Circuit an A

ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

Ο∆ΗΓΟΣ (απλά επιλέξτε το αντίστοιχο αστεράκι)

Μέθοδος Κοµβικών Τάσεων Μέθοδος Βροχικών Εντάσεων

Κυκλώµατα µε αντιστάτες και πηγές

* *

Γενικά κυκλώµατα * *

Γενικά κυκλώµατα σε µόνιµη ηµιτονοειδή κατάσταση (ΜΗΚ)

* *

of 6ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΚΟΜΒΙΚΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

7/2/2008http://www.sml.ee.upatras.gr/SML_gr/cources/circuits/circuitANALYSISmethods.htm

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΚΟΜΒΙΚΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Κυκλώµατα µε πηγές και αντιστάτες µόνο

1. Ο αριθµός των απαιτούµενων εξισώσεων είναι ίσος µε τον αριθµό των βασικών κόµβων µείον ένα

(αλλά βλ. και 7 πιο κάτω). 2. Επιλέξτε έναν από τους κόµβους σαν κόµβο αναφοράς (συνήθως αυτόν µε τους περισσότερους

κλάδους). 3. Στους υπόλοιπους κόµβους αναγράψτε τις (κοµβικές) τάσεις τους συµβολικά. Εξ ορισµού οι

κοµβικές τάσεις είναι «ανυψώσεις» σε σχέση µε τον κόµβο αναφοράς. 4. ∆ηµιουργήστε τώρα τις εξισώσεις κοµβικών τάσεων αθροίζοντας τα ρεύµατα σε κάθε κόµβο (εκτός

από τον κόµβο αναφοράς) µε τη βοήθεια του KCL. Όλα τα ρεύµατα θεωρούνται ότι εγκαταλείπουν τον κόµβο, εκτός εάν υπάρχει σε κάποιον κλάδο πηγή ρεύµατος (της οποίας η διεύθυνση ροής καθορίζει πως θα υπολογισθεί η συνεισφορά της).

5. Εάν υπάρχει σε κάποιο κλάδο πηγή τάσης, το δυναµικό της προστίθεται ή αφαιρείται (ανάλογα µε την πολικότητά της) στο δυναµικό του κόµβου πριν διαιρέσουµε µε την αντίσταση του κλάδου.

6. Σε περίπτωση που υπάρχει εξαρτηµένη πηγή, το ρεύµα ή η τάση ελέγχου πρέπει να εκφραστεί σαν συνάρτηση των ορισθεισών κοµβικών τάσεων (κάθε τέτοια πηγή θα δηµιουργήσει ένα πρόσθετο περιορισµό στις εξισώσεις κοµβικών τάσεων).

7. Εάν µια πηγή τάσης είναι συνδεµένη κατ’ ευθείαν µεταξύ ενός βασικού κόµβου και του κόµβου αναφοράς, τότε η τάση του κόµβου είναι γνωστή και ο αριθµός των εξισώσεων µειώνεται κατά µια.

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΒΡΟΧΙΚΩΝ (∆ΙΑΝΟΙΓΜΑΤΙΚΩΝ) ΕΝΤΑΣΕΩΝ Κυκλώµατα µε πηγές και αντιστάτες µόνο

1. Ο αριθµός των απαιτούµενων εξισώσεων είναι ίσος µε τον αριθµό των διανοιγµάτων ή

«παράθυρων» (αλλά βλ. και 6 πιο κάτω). 2. ΠΡΟΣΟΧΗ!: η µέθοδος εφαρµόζεται µόνο για επίπεδα κυκλώµατα. 3. Αναγράψτε και αριθµήστε τα ρεύµατα βρόχων σε κάθε διάνοιγµα και βάλτε φορά ίδια µε αυτή των

δεικτών του αναλογικού ρολογιού. (ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: τα ρεύµατα κλάδων είναι γενικά διαφορετικά από τα ρεύµατα βρόχων που δεν µπορούν να µετρηθούν).

4. ∆ηµιουργήστε τώρα τις εξισώσεις βροχικών εντάσεων αθροίζοντας τις τάσεις ολόγυρα σε κάθε βρόχο µε τη βοήθεια του KVL. Όλες οι τάσεις θεωρούνται θετικές, εκτός εάν υπάρχει σε κάποιον βρόχο πηγή τάσης (της οποίας η πολικότητα καθορίζει πως θα υπολογισθεί η συνεισφορά της). Όταν δυο βρόχοι έχουν κοινό κλάδο, το ρεύµα εκεί είναι η διαφορά των δυο βροχικών εντάσεων που διαπερνούν τον κλάδο.

5. Σε περίπτωση που υπάρχει εξαρτηµένη πηγή, το ρεύµα ή η τάση ελέγχου πρέπει να εκφραστεί σαν συνάρτηση των ορισθεισών βροχικών εντάσεων (κάθε τέτοια πηγή θα δηµιουργήσει ένα πρόσθετο περιορισµό στις εξισώσεις βροχικών εντάσεων).

6. Εάν µια πηγή ρεύµατος υπάρχει στην εξωτερική περίµετρο του κυκλώµατος, τότε ο KVL δεν χρειάζεται να εφαρµοστεί στον βρόχο αυτόν (διότι το ρεύµα κλάδου και η βροχική ένταση ταυτίζονται στον κλάδο αυτό).

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΚΟΜΒΙΚΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Γενικά κυκλώµατα

1. Ο αριθµός των απαιτούµενων εξισώσεων είναι ίσος µε τον αριθµό των βασικών κόµβων µείον ένα

(αλλά βλ. και 8 πιο κάτω). 2. Επιλέξτε έναν από τους κόµβους σαν κόµβο αναφοράς (συνήθως αυτόν µε τους περισσότερους

κλάδους). 3. Στους υπόλοιπους κόµβους αναγράψτε τις (κοµβικές) τάσεις τους συµβολικά. Εξ ορισµού οι

κοµβικές τάσεις είναι «ανυψώσεις» σε σχέση µε τον κόµβο αναφοράς.



4. ∆ηµιουργήστε τώρα τις εξισώσεις κοµβικών τάσεων αθροίζοντας τα ρεύµατα σε κάθε κόµβο (εκτός από τον κόµβο αναφοράς) µε τη βοήθεια του KCL. Όλα τα ρεύµατα θεωρούνται ότι εγκαταλείπουν τον κόµβο, εκτός εάν υπάρχει σε κάποιον κλάδο πηγή ρεύµατος (της οποίας η διεύθυνση ροής καθορίζει πως θα υπολογισθεί η συνεισφορά της). Τώρα τα ρεύµατα περιέχουν διαφορικές ή/και ολοκληρωτικές σχέσεις λόγω της παρουσίας των στοιχείων µε αποθήκευση ενέργειας και για ευκολία χρησιµοποιούµε τους τελεστές δεκτικότητας.

5. Εάν υπάρχει σε κάποιο κλάδο πηγή τάσης, το δυναµικό της προστίθεται ή αφαιρείται (ανάλογα µε την πολικότητά της) στο δυναµικό του κόµβου πριν το χρησιµοποιήσουµε για υπολογισµούς.

6. Εάν υπάρχει σε κάποιο κλάδο επαγωγός µε αρχική φόρτιση τότε τον µετασχηµατίζουµε σε επαγωγό χωρίς αρχική φόρτιση συνδεµένο παράλληλα µε πηγή ρεύµατος ίσου µε την αρχική φόρτιση. (Οι αρχικές φορτίσεις των πυκνωτών θα εµφανιστούν σαν αρχικές συνθήκες στη λύση των διαφορικών εξισώσεων που θα προκύψουν.)



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Οι εξισώσεις κοµβικών τάσεων γράφονται πολύ εύκολα αν µορφοποιηθούν σαν γραµµικό σύστηµα εξισώσεων (Αχ = β) όπου ο πίνακας Α είναι συµµετρικός:

a) Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα είναι το άθροισµα των τελεστών δεκτικότητας των στοιχείων των κλάδων που απαρτίζουν τους αντίστοιχους κόµβους.

b) Τα µη διαγώνια στοιχεία είναι οι τελεστές δεκτικότητας των κλάδων που ενώνουν τους αντίστοιχους κόµβους αλλά µε αρνητικό πρόσηµο.

c) Τα δεξιά µέλη είναι οι αντίστοιχες εντάσεις των πηγών µαζί µε τυχόν αρχικές εντάσεις επαγωγών ενώ το διάνυσµα των αγνώστων περιέχει φυσικά τις κοµβικές τάσεις.

d) Οι αρχικές τάσεις των πυκνωτών, που δεν εµφανίζονται στις εξισώσεις, χρησιµεύουν για τον προσδιορισµό των αρχικών συνθηκών.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η παραπάνω διαδικασία γίνεται πολύ πιο αποτελεσµατική αν στο κύκλωµα υπάρχουν µόνο πηγές ρεύµατος. Κάνουµε λοιπόν τους απαραίτητους µετασχηµατισµούς πηγών πριν ξεκινήσουµε.



ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΒΡΟΧΙΚΩΝ (∆ΙΑΝΟΙΓΜΑΤΙΚΩΝ) ΕΝΤΑΣΕΩΝ Γενικά κυκλώµατα




4. ∆ηµιουργήστε τώρα τις εξισώσεις βροχικών εντάσεων αθροίζοντας τις τάσεις ολόγυρα σε κάθε βρόχο µε τη βοήθεια του KVL. Όλες οι τάσεις θεωρούνται θετικές, εκτός εάν υπάρχει σε κάποιον βρόχο πηγή τάσης (της οποίας η πολικότητα καθορίζει πως θα υπολογισθεί η συνεισφορά της). Όταν δυο βρόχοι έχουν κοινό κλάδο, το ρεύµα εκεί είναι η διαφορά των δυο βροχικών εντάσεων που διαπερνούν τον κλάδο. Τώρα οι τάσεις περιέχουν διαφορικές ή/και ολοκληρωτικές σχέσεις λόγω της παρουσίας των στοιχείων µε αποθήκευση ενέργειας και για ευκολία χρησιµοποιούµε τους τελεστές εµπέδησης.

5. Εάν υπάρχει σε κάποιο κλάδο πυκνωτής µε αρχική φόρτιση τότε τον µετασχηµατίζουµε σε πυκνωτή χωρίς αρχική φόρτιση συνδεµένο σε σειρά µε πηγή τάσης ίσης µε την αρχική φόρτιση. (Οι αρχικές φορτίσεις των επαγωγών θα εµφανιστούν σαν αρχικές συνθήκες στη λύση των διαφορικών εξισώσεων που θα προκύψουν.)




Οι εξισώσεις βροχικών εντάσεων γράφονται πολύ εύκολα αν µορφοποιηθούν σαν γραµµικό σύστηµα εξισώσεων (Αχ = β) όπου ο πίνακας Α είναι συµµετρικός:

a) Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα είναι το άθροισµα των τελεστών εµπέδησης των στοιχείων των αντίστοιχων βρόχων

b) Τα µη διαγώνια στοιχεία είναι οι τελεστές εµπέδησης των κοινών κλάδων των αντιστοιχούντων βρόχων µε αρνητικό πρόσηµο αν οι βροχικές εντάσεις είναι αντίρροπες (όπως συµφωνήσαµε εδώ, βλ. 3 πιο πάνω) και θετικό πρόσηµο αν οι βροχικές εντάσεις είναι οµόρροπες.

c) Τα δεξιά µέλη είναι οι αντίστοιχες τάσεις των πηγών µε τυχόν αρχικές τάσεις των πυκνωτών του αντίστοιχου βρόχου ενώ το διάνυσµα των αγνώστων περιέχει φυσικά τις βροχικές εντάσεις.

d) Οι αρχικές εντάσεις των επαγωγών, που δεν εµφανίζονται στις εξισώσεις, χρησιµεύουν για τον προσδιορισµό των αρχικών συνθηκών.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η παραπάνω διαδικασία γίνεται πολύ πιο αποτελεσµατική αν στο κύκλωµα υπάρχουν µόνο πηγές τάσης. Κάνουµε λοιπόν τους απαραίτητους µετασχηµατισµούς πηγών πριν ξεκινήσουµε.



ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΚΟΜΒΙΚΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Γενικά κυκλώµατα σε ΜΗΚ

1. Ο αριθµός των απαιτούµενων εξισώσεων είναι ίσος µε τον αριθµό των βασικών κόµβων µείον ένα (αλλά βλ. και 7 πιο κάτω).

2. Επιλέξτε έναν από τους κόµβους σαν κόµβο αναφοράς (συνήθως αυτόν µε τους περισσότερους κλάδους).

3. Στους υπόλοιπους κόµβους αναγράψτε τις (κοµβικές) τάσεις τους συµβολικά. Εξ ορισµού οι κοµβικές τάσεις είναι «ανυψώσεις» σε σχέση µε τον κόµβο αναφοράς.

4. ∆ηµιουργήστε τώρα τις εξισώσεις κοµβικών τάσεων αθροίζοντας τα ρεύµατα σε κάθε κόµβο (εκτός από τον κόµβο αναφοράς) µε τη βοήθεια του KCL. Όλα τα ρεύµατα θεωρούνται ότι εγκαταλείπουν τον κόµβο, εκτός εάν υπάρχει σε κάποιον κλάδο πηγή ρεύµατος (της οποίας η διεύθυνση ροής καθορίζει πως θα υπολογισθεί η συνεισφορά της). Τώρα υπάρχουν µιγαδικές ποσότητες στους υπολογισµούς λόγω των σύνθετων αντιστάσεων.

5. Εάν υπάρχει σε κάποιο κλάδο πηγή τάσης, το δυναµικό της προστίθεται ή αφαιρείται (ανάλογα µε την πολικότητά της) στο δυναµικό του κόµβου πριν διαιρέσουµε µε τη σύνθετη αντίσταση του κλάδου.




Οι εξισώσεις κοµβικών τάσεων γράφονται πολύ εύκολα αν µορφοποιηθούν σαν γραµµικό σύστηµα εξισώσεων (Αχ = β) όπου ο πίνακας Α είναι συµµετρικός:

a) Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα είναι το άθροισµα των δεκτικοτήτων των στοιχείων των κλάδων που απαρτίζουν τους αντίστοιχους κόµβους.

b) Τα µη διαγώνια στοιχεία είναι οι δεκτικότητες των κλάδων που ενώνουν τους αντίστοιχους κόµβους αλλά µε αρνητικό πρόσηµο.

c) Τα δεξιά µέλη είναι οι αντίστοιχες εντάσεις των πηγών ενώ το διάνυσµα των αγνώστων περιέχει φυσικά τις κοµβικές τάσεις.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η παραπάνω διαδικασία γίνεται πολύ πιο αποτελεσµατική αν στο κύκλωµα υπάρχουν µόνο πηγές ρεύµατος. Κάνουµε λοιπόν τους απαραίτητους µετασχηµατισµούς πηγών πριν ξεκινήσουµε.



ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΒΡΟΧΙΚΩΝ (∆ΙΑΝΟΙΓΜΑΤΙΚΩΝ) ΕΝΤΑΣΕΩΝ Γενικά κυκλώµατα σε ΜΗΚ




4. ∆ηµιουργήστε τώρα τις εξισώσεις βροχικών εντάσεων αθροίζοντας τις τάσεις ολόγυρα σε κάθε βρόχο µε τη βοήθεια του KVL. Όλες οι τάσεις θεωρούνται θετικές, εκτός εάν υπάρχει σε κάποιον βρόχο πηγή τάσης (της οποίας η πολικότητα καθορίζει πως θα υπολογισθεί η συνεισφορά της). Όταν δυο βρόχοι έχουν κοινό κλάδο, το ρεύµα εκεί είναι η διαφορά των δυο βροχικών εντάσεων που διαπερνούν τον κλάδο.




Οι εξισώσεις βροχικών εντάσεων σε ΜΗΚ γράφονται πολύ εύκολα αν µορφοποιηθούν σαν γραµµικό σύστηµα εξισώσεων (Αχ = β) όπου ο πίνακας Α είναι συµµετρικός:

a) Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα είναι το άθροισµα των εµπεδήσεων των στοιχείων των αντίστοιχων βρόχων

b) Τα µη διαγώνια στοιχεία είναι οι εµπεδήσεις των κοινών κλάδων των αντιστοιχούντων βρόχων µε αρνητικό πρόσηµο αν οι βροχικές εντάσεις είναι αντίρροπες (όπως συµφωνήσαµε εδώ, βλ. 3 πιο πάνω) και θετικό πρόσηµο αν οι βροχικές εντάσεις είναι οµόρροπες.

c) Τα δεξιά µέλη είναι οι αντίστοιχες τάσεις των πηγών ενώ το διάνυσµα των αγνώστων περιέχει φυσικά τις βροχικές εντάσεις.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Η παραπάνω διαδικασία γίνεται πολύ πιο αποτελεσµατική αν στο κύκλωµα υπάρχουν µόνο πηγές τάσης. Κάνουµε λοιπόν τους απαραίτητους µετασχηµατισµούς πηγών πριν ξεκινήσουµε.



Circuit an A

Documents

Transcript of Circuit an A