ом], Δ [Гн], Δ [Ф], Δ 1Ом Если первичные параметры не зависят от длины линии, то та-кая линия называется однородной.
Рассмотрим некую длинную линию.
Между этими точками можем составить эквивалентную схему, исходя из физического смысла: учтём потери.
Обойдём контур, составим уравнение по второму закону Кирх-гофа. − + Δ ( + Δ ) + Δ ( + Δ ) + ( + Δ ) = 0
Пренебрежём величинами второго порядка малости.
u u+Δu
i+Δi
1’
2
2’
1
g0Δx C0Δx
r0Δx Δ
u
i
u+Δu
i+Δi 1
1’
2
2’
129
− + Δ + Δ + + Δ = 0
+ = Δ Δ
− = + (1)
— первое телеграфное уравнение.
Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла. − ( + Δ ) − Δ − Δ = 0
−Δ − Δ − Δ = 0
− Δ Δ = + Δ
− = + (2)
— второе телеграфное уравнение.
§7.2. УСТАНОВИВШИЙСЯ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
Процесс описывается символической формой.
⎩⎨⎧ − = ( + ) − = ( + ) (1)
(2)
Возьмём производную по dx от уравнения (1).
− = ( + )
130
= ( + ) −
Подставим уравнение (2). = ( + )( + ) (3) = ( + )( + ) = + (4)
γ — коэффициент распространения волны. — коэффициент затухания волны.
β — коэффициент фазы.
Вернёмся к уравнению (3). = − = 0 (5) — однородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Характеристическое уравнение: − = 0 = = ∓
Общее решение уравнения (5): = + (6)
— уравнение для напряжения в установившемся режиме. , — постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий. = , =
131
Найдём ток из уравнения (1).
= 1( + ) – = − 1( + ) (− ) + =
= ( + ) − == ( + )( + )( + ) − =
= 1 ( + )( + ) − = 1 в −
(7)
в = ( + )( + )
— волновое сопротивление линии.
γ и в — вторичные параметры линии.
Уравнения (6) и (7) — для установившегося гармонического процесса в символической форме.
§7.3. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ В ЛИНИИ
Перепишем уравнения (6) и (7).
= + = пр + обр = 1 в − = пр + обр → ⋅ √2 → → ℑ ( ) = ( )
пр( , ) = ℑ √2 = ℑ ( ) == ℑ == ℑ ( ) == ( − + ) = пр( , )
132
Нарисуем график прямого напряжения пр( , ).
Рассмотрим точку , где sin( − + ) = 0, то есть − + = 0. Посмотрим, куда эта точка желает переместиться.
В какой-то момент времени + Δ , чтобы был ноль нужно + Δ . Точка перемещается от начала к концу линии. − + = ( + Δ ) − ( + Δ ) + Δ = Δ Δ Δ = = ф (1)
— фазовая скорость.
Фазовой скоростью называется скорость, с которой должен двигаться наблюдатель, чтобы видеть волну в одной и той же фазе.
Рассмотрим второе слагаемое. обр( , ) = ℑ √2 = ℑ ( ) == ℑ = ℑ ( ) == ( − + ) = обр( , ) (2)
Построим.
u (x,t)
x
A1m
x1
133
Рассмотрим точку , где sin( + + ) = 0, то есть + + = 0. Посмотрим, куда эта точка желает переместиться.
В какой-то момент времени + Δ , чтобы был ноль нужно − Δ . Точка перемещается от конца к началу — обратная волна.
Напишем прямую волну тока. в = в в пр( , ) = ℑ в в √2 == ℑ в ( ) в == в ( − + − в) = пр( , )
обр( , ) = в ( + + − в)
Если положить = 0, получаем частный случай: цепь перемен-ного тока.
u (x,t)
x x1
134
§7.4. ЗАВИСИМОСТЬ РЕЖИМА ЛИНИИ ОТ НАГРУЗКИ
= + = 1 в −
= ⋅ н (1)
При = = = (2)
Условие (2) подставим в исходную систему (используем гранич-ные условия).
= + = 1 в − (3)
Из системы (3) найдём коэффициенты , .
= − в в − в = − в − − 1 в − 1 в = + в2 (4)
= в −2 1 в = − в −2 1 в = − в2 (5)
н
= −
135
Подставим эти коэффициенты в исходные уравнения напряже-ния и тока.
= + в2 + − в2 =
= + в2 ( ) + − в2 ( ) =
= + в + − в (6)
= + в2 в − − в2 в =
= + в в − − в в (7)
1) Zн = в — согласованная нагрузка. = н = в В уравнениях (6) и (7) пропадут вторые слагаемые.
⎩⎪⎨⎪⎧ = + в2 = + в2 в (8)
2) Рассмотрим так называемый коэффициент отражения, который определяется как отношение обратной волны к прямой в конце линии, то есть при = 0.
= обрпр | = − в + в = н − в н + в = н − в н + в (9)
Рассмотрим выражение (9) в случаях:
а) холостой ход: н = ∞. = 1.
б) короткое замыкание: н = 0, = −1.
в) согласованная нагрузка: н = в, = 0.
136
§7.5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
= + в2 + − в2 (1)
= + в2 в − − в2 в (2)
ch = + 2 , sh = − 2 (3)
= + 2 + в − 2 = ch + в sh (4)
= в − 2 + + 2 = в sh + ch (5)
= ch + в sh = в sh + ch (*)
При = = = . = ch + в sh = в sh + ch (6)
Вспоминаем уравнение четырёхполюсника в гиперболических функциях.
= ch + в sh = в sh + ch (7)
Формально подставляя вместо в = и вместо = , получим уравнения четырёхполюсника.
Вывод: теорию четырёхполюсников можно использовать для расчёта длинных линий.
137
= ( + ) [Нп], Нпкм [рад], радкм
= + [Нп]
[рад] §7.6. ЛИНИЯ БЕЗ ИСКАЖЕНИЙ
1) = + — условие прохождения сигна-ла без искажения через четы-рёхполюсник.
ф = ≠ ( ) =
2) Коэффициент распространения волны:
= ( + )( + ) = + +
Если выполняется это условие, линия без искажений. = (1) = + = +
= = = ≠ ( )
=
138
= ф = = = 1 ≠ ( )
в = + + = + + = = в = 0
Но это соотношение (1) не всегда выполнимо без корректирую-щих четырёхполюсников.
§7.7. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ
= ( + )( + )
В некоторых случаях (СВЧ) ≫ , ≫ . Тогда и можно пренебречь. ≅
ЛБП = 0 = ЛБИ = =
Линия без потерь — это прежде всего линия без искажений, у которой = 0. ф = = = 1 ≠ ( )
в = + + ≅ = = в в — чисто вещественная величина, как и в предыдущем пара-графе.
139
3) Сделаем переход от уравнения с гиперболическими функ-циями к уравнению с обычными тригонометрическими функ-циями.
= ch + в sh = в sh + ch (∗) ch = + 2 , sh = − 2
cos = + 2 , sin = − 2
⎩⎨⎧ ch = + 2 = cos sh = − 2 = sin (1)
C учётом (1) система (∗) приобретёт вид.
= cos + в sin = в sin + cos (∗∗)
§7.8. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ ПРИ СОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКЕ 1) н = в
= н = в (1)
н
= −
140
= cos + в sin = (cos + sin ) =
= = (2)
= в sin + cos = = (3)
Перейдём к мгновенным значениям. ( , ) = √2 = = = ( ) = sin( + + ) (5) ( , ) = √2 = sin( + + ) (6)
( , ) → (5) + + = 0 + Δ : − Δ Наблюдаем прямую (падаю-щую) волну напряжения и тока.
Действующие значения на-пряжения и тока не меняют-ся вдоль линии. = √2 , = √2
3) ( , ) → (5) ( , ) → (6) Напряжение и ток находятся в фазе, поскольку сопротив-ление чисто активное. Син-фазное перемещение прямой волны.
вх = ⁄ = ⁄ = в на ос-новании уравнения (1). вх = в, не зависит от .
y i u
( , ), ( , )
y U2 I2
y y1
141
§7.9. ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ ПРИ ХОЛОСТОМ ХОДЕ
= cos + в sin = в sin + cos (∗∗) → = 0
= cos = в sin (1) (2)
1. Напряжение = (3)
Исходя из (1) напишем мгновенное значение. ( , ) = ℑ √2 cos = ℑ cos = = cos ( ) sin( + ) (4) ( ) = cos (5)
— амплитуда зависит от . = ф 1 = 1 = 2 1 = 2
= 2 (6)
— волновое число.
0 4 2 34 β 0
2 32 2
1 0 –1 0 1
142
Изменение амплитуды ( ) согласно (5).
Действующее значение. ( ) = ( )√2 На линии есть точки — узлы (°), в которых напряжение все-гда 0, и есть пучности (×), в ко-торых максимально.
Построим уравнение (4). → sin( + ) = 1
— так называемый режим стоячих волн. Но всегда есть точ-ки на линии, в которых напряжение равно нулю, поскольку амплитуда меняется по косинусоидальному закону.
2. Ток = в sin , где = Сделаем переход к функции времени.
( , ) = ℑ √2 в sin = ℑ в sin == в sin ( ) sin + + 2 ( , ) = ( ) sin + + 2 , (7)
где ( ) = в sin (8)
— амплитуда зависит от .
y
( , )
y
( ) y 34
12 14
( )
143
= ф 1 = 1 = 2 1 = 2
= 2
— волновое число.
0 4 2 34 β 0
2 32 2
0 1 0 –1 0
Изменение амплитуды ( ) согласно (8).
Действующее значение ( ) = ( )√2 (°) — Узлы, в которых ток все-гда 0; (×) — пучности, в которых он максимален.
3) Построим уравнение (7). → sin + + 2 = 1
Но есть точки на линии, в которых ток всегда равен нулю — режим стоячих волн.
y
( , )
y
( )
y 34
12 14
( )
144
3. Входное сопротивление
= cos + в sin = в sin + cos = 0
= cos = в sin вх = = cos в sin = − вctg = + вх
вх = − вctg
1) = 0; = 0; 0 = ∞; вх = −∞
2) = 4⁄ ; = ; = 0; вх = 0
3) = 2⁄ ; = ; = −∞; вх = +∞
4) > 2⁄ ; > ; (> ) = +∞; вх = −∞
5) = ; = ; = 0; вх = 0
6) =
Вывод: входное сопротивление может быть чисто емкостное, чисто индуктивное, 0 и ∞ в зависимости от длины y.
y 34 2 4
вх 0 − + + −
ctg
145
§7.10. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ ПРИ КОРОТКОМ ЗАМЫКАНИИ
= cos + в sin = в sin + cos = 0
= в sin = cos (1) (2)
1. Найдём напряжение = в sin , где = (3)
( , ) = ℑ в √2 sin == ℑ в sin == ℑ в sin == в sin ( ) sin + + 2 == ( ) sin + + 2 (4)
Построим.
Изменение амплитуды ( ) согласно (5). y 34
12 14
( )
146
Действующее значение. ( ) = ( ) √2⁄ На линии есть точки — узлы (°), в которых напряжение все-гда 0, и есть пучности (×), в ко-торых максимально.
Построим уравнение (4). → sin + + 2
На линии всегда есть точки, где напряжение всегда равно ну-лю. Получаем так называемый режим стоячих волн.
2. Найдём ток = cos ( , ) = ℑ √2 cos = ℑ cos == ℑ cos ( ) = cos ( ) sin( + ) == ( ) sin( + )
Построим.
Изменение амплитуды ( ) = cos .
Действующее значение ( ) = ( ) √2⁄ (°) — Узлы, в которых ток все-гда 0; (×) — пучности, в которых он максимален.
y
( )
y 34
12 14
( )
y
( , )
y
( )
147
( , ) → sin + + 2 = 1
На линии всегда есть точки, где напряжение всегда равно ну-лю. Получаем так называемый режим стоячих волн.
3. Найдём Zвх. вх = = в sin cos = вtg = вх вх = вtg
1) = 0; = 0; tg 0 = 0; вх = 0
2) = ; = ; tg = +∞; вх = +∞
3) > ; > ; tg > = −∞; вх = −∞
4) = ; = ; tg = 0; вх = 0
5) = ; = ; tg = ∞; вх = ∞
Вывод: входное сопротивление может быть чисто емкостное, чисто индуктивное, 0 и ∞ в зависимости от длины y.
Для частоты 3 ГГц (длина проводника 10 см) через 2,5 см со-противление равно бесконечности, затем ноль и т. д.
y 34 2 4
вх 0 − + + −
tg
y
( , )
148
§7.11. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
В предыдущих двух параграфах мы убедились, что вх = ( ). По такой линии передавать информацию невозможно. Вспом-ним, что при согласованной нагрузке вх ≠ ( ). Поэтому ос-новной режим передачи информации — это режим согласован-ной нагрузки.
Но и здесь возникает проблема: проблема согласования, если вх ≠ н. Для этого и нужен трансформатор. Чтобы н привести к конечным точкам, необходимо выполнить условия:
Соединить отрезком длиной λ 4⁄ определённым кабелем, у ко-торого в = вх ⋅ н. = н = н⁄
Покажем справедливость этих двух условий. Найдём вх из уравнений (∗∗).
вх = cos + в sin в sin + cos = в в⁄ = в ⁄ = в н
в = вх н
Например, имеем какой-то кабель с волновым сопротивлением и антенну сопротивлением . Нужно их согласовать. Берём отрезок 4⁄ и в = .
Rн
вх вх λ 4⁄
149
§7.12. ЗАМЕНА ДЛИННОЙ ЛИНИИ ЭКВИВАЛЕНТНЫМ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОМ
= cos + в sin = в sin + cos При = = =
= cos + в sin = в sin + cos (1)
Линия без потерь, только реактивные элементы, = 0, = .
От уравнений линии (1) перейдём к уравнениям четырёхпо-люсника, = в = с .
= cos + с sin = с sin + cos (2)
, , , ,
2
2
н
= −
150
— длина линии, которая соответствует данному четырёхпо-люснику.
Рассмотрим систему (2), первое уравнение в режиме холостого хода, = 0. = cos
cos = = 1 2, (3)
где = + 1 2
Подcтавим в уравнение (3).
cos = + 1 2 ⋅ 1 2= + 1 2 2 = − 2 + 11 = 1 − 2
sin = 1 − cos = 1 − 1 − 2 == 1 − 1 − 4⁄ + = √ 1 − 4⁄ ≪ ≅
≅ √ (4) = arcsin √ (5) Из = найдём .
= = 1 arcsin √ (6)
Найдём . В режиме короткого замыкания = 0. Поэтому
151
= sin
=
= sin = √ = √ =
в = =
= = — такой четырёхполюсник заменит длинную линию.
152
Глава 8. Синтез электрических цепей Различают задачу анализа электрических цепей (по входному сигналу и структуре цепи однозначно найти реакцию) и задачу синтеза (зная воздействие на цепь и желая получить опреде-лённую реакцию, определить структуру и параметры цепи).
Различают синтез двухполюсников и синтез четырёхполюсни-ков.
Синтез для двухполюсников возможен по ( ), ( ), для четы-рёхполюсников по ( ), а также не только в частотной, но и во временной области.
§8.1. УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Не любой двухполюсник можно синтезировать. Должны вы-полняться определённые требования (критерии):
( ) = ( ) ( ) = + +⋯+ + +⋯+
1) Все эти коэффициенты … , … должны быть положи-тельными вещественными числами.
2) Корни числителя (нули, ( ) = 0), корни знаменателя (полю-сы, ( ) = 0) должны находиться в левой полуплоскости.
? b(t) a(t) a(t) b(t)?
153
3) Степень полинома числителя и полинома знаменателя не должны отличаться более, чем на единицу. | − | = 1
4) Реальная часть ℜ ( ) | ≥ 0.
§8.2. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ С ПОМОЩЬЮ ЛЕСТНИЧНОЙ СХЕМЫ
Входное сопротивление лестничной схемы удобно записать в виде непрерывной дроби. + 1 + 1 + 1 +⋯
Например,
Y2 Y4
Z1 Z3 5
6
3
4
1
2
Z2 Z4 Z6
Z1 Z3 Z5
+1 +j
154
Начинаем с конца. Между точками 1 и 2 проводимость . Со-противление между точками 1 и 2 равно 1 ⁄ . Сопротивление между точками 3 и 4 + 1 ⁄ . Проводимость между точками 3 и 4 равна . Между точками 5 и 6 проводимость будет + . Перейдём к сопротивлению: . вх = + 1 + 1 + 1
вх( ) = ( ) + 1 ( ) + 1 ( ) + 1 ( ) + 1 ( ) + 1 ( )
Пример 1.
По дроби ( ) = 1 + 12 + 13 + 14
нарисуем схему и её элементы.
Z1(p) Z3(p) Z5(p)
Y2(p) Y4(p) Y6(p)
Zвх(p)
155
Пример 2. ( ) = 1 + 11 + 11 + 1
§8.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ( ) В ВИДЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ДРОБИ
( ) = ( ) ( ) = + +⋯+ + +⋯+
= + = + 1 (1) 0 = + = + 1 (2)
Подставим в выражение (1). = + 1 + 1
(3)
1 Гн
1 Ф
1 Ом
1 Ф
1 Гн 3 Гн
2 Ф 4 Ф
156
= + = + 1 (4) = + 1 + 1 + 1
1) Прежде чем делить, мы должны расположить числитель и знаменатель либо по возрастающим степеням, либо по убы-вающим степеням.
2) На каждом этапе деления это расположение можно менять: на первом этапе можно по возрастанию, на втором — по убыва-нию.
Пример.
( ) = + 10 + 9 + 4 = ( ) ( )
+ 10 + 9 + 4 + 4 + 6 + 9 + 4 6 + 9
( ) = + 1 + 4 6 + 9
+ 4 6 + 9 + 32 16 + 52 6 + 9 52 ( ) = + 116 + 1 6 + 952
157
_ 6 + 9 6 –––––––– 9
52 125 + 52
( ) = + 116 + 11125 + 1 5 29 518
Теперь можно однозначно нарисовать схему.
Неоднозначность этого метода берётся из возможности распо-ложения многочленов на каждом этапе как по возрастанию, так и по убыванию.
§8.4. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ РАЗЛОЖЕНИЕМ НА ПРОСТЫЕ ДРОБИ
( ) =
( ) =
( ) = 1
1 Гн 12/5 Гн
1/6 Ф 5/18 Ф
158
( ) = 1 + 1 = + 1 = 1 + 1 = +
( ) = + = + = +
( ) = 1 + 1 = + 1 = 1 + 1
( ) = ( ) ( ) = − + − + − +⋯ (1) ( ) = 0: , , … = ( ) ( ) | — вычет в полюсе . = ( ) ( ) | — вычет в полюсе . = ( ) ( ) | — вычет в полюсе . …
Эти простые дроби сводим к схемам (см. табл.)
Пример.
( ) = + 10 + 9 + 4 = ( ) ( )
Здесь ≤ , поэтому сначала понизим степень полинома чис-лителя.
+ 10 + 9 + 4 + 4 + 6 + 9 + 4 6 + 9
159
( ) = + 6 + 9 + 4 ( ) ( ) (2)
( ) = 0 + 4 = 0 ( + 4) = 0 = 0 , = ±2 ( ) = + − 0 + − 2 + + 2 (3)
= ( ) ( ) | = 6 + 93 + 4 | = 94
= ( ) ( ) | = 6 + 93 + 4 | = −24 + 9−12 + 4 = 158
= ( ) ( ) | = 6 + 93 + 4 | = −24 + 9−12 + 4 = 158
( ) = + 94 + 158 − 2 + 158 + 2 = + 94 + 154 + 4 1 = 154 ; = 415. 1 = 4; = 1516
1 Гн 4/9 Ф
4/15 Ф
15/16 Гн
1 Гн
160
§8.5. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ ПО ВХОДНОЙ ПРОВОДИМОСТИ
( ) =
( ) = 1
( ) =
( ) = 1 + = 1 + = +
( ) = 1 + 1 = 1 + 1 = +
( ) = 1 + 1 = + 1 = 1 + 1
( ) = ( ) ( ) = − + − + − +⋯ (1) = ( ) ( ) | — вычет в полюсе . = ( ) ( ) | — вычет в полюсе . = ( ) ( ) | — вычет в полюсе . …
Пример.
( ) = + 4 + 10 + 9 = ( ) ( ) + 10 + 9 = 0
161
… = ± −5 ± √25 − 9 = ± −5 ± 4 , = ± , = ±3 ( ) = ( ) ( ) = − + + + − 3 + + 3 (2)
= + 4 4 + 20 | = 316 = + 4 4 + 20 | = 316 = + 4 4 + 20 | = 516 = + 4 4 + 20 | = 516
( ) = ( ) ( ) = 3 16⁄ − + 3 16⁄ + + 5 16⁄ − 3 + 5 16⁄ + 3 == 316 ( + + − ) − 1 + 516 ( + 3 + − 3 ) − 3 == 38 + 1 + 58 + 9
Это комбинация соответствует следующему соединению: 1 = 38 → = 83 ; 1 = 1 → = 1 = 38 ; 1 = 58 → = 85 ; 1 = 9 → = 19 = 572
8/3 Гн
3/8 Ф
8/5 Гн
5/72 Ф
162
§8.6. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ
Если нужно получить такую амплитудно-частотную характери-стику, один из вариантов — следующий четырёхполюсник:
На низких частотах ёмкость практически не шунтирует, сопро-тивление почти бесконечность. А на высоких частотах коэффи-циент передачи единица.
В случае данной АЧХ подойдёт следующий четырёхполюсник:
На низких частотах полная передача сигнала (сопротивление конденсатора к бесконечности), на высоких — делитель напря-жения .
U1
R1
C
R2 U2
ω
K(ω)
+ 1 2)
U1
R1
C R2 U2
ω
K(ω)
+ 1 1)
163
Для данной АЧХ удобно использовать колебательный контур. На резонансной частоте = √ коэффициент передачи будет единица.
Если нужно какую-то частоту не пропустить, то нетрудно соста-вить следующий четырёхполюсник:
На резонансной частоте сопротивление 0, передача отсутствует, на других частотах — близка к единице.
L
C
ω
K(ω) 1 4)
ω0
L C
ω
K(ω) 1 3)
ω0
164
§8.7. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ ПО ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫМ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Комплексный коэффициент передачи:
( ) = + 1 =
( ) = + 1 = 11 + 1 = 11 − 1 = 11 − 1 ⋅ 1 + 1 1 + 1 == 1 + 1 1 + 1 = ( ) ( )
( ) = 1 + 1 1 + 1 = 1 1 + 1 (1)
дБ = 20 lg ( )
дБ = 20 lg 1 − lg 1 + 1 = −20 lg 1 + 1 =
= −10 lg 1 + 1 (2)
На частоте среза = 1 ⁄ дБ = −10 lg 2 = −3 дБ.
Это фильтр верхних частот. Частота среза = . Для та-кого каскада имеем завал по частоте 6 дБ на октаву. Для 12, 18 дБ нужно ставить два, три и т. д. каскада.
U1 C
R U2
165
Теперь рассмотрим фильтр низких частот.
( ) = = 1 + 1 = 1 + 1 = 11 + = 11 + ⋅ 1 − 1 − == (1 − )(1 − ) = ( ) ( )
( ) = √1 + 1 + = 1√1 + (1)
дБ = 20 lg ( ) (2) дБ = 20 lg 1√1 + = −10 lg(1 + ) (3)
= 1 ∶ дБ = −10 lg 2 = −3 дБ
На частоте среза имеем -3 дБ. Это фильтр низких частот. Час-тота среза определяется = 1 ⁄ . Один каскад даёт 6 дБ на ок-таву (на удвоение частоты). Для 12 дБ нужно два каскада.
ω
KдБ
-3 ωc = 2
-6
U1 R
C U2
ω
KдБ
-3 ωc = 12
-6
166
Теперь сам синтез. Нужна сделать следующую АЧХ:
Перестраиваем каждую точку в дБ. Определяем на уровне 3 дБ частоты среза. И из этих точек проводим прямые линии, кото-рые показывают, сколько каскадов нужно взять (какой завал по частоте).
Задаваясь R, через находим С. И строим четырёхполюсник.
Если нужно выделить какую-то частоту, добавляем ранее рас-смотренные схемы.
ω
KдБ
ω1с ω2с −3
ω
K(ω) 1
167
Оглавление
Глава 1. Переходные процессы в линейных электрических цепях .................................................................... 3
§1.1. Причины переходных процессов ........................................ 3
§1.2. Законы коммутации ............................................................. 3
§1.3. Начальные условия .............................................................. 5
§1.4. Методика расчёта ................................................................. 5
§1.5. Подключение RL-цепи на постоянное напряжение ........ 7
§1.6. Короткое замыкание RL-цепи ........................................... 10
§1.7. Разряд RL-цепи на дополнительные сопротивления ... 14
§1.8. Подключение RL-цепи на синусоидальное напряжение .................................................................................. 15
§1.9. Подключение RC-цепи на постоянное напряжение ...... 19
§1.10. Короткое замыкание RC-цепи......................................... 22
§1.11. Подключение RC-цепи на синусоидальное напряжение .................................................................................. 24
§1.12. Подключение RLC-цепи на постоянное напряжение .. 28
§1.13. Короткое замыкание RLC-цепи ...................................... 37
Глава 2. Операторный метод расчёта переходных процессов ........................................................................................ 45
§2.1. Операторный метод расчёта переходных процессов...... 45
§2.2. Изображения некоторых функций ................................... 45
§2.3. Свойства преобразования Лапласа .................................. 46
§2.4. Изображения функций, связанных с дифференцированием и интегрированием .............................. 47
§2.5. Закон Ома в операторной форме ...................................... 48
168
Ненулевые начальные условия ............................................. 50
Закон Ома при ненулевых начальных условиях ................ 52
§2.6. Законы Кирхгофа в операторной форме ......................... 53
§2.7. Метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие методы в операторной форме ........................................ 55
Метод контурных токов ........................................................... 55
Метод узловых потенциалов .................................................. 55
Метод двух узлов...................................................................... 55
Метод эквивалентного генератора ........................................ 55
§2.8. Переход от изображения к оригиналу ............................. 56
§2.9. Порядок расчёта переходных процессов операторным методом ......................................................................................... 59
§2.10. Операторные передаточные функции ........................... 59
§2.11. Связь между операторной передаточной функцией и комплексным коэффициентом передачи ................................. 61
Глава 3. Анализ электрических цепей при произвольном входном сигнале .......................................................................... 63
§3.1. Единичная функция .......................................................... 64
§3.2. Импульсная функция ........................................................ 65
§3.3. Переходная характеристика цепи ................................... 66
§3.4. Связь между операторной передаточной функцией и переходной характеристикой цепи ........................................... 68
§3.5. Импульсная характеристика цепи .................................. 69
§3.6. Связь между операторной передаточной функцией и импульсной характеристикой цепи .......................................... 71
§3.7. Интеграл Дюамеля............................................................. 72
§3.8. Интеграл Дюамеля для кусочно-непрерывной функции ........................................................................................ 75
169
Глава 4. Частотный (спектральный) метод анализа электрических цепей при произвольном входном сигнале ............................................................................................ 78
§4.1. Ряд Фурье в комплексной форме ...................................... 78
§4.2. Интеграл Фурье .................................................................. 79
§4.3. Аналогии между преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье .............................................................. 81
§4.4. Спектральные характеристики непериодического сигнала .......................................................................................... 82
§4.5. Спектральные характеристики прямоугольного импульса ....................................................................................... 84
§4.6. Порядок расчёта реакции цепи при произвольном входном сигнале при помощи частотного метода .................. 86
Глава 5. Нелинейные электрические цепи при постоянном воздействии ........................................................... 89
§5.1. Область применения нелинейных элементов ................ 91
§5.2. Примеры нелинейных элементов ..................................... 92
§5.3. Методы расчёта нелинейных цепей ................................. 93
Графические методы................................................................ 93
Графоаналитические методы ................................................. 97
Аналитические методы расчёта ........................................... 100
§5.4. Применение нелинейных элементов для стабилизации напряжения ................................................................................ 101
§5.5. Расчёт нелинейной цепи с одним нелинейным элементом .................................................................................... 103
§5.6. Расчёт нелинейной цепи с двумя узлами ..................... 105
§5.7. Расчёт нелинейной цепи с двумя нелинейными элементами ................................................................................. 107
§5.8. Расчёт нелинейной цепи с тремя и более нелинейными элементами (метод итераций) .................................................. 108
170
Глава 6. Нелинейные электрические цепи при гармоническом воздействии .................................................. 110
§6.1. Вольт-амперные характеристики безынерционного нелинейного сопротивления .................................................... 111
§6.2. Применение безынерционного нелинейного сопротивления для выпрямления сигнала ........................... 113
§6.3. Безынерционная нелинейная индуктивность ............. 115
§6.4. Подключение безынерционной нелинейной индуктивности к источнику синусоидального напряжения ................................................................................ 116
§6.5. Кривая тока при наличии петли гистерезиса .............. 118
§6.6. Эквивалентная схема катушки с магнитопроводом.... 119
§6.7. Безынерционная нелинейная ёмкость .......................... 123
§6.8. Подключение безынерционной нелинейной ёмкости к источнику синусоидального напряжения .............................. 124
§6.9. Параметрические цепи .................................................... 125
§6.10. Подключение ( ) к постоянной ЭДС ......................... 126
Глава 7. Электрические цепи с распределёнными параметрами ............................................................................... 127
§7.1. Уравнение однородной двухпроводной линии ............. 128
§7.2. Установившийся гармонический процесс ..................... 129
§7.3. Бегущие волны в линии .................................................. 131
§7.4. Зависимость режима линии от нагрузки ...................... 134
§7.5. Уравнение линии в гиперболических функциях......... 136
§7.6. Линия без искажений ...................................................... 137
§7.7. Линия без потерь .............................................................. 138
§7.8. Линия без потерь при согласованной нагрузке ........... 139
§7.9. Линии без потерь при холостом ходе ............................. 141
1. Напряжение ....................................................................... 141
171
2. Ток ........................................................................................ 142
3. Входное сопротивление ..................................................... 144
§7.10. Линия без потерь при коротком замыкании .............. 145
1. Найдём напряжение .......................................................... 145
2. Найдём ток .......................................................................... 146
3. Найдём Zвх. .......................................................................... 147
§7.11. Четвертьволновый трансформатор .............................. 148
§7.12. Замена длинной линии эквивалентным четырёхполюсником .................................................................. 149
Глава 8. Синтез электрических цепей ................................ 152
§8.1. Условия физической реализуемости двухполюсников ......................................................................... 152
§8.2. Синтез двухполюсников с помощью лестничной схемы ........................................................................................... 153
§8.3. Представление ( ) в виде непрерывной дроби .......... 155
§8.4. Синтез двухполюсников разложением на простые дроби ............................................................................................ 157
§8.5. Синтез двухполюсников по входной проводимости ..... 160
§8.6. Синтез четырёхполюсников ............................................ 162
§8.7. Синтез четырёхполюсников по трапецеидальным логарифмическим амплитудно-часотным характеристикам ........................................................................ 164
